НЕСТАНДАРТНЫЕ КОМБИНАЦИИ СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР Текст научной статьи по специальности «Математика»

НЕСТАНДАРТНЫЕ КОМБИНАЦИИ СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР

Аннотация

В данной статье рассмотрены комбинации многогранников и сфер, вписанных в них в обычном смысле и полувписанных, то есть касающихся ребер многогранников. Формулируются и доказываются теоремы, характеризующие свойства вписываемых и невписываемых в обоих смыслах многогранников. Кроме того, рассматривается и свойство быть вневписанным. Кроме теорем, разбираются некоторые задачи на комбинации многогранников и сфер, доказывается теорема Штейница о невписываемом многограннике. Материал статьи может быть полезен при проведении факультативных занятий, подготовке к математическим олимпиадам разного уровня и к решению задач конкурсных экзаменов в ВУЗы.

Ключевые слова

вписанный многогранник, вневписанный многогранник, полувписанный многогранник

АВТОРЫ

Безверхний Николай Владимирович,

кандидат физико-математических наук, доцент ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана», г. Москва [email protected]

Белоусов Алексей Иванович,

кандидат физико-математических наук, доцент ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана», г. Москва [email protected]

Введение

Стандартом для программы по геометрии является изучение свойств вписанных и описанных многоугольником, несколько меньше внимания уделяется вписанным и описанным многогранникам, и совсем не рассматриваются полувписанные многогранники. Данная работа в некоторой мере закрывает этот пробел и предоставляет достаточно полный и подробный теоретический материал и примеры задач с решениями. Все приведённые теоремы снабжены подробными доказательствами, а задачи - решениями. Наглядность рассуждений обеспечивается многочисленными рисунками.

Методология и результаты исследования

Мы будем рассматривать шары и сферы, вписанные в многогранники внутренним и внешним способом. Начнём с основного определения.

Определение. Шар называется вневписанным в многогранник, если он касается одной из его граней и продолжений всех остальных граней.

Аналогичное определение справедливо и для сферы.

Теорему 2.1.1. [1] Для всякого тетраэдра существует не менее пяти и не более восьми шаров, касающихся плоскостей всех его граней.

□ Пусть дан тетраэдр объема V . Пронумеруем его грани от первой до четвертой и обозначим площади этих граней через ^, , и соответственно. Для произвольной точки О пространства обозначим расстояние от нее до плоскости г - й грани тетраэдра через й (г = 1,...,4). Тогда

е1 + е2И282 + е3И383 + е4Ь4Б4 = 3V, (*)

где ег =±1, причем знак «+» берется тогда и только тогда, когда точка О лежит вместе с данным тетраэдром по одну сторону от плоскости его г -й грани. Для доказательства этого равенства достаточно заметить, что если соединить точку О с вершинами тетраэдра, то, комбинируя объемы четырех полученных тетраэдров, выбирая знаки «+» или «—» по указанному выше правилу, мы получим объем исходного тетраэдра.

Пусть О — центр, а г — радиус шара, касающегося плоскостей всех граней тетраэдра. Тогда й = г(г = 1,...,4) и

3V

ех+ е2+ е3+ е4= — > 0 .

г

Верно

и

обратное: если для данного набора (е е

сумма

е ^ +е $2 +е +е $4 положительна, то существует шар, касающийся плоскостей

всех

граней

й = й2 = й = Г =

тетраэдра. Действительно,

3V

е +^2 $2 + е $ + е ^ $ л

рассмотрим точку, для которой Подставляя эти значения й , й и й в равен-

ство (*), получаем, что и й4 = г.

Рис. 2.1.1

Плоскости граней тетраэдра делят пространство на 15 частей четырех типов: одна часть типа I, внутренняя относительно тетраэдра, для точек которой все si = 1; четыре части типа II (Рис 2.1.1 а), для точек которых ровно одно из чисел s равно -1; четыре части типа III (Рис 2.1.1 6), для точек которых ровно одно из чисел s равно + 1; шесть частей типа IV (Рис 2.1.1 в), для точек которых два числа из s, положительны, а два отрицательны.

В области I всегда есть точка, равноудаленная от граней (центр вписанного шара), так как S^ + S2 + S3 + S4 > 0.

В области типа II также всегда есть точка, равноудаленная от плоскостей граней (центр вневписанного шара), так как сумма площадей любых трех граней тетраэдра больше площади четвертой (это легко доказать, спроектировав три грани ортогонально на плоскость четвертой и заметив, что проекции покроют четвертую грань независимо от того, куда попадет проекция вершины, в которой сходятся проектируемые грани).

Тем самым, мы уже указали пять шаров, касающихся плоскостей всех граней тетраэдра. Заметим теперь, что если для некоторого набора (s ) сумма

S ^ +s2 S2 +s3 S3 +s4 S4 положительна, то для набора с противоположными знаками эта сумма отрицательна. Так как всего наборов 16, то не более половины из них дают положительную сумму s+SS2 + sS3 + sS4 . Значит, существует не более восьми шаров, касающихся плоскостей всех граней тетраэдра.

Интересно выяснить, при каких условиях существуют еще три шара и где они расположены.

Заметим, что они не могут лежать в областях типа III, так как s = s ■ = sk =-1, а s = 1. В областях типа IV, если S + S > + S и s = s= 1, s = s = -1, выполняется неравенство sS + sS2 + sS + sS4 > 0 , поэтому существует нужный нам шар (Рис 2.1.1 г). Понятно, что при этом в области типа IV, относящейся к противоположному ребру, это неравенство не выполняется. Оно не выполняется также при условии S + Sj = Sk + s,.

Итак, если сумма площадей любых двух граней тетраэдра не равна сумме площадей двух оставшихся граней, то шаров, удовлетворяющих условию, существует ровно 8. В случае, когда площади всех граней тетраэдра равны (а следовательно, равны и сами грани), таких шаров ровно 5. Их может быть и 7, и 6. При этом равенство

S + Sj > Sk + S выполнено, соответственно, ровно для

одного и ровно для двух различных наборов индексов (i, j, k) (i < j, k < l) из множеств

{(1,2,3,4), (1,3,2,4), (1,4,2,3)}.

Теорема 2.1.2. Для пирамиды существует вневпи-санная сфера, если и только если существует сфера, вписанная в эту пирамиду.

□ Пусть в пирамиду (Рис 2.1.2) вписывается сфера. Тогда любая точка луча SO, где Or - центр вписанной сферы, равноудалена от всех боковых граней пирамиды. Точка O' пересечения этого луча с биссек-тором двугранного угла, образованного плоскостью основания пирамиды с продолжением произвольной боко-

вой грани, будет равноудалена от плоскостей всех граней пирамиды. Сфера с центром O'r и радиусом, равным расстоянию от этой точки до плоскости любой грани пирамиды, и будет вневписанной. Поскольку центр и радиус этой сферы определились однозначно, то эта сфера единственная. ■

Следствия:

а) для всякой правильной пирамиды существует вневписанная сфера;

б) для всякого тетраэдра существует по крайней мере четыре вневписанные сферы.

Пример 2.1.1. Найти радиус шара, вневписанного в правильный тетраэдр с ребром a.

□ Решение. Пусть шар B(0,R) вневписан в правильный тетраэдр ABCD ребром a так, что он касается грани ABC в точке O • Проведем плоскость, параллельную плоскости ABC, касающуюся шара в точке O2 и пересекающую продолжения ребер DA, DB, DC в точках A, B, C соответственно. Мы получим правильную усеченную треугольную пирамиду A B C ABC , в которую вписан шар B(O, R) • Центр O шара находится в середине отрезка OXO2 , где O и O2 - центры правильных треугольников ABC и ABC • При этом точка касания шара с гранью AABB лежит на апофеме XY этой грани. Сечение рассматриваемой конфигурации изображено на рис. 2.1.3 (Q - центр вписанного в тетраэдр ABCD шара). Проведем радиусы O/VI и Q/V в точки касания шаров плоскостью ABD. Получим прямоугольную трапецию MOQN. Искомый радиус находим, применяя свойство высоты прямоугольного треугольника к

AOXQ: XO/ = QO • OXO , т.е. 1 a *3 a^

f\_ W3 ^ 3

2

\2

• R

Здесь мы воспользовались тем, что длина отрезка ХОх равна одной трети высоты правильного треугольника, а ООх - радиус вписанного в тетраэдр АБСБ шара. Итак,

ал/б

R =

6

В некоторых задачах речь идет о шарах, касающихся плоскостей всех граней многогранника. Такой шар может быть вписанным в многогранник, вневписанным в многогранник и не быть ни тем, ни другим (т.е. касаться продолжений всех граней многогранника).

Решая подобные задачи, важно в первую очередь, исходя из условия, определить, каких граней (и, соответственно, продолжений каких граней) касается шар, о котором идет речь.

Пример 2.1.2. [1] В основании четырехугольной пирамиды 8АБСБ лежит ромб АБСБ с острым углом при вершине А . Высота ромба равна 4, точка пересечения его диагоналей Н — основание высоты данной пирамиды. Шар радиуса 2 касается плоскостей всех граней пирамиды. Найти объем пирамиды, если расстояние от центра

шара до прямой AC равно

AB.

□ Решение. Сначала найдем геометрическое место точек, равноудаленных от плоскостей ASB , DSC , ABC . Это ГМТ является пересечением биссекторов всех двугранных углов, образованных указанными плоскостями.

Чтобы представить себе, как устроено это пересечение, проведем через апофемы SK и SN граней ASB и DSC плоскость а .

Используя известные теоремы о перпендикулярности, нетрудно доказать, что плоскость а перпендикулярна плоскостям ASB , DSC , ABC . Поэтому упомянутые выше биссекторы пересекают а по биссектрисам всех внутренних и внешних углов равнобедренного треугольника KSN . Эти биссектрисы, как известно из планиметрии, пересекаются по три в четырех точках окружностей - треугольника и центре O его вписанной окружности (Рис 2.1.4).

Заметим еще, что из равнобедренности треугольника KSN следуют параллельность прямых OO и KN и равенства SO = SN = SK = SO •

Из сказанного вытекает, что искомое ГМТ состоит из прямых , /2, l3, /4, проходящих, соответственно, через точки O , O, O, O перпендикулярно плоскости KSN (а, следовательно, параллельно ребрам AB и CD пирамиды).

Центр рассматриваемого шара должен лежать на одной из этих прямых. Заметим сразу, что точки прямых l3 и /4 не удовлетворяют условию задачи. Действительно,

v \ is Oi/s

\ /X L \

/ ^

Рис. 2.1.4

центрах O , O, O вневписанных

если ОН = 2, то 04И = ИЫ (И — середина отрезка Ш ), следовательно, АИШ = , что невозможно. Аналогично получаем противоречие, если ОН = 2 .

ж 2

Итак, центр шара может лежать только на прямых, проходящих через точки O и О и параллельных прямым AB и CD. При этом высота пирамиды равна радиусу шара, т. е. SH = 2.

Аналогичные рассуждения, примененные к плоскостям граней SBC , SAD и ABCD , показывают, что центр шара может находиться лишь в вершинах ромба

Л1Б1С1В (ЛА)|| (ВС) || (ЛВ) (см. рис 2.1.5), а вершина Б пирамиды является центром этого ромба. Ромб ЛВС В подобен основанию ЛВСВ пирамиды с коэффици-

БЫ пг ентом-= V 2 .

иы

о , ^ 2л/2лв „

Заметим, что точки Л1 и С не подходят, так как иначе —-— = 2 , т.е.

3

ЛВ = —= < 4 = КЫ, что невозможно. Для точек В и В получаем, что с одной стол/2

роны,

ВИ2 = ^ВБ2 = 1'(В1И2 -БИ2) = 4ЛВ2 -2 с другой стороны,

ви2 вв2 = ^(вм2 + вм2) = 1((лв-лм)2 + вм2)=1Г(лв-л/ЛВ2 -ВМ2) + ВМ

1 ^(лв -л/лв2 -16 )2 +16^ = 1 (лв2 - лвл!лв2 -16),

где М - основание высоты ромба, опущенной из вершины В на сторону ЛВ.

Приравнивая правые части полученных равенств, находим ЛВ = 3л/2 , а

vБЛВСВ = 1 лв • КЫ • би = ^л/2 .

Определение. Шар называется полувписанным в многогранник, если он касается всех ребер этого многогранника.

Аналогичное определение справедливо и для сферы.

Теорема 2.2.1. Для многогранника существует полувписанная сфера тогда и только тогда, когда выполняется любое из условий:

а) грани многогранника - такие многоугольники, в каждый из которых можно вписать окружность и оси этих окружностей пересекаются в одной точке;

б) грани многогранника — такие многоугольники, в каждый из которых можно вписать окружность, и каждая из этих окружностей касается окружностей, вписанных в грани, смежные данной;

в) грани многогранника - такие многоугольники, в каждый из которых можно вписать окружность и плоскости, перпендикулярные ребрам (или смежным граням) многогранника и проходящие через точки касания этих ребер и окружностей, вписанных в грани, пересекаются в одной точке;

г) плоскости, перпендикулярные граням многогранника и проходящие через биссектрисы внутренних углов его граней, пересекаются в одной точке;

д) около каждого многогранного угла многогранника можно описать круговую коническую поверхность, и оси этих конических поверхностей пересекаются в одной точке;

е) существует единственная точка, равноудаленная от всех ребер многогранника.

□ Необходимость. Пусть существует сфера, касающаяся всех ребер многогранника. Тогда, поскольку центр сферы равноудален от ребер одной из граней многогранника, то он (центр сферы) проектируется в центр вписанной в эту грань окружности, и тут же следует, что все такие перпендикуляры к граням многогранника, проходящие через центры вписанных в грани окружностей, пересекаются в центре сферы.

2

Достаточность. Пусть в каждую грань многогранника вписывается окружность и перпендикуляры к граням, проходящие через центры этих окружностей, пересекаются в одной точке. Тогда эта точка равноудалена от всех ребер многогранника. ■

Заметим еще, что центр полувписанной сферы может находиться внутри многогранника, на грани многогранника (в центре вписанной в эту грань окружности), вне многогранника.

Теорема 2.2.2. Чтобы для данного многогранника существовали полувписанная и описанная сферы и их центры совпадали, необходимо и достаточно, чтобы все грани многогранника являлись правильными многоугольниками.

□ Необходимость. Пусть для данного многогранника существуют полувписанная и описанная сферы, и они концентричны. Докажем, что грани многогранники правильные многоугольники. Основание перпендикуляра, опущенного из общего центра на грань многогранника, является центром описанной около многоугольника окружности (ибо одна из сфер описана около многогранника) и в то же время центром вписанной в тот же многоугольник окружности (ибо другая из сфер полувписана в многогранник). А если окружности, описанная около многоугольника и вписанная в тот же многоугольник, концентричны, то многоугольник правильный, ибо его стороны равны как хорды описанной окружности,

Достаточность. Пусть грани многогранника правильные многоугольники, и описанная и полувписанная сферы существуют. Докажем, что эти сферы концентричны. Если существует описанная около многогранника сфера, то перпендикуляры к граням, проходящие через центры описанных около граней окружностей, пересекаются в одной точке - центре описанной сферы. Если существует полувписанная сфера, то перпендикуляры к граням, проведенные через центры вписанных в грани окружностей, пересекаются в одной точке - центре сферы, касающейся всех ребер многогранника. Но окружности, описанная около правильного многоугольника и вписанная в него, концентричны. Значит, оба перпендикуляра к любой грани многогранника, о которых говорилось выше, совпадают и поэтому совпадают центры сфер. ■

Теорема 2.2.3. Шар, касающийся всех ребер призмы, существует, если и только если призма правильная и все ее ребра равны между собой.

□ Необходимость. Пусть существует шар, касающийся всех ребер призмы. Тогда в каждую грань призмы вписывается окружность, центр которой есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на соответствующую грань. Значит, все боковые грани призмы - ромбы, а посему все ребра призмы равны между собой. Поскольку линия центров 00 (см. Рис. 2.2.1) окружностей, вписанных в основания призмы, перпендикулярна плоскостям оснований, то призма прямая и при проектировании нашей конфигурации на плоскость основания призмы проекции оснований призмы совпадут, а шар Рис. 2.2.1 спроектируется в круг, описанный около основания

призмы. Основание призмы, как равносторонний многоугольник вписанный в круг, будет правильным многоугольником, а значит, и прямая призма будет правильной боковые грани которой будут квадратами.

Достаточность. Пусть призма правильная и все ее ребра равны между собой. Тогда около призмы можно описать сферу, центр К которой (см. Рис. 2.2.1) равно-

удален от всех вершин призмы, а учитывая, что боковые грани призмы являются квадратами, заключаем, что точка K равноудалена и от сторон этих квадратов, т. е. равноудалена от всех ребер призмы. Значит, существует шар, касающийся всех ребер призмы. ■

Заметим, что центр сферы, касающейся всех ребер призмы, расположен внутри призмы, равноудален от ребер, от вершин, от боковых граней, от оснований призмы.

Следствие. Если существует сфера, касающаяся всех ребер призмы, то около такой призмы можно описать сферу (утверждение, обратное этому, не верно).

Теорема 2.2.4. Существуют вписанные в призму шары, касающиеся один всех ребер призмы, а второй всех ее граней, если и только если призма есть куб.

□ Пусть в призму (см. Рис. 2.2.1) можно вписать шар и существует шар, касающийся всех ребер этой призмы. Тогда поскольку призма правильная и боковые грани ее квадраты, то основания M и Ых перпендикуляров, опущенных из центров О и О , вписанных в основания ABC... и ABC ••• окружностей на стороны AB и AB делят

эти стороны пополам, и тогда BM = 1MMX. А поскольку в призму можно вписать шар,

то om = om = 1 mmx

Итак, OM = BM и OM 1BM . Значит, ZBOM = 45° и

/ИОЛ = 90°. Поэтому в основании призмы - квадрат, а сама призма - куб. ■

Вывод: из всех призм только куб обладает тремя свойствами - существуют вписанная, полувписанная и описанная сферы. Центры этих сфер совпадают.

Теорема 2.2.5. Центр полувписанной в пирамиду сферы лежит на ее высоте, если и только если пирамида правильная.

□ Необходимость.

Пусть в пирамиду SABC... полувписана сфера, центр K которой лежит на высоте SO пирамиды (Рис. 2.2.2). Пусть сфера касается боковых ребер

пирамиды в точках N, N, N ния в точках M,

2

M

M

KN, = KN2 = KN3

а ребер основа! , M2 , M3 ,... Поскольку (как радиусы одной и той же сферы) и эти отрезки перпендикулярны боковым ребрам SA , SB , SC ,..., соответственно, то треугольники

SKN, SKN, SKN3,... равны между собой (по общей гипотенузе и катету). Тогда углы KSN , KSN, KSN3,... также равны между собой. Прямоугольные треугольники OSA, OSB , OSC ,... по общему катету SO и острому углу при этом катете равны между собой. Значит, OA = OB = OC... Приходим к выводу, что около основания ABC... пирамиды можно описать окружность с центром в точке О . Но точка О - центр окружности, вписанной в основание ABC..., ибо OMx = OM2 = OM3... вследствие того, что равны соответствующие наклонные KMX = KM2 = KM3... (как радиусы одной и той же сферы). А если описанная около многоугольника и вписанная в многоугольник окружности концентричны, то такой многоугольник правильный.

Достаточность. Пусть SABC... - правильная пирамида (см. Рис. 2.2.2). Тогда точка K пересечения высоты пирамиды SO с плоскостью, перпендикулярной произвольной боковой грани и проходящей через биссектрису угла при основании этой

грани, равноудалена от бокового ребра и ребра основания, а значит, и от всех ребер пирамиды.

Поскольку центр сферы и ее радиус определились однозначно, то такая сфера единственная. ■

Теорема 2.2.6. Для пирамиды существует одновременно полувписанная и по-лувневписанная сферы, если и только если пирамида правильная.

Доказательство. Пусть пирамида правильная. Докажем, что существует полув-невписанная сфера. Легко установить, что произвольная точка луча SO (SO высота правильной пирамиды) равноудалена от сторон основания и от лучей SA, SB, SC ,... правильной пирамиды SABC... (см. Рис 2.1.2). Точка O'p пересечения луча SO с плоскостью, перпендикулярной произвольной, например SAB, боковой грани и проходящей через биссектрису внешнего угла, например ABM, треугольника SAB являющегося упомянутой боковой гранью, равноудалена от стороны основания BA и продолжения бокового ребра BM, а значит, равноудалена от сторон основания и продолжений всех боковых ребер. Поэтому точка O'p центр полувневписанной сферы (точка Op

на Рис 2.1.2 не изображена).

Обратно. Пусть пирамида SABC... такова, что существуют полувписанная и полув-невписанная сферы. Докажем, что пирамида правильная. Поскольку каждый из центров упомянутых сфер равноудален от сторон основания, то они (центры) находятся на оси окружности, вписанной в основание пирамиды. Вместе с тем, поскольку каждый из центров этих сфер равноудален от боковых ребер пирамиды (или их продолжений), то любая точка прямой, проходящей через эти центры, равноудалена от боковых ребер (или их продолжений), т. е. линия центров наших сфер перпендикулярна основанию пирамиды и является осью конической поверхности, описанной около многогранного угла при вершине пирамиды. Значит, центр полувписанной сферы лежит на высоте пирамиды и поэтому пирамида правильная.

Итак, для правильной пирамиды существуют: описанная, вписанная, полувписанная, вневписанная, полувневписанная сферы; существуют также сферы, касающиеся основания и всех боковых ребер и основания (извне) и продолжений всех боковых ребер пирамиды. Центры этих сфер лежат на высоте пирамиды или ее продолжении.

Теорема 2.2.7. Для того чтобы существовала сфера, полувписанная в тетраэдр, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из следующих условий:

1) суммы длин скрещивающихся ребер равны;

2) суммы двугранных углов при противоположных ребрах равны;

3) окружности, вписанные в грани, попарно касаются;

4) все четырехугольники, получающиеся на развертке тетраэдра, - описанные;

5) оси окружностей, вписанных в грани тетраэдра, пересекаются в одной точке;

6) оси конусов, описанных около трехгранных углов тетраэдра, пересекаются в одной точке;

7) плоскости, перпендикулярные граням тетраэдра и проходящие через биссектрисы внутренних углов соответствующих граней, пересекаются в одной точке.

□ Необходимость (Рис 2.2.3). Пусть шар касается ребер AB, BC , CA , AD, BD

и CD тетраэдра ABCD в точках К, L, М, N, Р и О соответственно. Из равенства отрезков касательных, проведенных к шару из одной точки, получаем, что AN = АМ = АК , ВР = ВК = BL , CO = CL = CM И DN = DP = DO . Следовательно,

AB + C.D = ВС + AD = АС + BD .

Достаточность. Пусть дан тетраэдр ABCD , в ко-D тором AB + CD = ВС + AD = АС + BD .

Впишем в грани ABC и BCD окружности. Пусть эти окружности касаются ребер АВ, ВС , АС и ВС , CD и BD в точках К, L , М и Ц , О и Р соответственно (Рис. 2.2.3). Так как АВ = АК + КВ , CD = СО + OD , АС = АМ +МС , BD = BP + PD , а АК = АМ, OD = PD (как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки), то из равенства AB + CD = AC + BD вытекает, что KB + CQ = MC + BP. Заменив отрезки KB, CQ, MC и BP на соответственно равные им отрезки BL , CL , CL и BLX , получаем, что BL + CL = CL + BLX, следовательно, L и L — это одна и та же точка.

Обозначив через O и O центры рассматриваемых окружностей, построим в плоскости OLO перпендикуляры OX и O Y к прямым OL и O2L соответственно. Так как OxL L BC и O2L 1 BC, то OxLO2 1 BC (по признаку). Поэтому OxX и OJY перпендикулярны прямой BC, а следовательно, перпендикулярны и плоскостям ABC и BCD соответственно.

Точка O пересечения прямых OX и O2Y , удалена от всех ребер тетраэдра ABCD , кроме ребра AD, на расстояние r. Тогда шар B(O, r) касается всех ребер тетраэдра, кроме, быть может, ребра AD.

Проводя аналогичные рассуждения для окружностей, вписанных в грани ABC и ABD, мы получим шар B'(O', r'), касающийся всех ребер тетраэдра, кроме CD. Заметим теперь, что сферы, ограничивающие шары B(O,r) и B'(O', r'), имеют общую окружность (вписанную в грань ABC ) и общую точку P вне этой окружности. Следовательно, B(O,r) и B'(O', r') - один и тот же шар. Он касается всех ребер тетраэдра. ■

Заметим, что если существует шар, полувписанный в тетраэдр, то его центр есть точка пересечения перпендикуляров к граням, проходящих через центры вписанных в грани окружностей.

Пример 2.2.1. [1] В правильную усеченную треугольную пирамиду вписаны две сферы: одна касается всех граней пирамиды, а вторая - всех ее ребер. Найти: а -угол наклона бокового ребра к плоскости большего основания; р - двугранный угол при ребре большего основания; у - плоский угол при вершине пирамиды, полученной, дополнением данной усеченной пирамиды до полной; s - двугранный угол при боковом ребре.

Решение. Пусть стороны оснований данной пирамиды ВС = а, В'С' = Ь .

а — Ь

Далее: С С, 1 ВС (см. Рис. 2.2.4). С С = а Ь

2

C C = l = —. Тогда

2

k = KK' = CC' = v(cc ')2 -CC)2 = 4аЪ . С

стороны: k = KK' = HK + H K' =

а + b

2л/3

другой

Имеем уравне-

ние

(а 12

4аЪ =

а + b

2л/3

или

а 2 - 10ab + b 2 = 0

или

-10a +1 = 0 , откуда a = 5 ± 246 . Понятно, что

b

если а > b, то а = 5 + 246, или b = 5 - 246 . b а

а

v CC

Имеем далее из ACCXC': sin — = 1

а - b b

2 cc а+b ~а b

-1

+1

Итак, sin V = л\— . 2 V3

Тогда, используя соотношения между углами в правильной n -угольной пира-

1 42 2п

миде, находим: sin а = ~, = — , 8 = — (120 °).

Поставленная нами задача решена, и имеет место

Теорема 2.2.8. Если в правильной усеченной треугольной пирамиде двугранный угол при боковом ребре равен 120° и в боковую грань ее вписывается окружность, то в такую пирамиду вписываются две сферы: а) касающаяся всех ребер - полувписанная сфера и б) касающаяся всех граней.

□ Поскольку усеченная пирамида правильная и в боковую грань ее вписывается окружность, то существует полувписанная сфера. Докажем существование вписанной

сферы. Поскольку двугранный угол при боковом ребре равен -2^ , то sin ~ = .

Учитывая, что в боковую грань вписывается окружность, имеем СС' = I =

а + b

Тогда

из треугольника aCC C :

CC = sin ZCC'C или а—b = J— . Откуда b = а(5 - 246), или а = 5 + 246. CC' 1 а + b \3 V >' b

Дополним усеченную пирамиду до полной (см. Рис. 2.2.4). Пусть высота полной

И' а

пирамиды И', а данной усеченной — И. Тогда

h' - h b

= а = 5 + 246 .

Откуда h' = SH = ^ (46 + 2).

2

Известно, что r = h' cos3 , где h' - высота полной пирамиды, ¡3 - двугранный

1 + cos 3

42

угол при ребре большего основания. Поскольку tgfi = — , то

2

г = К . 1 1 + ^ =4= = КШ-2)= *Ш + 2Ы-2)= IИ

1W1 + ъ гр 4 2

Таким образом, сфера, вписанная в полную пирамиду, имеет диаметр и и поэтому касается плоскости верхнего основания данной усеченной пирамиды, а значит, сфера вписана в усеченную пирамиду. ■

Теорема 2.2.9. Для того чтобы существовала сфера, полувписанная в усеченную п - угольную пирамиду, необходимо и достаточно, чтобы пирамида была правильная и в боковую грань ее вписывалась окружность.

□ Необходимость. Пусть сфера касается всех ребер усеченной пирамиды. Тогда во все грани пирамиды вписываются окружности. Прямая, проходящая через центр сферы и перпендикулярная к плоскостям основании, пройдет через центры Н и Н' окружностей, вписанных в основания (см. рис. 2.2.4).

Поскольку АН || АН', то прямая АА' лежит в одной плоскости с линией центров НН' окружностей, вписанных в основания, и пересекается с этой линией в некоторой точке £ . Значит, вершина £ полной пирамиды, полученной дополнением данной усеченной до полной пирамиды, лежит на линии центров, вписанных в основания окружностей.

Боковые ребра полной пирамиды касаются, по условию, сферы, и поэтому они равнонаклонены к высоте БН пирамиды, проходящей через центр О сферы, а значит, равнонаклонены к плоскостям оснований. А тогда около оснований можно описать окружности с центрами Н и Н'.

Поскольку вписанная и описанная около оснований окружности концентричны, то основания пирамиды правильные многоугольники. Теорема доказана, ибо уже упомянуто, что вершина £ пирамиды проектируется в центры этих многоугольников.

Достаточность. Пусть усеченная пирамида правильная и в боковые грани вписываются окружности. Докажем, что существует сфера, касающаяся всех ребер пирамиды.

Из середин апофем пирамиды (центров вписанных в боковые грани окружностей) восставим перпендикуляры к боковым граням. Они пересекут линию центров окружностей НН', вписанных в основания, в одной и той же точке О. Точка О равноудалена от всех ребер пирамиды. Значит, полувписанная сфера существует.

Эту же теорему можно сформулировать так: сфера, касающаяся всех ребер усеченной пирамиды, существует, если и только если пирамида правильная и боковое ребро усеченной пирамиды равно полусумме сторон основания. ■

Следствие. Если в усеченную пирамиду можно вписать сферу, касающуюся всех ее ребер, то около этой пирамиды можно описать сферу. Центры вписанной, полувписанной и описанной сфер в усеченной пирамиде попарно совпасть не могут.

Пример 2.2.2. [1] Сторона основания правильной треугольной пирамиды равная а, боковое ребро пирамиды равно ь . Найти радиус полувписанного шара.

□ Решение. Заметим сначала, что указанный шар существует (в силу теоремы 2.2.7.).

Пусть 8АВС — данная пирамида, 0 — центр полувписанного шара, 8К — высота пирамиды, (0М )1(ВЗ), (00)1(АВ), ОМ = ОБ = г - искомый радиус шара (Рис. 2.2.5).

а

ВМ = ВБ = — . Из подобия треугольников 80М и

8ВК находим, что

г =

8М ■ ВК

Ь —

а 1 а

2 ) Тэ _ а(2Ь — а)

БК

V

Ь2 —

а 3

2л/зЬ2 —

а

Рассмотрим куб, одна из вершин которого срезана плоскостью (Рис. 2.3.1). Можно ли полученный многогранник вписать в сферу? Зависит ли ответ на этот вопрос от того, какой именно плоскостью срезана вершина? С решением этой и предстоит ознакомиться.

Предположим, что нам дан выпуклый ограниченный многогранник, т. е. тело в пространстве, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками — гранями — и лежащее по одну сторону от плоскости каждой из своих граней. Требуется выяснить, можно ли данный многогранник вписать в сферу [2].

Обозначим весь многогранник буквой М , занумеруем по отдельности его грани, ребра и вершины и будем обозначать / — ую грань через Г , * — ое ребро через р и / — ую вершину через В].

Принято говорить, что две грани смежные, если у них имеется общее ребро, а две вершины соседние, если они концы одного и того же ребра.

Чтобы решить поставленную задачу, надо прежде всего проверить, являются ли все многоугольники Г вписанными. Затем для каждого ребра р рассмотрим пару граней Г и Г ■, граничащих по этому ребру, и обозначим через гк расстояние от точки пересечения перпендикуляров, восставленных из центров окружностей, описанных около Г и Г, до одной из вершин многоугольника Г или Г.; величина ^ , очевидно, не зависит от выбора вершины (Рис. 2.3.2).

Задача 2.3.1. Доказать, что многогранник М вписанный тогда и только тогда,

когда все многоугольники вписанные, и

Г = г2 = г =... = гт , где т — число ребер многогранника.

Этот или аналогичный способ проверки вписанности М был известен очень давно, но вдруг в начале XX века обнаружилось, что в целом ряде случаев можно доказать, что М вписанным не является, не производя почти никаких вычислений.

Первым это заметил немецкий математик Э. Штей-ниц. В 1927 году вышла в свет его статья, в которой была доказана следующая теорема.

Теорема Штейница. Пусть все вершины многогранника М можно разбить на черные и белые так, чтобы

I. Никакие две черные вершины не были соседними;

II. Число черных вершин было больше, чем число белых. Тогда многогранник М нельзя вписать в сферу.

Прежде чем перейти к доказательству теоремы, сделаем некоторые замечания. Путь у нас есть фиксированная сфера и некоторый двугранный угол, ребро которого эту сферу пересекает. Возьмем точку пересечения ребра со сферой и проведем через нее касательную плоскость (Рис. 2.3.3). Двугранный угол высекает в этой плоскости линейный угол. Этот угол мы назовем линейным углом двугранного угла относительно данной сферы или просто > относительным углом двугранного угла. Очевидно, что относительный угол не зависит от выбора одной из двух точек пересечения ребра со сферой. Если же ребро касается сферы, то удобно положить величину относительного угла равной нулю.

Рис. 2.3.3

Рис. 2.3.4

Рассмотрим теперь выпуклый многогранный угол, все ребра которого пересекают данную сферу.

Относительные углы его двугранных углов назовем относительными углами данного многогранного угла. Пусть у многогранного угла п граней, а его вершина лежит на сфере. Тогда сумма его относительных углов равна п(п — 2). В самом деле, проведем через вершину многогранного угла касательную плоскость, а затем проведем плоскость, ей параллельную, секущую и сферу, и все ребра многогранного угла (это возможно, так как все ребра угла пересекают сферу). Многогранный угол высекает в этой последней плоскости многоугольник, углы которого равны относительным углам, что следует из теоремы об углах с попарно параллельными сторонами (Рис. 2.3.4). Аналогичное равенство для суммы углов многоугольника хорошо известно.

Перейдем к доказательству самой теоремы. Предположим, что многогранник М вписан в сферу. Обозначим относительный угол двугранного угла с ребром р через у1. Пусть щ — число ребер, сходящихся в вершине В .

Из доказанного выше следует, что сумма относительных углов при вершине В равна п(пк — 2). Положим Д = п — у±, угол Д — внешний относительный угол, тогда у± = п — Д . Если сумма внутренних относительных углов равна п(пк — 2), то сумма внешних относительных углов равна 2п. Итак, если в вершине В сходятся ребра р,р,...,р , то

Д+Д +... + Д = 2п.

Выпишем аналогичные равенства для каждой вершины многогранника, потом умножим равенства, соответствующие черным вершинам, на -1 и сложим их все. Черных вершин больше, следовательно, в правой части будет стоять отрицательное число. Рассмотрим сумму, стоящую в левой части. Если I - ое ребро идет из черной вершины в белую, то число Д входит в левую часть один раз со знаком «+» и один раз со знаком «-», в сумме 0; если — из белой в белую, то Д оба раза входит с «+». Ребер с двумя черными концами не бывает. Итак, сумма чисел в правой части не меньше нуля и мы пришли к противоречию, предположив, что М — вписанный.

Заключение

Подобранный в данной статье материал представляет интерес не только как источник расширения стереометрического кругозора и более качественного освоения школьного курса стереометрии, но и как серьёзный аппарат, пригодный для использования в прикладных науках, например, в механике, аэрокосмических исследованиях. В контексте сказанного можно дополнить приведённую работу подробными исследованиями в области сферической геометрии. Но это уже тема другой статьи.

ССЫЛКИ НА ИСТОЧНИКИ

1. Безверхняя И.С. Методы изображений. / И.С. Безверхняя. - Тула: Изд-во ТГПУ им. Л.Н. Толстого, 2004.

2. Андреев Е. Невписываемые многогранники / Е. Андреев // Квант. - 1991. - №2. - с. 10-15.

Nikolai V.Bezverkhny,

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Moscow State Technical University named after N.E. Bauman, Moscow nbezv@mail. ru Alexey I. Belousov,

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Moscow State Technical University named after N.E. Bauman, Moscow, Russia al [email protected]

Non-standard combinations of stereometric figures

Abstract. This article considers combinations of polyhedra and spheres inscribed in them in the usual sense and semi-inscribed, that is, touching the edges of polyhedra. Theorems are formulated and proved that characterize the properties of inscribed and non-inscribed polyhedra in both senses. In addition, the property of being inscribed is also considered. In addition to theorems, some problems are analyzed on combinations of polyhedra and spheres, Steinitz's theorem on a non-inscribed polyhedron is proved. Keywords: inscribed polyhedron, excircled polytope, semi-embedded polytope.