CC BY
124
ПОЛУОДНОРОАНЫЕ МНОГОГРАННИКИ1
Полуправильный многогранник, невыпуклый однородный многогранник, полувписан-ная сфера, группа симметрии, двугранный угол, полярное преобразование, самопере-секающийся многогранник.
Геометрия — это наука, занимающаяся изучением свойств различных фигур. И одним из древнейших направлений геометрии является исследование многогранников. Их существует бесконечно много, и они очень разнообразны. Известно несколько определений термина «многогранник», причём, как и в любой развивающейся теории, происходит постоянное уточнение определений. В настоящей работе под словом «многогранник» будет пониматься множество плоских многоугольников (пусть даже самопересекающихся), расположенных в пространстве так, что:
— каждая сторона любого из них является стороной в точности еще одного многоугольника, называемого смежным с первым;
— от любого из многоугольников, составляющих многогранник, можно дойти до любого из них, переходя к смежному с ним, а от этого, в свою очередь, к смежному с ним и т. д.;
— если два многоугольника имеют общую вершину, то соединяющую их цепочку можно составить из многоугольников, которые все имеют эту вершину.
Эти многоугольники называются гранями, их стороны — ребрами, а их вершины — вершинами многогранника.
В некоторых случаях исследуются свойства отдельных многогранников, но чаще решаются задачи, связанные с многогранниками, где в условиях указывается, что они должны обладать определенными свойствами, а таких многогранников может быть произвольное число. Тогда при решении задачи исследуется сразу целое множество многогранников, которое задается некоторыми свойствами.
Например, правильные многогранники [Бугаенко, 2003; Александров, 1963, с. 420; Брёнстед, 1988, с. 12], или тела Платона, задаются следующими свойствами:
1) выпуклость;
2) любые две грани равны и являются правильными многоугольниками;
3) конгруэнтность вершин.
Под конгруэнтностью вершин здесь и в дальнейшем будем понимать то, что любые две вершины могут быть переведены друг в друга симметрией многогранника, т. е. таким преобразованием пространства, при котором сохраняются расстояния, а многогранник переходит сам в себя.
Замечание. Три указанных свойства — это лишь основные свойства. Из них можно вывести также существование вписанной сферы, описанной сферы, равенство двугранных углов и другие.
Платоновы тела — трехмерный аналог плоских правильных выпуклых многоугольников. Однако между двумерным и трехмерным случаями есть важное отличие: существует бесконечно много различных правильных многоугольников, но лишь пять различных правильных многогранников.
1 Статья написана при поддержке гранта РФФН № 12-01-90-900-моб_снг_ст. 158
Доказательство этого факта известно уже более двух тысяч лет; этим доказательством и изучением пяти правильных тел завершаются «Начала» Евклида.
Полуправильные многогранники [Александров, 1963, с. 429; Смирнов, 2010, с. 39] задаются подобными свойствами, только теперь грани должны быть правильными многоугольниками двух или более типов. Таких многогранников существует бесконечное множество, так как в их число входят две бесконечные группы: призмы и антипризмы. Полуправильные многогранники, которые не принадлежат к этим группам, называют телами Архимеда [Смирнов, Смирнова, 2010, с. 39; Смирнова, 1995, с. 5]. Их число равно 13.
Правильные и полуправильные многогранники являются подмножеством однородных многогранников [Веннинджер, 1974; Наг'Е1, 1993], которые задаются двумя свойствами:
1) правильность (необязательно выпуклых) граней,
2) конгруэнтность вершин.
В работах Кеплера, Пуансо, Кокстера, Эдмунда Гесса, Миллера и других ученых решены некоторые задачи по нахождению и классификации таких многогранников. В 1970 г. В. Сопов доказал, что существует только 75 однородных многогранников, отличных от призм и антипризм. Им посвящена книга Веннинджера «Модели многогранников» [1974].
Используя основные свойства однородных многогранников, несложно вывести, что каждый из них имеет описанную сферу и полу вписанную сферу. Напомним, что так называют сферу, содержащую каждую вершину и касающуюся всех ребер соответственно. В настоящее время исследованию таких многогранников уделяется большое внимание. Но, несмотря на это, многие задачи, связанные с однородными многогранниками, до сих пор остаются нерешенными.
Настоящая работа посвящена исследованию многогранников, которые по своей природе схожи с однородными. В дальнейшем их мы будем называть полуоднород-ными. Полуоднородные многогранники задаются следующими свойствами:
1) все грани — правильные многоугольники;
2) существует описанная сфера;
3) существует полувписанная сфера.
В статье будет рассказано о природе таких многогранников и их свойствах. Также будут рассмотрены связи полуоднородных многогранников с некоторыми другими множествами многогранников и преобразование полуоднородных многогранников в многогранники, обладающие новыми интересными свойствами.
1. Полуоднородные многогранники и методы их построения. Простейшими полу однородными многогранниками являются правильные и полуправильные многогранники. Но, так как по условию грани полуоднородных многогранников могут быть и невыпуклыми правильными многоугольниками, легко заметить, что множество полуоднородных многогранников включает в себя также множество невыпуклых однородных многогранников [Веннинджер, 1974; Наг'Е1, 1993], которые, в отличие от правильных и полуправильных, являются самопересекающимися, то есть некоторые грани мы не можем увидеть целиком, так как они пересекаются другими (цельность граней при этом сохраняется).
Таким образом, мы видим, что все однородные многогранники (выпуклые и невыпуклые) являются также и полуоднородными.
Существуют ли полуоднородные многогранники, отличные от однородных? Покажем, что такие многогранники есть. Многие из них можно получить методом превращения нескольких многогранников в один.
Например, возьмем произвольный полуправильный или невыпуклый однородный многогранник, имеющий хотя бы одну ?г-угольную грань, чтобы при повороте многогранника относительно оси ОР, где Р— центр рассматриваемой грани, на угол 360°/7г многогранник не переходил сам в себя. В качестве примера можно взять усеченный тетраэдр (рис. 1а). Любая его шестиугольная грань обладает указанным свойством.
Построим второй многогранник, получающийся из первого с помощью поворота относительно оси ОР на угол 360°/п (рис. 16). Такой многогранник будет иметь с исходным общий центр и общую грань, центр которой был обозначен точкой Р.
Замечание. Построенный многогранник может иметь с исходным и большее число общих граней.
Такое соединение многогранником еще не является, так как в любом ребре, которое принадлежит обоим многогранникам, сходится более двух граней, что противоречит определению. Чтобы это исправить, те грани, которые принадлежат сразу двум многогранникам, удаляются, в результате чего два многогранника превращаются в один (рис. 1в).
Рис. 1
По построению видно, что полученный многогранник обязательно будет иметь описанную и полувписанную сферы (они совпадут со сферами исходного многогранника) и, следовательно, попадет в число полуоднородных многогранников.
Также важно отметить, что с полученным многогранником можно вновь проделать вышеописанные операции и построить новый, более сложный многогранник, который также будет полуоднородным. И так как этот процесс можно продолжать бесконечно, это позволяет доказать следующую теорему.
Теорема 1. Существует бесконечное число полуоднородных многогранников, отличных от однородных.
Рассмотренный метод построения полуоднородных многогранников обладает интересным свойством: несмотря на то что размеры ребер и граней остаются постоянными, а их число может неограниченно увеличиваться, радиусы описанной и полувписанной сфер остаются неизменными.
Если подробнее рассмотреть описанный метод построения, то несложно доказать следующую теорему.
Теорема 2. Если два полуоднородных многогранника, имеющие общие описанную и полувписанную сферы, не совпадают, но имеют хотя бы одну общую грань, тогда при удалении всех общих граней два многогранника превращаются в один, который также будет полуоднородным.
Способ построения полуоднородных многогранников, который следует из теоремы 2, включает в себя и метод, рассмотренный нами до этого, но отличается от него тем, что теперь два многогранника, порождающие новый полуоднородный, могут быть неодинаковы, достаточно лишь, чтобы их описанные и полувписанные сферы были соответственно равны. Например, можно взять усеченный тетраэдр и многогранник, изображенный на рис. 1в, или ромбокубооктаэдр и малый кубоку-бооктаэдр [Веннинджер, 1974].
2. Полуоднородные многогранники с дополнительными свойствами симметрии. Для получения многогранника, изображенного на рисунке 1 в, у исходного многогранника была выбрана одна грань и с ней проводились дальнейшие действия. Если аналогичные построения провести со всеми гранями, которые эквивалентны друг другу, то получится многогранник, имеющий группу симметрии, совпадающую с группой симметрии исходного многогранника. Он изображен на рис. 2 а.
А Б В
Рис. 2
Многогранники на рис. 2 б и 2 в получены тем же способом соответственно из усеченного куба и октагемиоктаэдра.
Таким образом, можно сделать вывод: если взять какой-либо однородный многогранник и ко всем его граням, эквивалентным друг-другу, прибавить однородные многогранники, не совпадающие с исходным, но имеющие тот же центр, то при удалении общих граней получится многогранник, имеющий группу симметрии, совпадающую с группой симметрии исходного. Многогранник, получаемый из однородного указанным способом, далее можно выбирать в качестве исходного и с ним проводить такие же построения. При этом группа симметрии будет оставаться исходной. С помощью этого можно доказать теорему 3.
Теорема 3. Если § - это диэдралънал, циклическая, тетраэдральная, кубическая или икосаэдралъная группа симметрии, то существует бесконечное число полуоднородных многогранников, имеющих группу симметрииЦ
Действительно, для любой указанной группы симметрии £ существует однородный многогранник. Описанным выше способом из него можно получить полуодно-
родный многогранник, имеющий такую же группу симметрии. Далее, из полученного многогранника можно построить еще один и т. д.
3. Свойства многогранников, двойственных полуоднородным. Кроме правильных, полуправильных и однородных многогранников большую роль в науке играют многогранники, двойственные перечисленным. Они строятся из соответствующих многогранников с помощью полярного преобразования (подробнее об этом см. в кн. [Александров, 1950, с. 48]).
Все рассматриваемые нами многогранники имеют описанную сферу, поэтому центром полярного преобразования будем считать точку О, центр этой сферы. Тогда, если у данного многогранника никакая грань не проходит через точку О, то двойственный ему многогранник можно построить по следующему алгоритму:
1) из точки О проводим лучи, перпендикулярные граням данного многогранника.
2) на каждом луче откладывается отрезок ОМ' - , где М— точка пересечения
луча с соответствующей гранью.
3) каждые две точки Мг и Мл, соответствующие смежным граням данного многогранника, соединяются отрезком. Все такие отрезки будут ребрами многогранника, двойственного исходному.
При таком преобразовании вершины переходят в грани, грани — в вершины, а ребра - в ребра. Следовательно, вписанная (описанная, полувписанная) сфера переходит в описанную (вписанную, полувписанную) сферу.
Исследуемое множество полу однородных многогранников интересно тем, что при полярном преобразовании оно порождает новое множество, каждый представитель которого имеет следующие свойства:
1) существует вписанная сфера;
2) существует полувписанная сфера;
3) все грани имеют форму описанных многоугольников (хотя число сторон у них может быть неограниченно большим);
4) все двугранные углы равны.
Пример одного из таких многогранников показан на рис. 3. Это полярный образ многогранника на рис. 1в. То есть эти многогранники двойственные.
Важен тот факт, что при полярном преобразовании относительно центра многогранника его группа симметрии не изменяется. Используя это, применяя полярное преобразование, из теоремы 3 можно вывести следующее.
Теорема 4. Если М - это диэдральная, циклическая, тетраэдральная, кубическая или икосаэдралъная группа симметрии, то существует бесконечное число многогранников, имеющих группу симметрии g и обладающих следующими свойствами:
1) существует вписанная сфера;
2) существует полу вписанная сфера;
3) все грани имеют форму описанных многоугольников;
4) все двугранные углы равны.
Один из таких многогранников мы видим на рис. 4 (рядом показаны формы его граней и их количество). Он двойствен многограннику на рис. 26.
Используя оригинальный метод построения новых многогранников, нам удалось доказать, что существует бесконечно много симметричных полу однородных многогранников. Эти многогранники замечательны тем, что с их помощью можно строить и исследовать другие многогранники. Они могут сыграть важную роль в кристаллографии, материаловедении, нанотехнологиях. Действительно, полярное преобразование позволяет нам превращать полуоднородные многогранники в симметричные многогранники, у которых все двугранные углы равны. А любая структура, обладающая такими свойствами, всегда вызывала большой интерес у людей, изучающих кристаллы и строение материалов.
Библиографический список
1. Александров А.Д. Выпуклые многогранники. М.; JL, 1950.
2. Александров П.С,, Маркушевич А.И., X и и чип А.Я. Энциклопедия элементарной математики / ред. В.Г. Болтянский, И.М. Яглом. М. Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. Кн. 4: Геометрия.
3. Брёнстед А. Введение в теорию выпуклых многогранников. М.: Мир, 1988.
4. Бугаенко В.О. Правильные многогранники // Математическое просвещение. Третья серия. 2003. Вып. 7. С, 107-115.
5. Веннинджер М. Модели многогранников. М., 1974.
6. Люстерник Л.А. Выпуклые фигуры и многогранники. М., 1956.
7. Савченко В. Выпуклые многогранники // Квант, 1976. № 1.
8. Смирнов В.А., Смирнова И.М., Правильные, полуправильные и звёздчатые многогранники. М.: МЦНМО, 2010.
9. Смирнова И.М. В мире много грани икон. М.: Просвещение, 1995.
10. I lar'KI Z. Uniform Solution for Uniform Polyhedra. Geometriae Dedicata. 1993. № 47, 57-110.
