ПРИНАДЛЕЖНОСТЬ ЧЕТЫРЕХ ТОЧЕК ОКРУЖНОСТИ В ОЛИМПИАДНЫХ ЗАДАЧАХ ПО ГЕОМЕТРИИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 372.851

ПРИНАДЛЕЖНОСТЬ ЧЕТЫРЕХ ТОЧЕК ОКРУЖНОСТИ В ОЛИМПИАДНЫХ ЗАДАЧАХ ПО ГЕОМЕТРИИ

Ю. Д. Морщинкина1, М. В. Сорокина2

1'2Пензенский государственный университет, Пенза, Россия

1 [email protected] 2 [email protected]

Аннотация. Рассматривается вопрос необходимости и достаточности условий принадлежности четырех точек окружности. Приведены примеры заданий олимпиадного характера, в которых применяются различные критерии, такие как равноудаленность точек от центра, критерий вписанного четырехугольника, теорема, обратная равенству углов, опирающихся на одну хорду, свойства хорд, секущих и др.

Ключевые слова: олимпиадная задача по геометрии, окружность, вписанный угол, вписанный четырехугольник, хорда, секущая

Для цитирования: Морщинкина Ю. Д., Сорокина М. В. Принадлежность четырех точек окружности в олимпиадных задачах по геометрии // Вестник Пензенского государственного университета. 2021. № 4. С. 55-62.

В последние годы в образовательном процессе уделяется все больше внимания работе с одаренными детьми. Олимпиады различного уровня прочно вошли в школьную жизнь, и предметная подготовка обучающихся должна постоянно совершенствоваться. Дети, имеющие способности и интерес к предмету, с большим желанием включаются в работу олимпиадного движения. Однако, в такой предметной области, как математика, продвижение по пути решения нестандартных задач сопряжено с огромной работой. В учебном процессе учителем должна быть продумана система подготовки таких детей, разработаны программы, формирующие целостную систему математического знания, а также некоторые универсальные приемы работы с нестандартными задачами. Олим-пиадные задачи по геометрии характеризуются, конечно, нестандартностью подхода к решению. Это проявляется в нескольких аспектах: умение переформулировать требование задачи; умение грамотно выполнить чертеж, умение анализировать задачную ситуацию и искать путь решения и др. Олимпиадная задача по геометрии - это, как правило, задача на доказательство. Поэтому необходимо умение строить логическую цепочку умозаключений. Многие участники олимпиад, успешно справляющиеся с заданиями логического и алгебраического характера, испытывают трудности при решении задач по геометрии. В работе мы хотим остановиться на вопросе решения задачи на доказательство принадлежности четырех (или более) точек окружности. Задания подобного рода часто встречаются и во Всероссийской олимпиаде школьников по математике, и в уров-невых олимпиадах.

В школьном курсе геометрии окружность изучается достаточно подробно: дается определение, рассматриваются свойства углов, вписанных в окружность, теоремы, относящиеся к свойствам касательных, секущих, хорд [1]. Доказываются теоремы о треугольниках и четырехугольниках, вписанных в окружность. Поэтому в большинстве своем

© Морщинкина Ю. Д., Сорокина М. В., 2021

задачи, касающиеся принадлежности четырех точек окружности, у учащихся ассоциируются с четырехугольником, вписанным в окружность. При подготовке к олимпиадам необходимо рассмотреть вопрос равносильных преобразований этого требования, чтобы обучающиеся могли свободно оперировать фактами, выбирая тот, который будет наиболее удобным в каждом конкретном случае. Рассмотрим некоторые возможные варианты доказательства принадлежности четырех точек окружности.

1. Равноудаленность четырех точек от некоторой точки плоскости.

Это требование непосредственно вытекает из определения окружности, как геометрического места точек, равноудаленных от данной. И если в задаче возможно отыскание точки, равноудаленной от трех данных точек, то доказательство может быть проведено на основе именно равноудаленности, т.е. нужно рассматривать равенство четырех отрезков (радиусов окружности). Приведем пример задания, решение которого можно рассматривать с учащимися 8-9 классов.

Задача 1. На плоскости даны две пересекающиеся окружности. Точка А - одна из двух точек пересечения. В каждой окружности проведен диаметр, параллельный касательной в точке А к другой окружности, причем эти диаметры не пересекаются (рис. 1). Докажите, что концы этих диаметров лежат на одной окружности [2, № 108640].

Обозначим ш1 - окружность с центром в точке О и < - окружность с центром в точке О2 . Пусть ВС- диаметр <, параллельный касательной к < в точке А, БЕ - соответствующий диаметр < (см. рис. 1). Точки В, С, Б, Е лежат на одной окружности, если они равноудалены от некоторой точки Р. Как известно, множество точек, равноудаленных от двух данных точек, есть серединный перпендикуляр к отрезку, концами которого являются эти точки. Поэтому, если точка Р существует, то она является пересечением серединных перпендикуляров к отрезкам ВС и БЕ. Найдем ее именно таким образом, тогда РВ = РС и РБ = РЕ. Значит, нужно доказать, что РВ = РБ.

Радиус О\А перпендикулярен касательной АЫ, диаметр БЕ ей параллелен, следовательно, ОЛ ^ БЕ. РО2 - серединный перпендикуляр к БЕ, значит, О1Л || РО2. Аналогично О2Л || РО. Следовательно, ОХЛОР - параллелограмм. Имеем ОЛ = ОР, как противоположные стороны параллелограмма, и ОЛ = ОгБ, как радиусы окружности <, т.е. ОВ = О2Р. Аналогично ОР = ОЛ = ОБ. Прямоугольные треугольники РОВ и РОБ равны по двум катетам. Значит, РВ = РБ, т.е. точки В, С, Б, Е лежат на одной окружности, центром которой является точка Р, что и требовалось доказать.

Рис. 1. Задача 1

2. Точки, являющиеся вершинами вписанного четырехугольника.

Для доказательства принадлежности четырех точек окружности этот критерий является одним из самых распространенных. Он основан на теореме, изучаемой в курсе геометрии 8 класса. Возможно, для учащихся использование признака вписанного четырехугольника является первой мыслью на пути поиска решения задачи. Рассмотрим пример.

Задача 2. В треугольнике ABC угол C - тупой. На стороне AB отмечены точки E и H, на сторонах AC и BC - точки K и M соответственно (рис. 2). Оказалось, что AH = AC, BE = BC, AE = AK, BH = BM. Докажите, что точки E, H, K, M лежат на одной окружности [2, № 52486].

H

Рис. 2. Задача 2

B

Имеем КС = АС - АК, ЕН = АН - АЕ (см. рис. 2). Так как АН = АС и АЕ = АК, то КС = = ЕН. Аналогично, СМ = ЕН. Следовательно, КС = СМ, т.е. треугольник СМК - равнобедренный.

Так как аАКЕ - равнобедренный, то

ААКЕ = ААЕК = Ш°-АЛ= 90°-^. (1)

2 2

Аналогично из равнобедренных треугольников МВН и СМК

/БМИ = /БИМ = 180°-/Б = 90° - ^, (2)

2 2

1 «П° — /с /с

/СКМ = /СМК =180-— = 90° -—. (3)

2 2

Найдем сумму двух противолежащих углов /ККМ и /КИМ четырехугольника ЕКМН:

/ЕКМ = 180° - /АКЕ - /СКМ.

Подставляя (1) и (3) в последнее равенство, получим

/А /Б

/ЕКМ =-+-.

2 2

Угол /КИМ - смежный с углом ВНМ, следовательно, с учетом (2)

/ЕИМ = 90° + —.

2

Тогда

ZEKM + ZEHM = — + — + 90° + — = 90°+ZA + Z + ZC = 180°. 2 2 2 2

Следовательно, четырехугольник EKMH - вписанный, что и требовалось доказать.

3. Равенство углов, опирающихся на одну дугу.

Принадлежность нескольких точек окружности также можно аргументировать, используя геометрическое место точек плоскости, из которых данный отрезок виден под данным углом. Это утверждение является, по сути, теоремой, обратной к хорошо известному школьникам свойству, о том, что опирающиеся на одну дугу углы равны.

Задача 3. В треугольник ABC вписан ромб CKLN так, что точка L лежит на стороне AB, точка N - на стороне AC, точка K - на стороне BC. Пусть Oí, O2 и O - центры описанных окружностей треугольников ACL, BCL и ABC соответственно. Пусть P- точка пересечения описанных окружностей треугольников ANL и BKL, отличная от L. Докажите, что точки Oí, O2, O и P лежат на одной окружности [2, № 115359]-

Для доказательства утверждения задачи покажем равенство углов Z0j002

и ZOPO (рис. 3).

C

Так как центр описанной около треугольника окружности - это точка пересечения серединных перпендикуляров, то точки О и Ох лежат на серединном перпендикуляре к стороне АС. Пусть Е - середина АС, тогда E е OO • Аналогично середина стороны ВС, точка F принадлежит прямой OO2. В четырехугольнике CEOF имеем ZOEC = ZOFC = 90° Следовательно, ZEOF = 180° - ZECF, т.е. ZOOO = 180°-ZACB. Так как Ох - центр окружности, описанной около треугольника ACL, то угол ZAOC

является центральным углом для ZACL. Поэтому ZAOC = 2ZACL. Но ZACL = 1ZACB,

так как CKLN - ромб, значит, ZAOC = ZACB. Из того, что CKLN - ромб, также следует

NL || BC, поэтому ZANL = ZACB, как соответственные. Значит, ZAQC = ZANL = ZACB, и точка Ох принадлежит окружности, описанной около треугольника ANL. Для вписанного четырехугольника ALPOi имеем ZQPL = 180° - ZCAB.

Аналогично, доказываем, что точка О2 принадлежит окружности, описанной около треугольника BKL и Z.QPL = 180° - ZCBA,

Z.QPQ = 360° - ZQPL - ZÜ2PL = ZCAB + ZCBA = 180° - ZACB.

Таким образом, мы доказали, что Züxüü2 = ZÜXPÜ2 = 180° - ZACB, следовательно, точки Oí, O2, O и P лежат на одной окружности, что и требовалось доказать.

4. Теоремы о хордах и секущих.

Еще одним типом критериев принадлежности точек окружности являются теоремы о пропорциональности отрезков секущих, проведенных из одной точки, пропорциональность отрезков пересекающихся хорд, секущей и касательной. Эти утверждения учащимся знакомы как свойства объектов уже имеющейся окружности, однако они являются необходимыми и достаточными условиями и могут применяться в обе стороны. Этот тип задач - один из самых трудных, поэтому обязательно нужно рассматривать с детьми задания подобного рода.

Задача 4. Дан параллелограмм ABCD с тупым углом А. Точка H - основание перпендикуляра, опущенного из точки A на BC. Продолжение медианы CM треугольника ABC пересекает описанную около него окружность в точке K. Докажите, что точки K, H, C и D лежат на одной окружности [2, № 116757].

Точки A, K, B, C принадлежат окружности (рис. 4), следовательно, по свойству хорд имеем

AM • MB = KM • MC. (4)

Опустим из точки В перпендикуляр ВЕ на прямую АБ. Четырехугольник АЕВН является прямоугольником, следовательно, его диагонали равны. Поэтому

ЕМ • МИ = АМ • МБ. (5)

Из равенств (4) и (5) имеем ЕМ • МИ = КМ • МС. Следовательно, по теореме, обратной свойству двух пересекающихся хорд, точки Е, К, Н, С принадлежат одной окружности ш. Так как АЕВН - прямоугольник, то /ЕИБ = /АБИ = /АБС. Но /ЕИБ + /ЕИС = 180°, значит,

ZADC + ZEHC = 180° и четырехугольник EHCD вписан в окружность, но через точки E, H, C проходит окружность ш, следовательно, D ею. Таким образом, K, H, C и D лежат на одной окружности, что и требовалось доказать.

В следующей задаче используется достаточное условие, являющееся обратной теоремой к свойству секущих, проведенных из одной точки.

Задача 5. Окружность œ касается сторон угла BAC в точках B и C (рис. 5). Прямая l пересекает отрезки AB и AC в точках K и L соответственно. Окружность œ пересекает l в точках P и Q. Точки S и T выбраны на отрезке BC так, что KS || AC и LT || AB. Докажите, что точки P, Q, S и T лежат на одной окружности [2, № 65742].

Рис. 5. Задача 5

Рассмотрим сначала случай, когда прямая I не параллельна прямой ВС (см. рис. 5), IпВС = X. В силу параллельности КЗ || АС по теореме Фалеса имеем

ХС ж (6)

XS XK

Аналогично так как LT || AB, то

ХТ ХЬ

-=-. (7)

ХВ ХК

ХС ХТ

Следовательно,-=-, откуда ХС ■ ХВ = ХТ ■ ХЗ.

ХБ ХВ

Так как точки В, С, Р, Q лежат на одной окружности, то по свойству секущих ХС ■ ХВ = Хд ■ ХР.

Из двух последних равенств следует: ХТ ■ ХБ = Х<2 ■ ХР, что является достаточным условием принадлежности точек Р, Q, 5 и Т одной окружности (утверждение, обратное свойству секущих).

Если прямая I параллельна прямой ВС, то нетрудно убедиться, что четырехугольник PQTS является равнобедренной трапецией, следовательно, может быть вписан в окружность.

5. Совпадение точки с точкой, заведомо принадлежащей окружности.

Применение рассуждений подобного рода является в олимпиадных задачах крайне сложным. Увидеть точку окружности, которая обладает указанными в условии свойствами, бывает нелегко. Единого алгоритма в таких заданиях нет. Рассмотрим пример.

Задача 6. В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC биссектриса угла между высотами AA1 и CCi пересекает стороны AB и BC в точках P и Q соответственно. Биссектриса угла B пересекает отрезок, соединяющий ортоцентр H треугольника ABC с серединой M стороны AC в точке R (рис. 6). Докажите, что точки P, B, Q и R лежат на одной окружности [2, № 108147].

B

Рассмотрим окружность ю, описанную около треугольника BPQ. В точках P и Q восстановим перпендикуляры к сторонам АВ и ВС, пусть точка их пересечения - точка K. Очевидно, что отрезок BK является диаметром окружности ю. Выясним особенности расположения точки K относительно отрезков, фигурирующих в условии задачи.

Так как PQ является биссектрисой пары вертикальных углов ZAHCX и Z.CHAX, то а1'Н(\ ~ЮНАх по двум углам. Следовательно, ZBPH = /ВОН и треугольник BPQ является равнобедренным, т.е. BH = BQ. Прямоугольные треугольники BPK и BQK равны по гипотенузе и катету. Значит, ZPBK = ZQBK. Поэтому точка K принадлежит биссектрисе угла В.

Точка K лежит на окружности ю и на биссектрисе угла ABC, значит, точка P может лежать на той же окружности, только если она совпадает с точкой K. Значит, необходимо доказать, что точка K принадлежит отрезку HM. Пусть PK о AAX = S, QK о CCX = T. Так как PK || CC и QK || AA, то ZSPH = ZPHCl = ZPHS, Z.TQH = Z.QHA, = Z.THQ, значит, треугольники PHS и QHTравнобедренные и подобные, т.е.

P^ SH-PK ГЯ^)

HT ~ TQ ~ HQ'

РН НС, , ч PS НС,

Но аРНС, ~ЮНА., поэтому-=-. С учетом (8) имеем — =- или

1 ~ 1 НО НАа ТО НА!

PS _ TQ (9)

hc HA

Из параллельности прямых РК\\ССХ и QK\\AAl также следует, что aASP ~аАНСх, aSTQ~aCHAx, т.е.

PS AS ТО CT

~ и = • (10)

HC AH HA CH AS CT

Из (9) и (10) следует: -=-. Значит, прямые АС и ST параллельны.

AH CH

Четырехугольник HSKT - параллелограмм, следовательно, его диагонали точкой пересечения делятся пополам. Если ST о HK = D, то D - середина отрезка ST, HD - медиана треугольника HST.

Так ST\\AC, то лАНС -aSHT, следовательно, прямая НК, пересекающая сторону ST в ее середине, проходит через середину стороны АС. Значит, прямая HK содержит точку M.

Мы показали, что точка K, лежащая на окружности ю, принадлежит биссектрисе угла B и отрезку HM, следовательно, она совпадает с точкой R, поэтому R ею, что и требовалось доказать.

Мы рассмотрели несколько способов доказательства принадлежности точек окружности. Следует отметить, что существуют и другие варианты, например, использование симметрий или доказательство того, что четыре точки образуют четырехугольник специального вида. Примеры приведенных заданий позволят развить геометрический кругозор учащихся и будут полезны при подготовке к олимпиадам.

Список литературы

1. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. [и др.]. Геометрия. 7-9 классы : учеб. для обще-образоват. организаций. 3-е изд. М. : Просвещение , 2015. 383 с.

2. Интернет-проект «Задачи». URL: http:// www.problems.ru. (дата обращения: 02.04.2021).

Информация об авторах Морщинкина Юлия Дмитриевна, студентка, Пензенский государственный университет.

Сорокина Марина Валерьевна, кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры «Математическое образование», Пензенский государственный университет.

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.