Оптимизация формы симметричных плоских тел с целью увеличения критического числа Маха Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т о м XII 19 8 1

№ 5

УДК 629.7.015.3

ОПТИМИЗАЦИЯ ФОРМЫ СИММЕТРИЧНЫХ ПЛОСКИХ ТЕЛ С ЦЕЛЬЮ УВЕЛИЧЕНИЯ КРИТИЧЕСКОГО ЧИСЛА МАХА

М. А. Брутян, С. В. Ляпунов

На основании доказанного вариационного принципа предлагается метод построения симметричных плоских тел, при обтекании которых потоком идеального газа достигается величина М* шах. Даны примеры численных расчетов таких тел при заданной в некотором классе форме носового и хвостового участков.

Одной из важнейших задач теории дозвуковых течений газа является определение диапазона возможных изменений числа М набегающего потока, при котором течение около заданного тела остается всюду дозвуковым. Верхнюю границу этого диапазона принято называть критическим числом М* данного тела. Критическое число М* является традиционно принятым параметром,, по которому производится оценка аэродинамических характеристик околозвуковых профилей. Повышение М* — одно из основных требований, предъявляемых к скоростным профилям, на базе которых компонуются крылья, современных пассажирских и транспортных околозвуковых самолетов.

Наряду с этим основным требованием к скоростным профилям в зависимости от их назначения предъявляются и другие требования. Так, с целью воздействия на отрыв диффузорная (хвостовая) часть профиля проектируется таким образом, чтобы уменьшить неблагоприятные градиенты давления, местные углы наклона контура профиля и его кривизны в области диффузора. Носовая часть верхней поверхности некоторых профилей допускает умеренное локальное увеличение разрежения давления с целью ослабления скачков уплотнения в местной сверхзвуковой зоне. Таким образом, при постановке задач оптимизации формы профиля необходимо иметь в виду, что часть требований к геометрии профиля крыла может быть задана из различных соображений как аэродинамического, так и конструктивного характера.

1. Пусть имеется некоторый класс профилей с заданной хордой и площадью. Контур профиля, имеющий непрерывную кривизну.

состоит из частей 5 и 2; 2 означает фиксированную часть контура носового и хвостового участков, а 5 — варьируемую часть контура. Рассмотрим следующую экстремальную задачу для плоских симметричных течений: среди всех профилей данного класса найти профиль, при обтекании которого достигается максимальное зна чение критического числа М*.

В соответствии с работой [1) решение этой задачи дается профилем данной длины и площади, у которого заданные участки границы 2 гладко соединяются свободной линией тока 5, причем скорость течения газа всюду на этой линии является критической или, что то же самое, местное число М = 1 (если такое течение 1 существует). Очевидно, что при произвольном задании части гра-

I ницы 2 решение задачи о построении течения со свободной линией тока может не существовать. Поэтому в настоящей работе под фиксированным участком границы подразумевается участок границы, заданный в некотором однонараметрическом классе, что> обеспечивает существование решения. В том случае, когда форма носового и хвостового участков не заданы, экстремальным является симметричное тело, состоящее из двух равных вертикальных отрезков, соединенных свободной линией тока 5 так, что дозвуковой поток, обтекающий это тело, становится звуковым на линии 5*. Интересно отметить, что одной из характерных особенностей новых скоростных профилей, имеющих высокое значение критического числа М*, является равномерное распределение давления как на верхней, так и на нижней поверхностях профиля.

В работе [2] на основе принципа эквивалентности вариационной задачи о минимуме функционала присоединенной массы тела и классической задачи о симметричном течении идеальной несжимаемой жидкости со свободными границами предложен численный метод расчета таких течений. Метод опирается на градиентную процедуру первого порядка, основанную на выборе улучшающей вариации 8п внешней нормали искомого контура 5 в виде

Ьп = -;(ср — сРо), (1)

где т = т(5) — неотрицательная функция дуги 5 контура тела, а сРо — некоторое постоянное значение коэффициента давления ср на свободной границе.

Задание величины сРо косвенно соответствует заданию величины площади тела с контуром 5и2. Подобный выбор улучшающей вариации обеспечивает сходимость градиентной процедуры к искомому решению. Формула (1) имеет простой физический смысл, заключающийся в том, что для получения на варьируемой части контура постоянной величины коэффициента давления ср — = сРо необходимо на каждой итерации величину деформации точек контура 5 выбирать пропорционально разности получаемых значений ср и желаемого значения ср — сРо в этих точках.

2. Докажем вариационный принцип для дозвуковых потенциальных течений сжимаемого газа. Пусть выполнены все условия формулировки вариационного принципа для течений несжимаемой жидкости [2], т. е. рассматривается обтекание конечного тела 2 фиксированного объема Л0 потенциальным потоком сжимаемого

* Аналогичное течение в несжимаемой жидкости известно как течение: Рябушинского.

газа и часть границы дQ тела 2 может изменяться. Докажем, что при обтекании тела 2, на варьируемой части поверхности 5 которого реализуется постоянное давление, функционал

/ = Л | Р (уф - у*)2 <ь+ 11 РI[(уф)2 - 1] л +1* (2)

ООО

принимает стационарное значение. В формуле (2) р — отношение плотности р к плотности набегающего потока роо, Ф — потенциал скорости течения, х — координата вдоль оси Ох декартовой системы координат (см. ниже), а интегрирование ведется по внешней к телу 2 части пространства й. Заметим, что в случае течения несжимаемой жидкости ср= 1 — (уФ)2, Р = 1 и функционал (2) переходит в функционал присоединенной массы тела, рассмотренный в работе [2].

Краевая задача для определения потенциала бесциркуляционного течения идеального сжимаемого газа около тела 2 ставится следующим образом: в области О

L <*> - [o' - (•£)*] + [-■ ■- (-f-)] & + [*'■- (^Л

-2

дх2

дФ дФ д2 Ф

д2ф

дг2

дх ду дхду

на поверхности

п дФ дФ д2Ф 2 ^Ф <?Ф д2 Ф

дх дг дхдг

дп и’

ду дг дуд г

0;

при /'2 = .х2 -j- v2 + z2 -» оо

ф = х + О

(*>

дФ

дх

= 1 + 0

дФ_

ду

О

1_\ дФ rs j’ дг

О

г з

(3)

(4)

(5)

Здесь Охуг — прямоугольная декартова система координат, X— нелинейный дифференциальный оператор, а — скорость звука, связанная со скоростью потока уравнением Бернулли

а1

[1 — (уф)2]

где х — показатель адиабаты, а Мто — числом набегающего потока.

Задачу определения стационарных значений функционала (2) при обтекании тела 2 потоком идеального сжимаемого газа можно рассматривать как задачу об условном экстремуме функционала (2) при дифференциальном ограничении (3), наложенном на потенциал скорости, и интегральном ограничении, наложенном на объем тела

Ш*-Л>

(6)

Применяя метод множителей Лагранжа для решения этой задачи, составим вспомогательный функционал

7* — ГЯр (У® — vxYdz + Шр[(уф)2 — 1^х + Ш cpdz +

D О D

+Ш<7>

и получим его первую вариацию. Здесь у, г) — множи-

тель Лагранжа, соответствующий ограничению (3), а о = const — множитель Лагранжа, соответствующий ограничению (6).. Запись первого множителя Лагранжа в таком виде объясняется соображениями удобства, что будет видно из дальнейшего.

Применяя общие правила варьирования объемных интегралов, выпишем первую вариацию функционала (7)

о/* = 8Щр(уФ — ух)2dr + о jj j р[(ДФ)2 — 1] di -f 8 j f j cpdi-\-

Ъ D Ъ

+ S JJJ ф:г:/.ф^-}-а8 ('Ло — Jjj =2 JJJ Г[у(Ф — ^)-VS®] «fx -b

D \ 2 J D

+1 j* j &р(уФ — Vх)2 dr— j j р(\/Ф — yx)2 bndS + 2 j j j p (уФ- у8Ф) di -f-

D S D

+ jfj8H(y®)2-l]rfx- ГГ?[(уФ)*-1]8/М& + JJJ S^rfx —

D S D

— j | cp bnds -f- 8 j j j Ф* L<i>dx — о I" J 8nds. (8)

s d a ' s

Для того чтобы воспользоваться стандартной аргументацией вариационного исчисления, необходимо привести вариацию 8/* к виду

8/* = f f ф8nds,

s

где ф зависит лишь от решения краевой задачи (3)—(5) и не зависит от 8п. В этом случае функционал (7) будет принимать стационарные значения при обтекании такого тела, на поверхности S которого ф = 0.

Преобразуем в формуле (8) интегралы по области D. В результате получим (подробности преобразований приведены в приложении):

2 И jVtv (® - х)• у8Ф] dz = ■- 2 J j j -L (уФ • у -Ц-) 8Ф<*т +

D D 4 '

0»

as

D D 4 '

+ (х-11)(уф-у:с)*дф|8ф*/‘с; (10)

Ш 8pKv®)2— 1] * = {2fl8 +(*- 1) КуФ)2 - 1]} ДФ8Фйт; (11)

D D

2 + jjj 8cp<ft = 0; (12)

D ' D

+

я

дЗ

8Ф

}<&. (13)

В последнем равенстве Сц — сфера достаточно большого радиуса Я, охватывающая тело й, а ЛГ—линейный дифференциальный оператор, определяемый формулой (Г112) приложения:

Для преобразования интеграла по поверхности с>2 в формуле (13) введем криволинейную ортогональную систему координат С, т], п, где оси С и ?! направлены вдоль главных направлений поверхности <?2, а ось га —вдоль направления внешней к телу 2 нормали л, причем модули векторов главных направлений Г и у равны соответственно УЕ и где Е и С — коэффициенты первой квад-

ратичной формы на поверхности [3]. В системе координат С>

^5Ф может быть записана следующим образом*:

т], п величина

<)5Ф

дп

д2

дп

дъ V дп

да

. 1 <?Ф I дЪп . 1 дФ

+ ~Ё~Щаа

дЬп йв д71

д'і Ф дп2

да

5п. (14)

дФ

да

В силу граничного условия (4) имеем 8^ ^

далее формулы (6) из [4] интегрирования по частям в поверхностном интеграле, с учетом соотношения (14), получаем

И К

дп

і___ф*

дФ

дп

02

7Г дФ

+

в дт\

1 а® дФ* , дФ ЙФ*

— дФ_ дп

О д-ц дг] + дп дп ) П^'

е ас ас

Заметим, что в силу соотношения (П1) приложения

1 Г д [- л[ 0 дФ \ . д (-і А Е дФ\

пёс |_ ас \р У Е ас / + ‘дц \р У й д-ц )

— V (руф) = о,

+

+

дп

{і Vе0-ж)

а также

1 дФ дФ* _1_ дФ__ дФ* в дт] дт\

е ас ас

а® аФ* . _ лг-лг = ^фу®*)-

8 псіз + (15)

(16)

(17)

Использованные выше формы записи дифференциальных операторов в криволинейной системе координат можно найти, например, в [5].

* Вывод этой формулы дан в работе [4], где она приведена под номером (26). Однако в [4] эта формула содержит неточности: вместо множителей —,

Е

1 1 1 -д- в (14) в формуле (26) [4] написано -^=- , ~у^Г •

С учетом (15) —(17) формула (13) может быть переписана в виде:

8Ф* + ,Яр(уфУф*)bnds +

D й D dS S

+ Я{р (ф* 8ф) + -L- *1 [8Ф (уФуФ*) - Ф* (V®v8®)]}*. (18)

С ft

Подставляя (9) — (12) и (18) в (8), получаем

8/* ЯШ{^ф* + тг [4®2ДФ - 4 (v® V 4т) +

+ 2 (V. - 1) [(уф)2 - Ц-] дф]} 8ФЛ + jj p(i*L + 2 ^ tods +

+ Я {~аГЖ18Ф - Ф% (V®VS®)] + ?(ф* 8ф)} ds -

— Jj (а + £р — Р1(уфуф*>— 2[уфу(ф — л:)] 1} bnds. (19)

Выберем множитель Лагранжа Ф* (х, у, г) таким образом, чтобы в области Э

АГф=>= + -1_{4а2Дф_4(уф74|-)+2(х-1)[(уФ)>'-^]дф}=0; (20)

на поверхности <?9

аФ* -2-Й-; (21)

дп дп

при R -+ оо

|] {ж -W [5Ф (уф чф*)- ф* (уФуЗФ)] +

+ p($*ir-ir8®)}(/s-*0' (22>

Для удовлетворения условия (22) достаточно, чтобы при s = const >0 и г2 = х1 + у2 + z2 -> оо

Ф* =0 (г1-6); —^г =0 (г-Е); =0 (г-); Т=°(г_е)- <23>

Условия (20), (21) и (23) определяют сопряженную краевую задачу для множителя Лагранжа Ф*(л:, у, z). Прямой подстановкой можно убедиться, что функция

ф* = 2(Ф — х) (24)

является единственным решением этой краевой задачи. Тогда,

подставляя (24) в (19), получаем окончательное выражение для

первой вариации функционала (7)

о/* = — jj (ср + a) bnds. (25)

5

Таким образом, функционал (7), а также функционал (2), который совпадает с (7) при обтекании тела 2 заданного объема потенциальным потоком идеального сжимаемого газа, принимают стационарное значение при ср = — о = const на изменяемой части S поверхности dQ. Другими словами, поверхность S представляет

собой свободную поверхность тока. Множитель Лагранжа а имеет смысл числа кавитации. Первая вариация (25) функционала (2) для течения сжимаемого газа совпадает по форме с первой вариацией функционала присоединенной массы для течения несжимаемой жидкости. Запись первой вариации в виде (25) позволяет и для идеального сжимаемого газа построить метод расчета течений со свободными границами, аналогичный методу, описанному в работе [2] для случая несжимаемой жидкости.

В несколько видоизмененном виде вариационный принцип может быть доказан и для независимых вариаций потенциала и поверхности тела. Докажем, что функционал

71=ЯК dz+ 2^Яф-*>-1г^-оЛ (26>

D Сд

стационарен на решении задачи обтекания (3)—(5) тела Q объема А, на части границы которого ср — — о = const. При этом считаем, что второй интеграл в (26) конечен. Действительно,

8/,= —2 JJJp(v<&v8®)ck-21im JJ - f f (ср + о) bnds =

р Я-»00 CR S

=- 2 Ш v (руф) »* + 2 J J №ds -

D дЯ

-21im — JJ (27)

”'*'со Сд ' > s

где S — варьируемая часть поверхности dQ.

Ясно, что если потенциал Ф удовлетворяет условиям краевой задачи обтекания (3)—(5) и ср——a=const на S, то S/1=0. При этом

2 Ita | j (Ф - *) is - 21 гёф7 (Ф - x) i* -

= njp<v®“v^)!* + inp[(v®)s-i]*

D D

и, следовательно, функционал (26) совпадает с рассмотренным функционалом (7).

Полученный результат соответствует тому, что функционал (26) является вариационным функционалом Бейтмана [6] в задаче с фиксированными границами, и условия его стационарности представляют собой краевую задачу (3)—(5). Поэтому, в данной задаче оказалось возможным считать вариации потенциала и границы тела независимыми. Однако вышеизложенный метод варьирования на решениях краевой задачи представляет к тому же самостоятельный методологический интерес и может быть использован в других аналогичных задачах.

3. Используя численную процедуру, основанную на выборе улучшающей вариации в виде (1), можно рассчитывать различные симметричные течения сжимаемого газа со свободными границами. Кроме того, если положить сРо — —• а = cPt, то настоящий метод в соответствии с работой [1] дает возможность строить тела, при обтекании которых достигается максимальное значение критического числа М*.

На рис. 1 приведены результаты расчетов симметричного обтекания клина по схеме Рябушинского в сжимаемом газе с показателем адиабаты *=1,4 при относительной длине фиксированной части b — 0,2, величине сРо = сРх — — 0,9 и величине М* = М*тах = = 0,672; при этом угол полураствора клина р оказался равным 22°9', а площадь А, ограниченная контуром полученного тела, оказалась равной 0,158. Аналогичные расчеты проведены для_других значений ср* (—0,5; -0,7; -1,1; -1,3; -1 ,5). Функция 7 (х) выбиралась

равной ~ [х—(/ + Ь)]2 + 1, где 2/—относительная длина варьируе-Р

мой части. Здесь и далее черта над буквой обозначает соответствующую величину, отнесенную к хорде профиля. Как показал опыт проведенных расчетов, подобный выбор 7(x) приводит к^бо-лее быстрой сходимости процесса итераций, чем в случае 'f (х) = = const. По результатам этих расчетов на рис. 2 построена кривая зависимости максимального значения критического числа ЬЛ*тах от площади А для данного класса тел. Влияние длины задаваемого участка тела на величину угла полураствора клина показано на рис. 3.

Из графиков видно, что при увеличении b величина {3 уменьшается. Проведены также систематические расчеты одного класса симметричных аэродинамических профилей, у которых форма

с

' Р

-0,5

0,5

О

0,25

0,672 -0,9 0,158 0,2 22°9

Ср *■ А ь _______________________^

0.1

х

Ь

ОМ

0,5

0,75

х

2—„Ученые записки* ЦАГИ № 5.

17

фиксированных участков границы может быть получена из некоторой заданной формы путем аффинного преобразования сжатия или растяжения вдоль координаты у. На рис. 4 представлены результаты расчетов формы профиля из этого класса, при обтекании которого достигается максимальное значение критического числа М*шах = 0,784; при относительной длине носового а = 0,1 и хвостового Ь — 0,5 участков, величине сРо = сР1[ = —0,484; при этом относительная толщина профиля с— 11,8%, радиус носика рн= 1,46%, а величина площади, ограниченной контуром профиля, А =0,071. На этом же рисунке приведены основные геометрические характеристики полученного профиля. Отметим, что данный профиль имеет положение максимальной толщины х- = 38%, более близкое к задней кромке, чем профили обычного типа, не рассчитанные на высокое значение М*. На основании проведенных расчетов на рис. 5 приведены кривые зависимости максимального значения критического числа М*Шах от площади А и относительной толщины с для данного класса профилей. Изучение особенностей этих профилей, а также получение зависимостей для предельных величин М*тах является весьма полезным при проектировании новых типов профилей, имеющих высокое значение критического числа М*. При этом следует иметь в виду, что все результаты настоящей работы получены без учета влияния вязкости, которая при дозвуковых скоростях оказывает значительное влияние на аэродинамические характеристики профиля [7].

Уравнение (3) для потенциала скорости Ф может быть записано в виде

ПРИЛОЖЕНИЕ

(П1)

С учетом того, что

= [(уФ)*]—2 ^ (уФу) уф

(П2>

и

Р

(П3>

где У3 = (уФ)2, уравнение (П1) можно записать в виде

а2 ДФ — [уф (уФу) уФ] = 0.

(П4)

Формулы для вариаций р, ср и -— имеют следующий вид:

(П5>

Ъср = -^р^- 5 [(Уф)2] - — 2р (УФУ5Ф).

(П6>

В

д

5 [(У®)2] =^^(уФуВФ).

(П7>

Для преобразования интегралов по области £>, входящих в формулу (8), используем (ПІ) —(П7), а также теорему Грина. Имеем:

2 і і I Р [V (ф — х) уЗФ] сіх = — 2 у [р у (Ф — *)] 8Фйх —

ГГ р/ЭФ _Э*\ ^ ‘ дп дп)

дЯ

ВФ* + 2 Яр Й - 5Ф^ = - 2ЯНг(уфу ж)8ФЛ +

дг дг ]

+ 2

( ЭФ дх \

1дг дг

8ФЛї;

62

111 5р (уф — V*)3 Лі — 111 (уф — ух)2 (уфубф) Лі =

л о

= Ш у [-£г^ф-у-02уф

(П8)

'Ш

ЭФ

с Я

(уФ — у.*)2 5ФЙ5 = дг

& 5Фгіт + 11*

-* да

ЯЩ

Р- (уФ — ух)2 -4— оФЙХ — у ’ дп

+ (х — 1) (уФ — ух)3 ДФ

2а2 Дф — 2 ( уФ у

ЭФ

(*'■£)

+

— (уф — у*)2 -^г— оф^5; а2 дг

&1 ВФЛ-|]

■* С/?

2 Я I р (УФУ8Ф) йх = — 2 | | у (руф) ЪФЛх — 2 ]" [ р оФйт + о д аз

И_ ЭФ ГГ- дФ

р-аг*ф* = 2.и р-аг5ф^;

(П9)

-ш

Зр [(уФ)2 — 1] <£с

-!!!■

уф [(уф)2 — 1] бФйх +

я2

і і К?Ф)2 - 1] ВФ08 - Я X- [(уф)2 - 1] -*£- ЪФ<1в =

дяа оп Сп а ог

2яз + (% — 1) [(уФ)2 — 1] ДФбФгіт - Я А. [(уФ)2— 1 ] -Ц- оФйх;

Я ]Ч ^=-2 ЯI р (*Ф?ВФ> * = -2 Я р ж6Ф^;

ЯЯ

а2

Ф* ЬФЛъ

■ш

Ф* ЛГВФ^т.

(П10)

(П11)

В формуле (П11) №Ф = 0 — уравнение в вариациях, соответствующее уравнению ЬФ = 0. Уравнение в вариациях [см. формулу (42.2) [8]] может быть записано в следующем виде:

ЛГ5Ф = _А_ (_Р_ [а2 - (-Ц-дх \ а? I \ох

■ [а2 —

дг I а2

дФ

Э7

Э5Ф | , д дх } ду Э5Ф

і-|а2-

а2 [

дг

дФ ду

р ЭФ ЭФ Э5Ф дх V я2 дх ду ду

гт )-

+

( 9 ЭФ ЭФ Э8Ф ^ д ( Р ЭФ ЭФ дЪФ ^ ° 1

\ а2 дх ду дх ) дх \ а2 дх дг дг ) дг \

ЭФ ЭФ Э8Ф

Ь

Э ( р ЭФ ЭФ дЬФ ' )- 5 1 ( р ЭФ ЭФ Э5Ф \

ду \ а2 ду дг дг , 1 дг 1 ^ а2 ду дг ду )

дх дг дх | = 0. (П12)

В формулах (П8)—(П10) интегралы по Ск -> 0 при Н оо, что мйжно получить, учитывая асимптотическое представление потенциала (5). Для преобразования интеграла (П11) применим формулу Грина (см. формулу (6.5) [8])

111 Ф* = I ) | ВФуИФ* л + 1$ р ( ^ ВФ - Ф*

Ъ Ъ . >

+ Я {*Г 15Г 15Ф (?ФУФ*) - ф* (уфу5ф)] + р (ф* зф)}

здесь М — оператор, сопряженный оператору N. Запись первого} множителя

Лагранжа в формуле (7) в виде _£_Ф* (х, у, г) удобна тем, что при таком выборе

а2

линейный дифференциальный оператор N уравнения в вариациях является самосопряженным, т. е. М =± N.

ЛИТЕРАТУРА

1. Gilbarg D., Shiffman М. On bodies achieving extreme values of the critical Mach number, I. „J. Ration; Mech. and Anal.“, vol. 3, N 2, 1954.

2. Б p у t я h М. А., Л я п у н о в С. В. Вариационный метод решения задач со свободными линиями тока. „Ученые записки ЦАГИ“, т. XII, №. 1, 1981.

3. Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии. М., Гостехиздат, 1956.

4. Борсук М. В. О первой вариации функционала от решения нелинейной краевой задачи для уравнений в частных производных второго порядка. „Ученые записки ЦАГИ", т. III, № 2, 1972.

5. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М., .Наука', 1970.

6. L u s h Р. Е., С h е г г у Т. М. The variational method in hydrodynamics. Quart. ,J. Mech. Appl. Math.“, vol. 9, 1956.

7. Брутян М. А. „Влияние вязкости на аэродинамические характеристики профиля при докритических скоростях". Труды ЦАГИ, вып. 1752, 1976.

8. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа. М., Изд. иностр. лит-ры, 1957.'

Рукопись поступила 17jl 1980 г. Переработанный вариант поступил lOjlV 1981 г.