CC BY
40
Том ХЬЇЇЇ
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 2012
№ 1
УДК 532.526.4
532.526:533.694.71/.72
О СУЩЕСТВОВАНИИ ПЕРВОГО ИНТЕГРАЛА В ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ТУРБУЛЕНТНЫМ ПОГРАНИЧНЫМ СЛОЕМ В СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ
К Г. ГАРАЕВ
С помощью классической теоремы Эмми Нётер об инвариантных вариационных задачах получен первый интеграл для сопряженной системы уравнений относительно множителей Лагранжа в задаче оптимального управления турбулентным пограничным слоем в сверхзвуковых потоках газа.
Ключевые слова: турбулентный пограничный слой, оптимальное управление, первый интеграл.
Уравнения турбулентного пограничного слоя на теле вращения при его обтекании совершенные газом под нулевым углом атаки возьмем в виде [1, 2]:
V
и------+ »—
дх ду
\
ёР + _
ёх ду
д ( ди ^
ме —
ду
—(риг ) +—(р»г ) = 0;
дх ’ ду ’
(1)
\
дх
ду
1 д ( дН ^
М^~д~
ду
Pr ду
р = рЯТ; Мъ=Ме0ТЪъ •
Pr ) ду
(
ди ду
Здесь ось Ох направлена вдоль контура тела, ось Оу — перпендикулярна оси Ох по направлению внешней нормали; и, & — проекции вектора скорости на координатные оси; р — давление; р — плотность; Т — температура газа; Н = СрТ + и2 /2 — полная энтальпия; Ср — теплоемкость при постоянном давлении; г (х) — радиус тела вращения; Я — газовая постоянная; Рг — число Прандтля; индекс «е» соответствует параметрам газа на внешней границе пограничного слоя, индекс «0» — в точке полного торможения потока; эффективную вязкость газа определим по формуле Ван-Дриста, модифицированной Патанкаром и Сполдингом [1, 2]:
Ме =М + РХ2 у2
1 - е
-( у»* )/М
ди ду'
Здесь ^ = \le0Tb (г) — коэффициент динамической вязкости в ламинарном пограничном слое, Г = Г/Те0 ; V — коэффициент кинематической вязкости; х = 0 4; =
V
^ ди і V— | — динами-
ду
-1/2
ческая скорость; А = 25.31 I , т = ц—; функция Ь (г) определяет зависимость вязкости от
I т ) ду ' !
температуры.
Граничные условия к системе (1) возьмем в виде [3]:
и = 0, -9 = ш^1 Р№, И = Им, (х) (у = 0, х > 0);
и ^ ие (х), И ^ Ие (х) (у ^<х>).
(2)
Здесь Ик (х) = СрТ№ (х), Тк (х) — заданная температура наружной стороны обшивки (допускается, что она равна температуре пристеночного слоя газа); = (р9)^ — массовый расход
вдуваемого газа (того же состава, что и в набегающем потоке) через единицу площади поверхности в единицу времени; индекс w — соответствует параметрам газа на стенке.
Мощность, затрачиваемую системой охлаждения на вдув газа через пористую стенку на участке [0, хк ] оценим функционалом
хк
N = 2п j г Ар9Ц!ёх,
0
где перепад давления Ар поперек пористой стенки толщины к определим с помощью закона Дарси [4]:
кц Ж Ар = КЖ. К.
Кп
Здесь Цр — вязкость газа в порах; Кп — коэффициент проницаемости, зависящий от
структуры пористого материала.
Количество тепла Q, передаваемого от пограничного слоя к поверхности тела вращения с длиной образующей хк вычисляется по формуле:
хк / Q = 2п| г І X
дТ_
ду
Л
у=0
Система (1) в переменных А. А. Дородницына запишется в виде [5, 6]:
-ди —дип/л _2\ д
и----+ w— = в (1 -ш-и 1+---
дs ді ' > ді
ди дW
дs ді
= 0,
_ дш _ дш 1 д
и-------------+ w— =-------
д,^ ді Рг ді
к—] + а21 ^ - іі-д. 1 СЯ £ 1
. ді _ е і <о г Р У " ді
1 х У
Здесь 5 = — |qr2йх, q = ае (1 -а2)т_ 1; ^ = -
иеП
У (1 -а
(
-и М
I--------; и =—; п= I--------=
,^/vmax^veo ие о т
2
гйу;
Ф
^и йие
Veо ие
ае 1 -а^
(,-а 2 )ми дП + ®;
V > дх тг
у = 1-Г-а ;
а = -
V
(у-1)м2:
радиус сферы в случае ее обтекания сверхзвуковым потоком). Величина ЬБ определяется по формуле [6, 7]:
г дх тг
— некоторый характерный размер (например,
ЬЕ =
Це ь (т -) + РХ2у2 ди
Це0т ( ’ Це0т ду
уЗ
1 - е уА
* у
или
Здесь
ьЕ = ь (т ) + ф(1 - е §) .
0,16ру2 ди уЗ* ре0 (1 ае)
ф =-----^^, 8 = ~Г, р =------- ъ
Це0т ду vA т
!_
т-1
1 2—2 1
, т = 1 -у-аеи , у = —
qпVr
‘'еО41
2 = -(01 -0О )1п (1 - и )-(01 - 20о )и +а2 (01 -0О)
и + + 1п (1 - и )
+ ае (01 - 20о ))— ю0и - (со1 - ю0 )и ,
ди qr ]Ут ду т 0 V V
тах 1 -а2 =1 -а20й2, 0 =
еО
Л [0о +(01 -20о)], v = JP
1 - и ь -1 р
Ц Ve0
т 2ь (т)
(1 -а2)
!_ т-1
(4)
Граничные условия (2) примут вид:
и = 0, ^ = m/Г'q, у = 1 - при ^ = 0,
и — 1, у —— 0 при ^ — да.
(5)
Функции 00 (*), 01 (5), ®0 (5), Ю1 (*) удовлетворяют аппроксимирующей системе второго
приближения [7]:
-6р( 701 900 5ю1 4ю0
й* q V 6 6 3 3
34ЬЕ0 32ЬЕ] ^ 18г
ЛГ ,+т
^1 = 12Р(ю0_ + 2 Ю1 00 01
й* q V 3 3 3 2
(20ЬЕ0 16ЬЕ1 ^ 12«Г
V 00 01 )
и
йю1 -бр
Ч
Ил
Ю1
2
2ю
Ю
30! 60,
0
6ю0ЬУ0
-б| 1 |Х
Рг .
Г Ьу у0 С 4 Ю1 3 Ю0 ^ 2 О М 8 о 1 6Ьу у0 (4 Ю1 3 Ю0 1
1 <£> о , 4 0! 00 ] 3 0100 _ Рг 00 1 01 «э 00 ]
- 41 1 —— |а2 10-Рг] е 0,
- 6ш-
Юг
^0 Ч
(6)
й ю0
-00 ^ + (1 -т, )
Начальные условия: 00 (0) = 0, (0) = ю0 (0) = ю1 (0) = 0.
Важно подчеркнуть, что функции ф и g не зависят от г, а зависят только от и, и, у. Мощность системы охлаждения и интегральный тепловой поток в переменных Дородницына запишется соответственно в виде [7]:
N = -
N
2па^е0^^тах
| М2 ( -у, )2
(7)
В соотношениях (5) — (8)
г=0
V V
е0 тах
/=•
3Т
-а2 )-1
1 хк
-1 Чйх
а = -
Кп
- -2 - Г
Ч = г ч, г = —,
% =ь (т,) •
Т = 1 --
,
Юп
ь^= ь (Т1)
Т = 1 -— -
Т1 1 01 4 , ф1
01бР^.У1
У1 =
е0
ЧНКт
21, р1 =‘
.(1 -а2)
у-1
Т
(8)
У, =1 - Т,, ф (1 - e'g1) , У19*
_ 1 : и =— 2
gl =
V1Л
^ = й = ■
Р1
^Ь (Т1)
91 =
у 1 \
^7-1 '
ду
У=У1
ди
ду
ГЧ гт
у=У1
Т0
е0
Ре0 (1 -а2 )
Прежде чем перейти к постановке вариационной задачи, отметим, что для ламинарного режима течения уравнения пограничного слоя всегда допускают однопараметрическую группу переносов по одной из независимых переменных; поэтому уравнения Эйлера — Лагранжа допускают первый интеграл [7, 8]. Для турбулентного режима такой группы нет, и, на первый взгляд, не существует указанного первого интеграла.
Однако покажем, что переход к переменным Дородницына и использование метода обобщенных интегральных соотношений позволяет построить первый интеграл для сопряженной системы уравнений относительно множителей Лагранжа.
Ставится следующая вариационная задача: среди непрерывных управлений ш (и ) требуется
отыскать такое, которое доставляет минимальное значение интегральному тепловому потоку (8), передаваемого от горячего газа к обтекаемой поверхности при заданной мощности системы охлаждения (7) и при связях (3) и (5). Отметим, что эта задача принадлежит к классу двумерных вариационных задач типа Майера [8].
1
0
= Я„ к
Е дґ 1 Е дґ 2
вспомогательный функционал здесь запишется в виде:
где В — область, ограниченная прямыми t = 0, 5 = , t ^<х>, 5 = 0; лагранжиан Ь имеет вид:
L = Х,
ди ди _ л 2 \ дЯ
— + w--------В(1 -ш-и )---------1
дх дґ У ) дґ
дs
ди
~ді
дЯ^
дГ
, ди дw
Х2І ¥+1Г
дш дш 1 дЯ2
и—- + w—-----------------
дх дґ Рг дґ
тії 1 'І 2 ( дЯ1 ди
■21 1------І а „ I и-----+ Яі —
Рг) е І дґ 1 1
(9)
+ Х4 [ ъ,§-я, ) + х, (-л,).
В соответствии с формализмом Лагранжа уравнения Эйлера — Лагранжа примут вид:
ди + Х3
— + 2В и
дх
®Ш+ 2а 211 _1 М.
дх I Рг) дґ
дЬЕ ди ди дґ
дЬЕ дш ди дґ
[Х1и + Х2 ] в
Х1Р + Х4
Х^ + Х321 1 -
дЬЕ ди + Х5 Ь д 1 дш
дш дґ дш дґ ]
,г )а е Я1 + Х 4„
- [Х3и] - В [Х3w + Х5ЬЕ ] = 0;
(10)
Х1 — + Х3 дШ-Б, [X2] = 0; 1 дґ дґ П 2І
Л + 21 1 -р- Iа2иХ3
= 0;
--------Х3
Рг 3
= 0.
Здесь и Б{ — операторы полного дифференциала по переменным 5 и V.
д ди д дш д дЯ1 д дЯ2 д дХ1 д
дХ5 д
дх дх ди дх ду дх дЯ1 дх дЯ2 дх дХ1
д ди д дш д дЯ, д дЯ2 д дХ, д
Б,. = — +--------------------т ^ 1 -і- 2 -і- 1
дх дХ
5
дХ5 д
дґ дґ ди дґ дш дґ дЯ1 дґ дЯ2 дґ дХ1
дґ дХ
5
Краевые условия к системе (10):
А,! = 0, А3 = Рг (^ = 0),
А1 ^ 0, А2 ^ 0, А3 ^ 0 ( ^да),
А1 = Аз = 0 ( = *к )•
Оптимальное управление определяется по формуле:
А2 (5, 0)
т = -
2а1гЧ* / ( -У „ )
(12)
где а! — постоянный множитель Лагранжа, определяемый в соответствии с изоперическим условием (7); д* = Тд.
Отметим, что краевые условия (11) и формула (12) следуют из условий трансверсальности с учетом краевых условий (5) (см. [7]).
Справедливо следующее утверждение.
Теорема. Для любой непрерывно-дифференцируемой функции р(5) и любых числах Пран-дтля Рг уравнения Эйлера — Лагранжа (10) допускают первый интеграл
А1м + 2а е | 1 — | А3Яі + А46£
ди дм , . ,
■Г“ + А 2~г; + (А 3м + А 5Ье))-дґ дґ дґ
А1 - 2а21 1 - р; IиАз
дЯ1 -АздЯі+_д/иА ) = р()
дґ Р: дґ дs( 2) ( ^
(13)
где Е (5) — произвольная функция интегрирования, определяемая с учетом краевых условий (5) и (11) (см. [7]).
Доказательство. Согласно [9], если вариационный интеграл
п
дґ д*
і = 1, 2,..., п
(14)
инвариантен относительно однопараметрической группы Ли с инфинитезимальным оператором
д я я
х=^ -г--г-+^2 —,
дг д5 д2
то уравнения Эйлера
Чд(
- Б,
= 0
допускают закон сохранения
В,
((- (^ -(*^)+Дґ + ((- (і^ґ -^ \д" ге
д( д(* _
= 0.
(15)
Нетрудно видеть, что в нашей задаче функционал (14), где Ь определяется формулой (9),
д
является инвариантным относительно группы Оі с оператором У = — при любых Рг и р( 5), поэтому дивергентная форма (15) примет вид:
В,
+ В,,
дЬ 1 диі
дЬ
ди,
-м,
дЬ
дмі
дЬ
дм,
У,
У,
дЬ
дЬ
дУ 5
Я,
дЬ
дЯ
Я,
і,
дЬ
дЯ
Я
дЬ
дЯ
Я
'2,. дЬ
2,
1,
дЯ
-2.5
= 0
или
В
+Я, I —А., + 2а | 1 —
V + 2Аз (1—Рг )а2 Яі + А А)+*,А, + у,( м+А А)+
+ В, [и, (и + А2) + у,А3и] = 0.
Я2,1 —
А3
В силу третьего уравнения в системе (10) имеем:
В5 [и (А1и + А2 ) + Азиу, ] = В, [и ( А1и, + АзУ,) + А2и, ] :
дА 2 ди
А 2
д, д,
= В5 [В (А2и)] = В, [В5 (А2и)]
(16)
и, следовательно, выражение (16) превращается в первый интеграл (13).
Заключение. Для построения оптимального управления т (5) по формуле (12) следует совместно проинтегрировать систему (3) и сопряженную систему (10) с краевыми условиями (5) и (11) и затем найти А2 (5, 0), что является весьма сложной математической проблемой. Эту задачу можно существенно упростить, если известен первый интеграл для сопряженной системы.
Как показывают расчеты для случая ламинарного режима обтекания, использование такого рода интегралов допускает более эффективную численную реализацию разностных схем при построении соответствующих оптимальных управлений [10, 11], нежели без знания первого интеграла. Кроме того, наличие первого интеграла позволяет в некоторых случаях получить оптимальную скорость вдува в аналитическом виде [7].
ЛИТЕРАТУРА
1. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. — М.: Наука, 1973, 847 с.
2. Лапин Ю. В. Турбулентный пограничный слой в сверхзвуковых потоках газа. — М.: Наука, 1982, 312 с.
3. Лю Шень Цюань. Расчет ламинарного пограничного слоя в сжимаемом газе при наличии отсоса или вдува // ЖВМиМФ, 1962. № 5, с. 868—883.
4. Белов С. В. Пористые материалы в машиностроении. — М.: Машиностроение, 1981, 247 с.
5. ДородницынА. А. Ламинарный пограничный слой в сжимаемом газе / Сб. теоретических работ по аэродинамике. — М.: Оборонгиз, 1957, с. 140—173.
6. Гараев К. Г., Мухаметзянов И. Р., Овчинников В. А. Интегрирование уравнений турбулентного пограничного слоя на сфере в сверхзвуковом потоке // Вестник КГТУ. 2009. № 4, с. 62—65.
7. ГараевК. Г. Группы Ли и теория Нётер в проблеме управления с приложениями к оптимальным задачам пограничного слоя. — Казань: Изд. КГТУ, 1994, 240 с.
8. ГараевК. Г. Об одном следствии из теории Нётер для двумерных вариационных задач типа Майера // Прикладная математика и механика. 1980. Т. 44, № 3, с. 448—453.
9. Ибрагимов И. Х. Группы преобразований в математической физике. — М.: Наука, 1983, 278 с.
10. ГараевК. Г., ОвчинниковВ. А. Об одной разностной схеме для уравнений оптимально управляемого пограничного слоя // Авиационная техника. 2002. № 3, с. 15 —18.
11. Кузнецов В. К. Оптимальное управление ламинарным пограничным слоем на клине в сверхзвуковом потоке // Вестник КГТУ. 2009. № 2, с. 42—45.
Рукопись поступила 18/Х 2010 г.
