О существовании первого интеграла в одной задаче теории управляемого пограничного слоя Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 150, кн. 3

Физико-математические пауки

2008

УДК 517.958:52/59

О СУЩЕСТВОВАНИИ ПЕРВОГО ИНТЕГРАЛА В ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ТЕОРИИ УПРАВЛЯЕМОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ

К. Г. Гараев

Аннотация

В дашгой работе ставится задача минимизации интегрального сопротивления трепля при заданном ограничении па мощность системы управления. В качестве управления используется удельный расход газа, подаваемого в основной поток через пористый или перфорированный участок обтекаемой поверхности. Данную задачу можно отнести к классу вариационных задач типа Майера с двумя независимыми переменными. Важно отметить. что соответствующий закон сохранения для сопряженной системы автоматически преобразуется в первый интеграл, справедливый при любой скорости па внешней границе пограничного слоя и любых числах Працдтля.

Ключевые слова: пограничный слой, оптимальное управление, теорема Нетер. теория групп Ли.

Введение

При обтекании тол потоком вязкой жидкости или газа большое практическое значение имеет сила лобового сопротивления, которая определяется для хорошо обтекаемых тел главным образом суммарной силой трения. Одним из способов уменьшения величины этой силы является управление локальными продольными градиентами скорости на обтекаемой поверхности путем вдува газа в пограничный слой. Поскольку источники энергии (суммарный расход, мощность системы управления) ограничены, то возникает проблема оптимального управления пограничным слоем, которая обсуждалась впервые в работе [1]. В работе [2] автор, используя теорию инвариантных вариационных задач Нетер и аппарат теории групп Ли. получил первый интеграл для системы уравнений относительно множителей Лагранжа [2]. Следует заметить, что вариационная задача рассматривалась в этих работах в исходных физических переменных. Но в случае использования конечно-разностных схем гораздо удобнее рассматривать уравнения пограничного слоя в переменных Фокнора Скона [3].

В данной работе ставится задача минимизации интегрального сопротивления трения при заданном ограничении на мощность системы управления. Эта задача приобретает особое значение, именно сейчас, когда ведущие аэрокосмические фирмы США и Японии объявили об объединении усилий с целыо создания нового сверхзвукового пассажирского самолета, превосходящего по своим аэродинамическим показателям своих предшественников: сверхзвуковых самолетов «Конкорд» (Англия Франция) и ТУ-144 (СССР). В качестве управления, используется удельный расход газа, подаваемого в основной поток через пористый или перфорированный участок обтекаемой поверхности. Данную задачу можно отнести к классу вариационных задач типа Майора с двумя независимыми переменными [4. 5].

Важно отметить, что соответствующий закон сохранения для сопряженной системы автоматически преобразуется в первый интеграл, справедливый при любой скорости на внешней границе пограничного слоя и любых числах Прандтля.

118

К.Г. ГАРАЕВ

1. Постановка задачи

Уравнение пограничного слоя в переменных Фокнера Скена для плоского ламинарного потока имеет вид [3]:

-г- + о(ж)/—^ + Ъ(х) {1-№У) {1)

дп3 дп2 I \дп) I \дц дхдп дп2 дх)

1/2 /

Здесь 1] = у (—) : ф = {иеих)1/2 ■ / (ж, »?) функция тока: о(ж) = ^ е(х)ь +I е . \их ) 2ие

х дф дф

Ь{х) = —и'(х): и = —— и V = — —— проекции вектора скорости на оси коорди-ие ду дх

нат; ие(х) - скорость та внешней границе пограничного слоя; V - кинематический

коэффициент вязкости.

Граничные условия зададим в виде

д{ 1 } д{

-7^=0, / =--т Ушс1х, (»У = 0); (»?-ос). (2)

д'П [ие1Ух)~- £ д'П

Подстрочный индекс т соответствует параметрам газа па стенке. Введем обозначения

тогда уравнение (1) перепишется в следующем виде:

дп дп

(4)

Граничные условия имеют здесь следующую форму:

х

Д = 0, / =--г /к, ¿ж (»7 = 0); (»?^оо) (5)

(иеих)? { дП

Сформулируем теперь следующую вариационную задачу: требуется найти среди непрерывных управлений Ут (х) (скорость вдува газа в основной поток) такое управление, при котором достигается минимальное значение сопротивления трению X, испытуемого симметричным профилем, обтекаемым потоком несжимаемой жидкости под пулевым углом атаки:

I

X = /

0

I

с1х = ! С{х)\¥{х,0)с1х, (6)

у=0 о

где С(ж) = (¿ие\ — . ( длина участка вдува при заданном ограничении на мощ-V vx

ность системы управления

I

N = 1 кУ2(х) ах. (7)

0

О СУЩЕСТВОВАНИИ ПЕРВОГО ИНТЕГРАЛА

119

Здесь к - это параметр, который зависит от теплофизических свойств материала оболочки; А - коэффициент теплопроводности газа или жидкости [6].

Используя метод множителей Лагранжа, получаем следующие уравнения Эйлера Остроградского [1. 5]:

А1 Wa - Бх (А1Ж^) - БГ1 (А3) = 0,

дН N

Ах ( -26Д - ж— 1 - Аз - Вх (-А1ХЩ - Д, (А4) = 0, (8)

А1 ( "•/' ' -''тт: ) -А4-А,(А1)=0.

Д

дх

Условия трансверсальности будут следующие

А1 =0 (п = 0); А1 ^ 0, Аз ^ 0 (п ^ го); А1 =0 (х = 1, п > 0). (9)

Оптимальное управление является решением дифференциального уравнения У0' - ЬУ0 + Аз(х, 0) = 0, где Уо = 2к а а Уш,

а = - (1Ухие)1/2 , Ъ = -\ (1Ухиеу1/2 (ие + х1Т'е)

с начальным условием Уо(1) = 0. Здесь а - постоянный множитель Лагранжа, определяемый из изопоримотричоского условия (7).

В системе уравнений (8) Бх и Вп операторы полного дифференцирования

хп

_ д а/ д дН д д\¥ д д\г д д\ъд

дх дх д/ дх дН дх дW дх дА1 дх дА5'

_ д а/ д дН д д\У д д\г д д\5 д

дп дп д/ дп дН дп дW дп дА1 дп дА5

2. Первый интеграл для сопряженной системы уравнений

Для поставленной в данной работе вариационной задачи справедливо следующее утверждение

Теорема 1. Для любой непрерывно-дифференцируемой функции ие(х) и любого числа Прандтля Рг уравнения Эйлера - Лагранжа - Остроградского (8) допускают первый интеграл

л д/ л дН л дW дп дп дп

где д(х) - произвольная функция интегрирования, определяемая с учет,ом, краевых условий (5) и (9).

Доказательство. Согласно [7, 8], если вариационный интеграл

/V ( дик дик\

I = / / Ь ( ж, г), ик (ж, ??), ——, —— ) с1х с1п, к = 1,2,..., п,

дх дп

Б

120

К.Г. ГАРАЕВ

инвариантен по отношению к однопараметрической группе Ли с инфинитезималь-ным оператором

Y-e — + f —+ак—

то уравнения Эйлера Остроградского

Lu - D,

допускают закон сохранения

\ди%.) г\дик J

Dx

+

Dn

dL

В нашей задаче нмеем L = Ai

A3

дц

- R

A4

dR дц

0. (12)

- W

.

Нетрудно видеть, что функционал I является инвариантным по отношению к группе С\ с оператором

дч]

при любых заданных Рг и ие(х), поэтому дивергентная форма уравнения (12) примет следующий вид

Dx

д f dR

Dn

д f дR дW

дг]^3^ дг]^4 дг\

0.

Неожиданным здесь является то, что выражение в первых квадратных скобках в силу (3) тождественно обращается в нуль, именно по этой причине первый интеграл (11) следует из уравнения (14).

□

0

Summary

K.G. Garayev. Existence of the First Integral in a Problem of Optimally-Controlled BL Theory.

The paper states the problem of minimizing the integral drag of friction in the presence of restrictions preset 011 the control system power. As the control, a specific flow rate of liquid is used here, injected into the basic flow through the porous or perforated section of the surface streamlined. This problem can be related to the class of Meyer's variation problems with two independent variables. It is significant here that the corresponding conservation law for conjugate system of equations transforms automatically into the first integral to be valid at any velocity 011 the outer BL border and at any Prandt.l numbers chosen.

Key words: boundary layer, optimal control. Noet.her's theory. Lie group theory.

О СУЩЕСТВОВАНИИ ПЕРВОГО ИНТЕГРАЛА

121

Литература

1. Сираветдииов Т.К. Оптимальные задачи газодинамики // Изв. вузов. Авиационная техника. 1963. 2. С. 11 21.

2. Гараеа К.Г. Об инвариантных вариационных задачах // Тр. 1-й Поволжск. копф. «Автоматическое управление». Казань: Таткпигоиздат. 1971. С. 121 129.

3. Себиеи Т., Брэдхиоу П. Конвективный теплообмен. М.: Мир. 1987. 590 с.

4. Га/раео К.Г. Об одном следствии из теоремы Нетер для двумерных вариационных задач типа Майора // Прикладная математика и механика. 1980. Т. 44. 3. С. 448 453.

5. Миеле А. Обобщение вариационной задачи па несколько функций двух независимых переменных // Теория оптимальных аэродинамических форм. М.: Мир. 1969.

6. Белов C.B. Пористые материалы в машиностроении. М. : Машиностроение. 1981. 247 с.

7. Ибрагимов Н.Х. Инвариантные вариационные задачи и их законы сохранения // Теорот. и матем. физика. 1960. Т. 1. 3. С. 350 359.

8. Га/раев К.Г. Теория инвариантных вариационных задач в проблеме оптимального управления. Казань: Изд-во Казан, техн. ун-та, 2005. 150 с.

Поступила в редакцию 12.05.08

Гараев Кавас Гараевич доктор физико-математических паук, профессор, декап физико-математического факультета, заведующий кафедрой специальной математики Казанского государственного технического университета им. А.Н. Туполева. E-mail: smQsm.kstu-kai.ru