Вариационный метод решения задач со свободными линиями тока Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т о м XII 19 8 1

№ 1

УДК 629.7.015.3

ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ СО СВОБОДНЫМИ ЛИНИЯМИ ТОКА

М. А. Брутян, С. В. Ляпунов

Предлагается вариационный метод расчета симметричных кавитационных течений идеальной несжимаемой жидкости. Метод основан на эквивалентности классической задачи о течении со свободными границами и вариационной задачи о минимуме функционала присоединенной массы. Даны примеры построения кавитационных течений для тел с заданной формой носового и хвостового участков.

Течения жидкости со свободными линиями тока встречаются во многих прикладных задачах теории глиссирования, фильтрации, струйных и отрывных течений. Первая задача по теории струй была решена Гельмгольцем в середине XIX века. Затем Кирхгоф существенно развил и обобщил метод Гельмгольца. В работах этих ученых была продемонстрирована эффективность методов теории функций комплексного переменного для решения простейших задач о течениях идеальной несжимаемой жидкости со свободными линиями тока. После работ Гельмгольца и Кирхгофа следующий крупный шаг был сделан Жуковским. С помощью специально введенной функции, впоследствии названной его именем, удалось получить решения целого класса задач обтекания полигональных тел со струями. Решение задач кавитационного обтекания гладких тел представляет до настоящего времени определенные трудности, так как использование метода Леви — Чивита наталкивается в общем случае на решение сложного интегро-диф-ференциального уравнения. В данной работе излагается единообразный подход к решению задач симметричного обтекания как полигональных, так и криволинейных тел со свободными линиями тока в плоском и трехмерном потоках несжимаемой жидкости.

1. Экстремальное свойство функционала кинетической энергии возмущенного движения жидкости. Пусть конечное тело 2 с границей помещено в безграничный потенциальный бесциркуля-

ционный поток несжимаемой жидкости, движущийся со скоростью 1/оо=1, параллельной оси х. Если ввести потенциал течения Ф(х, у, г), то задача обтекания математически формулируется следующим образом:

п

в области течения С? на границе 51) ^

ДФ

дФ

0;

дп

при г2 = х2 + у2 + г2 -+ оо.

Ф > А' + 0‘ 1

(1)

Г2

Пусть часть 2 границы 5и- тела О фиксирована, а оставшаяся часть 5 может свободно варьироваться так, что граница 511 ^ остается кусочно-аналитической поверхностью. Рассмотрим задачу нахождения такой формы поверхности 5 тела 9, при обтекании которого реализуется экстремум функционала

/ = ]']']' (у® — Vх)2с1А, с!А = йхйуйг <3

при условии, что тело 2 имеет фиксированный объем

Л = Щ<М=Л0.

Функционал / представляет собой кинематическую энергию возмущенного движения жидкости, пропорциональную присоединенной массе тела 2 в направлении оси х. Таким образом, величина / есть мера инерции жидкости относительно ускорения тела 2 в направлении оси х.

Для решения поставленной задачи воспользуемся классическим методом множителей Лагранжа, т. е. рассмотрим расширенный функционал

У = / + ^Ф*ДФ<*Л +>ЛЯ йА-А0)- (2)

"я Vй

здесь функция Ф* = Ф*(х, у, г) — множитель Лагранжа, соответствующий уравнению движения жидкости, а постоянная а — множитель Лагранжа, соответствующий заданию объема тела 2. Первая вариация функционала J, согласно правилам варьирования интегралов по области [1], равна

0/=: 2 111 уоФу (Ф — х)с1А — 11* (уФ — ух)2 Ьпйз-{-

<? 5

+ С § | Ф* МФйА + X | [ Ъпс15, (3)

5"

где йя— элемент площади поверхности 5, а 2Ф и т — соответственно вариации потенциала течения и формы тела в направлении внешней нормали к телу в данной точке.

Для того, чтобы можно было воспользоваться обычной аргументацией вариационного исчисления, выражение (3) необходимо привести к виду

ВУ=||бо/г^5, (4)

причем <Ь зависит лишь от решения краевой задачи (1) и не зависит от 8п.

Используя теорему Грина, связывающую объемный и поверхностные интегралы, запишем первый член выражения (3) в следующем виде:

2 Щ у8Фу(Ф - х)йА= - 2 Щ 5ФД(Ф - х)йА —

сія.

5и

І’ ЗФ ( ' ЭФ дх \

і ' и дп дп )

ЭФ

дг

дх

дг

(5)

В этом выражении Сг — сфера достаточно большого радиуса, охватывающая тело 2. Третий член выражения (3) перепишем в виде

Г[| Ф*ДЗФс?Д = и“|8ФДФ*<М- [[ (Ф <? С} .«не V

+я

ЭоФ

дг

дЬФ

дп

ЭФ* „_Л ,

------- 6Ф СІ8.

дг )

ЭФ*

дп

(6)

Для преобразования интеграла по поверхности в формуле (6) введем криволинейную ортогональную систему координат (С, т], п), где оси С и V) направлены вдоль главных направлений поверхности [2], а ось п — вдоль направлений внешней к телу

-* „ Э5Ф -

нормали га. В этой системе координат величина —может быть

записана следующим образом*:

ЭВФ

дп

= 8 (Л ' + — — Е ЭС дЬп 1 ЭФ дЬп Э2Ф I

5Ш: V дп 5113 5из д1 ' ~д д-ц 5УЇ Эт] дп2 1

8л, (7)

где Е и О — коэффициенты первой квадратичной формы на поверх-

ЭФ

ности 5^)2 [2]. В силу граничного условия -—

= 0 имеем

ЭФ

дп

ЯШ

= 0.

Используя далее формулы (6) интегрирования по частям в поверхностном интеграле [3], с учетом соотношения (7) получаем

Я

51ІЇ

Э6Ф

ЭФ*

дп

дп

Я тк[і-(Уї-ї)+-к{Уї

ЭФ

~*Г

ЭФ*

дп

офЙ5 ■

+

дп

У НО

ЭФ

дп

(‘ГМ <ЭФ ЭФ* 1 ЭФ ЭФ* , ЭФ ЭФ* \

•у V е э: Э£ <3 Эг) Эт] дп дп )

(8)

Заметим, что имеют место соотношения

VЕй

д

ЭС

Е ЭФ \ , „ а

в дц ) дп

у Ев

дп

= ДФ = 0:

1 ЭФ ЭФ* 1 ЭФ ЭФ*

Е да Э£ ~в д-ц

ЭФ ЭФ*

дп дп

;(уФуФ*).

* Вывод этой формулы дан в работе [3], однако конечный результат в формуле (26) [3] приведен с ошибкой.

Запись дифференциальных операторов в криволинейной ортогональной системе координат выполним, следуя [4]. Тогда выражение (8) запишем в виде

/■» /-Ї п п

(9)

Я

дп

ЭФ*

дп

&ф)ж = — ГГ

дФ*

дп

8Ф й$-

Ьп<І5.

С учетом формулы (9) соотношение (6) принимает форму

ш

Ф* АоФ^Л = 8ФуФ* йА ч

^ «)

+ \ \ (уФуФ*)ъпйз +

<ЭФ* -лч-г оФс?5

Ф*

дп

5Ш

ЭоФ ЭФ* 5>лч\

дг

дг

8Ф І СІ8.

(10)

Формулу (3) для первой вариации функционала окончательно перепишем в виде

8У= [ДФ* — 2Д (Ф — лг)] ШсІА — [(уФ—ух)2 —X —(уФуФ*)]8п^$+

ГГ ЭФ* о/ ** дх у

л дп дп дп )

оті ЭФ дх |8ф_|_ф* Э5Ф

дг дг дг

8Ф^х -{ ЭФ*

~~э7

8Ф

СІ5

или, принимая во внимание соотношения (1) и устремляя гоо, имеем

87= [ [[X + (уФуФ*) — (уФ - ух)2] 8и^« + Щ ДФ* 8ФЖ4 +

сіз. (11)

[Г

**!_+2-^8Ф<*; + дп дп I

ф,^Ф __ЭФ^£ф

дг

дг

В силу произвольности вариации ЗФ полагаем: в области (3

ДФ* = 0;

при

ЭФ* ________ 2 дх

дп дп

(12)

г2 = х2 + у2 + г1 -> со Ф* -> 0

и, таким образом, приводим выражение (11) для первой вариации функционала J к искомому виду (4)

оУ— || [X + (уФуФ*) — (уФ — ух)2] Ьпс^з. (13)

Отметим, что система уравнений (12) представляет собой сопряженную краевую задачу для определения множителя Лагранжа ф*(х, у, г). Легко убедиться, что единственным решением этой задачи является функция Ф* = 2(Ф —х). Тогда равенство (13) принимает вид

8У= [X— 1 —|— (уФ)2] о/гй?5.

Вследствие произвольности вариации оп условие оптимальности оУ=0 на поверхности 5 запишем в виде

(уф)2 — 1 -f Х = 0

или

1 — V2 — ср = X = const,

где ср — коэффициент давления.

Таким образом, доказано, что экстремум функционала 1 кинетической энергии возмущенного движения жидкости при фиксированном объеме тела А реализуется при таком обтекании, когда на варьируемой части тела скорость V течения жидкости постоянна. Этот результат справедлив как для пространственных, так и для плоских течений. Другими словами, показана эквивалентность классической задачи о течении со свободными линиями тока и вариационной задачи о минимуме функционала присоединенной массы тела. Этот результат, в отличие от работы [5], в настоящей статье получен математическим путем прямого варьирования исходного функционала. Данный подход удобен тем, что он в достаточной степени формализован и может быть обобщен на случай течения сжимаемого газа.

2. Численный метод и результаты расчетов. Полученный вариационный принцип дает возможность использования эффективных методов численной оптимизации для расчета различных задач симметричного обтекания как полигональных, так и криволинейных тел со свободными линиями тока в плоском и трехмерном потоках несжимаемой жидкости.

Рассмотрим задачу построения кавитационного течения в случае, когда часть границы, на которой скорость не постоянна, определяется „те“ параметрами. Тогда полная задача определяется „те + 1“ параметром, а именно, „т“ геометрических параметров и число кавитации. Исследование модельных задач обтекания полигональных тел показало, что существование единственного решения возможно при задании „те—1“ параметра. Иными словами полное задание формы поверхности Е может привести к несуществованию решения. Следовательно, при построении итерационного метода расчета кавитационных течений необходимо обеспечить ту или иную свободу на участке S границы S|J£. Поэтому данный итерационный процесс не будет являться методом наискорейшего спуска в чистом виде. Другими словами, „направление оптимиза-ции“ несколько искажается вследствие вынужденного однопараметрического варьирования участка £. Вопрос состоит в том, насколько существенно это искажение повлияет на сходимость процесса. Большое количество различных расчетов показало, что в подавляющем большинстве случаев сходимость достигается.

Алгоритм предлагаемого итерационного метода применительно к рассматриваемой задаче состоит в следующей процедуре:

1. Выбирается начальное приближение для варьируемой части S контура тела 9.

2. Решается краевая задача (1). Запоминаются контур тела 5 U -и значения скорости V на нем.

3. Задается некоторое значение постоянной X, соответствующее заданию объема А, и пункт расчета 2 повторяется для нового тела с границей SU Е. Граница S получается в результате смеще-

М„=0; Ь=0,2

«и ! X/

г . У /

/

/ 7

О Ю° 20° 50° 40° /1

— по данному методу • по работе [<?]

Рис. 3

Рис. 2

ния точек границы 5 в направлении внешней нормали на величину ьп = — ч{V2 — 1 + X), где 7 = 7 (С, т]) — произвольная неотрицательная функция. Граница £ получается в результате аффинного сжатия (растяжения) границы Е. Коэффициент деформации определяется из условия непрерывного сопряжения границы 2 с границей 5. Гладкость сопряжения обеспечивается при использовании прямого метода расчета обтекания тела с границей 5 и 2, когда через заданное конечное число точек проводится кубический сплайн.

Для иллюстрации эффективности предлагаемого метода проведены расчеты некоторых плоских кавитационных течений типа Рябушинского. На рис. 1 показаны результаты расчета кавитационного обтекания полигонального препятствия, а именно, симметричного обтекания клина по схеме Рябушинского. Приведены данные, характеризующие скорость сходимости итерационного процесса и степень точности расчетов в зависимости от числа итераций п (рис. 2, а, б). Заметим (см. рис. 2, б), что функционал J в окрестности экстремального значения имеет довольно пологий вид.

На рис. 3 дано сравнение расчетной и аналитической зависимости числа кавитации а от полуугла раствора р клина. Видно, что результаты настоящей работы хорошо согласуются с аналитическим решением, полученным в работе [6]. На рис. 4 показаны

2—„Ученые записки ЦАГИ“ № 1

17

результаты расчета кавитационного обтекания неполигонального тела, а именно, симметричного обтекания профиля, носовая часть которого имеет эллиптическую форму, а кормовая часть имеет форму клина. На этом же рисунке приведены основные геометрические характеристики полученного профиля. Расчет формы аэродинамических профилей, при обтекании которых реализуется экстремум функционала суммарной кинетической энергии возмущенного движения жидкости, представляет определенный практический интерес, поскольку изучение геометрических особенностей получающихся форм может оказаться полезным при проектировании аэродинамических профилей или других тел с малым сопротивлением.

В заключение авторы выражают благодарность В. С. Николаеву и Ю. А. Арутюнову за полезные дискуссии.

ЛИТЕРАТУРА

1. Сиразетдинов Т. К. Оптимальные задачи газодинамики. „Изв. вузов, Авиационная техника", 1963, № 2.

2. Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии. М., Гостехиздат, 1956.

3. Борсук М. В. О первой вариации функционала от решения нелинейной краевой задачи для уравнений в частных производных второго порядка. „Ученые записки ЦАГИ“, т. 3. № 2, 1972.

4. Корн Г., К о р н Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М., „Наука“, 1970.

5. Qarabedian P. R., Spencer D. С. Extremal methods in cavitational flow. „J. Rat. Mech. Anal.“, vol. 1, № 3, 1952.

6. P 1 e s s e t M. S., Shaffer P. A. Cavity drag in two and three dimensions. „J. of Appl. Physics", vol. 19, N 10, 1948.

Рукопись поступила 22/XI 1979 г.