Оптимизация формы аэродинамической поверхности, обтекаемой почти плоскопараллельным потоком Текст научной статьи по специальности «Математика»

МЕХАНИКА

УДК 532.526.5

ОПТИМИЗАЦИЯ ФОРМЫ АЭРОДИНАМИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ, ОБТЕКАЕМОЙ ПОЧТИ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНЫМ ПОТОКОМ

© 2003 г. А.В.Бунякин

Algorithm of construction of aerodynamic surface double-wing type is considered. Given surface have a property of minimization of velocity component of streamlining flow orthogonal velocity in infinity near surface.

Aerodynamic surface of search type can be use in construction of aircraft streamlining without of separation and having possibility of changing of form during of fly.

Введение. Задачи построения оптимальной формы несущей аэродинамической поверхности летательного аппарата являются обратными краевыми задачами для уравнений внешнего потока и могут иметь различные постановки [1]. В двумерных при обтекании потенциальным потоком идеальной несжимаемой жидкости в качестве оптимизационного критерия при вариациях формы обтекаемой поверхности может быть выбран, коэффициент подъемной силы. Его увеличение, геометрически соответствующее утолщению крылового профиля или увеличению угла атаки, ограничено условием безотрывности пограничного слоя.

Для ликвидации отрыва применяются различные методы: тангенциальный вдув, точечный или распре-г деленный отсос, а также вихревые ячейки на участках с неблагоприятным градиентом давления. Использование вихревых ячеек в комбинации с отбором внутри них успешно показано в экспериментальных полетах аппаратов типа «Экип» [2]. Обтекание этих аппаратов существенно отличается от плоскопараллельного, ‘и это приводит к двум основным трудностям: первая -сход вихревой пелены с боковой кромки, что приводит к потерям энергии, вторая (являющаяся следствием первой) - неустойчивость и плохая управляемость в полете.

В связи с этим задачу построения оптимальной формы несущей аэродинамической поверхности летательного аппарата можно сформулировать как задачу минимизации составляющей скорости потока вблизи обтекаемой поверхности, ортогональной скорости в бесконечности.

На рис.1 показан контур части поверхности в плане, форма которой может претендовать на оптимальность в вышеуказанном смысле. Скорость набегающего потока в бесконечности параллельна плоскости симметрии (г=0). Сечения данной поверхности плоскостями г=соп51 показаны на рис. 2, 3. Поверхность уходит в бесконечность по г, асимптотически приближаясь к цилиндрам меньшего сечения, показанного на рис. 2. Под поверхностью летательного аппарата можно подразумевать поверхность, изображенную на рис. 1, 2, ограниченную по торцам плоскими сечениями г = ±го-

Постановка задачи о нахождении формы поверхности летательного аппарата. Пусть скорость набегающего потока в бесконечности параллельна плоскости г-0 в системе «х,у,г». Поверхность,

имеющую те же качественные признаки, что и поверхность, изображенная на рис.1,2, обозначим Б.

Рис.2

Рассмотрим потенциальное обтекание Б потоком идеальной несжимаемой жидкости. Форма Б

г -2(х,у) заранее неизвестна, и с некоторым произволом, о котором будет ниже сказано, определяется решением следующей задачи:

(д д д ' дх’ду’дг

&х,у,г<Р-п)|5=0 ; ^х,у,2ч\<С, (1)

х2+у2-: Ух,у,2<р->{УГ,Гу, 0),

IIЭ© II

—— —»тт.

II ^2 15

Последнее условие определяет форму поверхности Б, а решение внешней задачи Неймана для уравнения Лапласа ввиду предполагаемого наличия острой кромки на Б удовлетворяет условию ограниченности скорости.

Трансформируем эту задачу в другую, близкую к ней.

Форму Б зададим аналитической функцией комплексной переменной 0и вещественной переменной х: х + гу = /(0,г), причем точки поверхности Б соответствуют вещественным значениям 0.

э' Э 1

дх’ду

\vx,y<p\<c;

х2+у2-^<~ : Vx,y,z<p-+(Vr,r?,0)

(2)

эу

дгдх

min

Э 2(р

ЭгЭ у

. . д(р .д(р

Если учесть, что У (х + 1у, г) - —— I —------------анали-

ах ау

тическая функция комплексной переменной х + 1у, то последние условия (2) могут быть переписаны в виде, позволяющем определить функцию / (звездочка здесь и в дальнейшем обозначает комплексное сопряжение):

dv* dV*(f(6,z),z)

dz S dz

mm

(3)

Аналитичность

♦

V =

9eR

dW

д/J.

по переменной

У 1-й2/Г}2

где а - угол атаки;

/3 = а + arctg

У о

R-x0

(5)

(6)

С учетом (5) и того, что R,XQ,yQ,x^,Уl зависят только от переменной т., условие (3) запишется в виде с1У*

уравнения:------= о, или

<1г

сЬсп с!у0 &с> , (1В. п

а0-— + Ьй-— + а1—— + Ь1—— + с — -0. (7)

аг аг аг аг аг

Для этого необходимо фиксировать однозначную

ветвь функции, обратной к функции Жуковского (6)

*1 = % + ^2-Я2 ; Z = x + iy-Xl-iyx

с разрезом по вещественной оси, соединяющим точки ±Д, что можно записать в виде

18)

Здесь «^~» обозначает квадратный корень с разрезом вдоль отрицательной части вещественной оси,

«if» - положительной-

exp

г

-arg± z

Ц = x + iy позволяет определить комплексный по-

dW ,

тенциал W:(p = Rez) + F(z) . Тогда -г—ЬF

dz

как аналитическая функция от /а, имеющая производную по ц, равную нулю на S, и вещественную часть, стремящуюся к нулю в бесконечности, может быть только мнимой константой. Поэтому для нулевых минимумов условия задач (1), (2) и условие (3) эквивалентны.

Далее будет предложен алгоритм приближенного численного решения задачи системы (2). Приближение не предполагает сходимости к точному решению при конечном линейном размере поверхности S по оси X и состоит в том, что из множества всевозможных поверхностей S выбираются подмножества, имеющие в сечении плоскостями z = const крыловой профиль из семейства профилей Жуковского

£=е1в ; rj = R + (-x0+R-iy0)(^-i);

x + iy^xi+iyi +(т} + Д277-1)/2. (4)

При этом вещественные параметры, задающие форму профиля и его положение на плоскости «Х,У» (/?,д:о)>’0>'хЬ>’1). считаются функциями одной переменной z. Скорость набегающего потока в бесконечности полагается равной единице. При условии плавного схода потока с острой кромки сопряженная скорость плоского обтекания такого крылового профиля представляется в следующем виде (Т], £ — комплексные):

—п < аг§_ г < я ; 0 < аг£+ г < 2п.

Из формул (4), (6), (8) можно выразить производит? сІС, с!(3 (іхо <іу0 с1х{ с1у{ dR

НЫе & ’ сЬ.' <1г чеРез сії ' сіг ' (її ' <1г ' сії '

затем подставить в (8) и преобразовать к (7). В результате получаются выражения для коэффициентов, вхо-

2 2

дящих в (7). Введем обозначения р = 1 - К / г\ ;

Т = 1 + 2е21^С, 1 - е2І@ , тогда

т Г]-Я

й0 =-------------------уГ +

РС \~х0 +К~уоГ

, 4-г1) „„ .

рС (я-^0)2 +уо

и _ т І(Г}-Ю

Ьо--------Г-------------ГГ- +

рС (-^о+^-^о)

, 2/(і-Г1)е2ф К-Ч

рС = —ibx =

(

,+у%

^P£2{-XQ+R-iyo)

(R-xof

_____(l-g-Qfl + e2lPrl)lR2

рУ

(

ІЕ.

(И* і \ 1 1 % я \

ї |ІД « К і )

с = ■

х0+іу0~Л

РС2 (-х0+Я-1у0)2 2і\\-ГХ)е1ф Уо

РС (Л-лг0)2 +уд

2 3 Р т

/£х

ї+іі Г7 +

( || 1 1 -Iі 1 \

1 І §1 я

2 Я і і +І1*1

IV 4 Я ' К /

(і-Г.1) (і+^^С'1 )2/г .

р2г/2

Так как а о > »а1»>с — комплексные числа, (7) -

это два вещественных равенства. Если записать их коллокацией в двух точках на поверхности крылового профиля (в каждом сечении поверхности Б плоскостью, ортогональной оси г), то получатся четыре вещественных уравнения. В качестве коллокационных берутся точки, соответствующие значениям 0 , равным (тг + 2/8)/2 и (-л + 2/3)12, т. е. точки, соответствующие локальным максимумам скорости обтекания цилиндра на плоскости £ . Считая теперь х0, у0, , у{

функциями переменной Щг), можно выразить из полученной системы четырех уравнений величины

с1хп (1у о (&, <1ух п

-г-.—.—--гг через параметры К,хй,уй,х„ух, <Ш аЯ аК (Ш

решая линейную систему уравнений. Рассмотрим это как систему дифференциальных уравнений для функций х0, у0, х{, у, от переменной Я.

Далее задаются К, *0, у0, Хх, у1, т. е. задается профиль некоторого начального сечения поверхности Б. Полученная система дифференциальных уравнений интегрируется численно. Оказывается, что при пере-

(IV

ходе от сечения к сечению норма функции

<Ж

от

аргумента 0 в пространстве Ь2 уменьшается (рис. 4,5). Эта сходимость поточечная на совмещенном интервале (0,тг + 2/3) и(я + 2/3, 2тг). Равномер-

ной сходимости на всем контуре препятствует наличие особенностей на острой кромке - 0 = 0,2тг и в точке торможения - 0 = 71 + 2/3 .

На рис. 2 показаны сечения, соответствующие значениям 11=1,3,5,7,9, а соответствующее им измене-№

от о показано на рис. 4 (уве-

ние зависимости

йВ.

личению крылового профиля соответствует уменыне-йУ

ние нормы функции

<т

от 0 ). На рис. 3, 5 показа-

но продолжение этого процесса для значений 11=11, 15, 19. Значения *\,у\ при этом тоже изменяются, но незначительно, и поэтому получаемая поверхность Б однозначно проектируется на плоскость г = 0.

В качестве начального профиля был взят крыловой профиль Жуковского со значениями: Я = 1, х0 = -0,3, У0 = 0,1, X] = у\ - 0 . Угол атаки а = 0,05 . Маркерами на рис. 2,4 показан профиль сечения поверхности Б и соответствующая ему зависи-

от 0 , получаемые из начального профиля

мость

йК

при уменьшении шага интегрирования в десять раз для проверки аппроксимации разностной схемы. Маркеры на рис. 4 соответствуют положению марке-

Рис. 4

Произвол в приближенном решении задачи (2) дает возможность растяжением вдоль оси Ъ уменьшить

т. д(р ■

составляющую Уг = -г— в пределе до нуля. Это мож-ог

но проделать с поверхностью обтекаемого тела любой начальной формы, но для поверхностей, построенных по предложенному алгоритму, заданной максимальной величины V2 можно добиться при меньшем линейном размере.

Учитывая, что предложенный алгоритм решения задачи (2) приближенный, его можно рассматривать как своеобразную минимизацию составляющей скорости УI вблизи обтекаемой поверхности.

Заключение. Представлена попытка построения начальных приближений для форм аэродинамических поверхностей, обтекаемых дозвуковым потоком без

отрыва и схода вихревои пелены с торцевой кромки. Построенный алгоритм позволяет строить поверхности, пригодные для дальнейшей корректировки расположения вихревых ячеек, для ликвидации отрыва, а также дает возможность изменения формы в процессе полета. Под изменением формы понимается возможность симметричным относительно плоскости г = 0. частям поверхности, соответствующим меньшим сечениям (рис.1,2), задвигаться внутрь основной поверхности при изменении скоростного режима полета.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ 2000-ЮГ № 00-01-96010.

Литература

1. Елизаров А.М. и др. Обратные краевые задачи аэродинамики. М., 1994.

2. Савицкий А.И. и др. Способ управления пограничным слоем на аэродинамической поверхности летательного аппарата. Пат. 2015941 РФ // Б.И. 1994. № 13. С. 71

Кубанский государственный технологический университет

28 мая 2002 г.

УДК 519.96

ЗАДАЧА СТАЦИОНАРНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ В ДВУМЕРНОМ МАССИВЕ С п-РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ЛИНЕЙНО-АНИЗОТРОПНЫХ ЗОН

©2003 г. Х.С. Лайпанов

This article concerns the problem of stationary filtering of subterranean liquid, occurring accordingly Darcy's Linear Law. Two-dimension massif with the n-distribution of three linear-anisotropic zones and corresponding disposition of a extended cleft.

Degree of gained results generality allows recording of expressions of complex potential perturbated flow in 30 different filtering massifs systematized in corresponding tables.

плоскости (рис.1) таким образом, чтобы их оси абсцисс совпадали.

1. В статье решается задача стационарной фильтрации подземной жидкости, происходящей по линейному закону Дарси [1]. В качестве фильтрационной среды рассматривается двумерный массив с тремя параллельными границами раздела Ьг,Ь2 и Ь3. Первые две из них, являющиеся линиями разрыва линейноанизотропных зон О*(ки,к1у), £>3 (к2х,к3у), считаются краями протяженной трещины |у'|, а третья - границей раздела линейно-анизотропных смежных зон Оз(к2х>кзу), 04(к4х,к4у), расположенных справа

от указанной трещины.

Такой массив [2] следует задавать математической моделью

\р?фь.к1у МВъЦкЪх>кЪу У,Щф4хМу )] • (1)

называемой фильтрационной средой с п-распределе-нием трех прерывно-однородных линейно-анизотропных зон. Здесь через (к1Х,к1у), г = 1,3,4 обозначены коэффициенты проницаемости вдоль главных направлений анизотропии [3] соответственно в зонах

01+,£>з’,£)4 . При этом 1^,1о и считаются проходящими вдоль осей ординат трех систем координат ХОУ, Х1О1У1, Х2О2У2, расположенных на реальной

а

04

1 К «г

ог

Рис.1 Реальная плоскость фильтрационного массива с п-распределением трех линейно-анизотропных зон

Тогда связь между ними будет выражаться соотношениями:

4

*=*м-2 + X= 1’2’3^

(1=3

где 1ц~2 ~ безразмерный параметр, кратный характерному для геометрии конкретной задачи отрезку /0. Для данного случая 1^_2 принимает два значения. В

частности, при /і = 3 его значение соответствует И раскрытию трещины, а при ц - 4 - ширине зоны £>з"(к3х,кзу), равной I.

Проекции уравнения Дарси в прямоугольных системах координат имеют вид: