CC BY
8УДК 004
А.А. Киселев, О.В. Снежкина, О.В. Бочкарева
ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ КАК СРЕДСТВО РЕАЛИЗАЦИИ МЕЖПРЕДМЕТНЫХ СВЯЗЕЙ
Рассматривается реализация межпредметных связей между дисциплинами «Моделирование и оптимизация процессов» и «Математические методы и модели в расчетах на ЭВМ» на примере задачи планирования производства.
Ключевые слова: учебный процесс, межпредметные связи, оптимальное решение.
В учебных планах высшей школы имеется ряд дисциплин, подразумевающих изучение математических методов и различных программных продуктов во взаимосвязи. Рассмотрим возможность реализации межпредметных связей между дисциплинами «Моделирование и оптимизация процессов» и «Математические методы и модели в расчетах на ЭВМ» по направлению подготовки «Технология лесозаготовительных и деревоперерабатывающих производств» на примере оптимизационных задач [1, 2].
В качестве примера приведем задачу по планированию производства. Предприятие выпускает два вида продукции, используя при этом три вида сырьевых ресурсов. Нормы затрат сырья, его запасы, а также доход получаемый от выпуска единицы продукции приведены в таблице 1.
Таблица 1
Виды сырья Нормы затрат на единицу продукции, кг Запасы сырья, кг
продукция 1 вида продукция 2 вида
Pi 10 14 182
Р2 20 20 360
Рз 58 29 696
Доход от единицы 4 3
продукции
Требуется определить такой план выпуска продукции вида 1 и 2, при котором будет получен максимальный доход.
Составим математическую модель задачи. Количество изделий продукции 1-го вида обозначим за xi, количество изделий продукции 2-го вида обозначим за x2. Требуется найти максимальное значение целевой функции Z = 4x1+3x2 ^ max, при системе ограничений:
' 10х +14х < 182, 20X + 20X < 300, < 58х + 29x < 696, (1)
X > 0,
X2 > 0.
При изучении дисциплины «Моделирование и оптимизация процессов» предлагаем рассмотреть решение исходной задачи графическим и симплексным методами. Отметим, что гра-
© Киселев А.А., Снежкина О.В., Бочкарева О.В., 2014.
фический метод дает более наглядное представление реализации оптимизационных задач. В пересечении полуплоскостей (1) получим многоугольник возможных решений ABCDE (рис. 1).
Х2 \
в
Г \
\
£ \ \к-
! \ 1
L/............\.................j..........\ \ XI
А 2 4 б\ в ю Е 12 14
Рис. 1. Многоугольник решений.
Передвинем линию уровня ^ = 0) в направлении вектора-градиента п = (4; 3) параллельно самой себе до последней точки D обозначенной области, где целевая функция Z достигает максимального значения. Координаты точки D(9;6) определим как результат пересечения прямых:
20x1 + 20x2 = 300, 58x1 + 29x2 = 696.
Найдем значение целевой функции Z(D) = 4*9 + 3*6 = 54=Zmax. Для оценки оптимального решения рекомендуется найти значение целевой функции Z в ряде других точек многоугольника ABCDE.
Приведем решение задачи симплексным методом. Данный метод позволяет проследить поиск решения по ряду точек многоугольника ABCDE (рис.1). Заметим, что симплексный метод является универсальным методом, которым можно решать любую задачу линейного программирования. Приведем систему ограничений (1) к каноническому виду путем добавления неотрицательных переменных x3, x4, x5:
10x1 + 14x2 + x3 = 182, < 20 x1 + 20 x2 + x4 = 300, 58 x1 + 29 x2 + x5 = 696,
при х - 0, X > 0.
Полагая неосновные переменные x1=0, x2=0 получим первое базисное решение x3=182, x4=300, x5=696, которое соответствует начальной точке А многоугольника решений ABCDE (рис. 1):
x3 = 182-10x1 - 14x2, x4 = 300-20 x1 - 20 x2, x5 = 696-58 x1 - 29 x2,
Увеличим значение целевой функции Z путем перевода переменной x1 из неосновных в основные:
x1 = 12-0,5x2-x5/58, x3 = 62 - 9x2 + 10x5/58, x4 = 60-10x2 + 20x5/58.
Произведен переход в точку E. Полагая неосновные переменные x5=0, x2=0 получим второе базисное решение x1=12, x3=62, x4=60 (Z(Е) = 4x1+3x2=4-12+3-0=48).
Далее увеличим значение целевой функции Z путем перевода переменной x2 из неосновных в основные:
x2 = 6-x4/10 + 10x5/58, x1 = 9 + x4/20-2x5/58, x3 = 8 + 9x4/10 - 10x5/58.
Произведен переход в точку D. Полагая неосновные переменные x4=0, x5=0 получим решение x1=9, x2=6, x3=8, соответствующее Z(D) = 4x1+3x2=4^9+3^6=54=Zmax.
Теперь рассмотрим реализацию представленной задачи (таблица 1) при изучении дисциплины «Математические методы и модели в расчетах на ЭВМ».
Решение задачи произведем в программе Microsoft Excel. Создаем на Листе Excel таблицу с исходными данными (рис.2) [3].
Результаты выполнения поиска решения представлены на рисунке 2.
Рис. 2. Ввод исходных данных
<
i Arial Суг -10 - Ж К Ч Щ. Ш Ш Щ % ООО
F6 т f* =СУММПРОИЗВ(В$3:С$3;В6:С6)
А В С D I Е F G Н I J к
1 переменные
2 имя Х1 Х2
3 Значеие 9 6
4 Нижн.гр. 0 0 ЦФ
5 Значение Напрел.
6 Кэф.ЦФ 4 3 54 тах.
7
8 ограничения
Э Вид Лев.Часть Знак Прав.Часть
10 Огран.1 10 14 174 <= 182
11 Огран.2 20 20 300 <= 300
12 Огран.З 58 29 696 <= 696
13
14
15
Рис. 3. Результат выполнения поиска решения.
Предложенный метод организации учебного процесса по принципу: одна задача - несколько решений позволяет студентам оценить, выделить преимущества каждого метода решения исходной задачи, выбрать наиболее оптимальный и способствует более глубокому восприятию изучаемого материала.
Библиографический список
1.Бочкарева, О.В. Математические задачи как средство формирования профессиональных качеств личности / О.В. Бочкарева, Т.Ю. Новичкова, О.В. Снежкина, Р.А. Ладин // Современные проблемы науки и образования.-2014.-№2; URL: www.science-education.ru/116-12584
2.Ладин, Р.А. Математика и междисциплинарные связи / Р.А. Ладин, О.В.Снежкина, О.В. Бочка-рева, Н.В.Титова//Молодой ученый.- 2014.- № 1.- С. 550-552.
3. Шмаков, И.С. Реализация межпредметных связей / И.С. Шмаков, О.В. Снежкина, О.В. Бочкарева// Вестник магистратуры.- 2014.- № 6-1 (33).- С. 68-71.
КИСЕЛЕВ Артем Анатольевич - аспирант, Пензенский государственный университет архитектуры и строительства.
СНЕЖКИНА Ольга Викторовна - кандидат технических наук, доцент кафедры «Математика и математическое моделирование», Пензенский государственный университет архитектуры и строительства.
БОЧКАРЕВА Ольга Викторовна - кандидат педагогических наук, доцент кафедры «Автоматизированных систем управления и программного обеспечения», Пензенский артиллерийский инженерный институт.
