Оптимальные стратегии страховых компаний Текст научной статьи по специальности «Математика»

ОПТИМАЛЬНЫЕ СТРАТЕГИИ СТРАХОВЫХ КОМПАНИЙ

А. Н. ЖУРОВ, А. Б. ШАПОВАЛ

В работе рассмотрена динамика управляющих параметров страховой компании и капитала, инвестируемого в портфель ценных бумаг, который состоит из рискового и безрискового активов. Предполагается, что процесс суммарных убытков является сложным пуассонов-ским процессом, а премии, собираемые в единицу времени, постоянны. Моделью изменения цены безрискового актива является банковский счет с непрерывным начислением процентов, а рискового - геометрическое броуновское движение. Управляющие переменные модели -это доля капитала, инвестируемого в рисковый актив, и величина потребления. В работе показана зависимость оптимального потребления от инвестиционных параметров, а также от коэффициента относительного неприятия риска.

Ключевые слова: оптимальное управление, уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана, оптимальное потребление.

1. Введение

Выбор оптимальных стратегий страховых компаний является одной из основных тем многих исследований в области актуарной математики [7; 5; 12]. Стратегии страховых компаний можно условно разделить на три типа: инвестиции, страхование, потребление. Инвестиционные стратегии заключаются в выборе оптимального инвестиционного портфеля. Пример страховых стратегий -выбор оптимального размера премий (тарифов), франшизы, условий выплаты возмещения. Стратегии в сфере потребления заключаются в выборе оптимального потока расходов, не связанных со страховой и/или инвестиционной деятельности.

Статьи [6; 7] положили начало исследованиям стратегий страховых компаний, инвестирующих свой капитал в финансовые инструменты. В этих моделях предполагается, что цена рискового актива изменяется в соответствии с геометрическим броуновским движением. Количество убытков на заданном интервале времени задается пуассоновским, а суммарный убыток - сложным пуассоновским процессом. Винеровский и пуас-соновский процесс предполагаются независимыми друг от друга и от размера одной (произвольной) страховой выплаты. В статье [12] получена формула оптимального размера капитала, инвестируемого в рисковый актив.

В статьях [8; 9] впервые исследован вопрос, как влияет потребление рыночных агентов на их инвестиционные стратегии. В этих работах авторами получены явное выражение для оптимального размера инвестиций и неявное выражение

для оптимального потребления. В статье [10] приведен обзор технических средств, используемых в задаче выбора оптимального управления. В [11] сформулирована задача выбора оптимальных потребления и инвестиций для страховой компании.

Вопрос о точной формуле оптимального потребления является основным в цитируемых работах. На сегодняшний день этот вопрос остается открытым из-за нелинейности уравнения Гамиль-тона-Якоби-Беллмана (ШВ). Задача решена в частных случаях - при задании класса функций, в котором ищется решение уравнения ШВ.

В работе исследуется зависимость оптимального потребления от параметров модели.

Найдено уравнение динамики оптимального потребления. Опираясь на это уравнение, получена зависимость ожидаемого оптимального управления от параметров модели.

Статья организована следующим образом: в разделе 2 приводится постановка задачи. Раздел 3 посвящен выводу зависимостей ожидаемого оптимального потребления от параметров модели. Результаты обсуждаются в заключении.

2. Модель

Рассмотрим страховую компанию, которая занимается страхованием, инвестированием и потреблением. Предположим, что страховая компания выбирает между безрисковым и рисковым активами, цены которых, В1 и р соответственно, удовлетворяют следующим уравнениям:

= Г0 ВА’ (1)

dPt = р (^ + аdWt),

(2)

где t - время, Г0 - безрисковая процентная ставка, ц— доходность рискового актива, а- волатильность рискового актива, Wt - броуновское движение, определяющее случайные возмущения динамики цены рискового актива. Уравнения (1), (2) представляют собой модель динамики (В, 5)- рынка, т. е. финансового рынка с безрисковым и рисковым активом.

Предполагается, что изменение капитала Хг в момент времени t определяется инвестициями, страхованием и потреблением. Пусть и1 и 1 - и1 обозначают доли капитала Х1, инвестируемые соответственно в рисковый и безрисковый активы.

Пусть величина Nt задает количество страховых случаев, произошедших за промежуток [0, t]. Предполагается, что процесс Nt, t > 0 является пуассоновским процессом с интенсивностью Х> 0 . Предполагается также, что размер I — ой (произвольной) страховой выплаты задается случайной величиной Li, которая характеризуется конечным математическим ожиданием Е(Li), конечной дисперсией и одинаковой для всех i функцией распределения. Ограничимся рассмотрением неотрицательных случайных величин, т. е. таких, для которых верно следующее равенство Р(Ц < 0) = F(0) = 0 . Суммарные страховые выплаты задаются сложным пуассоновским про-

V = У ^ Т Т

цессом ^ /__(г=о г', здесь - случайная вели-

чина, задающая размер /-ой (произвольной) выплаты. Значение процесса равно суммарному убытку по Ntстраховым случаям Ц,i = 1,...,Nt, произошедшим (и урегулированным) в промежуток времени [0, t]. Из определения сложного пу-ассоновского процесса V следует, что случайные

величины А?т2>•••>Т^11: независимы, одинаково

распределены, имеют общую функцию распределения и не зависят от числа N. страховых случаев. Предполагается также, что случайная величина не зависит от броуновского движения Wt.

Суммарные страховые премии Р, = р , собираемые за каждый промежуток времени, предполагаются постоянными [Бауэрс, 2001]. Размер суммарных страховых премий в данной модели рассчитывается по формуле:

р = (1+в)ш (ц), где в > 0 - рисковая надбавка.

Под потреблением с. понимаются любые

расходы, которые не связаны с выплатой возмещений по страховым случаям, расходами по урегулированию этих случаев и расходами, без которых страховая деятельность не может существовать (заработная плата сотрудникам, аренда зданий, налоги, оборудование, штрафы). Типичный пример - бонусы сотрудникам страховой компании. Предполагается, что ог > 0 .

При сделанных предположениях (1), (2) капитал удовлетворяет уравнению:

/Хг = и{Х{ + (1 — и) Х1/В + р/, — — с/

В,

(3)

Капитал Х, предполагается непрерывным справа, т. е. Х* = Х и имеющим конечный

1" у ___ у

предел слева, обозначаемый Х,_ : ^ _ л t —.

ж

Оптимальное потребление с, также предполагается непрерывным справа и имеющим конечный предел слева. Непрерывность справа оптимального потребления с* и капитала Х, понимается в том же смысле, что и непрерывность винеровско-го процесса Wt. Строго говоря, все траектории Wt с вероятностью единица (п.н.) являются непрерывными, а Х1 и с*Х1) непрерывными справа и имеющими конечный предел слева. В дальнейшем для упрощения записи использованы обозначения с* = с* Х{), с— = с* (t, Х(._).

При наступлении крупных убытков и/или неблагоприятной конъюнктуре на финансовом рынке капитал Х1 в некоторый момент времени может стать отрицательным. Обозначим через т первый момент времени, при котором капитал стал отрицательным, т. е. и = шш(, > 0: Х, < 0). Случайную величину т называют моментом разорения. При этом, если капитал страховой компании всегда неотрицателен, полагают т = +да, т. е. разорение никогда не происходит. Пусть Т -горизонт планирования страховой компании. Определим момент т1 равенством: т1 = тт(Т,т).

Целью страховой компании является оптимизация будущего размера капитала и потока потребления в соответствии со своими предпочтениями. Целевая функция задана формулой:

V(t,x) = sup Ef Г )ds + e-^UX^) | X, = x),

u ,cs >0 \Jt 1 J

(4)

где горизонт планирования Т удовлетворяет условию Т > ?, Р > 0 - дисконтирующая ставка.

Тогда функция V(^ х) определяет максимально возможный ожидаемый уровень полезности на временном промежутке [^ Т], связанный с будущими значениями капитала и потребления, при условии, что в момент времени t капитал равен Х1 = х.

Функции полезности £ (%), i = 1,2, удовлетворяют естественным требованиям:

£ '(#) > 0, £ (£) < 0, i = 1,2.

Простейшая функция полезности, удовлетворяющей указанным свойствам является степенной:

f(£) =

1 _7

0 < у < 1

(5)

}п(£),у = 1-

Функция полезности (5) характеризуется постоянным относительным неприятием риска. Несложно получить выражение для коэффициента

f "(£ )£

у = _ . Величина у называется коэффици-

f’(^)

ентом относительного неприятия риска Эрроу-Пратта.

Таким образом, страховая компания оптимизирует выражение, стоящее под знаком sup в (4),

выбирая оптимальные управления м* и с* > 0 в классе Марковских управлений.

3. Зависимость оптимального потребления от параметров модели

Основной результат статьи формулируется в следующей теореме:

Теорема 1. Пусть выполнены условия (1)-(5). Предположим дополнительно, что функция Белл-мана возрастает и строго выпукла вверх, т. е.

Vx > 0,Vxx < 0. Тогда ожидаемое оптимальное потребление E(с*) возрастает по параметру Ц, убывает по Р, а и при выполнении неравенства

Г > Ц_Уа /(1 + у)

(6)

возрастает по г0.

Сформулированная теорема 1 утверждает, что ожидаемое оптимальное потребление Е(с*) возрастает:

1. С устойчивым ростом рынка, проявляющемся в увеличении доходности рискового актива, уменьшением волатильности и увеличении безрисковой процентной ставки.

2. С уменьшением ожидаемых рисков, в том числе инфляционных, характеризующимся уменьшением дисконтирующей ставки.

Следовательно, при устойчивом росте рынка и уменьшением ожидаемых рисков увеличиваются дополнительные расходы страховой компании, например, выплата бонусов.

Доказательство. Для доказательства монотонности по указанным параметрам в лемме 1, получено уравнение, которому удовлетворяет динамика оптимального потребления с* .

Лемма 1. Пусть выполнены условия (1)-(5). Предположим, что функция Беллмана V(^ х) возрастает и строго выпукла вверх, т. е. V > 0,Ухх < 0. Тогда динамика оптимального потребления задается формулой:

. Г - , ч2 Л

dc .

~Р+^+уЦ~] +Ac*)EL(ct(t’x_L) у _(с*) у )

dt+

ау

(7)

Математическое ожидание в формуле (7), обозначенное через Ец вычисляется относительно случайной величины Ц. Доказательство леммы приведено в приложении.

Записав уравнение (7) в интегральной форме, вычислив математическое ожидание левой и правой частей и использовав свойство

Е || £(О/Щ I = 0 интеграла Ито, получим:

г/ ■ \ 1 f I 1 + у (Ц_ r0

E(ct) = c0 +— II _ р + ~— у а 2 у

E(c*)

+ AE((cS)'+уEl (c*(s,xs _Lt) у)) _ Acr*ds +

(8)

( t

+ E

Zt t

c (s,xs__ dSs) _ cs_

Слагаемые в подынтегральной части (8), очевидно, возрастают по параметру Ц, убывают по а и Р. Необходимое условие возрастания оптимального потребления по г0 получается стандартными методами с использованием производной членов (5), зависящих от г0:

W(r0 ) = Г0 +

1 + у I Ц_r0 2у

а

(9)

2

Условие возрастания ожидаемого оптимального потребления Е(с*) по г0 первого порядка

имеет вид:

г0 > Р —

уа 1 + у

что соответствует условию теоремы.

4. Заключение

В работе исследована динамика оптимального потребления страховой компании. Эта стратегия выражается через наблюдаемые параметры страхования и финансового рынка. Зная начальное оптимальное потребление, можно вычислить опти-

*

мальное значение с, в каждый момент времени.

Монотонность по параметрам определяется на основе дифференциального уравнения, которому удовлетворяет оптимальное потребление. Для вывода этого уравнения используется стохастическое интегральное исчисление, а именно формула Ито и уравнение ШВ.

В статье приведены условия монотонности оптимального потребления от следующих параметров модели: доходность рискового актива р доходность безрискового актива г0, волатильности рискового актива а и дисконтирующей процентной ставкой р.

Использование оптимальных стратегий страховыми компаниями в своей деятельности поможет рациональным образом управлять инвестициями и потреблением. Оптимальные стратегии построены исходя из двух важных требований финансовых организаций - максимизация ожидаемой полезности капитала в некоторый момент времени в будущем и максимизация ожидаемой полезности потребления на некотором промежутке времени. Исходя из этого, целевая функция включает как доходы, так и отдачу от расходов, что согласуется с запросами страховых организаций.

Развитием данной модели может служить вывод формул оптимального потребления для различных функций полезности. Также естественно рассмотривать случай достаточно общей функции полезности потребления. Интересна возможность получения точной формулы оптимального потребления, выраженной через время t и капитал Х,.

Другим направлением развития модели может быть применение численных методов для решения уравнения ШВ.

5. Доказательство леммы 1

Доказательство. Уравнение (3) представимо в виде:

/Х{ = (((р — г0 )и, + г0)Х1 + р — е1 )/, + аХи/Щ, — . (10)

Запишем уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана (ШВ) для решаемой задачи:

р¥ = ¥( + ,тр\ и{х(р — г0)¥х +—а2х2и,¥х:

и, I 2

+ ™р{и с,) — с,¥х }+ Г0 х¥х

(11)

с, >0

+ р¥х + Ш(¥(,,х — I,) — ¥(,,х))

Введем обозначение: £1(е, ) = £ (с, ). Необхо-

димые условия экстремума имеют вид:

и = (Р — г0 )¥х

(12)

£ '(с; )=¥х. (13)

Проверим достаточность необходимых усло-

; ;

вий для и,, с, в уравнении (11). Для этого введем функцию

Ф(и,,С,) = (р — г0 )х¥хи, + 1а2х2и2¥хх + Л(с,) — С,¥х ,

в которую включены члены уравнения (11), зависящие от и,, С,. Достаточные условия максимума имеют вид:

Ф Ф

Фии < 0,ФСС < 0, ии ис > 0.

Ф Ф

си СС

Вычисляем: Фии = а2х2¥хх < 0, поскольку по условию леммы ¥хх < 0. Фсс = £ "(С, ) < 0 в соответствии с ограничением на рассматриваемую функцию £ (с), задаваемой (5). Смешанные производные Ф = Ф = 0, поэтому ФФ —ФФ =ФФ > 0.

ис еи^^ ^ ии сс си ис ии СС

Достаточные условия доказаны.

Запишем приращение ¥х (,, х), применив формулу Ито для процесса со сносом, диффузией и скачками:

/¥х (,,х) = (¥, + ((Г0 + и,(Р — Г0 ))х, — С* + Р)¥х +

2 (и,* )>’- х?<-

+ [¥х(,,х, — — — ¥х(,,х, — )\

+^(и,)а х¥хх(х)№+и,ах,¥х/Щ, + (14)

Продифференцируем уравнение ШВ (11) по

переменной х. После этого запишем уравнение

; ;

для оптимальных и1, е1:

р¥х = ¥х + ((р— Г0 )и1 + Г0 )¥х +

(((Р — г0)и, + г0 )х — С, + Р)¥хх + а (и,) х¥хх + (15)

+1 а2 (и*)2 х2¥х,х + Щ¥х (,, х — Ц) — ¥х (,, х))

Выразим слагаемое (((р—г0)и;+г0)х—с;+ р)¥хх из (15) и подставим в уравнение (14), записанное для оптимальных с;,и;. После элементарных преобразований получаем:

/¥х = ((р — (р — Г0 )и; — Г0) ¥х — а2 х(и,* )2 —

—АЕ (¥х (,, х — Ц) — ¥х (,, х)))/, + ахи*1¥хх/Щ{ +

+¥х <Л х,— — ) — ¥х(t, х,—X i = 0,-> Nt. (16)

Используем в (16) необходимое условие (13)

*

для С, :

/£' = ((р — Г — и*( р — Г0 ))£'—а2 х( и*;2 £ —

dx

(17)

_ AE(f'(c (t,x _ _ f'(ct)))dt +

* Sf * *

+ oxwt-------dWt + f'(c (t,xt__ dSt)) _ f'(c (t,xt_))

dx

После использования необходимых условий

* *

(12) для и, и (13) для е, , получаем следующее уравнение:

df' = ((Р_ r0 )f’_AE( f'(c (t,x _ Li)) _

_ f'(c*)))dt _ (Ц_Г0 )f' dWt + а

+ f'(ct(t,xt_ _ dSt_ f'(c (t,xt_)

(18)

Уравнение (18) задает неявным образом динамику с; . Для того, чтобы вывести дифференциальное уравнение для с; , применим формулу Ито к обратной функции от £", т. е. к случайной функции е(£") = (£") 1. В случае степенной функции полезности (5) имеем: £'(е) = С у, следовательно С = (£') у. Замена: е~ у = т , откуда следует С = т 1. Тогда (18) записывается следующим образом:

dm = ((р_ r0)m _ AE(m(t,x _ Li) _ m(t,x)))dt _

( Ц_ Г) y>m

dWt + m(t,xt_ _ dSt ^ _ m(t,xt_ ^

(19)

Применим формулу Ито к процессу c = m у:

1+у

dmу = —^m у |f(p—rfj)m—AE(m(t,x—Li)—m(t,x)))dt—(——r)mdW1+

у V

1+2у

+11 +,у m у (dm)2 +c (t,xt_—dSt)—c (t,x—) =

2 Г

1

=—m у (p—r0 —ArTlE(m(t,x—Li)—m(t,x)))dt+ 7

1

(20)

+

(Ц—r0)m ;

Сделаем обратную замену, элементарные преобразования и получим уравнение (7).

Литература

1. Бауэрс Н. [и др.] Актуарная математика: пер. с англ. под ред. В. К. Малиновского. М., 2001.

2. Беллман Р. Динамическое программирование. М., 1960.

3. Оксендаль Б. Стохастические дифференциальные уравнения. Введение в теорию и приложения: пер. с англ. М., 2003.

4. Arrow K. J. Uncertainty and welfare economics of medical care. American Economic Review, 1963. P. 53, 941-973.

5. Browne Sid Optimal investment policies for a firm with a random risk process: exponential utility and maximizing the probability of ruin. Mathematics of Operations Research 1995. P. 20, 937-958.

6. Buhlmann H. Mathematical Methods in Risk Theory. Springer-Verlag, Berlin. 1970.

7. Gerber H. Entscheidigungskriterien furden zu-sammengesetzten Poisson Pozess. Mitteilungen der Verei-nigung Schweizer Versicherungsmathematire 1969. P. 19, 185-228.

8. Merton R. C. Lifetime Portfolio Selection under Uncertainty: The Continuous-Time Case. The review of Economics and Statistics 1969. P. 51, 247-257.

9. Samuelson P. A. Rational theory of warrant pricing. Industrial Management Review. 1965.6, 13-31.

10. Sennewald K. and Walde K. Ito’s Lemma and the Bellman Equation for Poisson Processes: An Applied View. Journal of Economics. Springer-Verlag. 2006.

11. Stamos M. Z. Optimal consumption and portfolio choice for pooled annuity funds. Insurance: Mathematics and Economics. 2008. 43, 56-68.

12. Yang H., Zhang L. Optimal investment for insurer with jump-diffusion risk process. Insurance: Mathematics and Economics 2005. P. 37, 615-634.

ау

dW+m(t,xt_ — dSt)— mft,xt_)

OPTIMAL STRATEGIES OF INSURANCE COMPANIES

A. N. Zhurov, A. B. Shapoval

In the article the dynamics of control parameters and wealth of the insurance company is considered. The wealth is invested in market portfolio, which is consisted of risk-free and risky assets. The total loss process is assumed to be compound Poisson and premiums, collected in every moment of time are constant. A change in price of the risk-free asset satisfies the model of the price of the bank account. The risky asset changes in accordance with geometric Brown motion. A fraction of wealth, invested in risky asset, and consumption are two control variables in the model. A dependence of optimal consumption with respect to invest parameters is derived in the paper.

Key words: optimal control, Hamilton-Jacobi-Bellman equation, optimal consumption.

* * *

a