CC BY
4ОПТИМАЛЬНЫЕ ПО ПОРЯДКУ СХОДИМОСТИ ВЕСОВЫЕ КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ ТИПА ЭРМИТА В ПРОСТРАНСТВЕ ^K)
Шадиметов Х.М.
д.ф-м.н., заведующий кафедры Компьютерная графика и информационной технологии
Жалолов О.И.
к.ф.-м.н., доцент кафедры информационной технологии Бухарского государственного университета
Шадманова К.У., Шамсиев Ж.Ш.
студенты Бухарского Государственного Университета
ORDER IN OPTIMAL CONVERGENCE WEIGHT CUBATURE FORMULAS TYPE OF HERMITE IN SPACE jjm) (K )
Shadimetov KH.M., Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Head of the Department of Computer graphics and Information Technology, National University of Uzbekistan,
Jalolov O.I., Ph.D., assistant professor of the Department of Information Technology Bukhara State University Shadmanova K.U.,
Shamsiev J.SH., students of the Bukhara State University
АННОТАЦИЯ
В настоящей работе рассматривается весовая кубатурная формула с функционалом погрешности в пространстве
т к,) .
ABSTRACT
In this paper we consider the weight cubature formula with a functional error in space jtm)(K ) .
Ключевые слова: весовой кубатурная формула, пространство С.Л. Соболева, погрешность кубатурной формулы.
Keywords: weight cubature formula, S.L. Sobolev space, error of cubature formula.
1. Введение. Постановка задачи
Работы многих авторов, например [1,4-8] посвящены кубатурным формулам, в которых входят значения произ- g(a) (x) = p (x) S (x) _ ^^C(а)8(а) (x _ x(я) ) , водных интегрируемых функций. Если известны не только n \a\<t им. (2)
значения функции в узлах кубатурных формул, но и значения ее производных некоторых порядков, то естествен- называется функционалом погрешности кубатурной но, что при правильном использовании всех этих данных формулы (1) можно ожидать более точный результат, чем в случае использования только значений функций. N (3)
В связи с этим рассмотрим весовую кубатурную фор- < t-N', f >= j Р( x)f( x)dx _^l^(_1)aC[a)f{a)( xw) мулу вида Kn
является погрешностью кубатурной формулы (1),
j p( x) f(x)dx ]Г (_1)аСя(а) f(a){ xw) P (x) -весовая функция, S^ (x) - характеристиче-
K„ W> ЛМ (1) (Л)
ская функция области Kn , Сд и x - коэффициенты
в пространстве Соболева lLp ) (Kn ), где Kn - n- и узлы кубатурной формулы (1) и 8 (x) - дельта-функ-
. . ция Дирака. Таким образом формулу (1) назовем кубатур-
мерный единичный куб, Ы = а. + а2 + ... + а, и ную формулу типа Эрмита.
. Определение 1. Пространство iL^ Kn ) определя-
X)dx < & , 0 < t < Ш . ется как пространство функций, заданных на n-мерном
единичном кубе и имеющих все обобщённые произ-Обобщённая функция водные порядка , суммируемые со степенью p в норме [5]:
J * (
Kn
Очевидно, что в правой части (7) меньше вычислений, чем в (6) и отсюда следует, что для нормы функции в пространстве L2)(К2) количество вычислительных опера-
flL(;\кп)
где Da = _
яга [ «vi ^
, (4)
Н=Гс
||f/4m)( Кп |=
dmf ( x )
дх1щдх2т' ...дхптп
Лг
dx
(5)
дх^дх? ---дхап
и dx — $хл$Хп,...ёх .
12 п
2. Весовые кубатурные формулы типа Эрмита в пространстве к ).
В настоящем разделе будем рассматривать, весовую ку-батурную формулу вида (1) с функционалом погрешности
(2) в пространстве (к ).
Определение 2. Пространство определяется как
пространство функций, заданных на Кп и имеющих обобщенные производные порядка т, суммируемые со степенью р в норме (см.[5])
ций будет гораздо меньше, чем в пространстве Т (К2 ) , так как в норме (7) участвуют только смешанные производные.
Теперь докажем следующую теорему, которая является основным результатом.
Лемма. Если для функционала погрешности (2) весовой кубатурной формулы типа Эрмита (1) в пространстве
Т}™^ (Кп ) выполняется условие
/ И( х \ = Ра)( х ).ра)( х ). ./К)( х )
^Ы V ^ ^ V 1/ ^Ы2\Л2) ••• \Лп)
§ V Lf{ кп)
< c
Nm
(i = 1, п )
с, константы, т.е.
(8)
# '/4тГ( Кп )< CO (hr) , (i=1, п)
h = ±
iN
(9)
где m1 + m2 +... + тп = m, m, > 0, i = 1,п, dxm =dxm1 дxm2...дxmn и dx = dx,dx^...dx .
12 п 12 п
Пусть в (4) p = 2 п = 2 и m = 2 , тогда получаем следующее
4а)/Lmr( кп)
< C
i=1 1
, с-константы, (10)
, п, (f)Y dx =г г _J2L (fti dx-
Iфа,«! ^ дxm j K2a+a=2aaw дxaj
'д2 f ( x )
3x:
2 j
2! 1.1!
2
дг1дг;
д2 f (x )Y +(д2 f (x)
2 j
ax2
dx
(6)
При п = 2 и m = 2 равенство (5) принимает следующий вид:
||f/LP2)( K2 )||p = J
д 2f (x)
д^1 дxmг
2 A p
dx
(7)
или
где
/ Lm)
-N
Lf (Кп) <с о(hm-)-o(at)•(1io(hr)
4a)( x)=p ( x )£[оД] (x) -rifi( Xi - x^)
a\<*i л=1
п "
p(x) = ПPi(x) c = Пc
и m = m1 + m2 +... + тп
> 1,1 — 1, п.,
Доказательство. Доказательство ведём методом математической индукции.
Пусть п = 2, тогда х—(Х1, Х2), | о^а—+<^2
5
и
1
то
-16?г
m — m, + m2, dx — , dx — dx,dx^ P ( X ) = Pl (X1 )• P2 ( X2 )
„ ¿z x)—a xi )• <a >( X2).
Если полагать в (5) П — 1, то
dm f (x)
dxm
Л 2
dxt
(i — 1, n) •
Таким образом, имеем
|< xi, x2 ), f ( x, X2 )>|— |< "Z )( X2 ), < "Z xi ) , f ( x, X2 )>>|< < "a^)■ (0,i)| |< "Z (xi), f (xi,x2) >/zpm(0,1) Вычислим следующую норму:
(12)
< x ), f (1, x2 )>l Lp J( 0,1)
dm
< x1), f ^ , x2 ) >
И 2
< )( x1), dF f ( Xl, x2 )>
dx,
jj (Т|| x )/ Lpm1)-(0,1)|.
dx
-f ( x2 )/Lpm1)'( 0,1)
Hft x)/Zm)>,
ji / dm'+m f (x x
] * I dx,"1 dxm2
dx [
dx.
x,)/0.1)
JJ
Sxi"1Sx2m
f ( x )
— |"a)( x, )/Lmч0, 1 )\\]\ f (x)/zpm)(к 2)
где x — (x,, x2) и x — (x,, x2) •
dx
Таким образом, из (12) и (13) получаем
< "Z (x1, x2),f (x ,x2) >
<
< I I * aa /4m r (0. 1 )| I • I I * ; ( * r (0> 1 )| •f (x )Ap
(14)
С учетом (5), из (14) получаем
4;)(x)/П; г (к2) 4a V Lm >•( 0,1) • x,)/zpm)*( 0,1)
(15)
Учитывая (8) из (15) имеем
4;)/Zpm Г (к2)
< ci • С2
1
Nmi • N2m2
4;)/Zpm ^ (K2) <dk • О(^mi)• О(h-)(16)
где с — П С •
i—1
При П — , имеем
|< "(N;( x У f (x )>| —1< "(N;( x1 x2,■■■, xf), f (x1 x2,■■■, xf )>| —
—|< "<;;>( x,), < ";-i)( xM) ,■■■, < "N22)( x2 ),< "W( x,), f (xi, x2,■■, xk )> ■■■ >|<
<
"Z)(xk yz?) (0,1) • /a::)(x,-i )/Zpm) (0,1)
4;)(x,), f (x,, xi,-, x, )>/ Zpm )* (0,1)
"Z)(x)/Zpmk )-(0,i )|| ■■])"(;;)(x V Zpmir(x)
f(x)/Zpm\Kk I (17)
Из (17), учитывая (5), имеем
|4;)/z;r(Kk )|<к>( x VZpmi)'(0, oll ■■]!";( x, )/zf(0, 1 (18)
(19)
Тогда с учетом (8), из (18) получаем
||4;)/ zzf
< С1 • С2 • ■■ • Ct
Nm • ntN
или, учитывая (9), из (19) имеем
"aVZpm),(к,), < с• о(к1 уо(hm)
-м-
где С = П С
Если в (23) или (24) полагать N = N • И2 •... • Ип , N = N1 = N2 = ... = Nn и т1 + т2 +... + тп = т
Используя справедливость утверждения леммы при П = к, докажем, что утверждение выполняется при
п = к + 1.
Таким образом, пусть П = к + 1, тогда учитывая (5), из (18) имеем
< ) (Х1, Х2'...'Хк+1), /(Х1, Х2'...' Хк+1) > = |< '(Х) ,< '(Х2), <... < *£>( Хк), < * ^ Хк+1), I (Х, Х2,.., Хк+> )>... >|<
а)(Х)/'"(0,1)| ...|| еа\Хк)/Ирк'"(0,1).
<е^'(Хк+1),IХ2,...,Хк+1 ^¡Ь^»(0,1)
С учетом (5) и (18) из (20) получаем
,то получим
L(:4 K )||< С ■ N"
4а>ДГ (к) < c ■ о(н™),
(20)
i(;:;)/Z<;'-') (км) < <'i'1(-0/Е,™) (0,1)
е^(Хк)/Ь;кг (0, 1)||.|(0, 1)
Используя (8) из (21) имеем
(21)
с- константа,
(И = N п ) (25)
что и требовалось доказать.
С помощью этой леммы легко доказывается следующая теорема.
Теорема. Весовая кубатурная типа Эрмита (1) с функционалом погрешности (2) при N1 = N2 = ... = Nп,
ПN■ = N и т + т + ... + т = т
. . 1 12 п
1=1
является оптимальной по порядку сходимости в пространстве Ьр )(К2 ) т.е. для нормы функционала погрешности (2) кубатурной формулы (1) имеет место равенство
Aat+i) /ji;k+i)" (к \
* N+ N J Lp \Kk +lj
< С ■
J_(22)
iv1 iv2 k+1
или, учитывая (16) и (22) получаем
П<
?(ak+1) 'Nk+1 N1
к+1
с = П с
1=1
Таким образом, получены неравенства (10) и (11):
*№/кп)
< С
1
N'm' • NГ2...^
12 п
с -константа (23)
или, учитывая (9) из (23) имеем
^¡L;]\Kn) <С ■ о(н; )..о(н;).
Hi = -1, (i = 1, п) N
где С = П С1.
I=1
(24)
*n/^K2 )
= о N " п
V /
Доказательство. На основе леммы при
N. = N2 = ... = N имеем N. = ^ , 1 = 1,2,...,И
12 п 1 * 7 7 7
Итак,
_ ЛГ™1+™2 +...+;
Nn (26)
Подставляя (26) в неравенство (23), получаем
П N; = N1 i=1
* n/L;\к 2)
< С ■ N п .
(27)
Из теоремы Н.С.Бахвалова [2] и неравенства (27) следует доказательство сформулированной теоремы.
Для иллюстрации приведем конкретный пример при . Пусть
f (—17 —2 ) = e 1
—о
\ 3/ 2
(28)
Ч^ У Очевидно, что производные
;
и
1
;
;
д m-1f ( x 2) df ( X2)
cXf-1 dx2
непрерывны на
K 2 , но
д 2f ( X1, X2 )
dxn
имеет особенность на
Поэтому из условия m = mi + m2 видно, что
m1 = m -1 и m2 = 1,
так как
m -1 +1 = m.
Отсюда следует, что I (Х^ Х2 Ь; ) (К2 ) при
т1 = т - 1 , т2 = 1 и 1 ( ^ Х2 )ё Ь;т)( К2 ) .
Заключение. Таким образом, нами получена оценка сверху для нормы функционала погрешности (2) куба-
турной формулы (1) в пространстве Ьт)* (К ). Такая же оценка ранее была получена для нормы функционала погрешности кубатурной формулы (1) над фактор-пространством С.Л.Соболева ¿М(к ) [3] и в результате нами
получен одинаковый порядок сходимости к нулю при
N ^^ , хотя норма функции определена по разному, это подтверждается неравенством (25) и [3].
Список литературы:
1. A. Sard. Integral representations of remainders, Duke Math J. 1948. V15, 333- 45.
2. Бахвалов Н.С. Численные методы. -М.: Наука, 1973.-631 с.
3. Жалолов О.И. Об одной асимптотической оптимал-ной кубатурной формуле. Докл. АН РУз. Ташкент, 2011. -№1. -С. 15-19.
4. Никольский С.М. Квадратурные формулы. М.: Наука, 1979, -256 с.
5. Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул. - М.: Наука, 1974. - 808 с.
6. Хаитов Т.И. Кубатурные формулы с заданием производных в периодическом случае. ДАН СССР, 1969, т.189, 5.
7. Шадиметов Х.М. Решетчатые квадратурные и кубатурные формулы в про-странствах С.Л.Соболева. Диссертация доктора физ.-мат. наук. Ташкент, 2002. - 218с.
8. Шайнжуров Ц.Б. Теория кубатурных формул в функциональных пространствах с нормой зависящей и ее производных, Диссертация доктора физ.- мат. наук. Новосибирск.
