CC BY
15
№ 11(80)
ноябрь, 2020 г.
ИНФОРМАТИКА, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И УПРАВЛЕНИЕ
О СУЩЕСТВОВАНИИ НАИЛУЧШИХ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ ОБЩЕГО ВИДА НАД ПРОСТРАНСТВОМ С.Л. СОБОЛЕВА W2H (Т„)
Жалолов Озод Исомидинович
доцент,
Бухарский государственный университет, Республика Узбекистан, г. Бухара E-mail: [email protected]
ON THE EXISTENCE OF THE BEST CUBATURE FORMULAS OF A GENERAL FORMULA OVER THE SPACE OF S.L. SOBOLEV W2(m) (Tn)
Ozod Zhalolov
Associate Professor, Bukhara State University, Republic of Uzbekistan, Bukhara
АННОТАЦИЯ
Основным результатом настоящей работы является теорема 1, приводимая ниже, утверждающая для n- мерного тора существует в ряде случаев наилучшие кубатурные формулы в пространстве W(m) (Тп) . Устанавливается также ее периодический аналог теорема 2.
ABSTRACT
The main result of this paper is Theorem 1, presented below, which states that for an n-dimensional torus there exist in a number of cases the best cubature formulas in space. Its periodic analogue is also established, Theorem 2.
Ключевые слова: квадратурные формулы, функционал ошибок, пространство Wm) (Т„) , последовательность натуральных чисел.
Keywords: quadrature formulas, error functional, space, sequence of natural numbers.
Задача нахождения квадратурных формул, имеющих минимальную норму функционалов ошибок в
пространствах (а, Ь) среди формул с заданным
количеством узлов, была рассмотрена в работе [1]. Эти формулы в нашей статье назовем наилучшими. Обстоятельный обзор исследований по наилучшим квадратурным формулам дан в работах [2], [3].
Основным результатом настоящей работы является теорема 1, приводимая ниже, утверждающая для п- мерного тора существует в ряде случаев наилучшие кубатурные формулы в пространстве Ж2т) (Тп) . Устанавливается также ее периодический аналог теорема 2.
Методы доказательств этих теорем отличаются от методов доказательств сходных результатов для одномерного случая [3], использованием рефлексивной пространств и свойств обобщенных функций ") (Тп) с точечными носителями. Пусть m,n,r -
И*m
числа, натуральные, r = m -
-1; - n-мерное
евклидово пространство; Тп - п - мерный тор т. е. ограниченная область в Кп; P - функция суммируемая в Тп; Б - множество финитных бесконечно дифференцируемых в с функций; а - обозначает векторы из Яп с целыми неотрицательными компонентами; |а|=|(а .....а|= а+а2+... + ая;
ха =(х,X,...,X)а = х!,...,хп"; если I - функция или обобщенная функция[6],
я(а) г ,(а) _ ^ I
f ^ =
~ а ~ а
ox ...ox„
Определение 1.
Пространство (Т„) определяется как линейное нормированное пространство, состоящее из функций I, для которых введена следующая норма [4, 5]:
Библиографическое описание: Жалолов О.И. О существовании наилучших кубатурных формул общего вида над пространством С.Л. Соболева W^m) (Tn) // Universum: технические науки : электрон. научн. журн. 2020. 11(80). URL: https://7universum.com/ru/tech/archive/item/10854 (дата обращения: 25.11.2020).
№ 11(80)
1л, UNI
. ЛД ТЕ)
7universum.com
UNIVERSUM:
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ноябрь, 2020 г.
If/wmi 2= Л / ( x )| ^ +|| fiwü
где
n n
JT ■■■ T
Tn j =1 im =1
5 mf
dx. ■■■5x.
v j1 jm
-( x )
dx
(1)
а производные в (1) понимается как обобщенные производные:
Ь(2т) Г)- линейное нормированное пространство, индуцированное на функциях из ^^ (Т„) полунормой (1); W^m) (Тп ) - пространства, сопряженные к ™(т(Тп ) .
Рассматриваем кубатурные формулы общего вида
J P ( x ) f ( x ) dx (a){ x*)
(2)
Д=1 |a|<
a a
где cc"n, |n| < r, постоянные, x,•••,% - точки из Г с функционалом ошибок i :
<а,/>=\р(х)/(х)-±^с:^\хл) (3)
Л=1 \а\<г
Через L ( \') обозначим совокупность функционалов С: вида (3) удовлетворяющих условиям (е(х).х0') = 0 при \а\ < m . Ниже считаем число N
таким, что L ( N ) - не пусто. Положим
L(NKÎf){IH^T)||} .
Замечание. Величина L ( N ) оценена в работе [8], где было показано, что при N ^ ж
1 -1 _т L (N) = A (mesTn)г"N " (1 + 0(1))
где A - константа, не зависящая от Tn, N .
Определение 2. Кубатурная формула (2) с функционалом ошибок С е L ( \') называется наилучшей, если
||</Wm)'(Tn)|| = L(N) .
Теорема 1. Наилучшие кубатурные формулы общего вида (2), над пространством W (Т ) суще-
n
ствуют, если — - не целое число.
Доказательство теоремы 1.
В ходе доказательства теоремы 1 придерживаемся изложенными методиками, которые приведены в работе [8,9].
Из определения J (N) следует, что при всех
7=1,2,... существуют функционала С е /. ( \'):
т„ \а\<г
при / eW2(m)(Гл ).
(с"'',...,с"',|| < г - постоянные; х[,..., х'к -точки из Тп) такие, что
'(Г) <Ь(N + 2- (4)
Так как область Тп ограниченная, то существует последовательность натуральных чисел (] и точки Х0'...,х°м еТп - такие, что при Л = I,...,N
R1,
^ x,
(5)
Положим С. =бл,] = 1,2,...
Ниже используем известные свойства рефлексивных пространств, связанных со слабой сходимостью функционалов в этих пространствах, доказательства которых приведены в работах [2], а также рефлективностью W¡m (Тп) [6,7].
Пространство W¡m> (Тп) рефлексивное как пространство сопряженное к рефлексивному. Так как {' ,] ограничена в рефлексивном пространстве
Wm Г), то из нее можно извлечь под последовательность со следующими свойствами: существует функционал (,, е IV!,"'1 (Г) - такой, что для любого элемента р из W2 т) (Т,) выполняется:
(-т(Р>=<С0,(Р> (6)
((^ {|К«М(т)" (( (7)
Из формулы (6) вытекает, что для любой
lim < (
f m)(Tn )
lim < £ , ,/>=< C0,f>
формулы (7) и (4) дают:
ljw(m)) < L (N) ■
(8)
(9)
2
T.
№ 11(80)
1л, UNI
. ЛД ТЕ)
7universum.com
UNIVERSUM:
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ноябрь, 2020 г.
Пусть С , А - функционалы:
<Cg,f>=\g(x)f(x)dx при feWi_m)(Tn), (10)
(11)
Из теоремы Соболева о вложении W2 m (Tn) в пространство непрерывных функций следует, что С е W'"" (Г). Отсюда, из (11) и принадлежности
е0 к w:'"' (•/;, ) вытекает что Л е W'2'"'; ('/ ) [8, 9]. Формулы (5), (8) и (11) показывают, что
supp Дс^, (12)
N
где /и = U .
Докажем, что А представима в виде
д( » )=И^(а)( х -z),
(13)
где 2<е ¡л, | а |< г - постоянные, 3 - обобщенная функция Дирака. Если (13) справедливо, то из него и из равенств (10) и (11) вытекает, что С0 е Ь (Л').
Отсюда и из (9) будет следовать теорема 1.
Определение 2. Кубатурная формула с функционалом ошибок (:<е£ (ТУ) - называется периодиче-
ски наилучшей, если
t/wimî =L(N).
Теорема 2. Периодически наилучшие кубатур-ные формулы общего вида над пространством существует, если п/ 2 - не целое.
Данная теорема доказывается аналогично теореме 1.[10]
T
Л=1
Список литературы:
1. Жалолов О.И. Верхная оценка нормы функционала погрешности кубатурной формулы типа Эрмита в пространстве С.Л. Соболева // Проблемы вычислительной и прикладной математики. Научный журнал. -№ 3,2017. С. 70-78.
2. Жалолов О.И. Вычисление нормы функционала погрешности оптимальных интерполяционных формул в пространстве периодических функций С.Л.Собовева W";"n (Zj) . Проблемы вычислительной и прикладной математики. // Научный журнал. №2, 2015. С. 53-58.
3. Жалолов О.И. Об одной весовой оптимальной по порядку сходимости кубатурной формуле в пространстве Lm){K„ ) //Молодой учёный. № 13 (117),2016.
4. Жалолов О.И., Боборахимова М.И. Алгоритм построения дискретного аналога одного оператора Д [Д] // Молодой учёный. № 11 (145), 2017.
5. Жалолов О.И, И.Ф. Жалолов. Об одной асимптотической оптимальной кубатурной формуле // Молодой учёный. № 10 (114), 2016.
6. Жалолов О.И, Ибрагимов С.И., Абдуллаев Б.Р. Оценка погрешности кубатурных формул общего вида над фактор- пространством Соболева // WORLD Science "Topical researches of the World science" —June 20 - 21, 2015, —Dubai, UAE).
7. Жалолов О.И, Косимов А.А. Оптимальные по порядку сходимости весовые кубатурные формулы типа Эрмита в пространстве LÎ(Kn) // Узбекский математический журнал. №3, 2015. С.24- 33.
8. Имомова Ш.М., Исмоилова М.Н. Вычисление наибольшего собственного значения матрицы и соответствующего ей собственного вектора в среде Mathcad// Academy. 2020. № 6(57). C. 9.
9. Никольский С.М. Квадратурные формулы. М., «Наука», 1979, 254 с.
10. Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул. М., «Наука», 1974. 808 с.
11. Хаятов Х.У. Оценка погрешности кубатурных формул общего вида над фактор-пространством Соболева // Молодой ученый. — 2016. — № 13 (117). — С. 58-60.
12. Хаятов Х.У. Некоторые вопросы теоремы вложения в классах периодических обобщенных функций в пространств // Научная дискуссия: вопросы математики, физики, химии, биологии — 2016. — № 4 (32). — С. 51-57.
13. Хаятов Х.У., Очилова Н.Т. Об одном погрешности весовых кубатурных формул в Пространстве CU) Тп И Сибирский федеральный университет. — 2011.
14. Хаятов Х.У. Об одной погрешности весовых кубатурных формул в пространстве // Научная дискуссия: вопросы математики, физики, химии, биологии — 2016. — № 4 (32). — С. 58-62.
15. Шадиметов ХМ., Жалолов О.И. Вычисление нормы функционала погрешности и построение оптимальных по порядку сходимости весовых кубатурных формул типа Эрмита в пространстве Соболева // Проблемы вычислительной и прикладной математики. Научный журнал. №1, 2016. С.100-106.
16. Khaitov U.Kh.. The level of Information and communication technologies in general secondary schools // Solid State Technology. USA-2020. Volume: 63 Issue: 6. P. 478-489.
