Оптимальные планы производства продукции двух видов с учётом влияния нормы выпуска одного из продуктов Текст научной статьи по специальности «Математика»

ОПТИМАЛЬНЫЕ ПЛАНЫ ПРОИЗВОДСТВА ПРОДУКЦИИ ДВУХ ВИДОВ С УЧЁТОМ ВЛИЯНИЯ НОРМЫ ВЫПУСКА ОДНОГО ИЗ ПРОДУКТОВ

Л.В. Луцик, студент

Новосибирский государственный аграрный университет (Россия, г. Новосибирск)

DOI: 10.24411/2500-1000-2018-10475

Аннотация. Статья из ряда работ, в которых определяется система оптимальных планов для задачи об использовании ресурсов двух ресурсов в производстве двух видов продукции. В работе рассматривается модификация задачи, в которой учитывается влияние двух факторов: относительной нормы производства первого вида продукции ко второму виду и норма выпуска продукции второго вида. Система оптимальных планов строится для общих решений задач, в которых наблюдается влияние трёх из четырёх ограничений. Задачи рассматриваются в рыночных условиях, при которых есть приоритет выпуска продукции первого вида.

Ключевые слова: задача об использовании ресурсов, задача линейного программирования, отношение следствия для оптимальных планов, сетевой график оптимальных планов.

В работе [1] была рассмотрена модифицированная задача об использовании ресурсов двух ресурсов в выпуске двух видов продукции, в которой учитывалось влияние факторов производства в виде условий на нормы выпуска продукции. В качестве факторов влияния были выбраны ограничения: на минимальное отношение объёмов выпуска продукции первого вида ко второму и на минимальную норму выпуска второго вида продукции. В этой работе ([1]) для модифицированной задачи об использовании ресурсов была предложена модель в виде задачи линейного программирования и проведено решение самой задачи и двойственной к ней при различных значениях параметров задачи. В результате были найдены оптимальные решения обеих задач. В работах [2-9] был проведён анализ решений задачи при различных условиях. В качестве условий рассматривались ограничения на использование ресурсов и на нормы выпуска продукции. Всего таких ограничений четыре. В статьях [2-5] был проведён анализ оптимальных решений, когда при оптимальных планах равенствами были все четыре ограничения, а в статьях [6-9], когда равенствами были три из четырёх ограничений. В работах [2] и [6] анализ был проведён для производства с приоритетным выпуском

продукции первого вида, в [3] и [7] - для производства с приоритетным выпуском продукции второго вида, в [4] и [8] - без приоритета выпуска продукции, в [5] и [9]

- в особых рыночных условиях.

На основе проведённого анализа решения пары двойственных задач в работах [10-13] были исследованы системы оптимальных планов двойственной задачи для каждого рыночного условия и построены сетевые графики при равенстве во всех ограничениях прямой задачи: в статье [10] при приоритете выпуска первого вида продукции, в статье [11] - второго вида, в статье [12] - без приоритета, в статье [13]

- в особых рыночных условиях.

1. Цель и задача исследования

Целью данной работы является построение системы оптимальных решений для модифицированной задачи, рассмотренной в [1], в которых три ограничения являются равенствами и есть приоритет выпуска продукции первого вида.

Данная работа продолжает построение систем оптимальных решений в виде сетевых графиков. Дальнейшие исследование предполагают построение сетевых графиков оптимальных решений пары двойственных задач для приоритетного выпуска второго вида продукции, без приоритета, в особых рыночных условиях для оптималь-

ных планов, в которых три ограничения являются равенствами.

2. Методология, методы и методика исследования

Задача исследования, для которой будем стоить сетевой график, представлена в работах [1, С. 24] и [14, С. 546-547].

Анализ её решения предполагает использование теории двойственности в линейном программировании. Анализ исследуемой задачи проведён в работе [2].

Построение сетевого графика будем осуществлять, используя методику построения сетевых графиков в теории графов.

3. Результаты исследования

В работах [10-13] была предложена методика построения системы оптимальных решений в двойственной задаче с помощью множеств оптимальных планов, которые формируются на основе решения частных задач при частных значениях параметров решений.

Из определения таких множеств получаем, что пустое множество планов 0 следует за любым множеством планов.

Двойственная задача к задаче (1) представлена в работах [1, С. 25] и [14, С. 547] и имеет вид:

а^щ +а12и2 +и.

> с.

W =

1 (1)

1 щ + а22 и2 -ß0u3 + u4 >с2 ( )

Щ > 0 и2 > 0 и3 < 0 и4 < 0 bju 1 + b2u2 + nu4 — min.

При исследовании будем использовать дополнительные коэффициенты в модели, которые были предложены в работе [1, С. 25]. Условие предпочтение выпуска первого вида продукции предполагает, что

Анализ оптимальных планов, проведённый в работах [1], [2], [6], [10] и [15], показал, что при приоритетном выпуске продукции первого вида влияние трёх факторов наблюдается в оптимальных планах, в которых:

1) равенствами являются ограничения для минимальных норм и одного из используемых ресурсов,

2) равенствами являются ограничения по использованию обоих ресурсов и по минимальной номе выпуска продукции второго вида.

Всего получается три общих оптимальных решения. Для каждого из них построим свой сетевой график.

3.1. Оптимальные планы влияния обеих норм и одного из ресурсов

Рассмотрим оптимальные планы в которых наблюдается влияние обеих норм и использования одного из ресурсов. Общее оптимальное решение, когда наблюдается влияние только ресурса R1 имеет вид [10]:

Щ"

^-M-t, u2*=0, cAß^-t -

n rij-h- ' 2 ' 3 i-Xa.j-i/-.

где t >

ßo+ki

ßo+k, ß0+k

VySo+fei

1, щ*_-dßü+kt-1, (2)

.. Это общее решение явля-

ется множеством планов Г(1; 0; 1; 1).

Общее оптимальное решение, когда наблюдается влияние только ресурса R2 имеет вид [10]:

u *_0 u *_£i.. ML.s u с (£s+L.

ui _0, u2 а22 ß0 + 5 , u3 _ ClU + L 2

где

ßo+k2

ßo+k

s-1, u4*_ -dßü+ks-1, (3)

. Это общее решение явля-

ется множеством планов T(0; 1; 1; 1).

Построим сетевые графики для каждого из решений по отдельности.

3.1.1. Оптимальные планы влияния обеих норм и первого ресурса

Рассматриваем общее решение (2), в котором продукция обоих видов выпускается по относительной норме в0, продукция второго вида по норме п и ресурс R1 расходуется полностью. При значение пара-

/?0+&1 т-г

метра t равном: t = —-. Получаем:

ß0+k

, ^*=0, ^*=0, U4*=- (к! - к).(4)

аи

Это решение составляет множество T(1;0;0;1), поэтому

Д1;0;1;1)- Д1;0;0;1). (5)

Оптимальный план

и*= I —; 0 ; 0 ; — ск1 — к) ) предшествует

уа11 )

0. Получаем сетевой график (рис. 1).

Пусть наблюдается влияние минимальной нормы продукции второго вида п и использования обоих ресурсов. Общее оптимальное решение имеет вид [10]:

0

Т(1;0;0;1)

1. Сетевой график оптимальных планов при влиянии обеих норм и использования ресурса Rl

3.1.2. Оптимальные планы влияния обеих норм и второго ресурса

Пусть продукция обоих видов выпускается по относительной норме во, продукция второго вида по норме п, но расходу-

ui

Ci ßo+k

c^k+ßо)

u2--^-TT *Ь ,

2 а 2 ! (к 2+ ß0 ) '

Яц Ро+кг

uз*=0, U4*=—с1(к:1^ + к2 5 — к) , (8)

где ¿>0, 5>0, ¿+5=1. Это общее решение является множеством планов 7(1; 1; 0; 1). При ¿=0, тогда 5=1, получаем:

0

Т(0;1;0;1)

Рис. 2. Сетевой график оптимальных планов при влиянии обеих норм и использования ресурса R2 Рис.

ется полностью ресурс R2. При 5

ßo+kj ßo+k

получаем:

и1*=0, и2*=—_, и3*=0, и4*=—с1 (к2 — к).

а21

(6)

Это решение составляет множество 7(0;1;0;1), поэтому

7(0;1;1;1) > 7(0;1;0;1). (7)

Оптимальный

Ц= I 0 ; —; 0 ; — с 1( к2 — к) ) предшествует

\ а21 )

0. Получаем сетевой график (рис. 2).

3.2. Оптимальные планы влияния нормы выпуска второго вида продукции

план

ui*=0

u2*

Cl(k+ß о)

u3*=0

^21(^2+^0)'

и4*=—с1 (к2—к) . (9)

Этот план составляет множество 7(0; 1; 0; 1). Значит,

7(1;1;0; 1) > 7(0;1;0;1). (10) Теперь в (8) подставим 5=0, тогда ¿=1, получаем:

ui*=-Cl ■ ß0+k

u2*=0

u3*=0

«и Ро+кг

щ*=—с1 ( кк ) . (11)

Этот план составляет множество 7(1; 0; 0; 1). Значит,

7(1;1;0; 1) > 7(1;0;0;1). (12)

.„.¿=0

0

Рис. 3. Система оптимальных планов при влиянии нормы выпуска второго вида продукции

Оптимальный

if-(р. с 1 (к+ß о )

у ' а 21( к 2+ ßo) мальный

ßo+k

план

; 0 ; — сх( k2 — /с) I и опти-

план

; 0; 0 ; — с 1 (к 1 — к) ) предше-

,а11 РО+К1 )

ствуют 0. Получаем график (рис. 3).

4. Выводы

В работе определены связи оптимальных планов в модифицированной задаче об использовании двух ресурсов и влиянии норм выпуска двух видов продукции в рыночных условиях, когда отдан приоритет выпуска первого вида продукции, для решений, в которых имеется влияние трёх из

четырёх факторов. Связи решений представлены в виде сетевых графиков. Рассмотрены три оптимальных решения:

1) продукция выпускается по относительной норме первого вида продукции ко второму, по норме выпуска второго вида продукции и полностью расходуется ресурс R1 (рис. 1);

2) продукция выпускается по относительной норме первого вида продукции ко второму, по норме выпуска второго вида продукции и полностью расходуется ресурс R2 (рис. 2);

3) продукция выпускается по норме выпуска второго вида продукции и полностью расходуется оба ресурса (рис. 3).

Библиографический список

1. Мамонов О.В., Бикеева М.В. Решение задачи об использовании двух ресурсов для предприятия, выпускающего два вида продукции, с учётом влияния минимальной относительной нормы производства одного вида продукции к другому и минимальной нормы выпуска продукции второго вида // Агропродовольственная экономика: научно-практический электронный журнал. -2018. - №3. - С. 7-42.

2. Меняйкин Д. В. Анализ решения задачи о влиянии минимальной относительной нормы одного вида продукции к другому виду и минимальной нормы второго вида в случае баланса влияния обоих факторов и использования обоих ресурсов и приоритета первого вида продукции // Экономика и бизнес: теория и практика. - 2018. - №8 - С. 83-88.

3. Конюхова А.В., Мамонов О.В. Анализ решения задачи о влиянии минимальной относительной нормы одного вида продукции к другому виду продукции, минимальной нормы второго вида продукции в случае баланса влияния обоих факторов, использования обоих ресурсов при приоритете выпуска второго вида продукции / Актуальные направления развития аграрной науки в работах молодых учёных: сборник научных статей молодых ученых, посвященный 190-летию опытного дела в Сибири, 100-летию сельскохозяйственной науки в Омском Прииртышье и 85-летию образования Сибирского НИИ сельского хозяйства. ФГБНУ «Омский АНЦ». - Омск: ЛИТЕРА, 2018. -С. 194-198.

4. Ерназарова С.А. Анализ решения задачи о влиянии разных видов минимальных норм выпуска продукции в условиях отсутствия приоритета какого-нибудь вида продукции // Молодой учёный. - 2018. - №34 (220). - С. 40-43.

5. Луцик Р. В. Анализ решения задачи о влиянии разных видов минимальных норм выпуска продукции в условиях, когда показатели эффективности производства пропорциональны расходу одного из ресурсов // Молодой учёный. - 2018. - №34 (220). - С. 47-50.

6. Осипов И. В. Анализ влияния минимальной нормы продукции в случае баланса использования двух ресурсов с приоритетом выпуска продукции первого вида / Новая наука: новые вызовы. Сб. трудов I Международной научно-практическая конференция. - Краснодар: АНО ДПО «ИСС и М», 2018. - С. 32-36.

7. Крючкова И.В. Анализ влияния минимальной относительной нормы продукции в случае баланса использования обоих ресурсов с приоритетом выпуска второго вида продукции // Молодой учёный. - 2018. - №35 (221). - С. 47-50.

8. Шишина Л.Г. Анализ влияния норм продукции при бесприоритетном выпуске продукции / Актуальные проблемы агропромышленного комплекса: сб. трудов научно-практической конференции преподавателей, аспирантов, магистрантов и студентов Новосибирского государственного аграрного университета (г. Новосибирск, 29-30 октября 2018 г.), Выпуск 3, том 2 / Новосиб. гос. аграр. ун-т. - Новосибирск: ИЦ НГАУ «Золотой колос», 2018. - С. 324-329.

9. Багрова К.С., Шишина Л.Г. Анализ влияния норм продукции, когда показатели эффективности производства продукции пропорциональны расходу одного из ресурсов / Актуальные проблемы агропромышленного комплекса: сб. трудов научно-практической конференции преподавателей, аспирантов, магистрантов и студентов Новосибирского государственного аграрного университета (г. Новосибирск, 29-30 октября 2018 г.), Выпуск 3, том 2/Новосиб. гос. аграр. ун-т. - Новосибирск: ИЦ НГАУ «Золотой колос», 2018. - с. 22-27.

10. Мамонов О.В. Система оптимальных планов производства двух видов продукции при влиянии минимальной относительной и абсолютной норм с приоритетом выпуска продукции первого вида / Актуальные проблемы агропромышленного комплекса: сб. трудов научно-практической конференции преподавателей, аспирантов, магистрантов и студентов Новосибирского государственного аграрного университета (г. Новосибирск, 29-30 октября 2018 г.), Выпуск 3, том 2 / Новосиб. гос. аграр. ун-т. - Новосибирск: ИЦ НГАУ «Золотой колос», 2018. - С. 198-202.

11. Мамонов О.В. Сетевой график оптимальных планов производства двух видов продукции при влиянии норм выпуска с приоритетом выпуска продукции второго вида / Актуальные проблемы агропромышленного комплекса: сб. трудов научно-практической конференции преподавателей, аспирантов, магистрантов и студентов Новосибирского государственного аграрного университета (г. Новосибирск, 29-30 октября 2018 г.), Выпуск 3, том 2 / Новосиб. гос. аграр. ун-т. - Новосибирск: ИЦ НГАУ «Золотой колос», 2018. -С. 202-205.

12. Мамонов О.В. Система оптимальных планов производства двух видов продукции при влиянии норм выпуска продукции без приоритета / Роль аграрной науки в устойчивом развитии сельских территорий: сб. III Всероссийской (национальной) научной конференции (г. Новосибирск, 20 декабря 2018 г.) / Новосиб. гос. аграр. ун-т. - Новосибирск: ИЦ НГАУ «Золотой колос», 2018. - С. 1117-1121.

13. Мамонов О.В. Оптимальные планы производства двух видов продукции при влиянии норм выпуска в особых рыночных условиях / Роль аграрной науки в устойчивом развитии сельских территорий: сб. III Всероссийской (национальной) научной конференции (г. Новосибирск, 20 декабря 2018 г.) / Новосиб. гос. аграр. ун-т. - Новосибирск: ИЦ НГАУ «Золотой колос», 2018. - С. 1112-1116.

14. Мамонов О.В., Конюхова А.В. Влияния технологических факторов производства в случае использования двух ресурсов / Теория и практика современной аграрной науки: сб. национальной (всероссийской) научной конференции (г. Новосибирск, 20 февраля 2018 г.) / Новосиб. гос. аграр. ун-т. - Новосибирск: ИЦ «Золотой колос», 2018. - С. 546-550.

15. Меняйкин Д.В. Экономический анализ задачи о влиянии минимальной относительной нормы и минимальной нормы в случае баланса влияния обоих факторов и использования двух ресурсов и приоритета выпуска первого вида продукции // Международный

журнал гуманитарных и естественных наук.- 2018. - №9. - С. 171-174. DOI: 10.24411/2500-1000-2018-10037

OPTIMAL PLANS TWO TYPES OF PRODUCTION TAKING INTO ACCOUNT THE IMPACT OF THE RELEASE OF THE STANDARDS OF ONE OF THE PRODUCTS

R.V. Lucik, student

Novosibirsk state agrarian university

(Russia, Novosibirsk)

Abstract. Article from a number of works, which define the optimum plans for system tasks on the utilization of resources two resources in the production of two types of products. The paper considers the modification task that takes into account the influence of two factors: the relative standards of manufacture of the first product the second type and the output of the second kind. The system is built for optimum plans of common solutions to the challenges that are experiencing the impact of three of the four limitations. Tasks are discussed in the market conditions in which there is a priority to production of the first type.

Keywords: The objective of the use of resources, the task of linear programming, the attitude of the investigation for optimal plans, network graph optimal plans.