Анализ решения задачи о влиянии минимальной относительной нормы одного вида продукции к другому виду и минимальной нормы второго вида в случае баланса влияния обоих факторов и использования обоих ресурсов и приоритета первого вида продукции Текст научной статьи по специальности «Математика»

АНАЛИЗ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О ВЛИЯНИИ МИНИМАЛЬНОЙ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ НОРМЫ ОДНОГО ВИДА ПРОДУКЦИИ К ДРУГОМУ ВИДУ И МИНИМАЛЬНОЙ НОРМЫ ВТОРОГО ВИДА В СЛУЧАЕ БАЛАНСА ВЛИЯНИЯ ОБОИХ ФАКТОРОВ И ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ОБОИХ РЕСУРСОВ И ПРИОРИТЕТА

ПЕРВОГО ВИДА ПРОДУКЦИИ

Д.В. Меняйкин, магистр

Новосибирский государственный аграрный университет (Россия, г. Новосибирск)

Аннотация. Одной из математических моделей производства продукции является задача об использовании ресурсов. В работе рассматривается одна из модификаций такой математической модели, как задача линейного программирования. Для анализа решения пары двойственных задач модифицированной модели используются дополнительные коэффициенты модели. На основе дополнительных коэффициентов формулируется отношение предпочтения при использовании двух ресурсов. Для производства продукции в условии предпочтения выпуска первого вида предлагается два варианта условий. Эти условия формируются по решению двойственной задачи производства продукции в условиях баланса потребления ресурсов и влияния обоих факторов производства. Для второго условия дополнительно рассматриваются два варианта ограничений на параметры решения двойственной задачи. В конце работы формулируются выводы исследования.

Ключевые слова: оптимизация, использование ресурсов, математическая модель, линейное программирование, норма выпуска продукции.

При исследовании производства продукции предприятием можно использовать математические модели, с помощью которых решаются задачи производственной деятельности математическими методами. Одной из таких моделей является задача об использовании ресурсов, которую можно представить как задачу линейного программирования. Использование двух ресурсов в производстве с двумя видами продукции было исследовано в статье [1]. Учёт влияния факторов в некоторых случаях можно представить также в виде линейных ограничений и включить в систему условий задачи об использовании ресурсов. В результате получится модифицированная задача об использовании ресурсов, которая рассматривалась в работах [2], [3] и [4]. В статье [2] исследовалось решение задачи оптимального выпуска продукции при влиянии минимальных норм выпуска относительной и абсолютной, в работе [3] рассматривался пример влияния относительного и абсолютного спроса на выпуск продукции, в работе [4] исследовалась задача выпуска при известных спросах продукции каждого вида.

1. Цель и задача анализа производства в особых условиях

Целью данной работы является анализ решения пары двойственных задач производства продукции двух видов с использованием двух ресурсов. В той задаче учитывается влияние минимальной относительной нормы выпуска продукции одного вида к другому и минимальной нормы выпуска продукции второго вида, решение которых было представлено в [2], а математическое обеспечение в работе [5]. Анализ решения будем проводить для конкретных условий, а именно в предположении предпочтения выпуска продукции первого вида над продукцией второго вида. Отношение предпочтение мы сформулируем позже.

Предполагаем, что мы находимся в условиях производства, которые были определены в работе [2].

Рассматривается предприятие, выпускающее два вида продукции А\ и А2, использующее два вида ресурсов и Я2. В качестве факторов, которые могут оказывать влияние на выпуск продукции, выбираются минимальные нормы: минимальная относительная норма впуска продукции А \

к продукции А2 (во) и минимальная норма выпуска продукции А2 (п). Запасы ресурсов равны Ъ1 и Ь2, удельные расходы ресурсов определяются коэффициентами щ, где 1=1, 2, 7=1, 2, а доходы от единицы продукции по видам равны с\ и с2.

Рассмотрим одно из особых решений пары задач. Считаем, что при оптимальном плане расходуются полностью оба ресурса, производство удовлетворяет обеим минимальным нормам, решение двойственной задачи не единственное, определяется изменением двух параметров. Решение двойственной задачи имеет вид:

С1 _ Ло+к

U1*=—^~ ■ ■ t

йц ßo+k-t ß0+k

U2*

U3*=—Ci I

ß0+k

a21 ßo+k-2

■ s,

„ t + ir— 5

ßo+ki ß0+k2

— l) -

u4

*=

, где параметры положительные (¿>0, ^>0) и удовлетворяют

условию: +

2. Отношение предпочтения выпуска продукции при использовании ресурсов

В работе [5] рассматривались вспомогательные коэффициенты модели, предложенные в работах [1] и [2]. Эти коэффициенты помогают проводить анализ решения модифицированной задачи об использовании ресурсов: 1. относительный расход для каждого ресурса в производстве продукции вида А2

к продукции А1: Л1=—, £2=—; 2.

а11 а21

относительный расход ресурсов Я1 и Я2 в производстве каждого вида продукции:

О а21 о а22 о

р\=—, р2= —; 3. отношение дохода от

а11 а12

реализации единицы продукции вида А2 к доходу от реализации единицы продукции

вида А1 (к=—), отношение запасов ресурсов

с1

ъ

вида Я2 и Я1, По умолчанию полага-

ем, что к1<к2 и в]_<в2.

Определение. Будем говорить, что для ресурса выпуск продукции первого вида предпочтительнее выпуска продукции второго вида, если коэффициент пропорциональности дохода единицы продукции второго вида к доходу единицы первого вида меньше коэффициента пропорциональности расхода ресурса на единицу продукции второго вида к единице продукции первого вида. Положив первый ко-

эффициент к, а второй коэффициент ко, получим, что к<к0.

Определение. Будем говорить, что для ресурса выпуск продукции второго вида предпочтительнее выпуска продукции первого вида, если к>к0.

Для двух ресурсов отношение предпочтения выпуска продукции данного вида определяется с помощью коэффициентов к, кь к2.

Определение. Для двух ресурсов будем говорить, что выпуск продукции первого вида предпочтительнее второго вида, если к<к1, нет предпочтения в выпуске продукции, если к1<к<к2 выпуск продукции второго вида предпочтительнее первого, если к>к2.

Проведём анализ решения задачи в случае предпочтения производства продукции первого вида, поэтому полагаем, что к<к\.

3. Анализ условий на параметры решения двойственной задачи в случае предпочтения выпуска первого вида

Перейдём к решению двойственной задачи при балансе по влиянию минимальных норм выпуска продукции использованию ресурсов и по использованию ресурсов. Считаем, что при оптимальном плане ресурсы используются полностью и продукция выпускается по минимальным нормам. Рассмотрим два случая значения параметров I и ^ при этих условиях. Первый случай, сумма параметров равна еди-

, а второй

ницы

\р0+к1 ' ' р0+к2 случай, когда сумма параметров строго

Г- (Ро+к . . Ро+к

больше единицы I ---t + „ _. ■ 5 > 1

.

3.1. Анализ решения пары двойственных задач при условии, когда

Ä+k.t + A±—^=1,

Ро+к! ' ' Ро+к2

Полагаем, что: „ - . „

Ро+к1 р0+к2

Т>0, s>0. Вариант, когда значение одного из параметров равно нулю выходит за рамки нашего исследования.

Выразим параметр ^ через параметр I в

этом условии. Из условия

ß0+k

t +

ßo+k ßo+k2

=l

следует,

что

ßo+ki

„_ßo+k2 //° +—

I l — J/°+k" t ). Подставляем выражение для

Оптимальный

^ во все уравнения оптимальных значений

* сг

переменных двойственной задачи: и1 ---

А+1 . >0 ■ (! _ А+Ц >0; из*= 0;

' 2 а2! V / 3

В этом случае при оптимальном плане только ограничение на минимальную относительную норму в0 может быть строгим неравенством. Решение прямой задачи, когда ограничение на минимальную относительную норму будет равенством, является решением исходной задачи. Решение прямой задачи удовлетворяет системе уравнений и неравенства:

+а12х2 = о1

а21х1 +а22х2 = ^2 _(о*2 > 0 . *2 = "

план задачи Х=к ;п ) . Он совпадает с планом (—— к 2 п ;п ) . Решение опре-

\а21 /

деляет влияние минимальной нормы и и запасов обоих ресурсов, при этом выпол-

/?д+/С2 * *

няются условия: в=( 1 --, XI >в0х2 .

Полученное решение является решением задачи, когда есть баланс использования обоих ресурсов и производства продукции по минимальной норме п. Итак,

Ро+к + . Ро+к , при ---t + ---5=1 исходная задача

ро+кг р0+к2

переходит в задачу, в которой нет баланса по минимальной относительной норме.

3.2. Анализ решения пары двойственных задач при условии, когда ^0+ ■ { +

U3

s>1

Ро+к

Ро+к2

Полагаем в общем решении двойствен-

Ро+к р0+к

ной задачи, что ---t + ---5 >1 и

Ро+к! Ро+к2

значение одного из параметров равно нулю: ^=0, ^>0 или Г>0, s=0.

3.2.1. Анализ решения пары двойственных задач при условии, когда t=0, ,\>/о+к2

Ро+к

Перейдём к случаю, когда ■ £ +

/о+к ■ 5 >1, а ^0. Параметр ^ удовлетворя-

Ро+к2

ет условию л> /о. Значения переменных

**

двойственной задачи: и1 =0, и2 =-----

а21 Р0+к2

мального плана

_ С1(/0+|-5_1 ) , и4*= _ С1((0 + . Значения переменных удовлетворяют условиям: и1 =0, и2 >0, и3 <0,

* ~

Щ4 <0.

Из условий на переменные двойствен* * * *

ной задачи и1 =0, и2 >0, и3 <0, и4 <0 составляем систему ограничений для опти-

а21х1 +а22х2 = ^2 X* _ (о *2 =0 .

*2 = П

В системе ограничений прямой задачи все ограничения при оптимальном плане,

кроме первого, выполняются как равенст-

* * * *

ва, так как и2 >0, и3 <0, и4 <0, а и2 >0,

**

и3 <0, и4 <0, а ограничение на использование ресурса Я1 является неравенством, так как и1 =0. Вариант, когда первое ограничение является равенством, приводит к исходной задаче. Смотрим систему, когда первое ограничение является неравенством. Оптимальный план равен

= .

Производство определяется влиянием обеих минимальных норм в0 и п и запаса ресурса Я2. Для решения задачи выполняется условие: в<(1 /о+к 2.

3.2.2. Анализ решения пары двойственных задач при условии, когда Р- ^о+к 1 , s=0

Ро+к

Теперь рассмотрим условие, когда

Ро+к . . Ро+к . . п „

-—— ■ t + -—— ■ 5 >1, а ^ =0. Для параметра

Ро+к1 Ро+к2

, , ^Ро+к! т

t > р + к . Тогда значения переменных

*

двойственной задачи раны: и1 ------

ЙЦ Ро+кг

1 КРо+кг Г

t

U2 =0,

U3

u4 =—с jXßo + к) ( t — 1 ) . Оценим значения

сг Ро+к Po+ki_ сг

>0,

переменных: щ ---„ „

ЙЦ Po+ki Ро+к оп

W3*=—С! ■ t — 1 ) <0, W4*= — CX(/?o +

к t—1<0.

Из условий на переменные двойственной задачи щ =0, u2 >0, u3 <0, u4 <0 составляем систему ограничений для оптимального плана. Система условий имеет +а12х2 = Oi а21х1 + а22*2 ^ ^2

вид:

х{ -ßQx*2 =0

х2 = п

Все ограничения при оптимальном плане, кроме второго, выполняются как равенства, так как и1 >0, и3 <0, и4 <0. Ограничение на использование ресурса Я2 является неравенством, так как и2 =0. Вариант, когда второе ограничение является равенством, также приводит к исходной задаче. Поэтому рассматриваем систему, когда первое ограничение является неравенством. Оптимальный план равен X* = . Производство определяется

влиянием обеих минимальных норм в0 и п и запаса ресурса Я1. Для решения задачи

о^о Ро+к2 выполняется условие: р<р^^ ■

когда есть предпочтение выпуска первого вида продукции, такое же, как и в задачах с другими балансами. В частности:

1. При условии на параметры решения

двойственной задачи

ß0+k

t +

ßo+k

=i

¡30+к1 ¡30+к2 исходная задача по решению двойственной задачи переходит в задачу с нарушением баланса на производство продукции А1 по минимальной относительной нормы продукции к продукции А 2.

2. При условии на параметры решения

двойственной задачи t=0, 5>—-исходная

/30+к

задача по решению двойственной задачи переходит в задачу с нарушением баланса на использование ресурса Я1.

3. При условии на параметры решения

двойственной задачи 5=0,

t> „ . исход-

но

ная задача по решению двойственной задачи переходит в задачу с нарушением баланса на использование ресурса Я2.

Ро+К

4. Вводы

Анализ решения задачи, поставленной в работе можно проводить, используя отношение предпочтения производства по видам продукции, определяемое при использовании ресурсов.

В случае баланса использования ресурсов и влияния минимальных норм выпуска продукции решение двойственной задачи,

Библиографический список

1. Мамонов О.В. Анализ использования двух ресурсов предприятия с двумя видами продукции с помощью графического способа решения задачи линейного программирования// Агропродовольственная экономика: научно-практический электронный журнал. Нижний Новгород: НОО «Профессиональная наука». - №12 - 2016. - С. 7-42.

2. Мамонов О. В., Конюхова А. В. Влияния технологических факторов производства в случае использования двух ресурсов/ Теория и практика современной аграрной науки: сб. национальной (всероссийской) научной конференции (г. Новосибирск, 20 февраля 2018 г.) / Новосиб. гос. аграр. ун-т. - Новосибирск: ИЦ «Золотой колос», 2017. - 903 с.

3. Мамонов О. В., Луцик Р. В. Пример расчёта оценки влияния спроса на доход предприятия с двумя ресурсами: сб. трудов научно-практической конференции преподавателей, студентов, магистрантов и аспирантов Новосибирского государственного аграрного университета (г. Новосибирск, 16-17 октября 2017 г.), выпуск 2. / Новосиб. гос. аграр. унт. - Новосибирск: ИЦ «Золотой колос», 2017. - 365 с.

4. Мамонов О. В., Егорова С. В., Пугачёва А. А. Влияние спроса продукции двух видов и запаса ресурса на эффективность производства/Теория и практика современной аграрной науки: сб. национальной (всероссийской) научной конференции (г. Новосибирск, 20 февраля 2018 г.) / Новосиб. гос. аграр. ун-т. - Новосибирск: ИЦ «Золотой колос», 2017. -903 с.

5. Мамонов О. В. Решение задачи об использовании двух ресурсов для предприятия, выпускающего два вида продукции, с учётом влияния минимальной относительной нормы производства одного вида продукции к другому и минимальной нормы выпуска продукции второго вида// Агропродовольственная экономика: научно-практический электронный журнал. Нижний Новгород: НОО «Профессиональная наука». - №3. - 2018. - С. 7-42.

ANALYSIS OF THE PROBLEM SOLVING THE EFFECT OF THE MINIMUM RELATIVE NORM OF ONE PRODUCT TO ANOTHER SPECIES AND THE MINIMUM NORM OF THE SECOND KIND IN THE CASE OF THE BALANCE OF INFLUENCE OF BOTH FACTORS AND USE OF BOTH RESOURCES AND THE

PRIORITY OF THE FIRST PRODUCT

D.V. Menaykin, master Novosibirsk state agrarian university (Russia, Novosibirsk)

Abstract. One of the mathematical models of production is the problem of the use of resources. The paper considers one of the modifications of such a mathematical model as the problem of linear programming. To analyze the solution of a pair of dual problems of the modified model, additional coefficients of the model are used. On the basis of additional coefficients, the preference relation is formulated when using two resources. For the production of products in the condition of preference for the release of the first type, two conditions are proposed. These conditions are formed by solving the dual task of producing products in conditions of a balance of consumption of resources and the influence of both factors ofproduction. For the second condition, two variants of constraints on the parameters of the solution of the dual problem are additionally considered. At the end of the paper, the conclusions of the study are formulated.

Keywords: optimization, resource use, mathematical model, linear programming, output norm.