CC BY
13
ОПТИМАЛЬНЫЕ ПЛАНЫ ПРОИЗВОДСТВА ПРОДУКЦИИ ДВУХ ВИДОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ДВУХ РЕСУРСОВ В УСЛОВИЯХ ОГРАНИЧЕНИЯ
ВЫПУСКА ПО ДВУМ НОРМАМ
О.В. Мамонов, старший преподаватель Р.В. Луцик, бакалавр
Новосибирский государственный аграрный университет (Россия, г. Новосибирск)
DOI: 10.24411/2500-1000-2019-10580
Аннотация. Рассматривается задача использования двух ресурсов для выпуска двух видов продукции с ограничениями на выпуск продукции. Первое ограничение на относительное количество выпускаемых видов продукции. Второе ограничения на выпуск одного из видов продукции. Для исходной задачи формируется вспомогательная задача, по решению которой определяются оптимальные планы выпуска продукции. Оптимальные планы представлены в виде таблицы, по которой эти планы определяются в зависимости от параметров расхода ресурсов и дохода выпускаемой продукции.
Ключевые слова: задача об оптимальном использовании ресурсов, относительная норма, абсолютная норма, оценка использования ресурса, оценка влияния фактора производства.
Удобное представление решения экономической задачи для специалистов даёт возможность эффективно использовать аппарат экономико-математических методов в решении экономических задач. Работа посвящена формированию такой таблицы для задачи использования двух ресурсов в производстве двух видов продукции при ограничениях на количество выпускаемой продукции. В качестве ограничений рассматривается относительная норма выпуска первого вида продукции по отношению ко второму и норма выпуска второго вида продукции. В статье [1] было дано подробное решение такой задачи. В данной работе предлагается ещё один из подходов нахождения оптимальных планов производства.
1. Постановка задачи
Представим задачу, которая рассматривалась в работе [1].
Предприятие выпускает два вида продукции, вида А\ и вида А2, используя два вида ресурсов, R1 и R2. На предприятии запасы ресурсов соответственно равны Ьх и Ь2. Расход ресурса Rl на единицу продукции Ах равняется a11 ед., на единицу продукции А2 - a21 ед. Расход ресурса R2 составляет: на единицу продукции Ах - a12 ед., на единицу продукции А2 - a22 ед.
Продукция предприятия выпускается по двум нормам. Продукции А1 должно быть не менее, чем в в0 раз больше, чем продукции А2, а продукции А2 не менее, чем п.
Предприятие получает доход от реализации единицы продукции Ах в размере c1 руб., единицы продукции А2 - ^ руб. Определить такой план выпуска продукции, при котором доход предприятия от реализации продукции будем максимальным.
Составим математическую модель сформулированной задачи в виде задачи линейного программирования [1].
ЯцХ^ -\~С1^2Х2 — а21х1 +а22х2 — ^2
Х2 > П . '
> о х2 > О
2 = с1х1 +с2х2 -н> тах
В задаче (1) x1 и x2 - объёмы выпуска продукции вида Ах и А2; aij - расход ресурса Ri на единицу продукции вида Аj; Ьх -запас ресурса Ri; с - доход предприятия с единицы продукции вида Аj; в0 - минимальная относительная норма выпуска продукции Ах по отношению А2; п - минимальная норма выпуска продукции А2.
Найдём связи оптимальных планов от отношения запасов используемых ресурсов в и отношения доходов от выпускаемой продукции k [1].
2. Методология и методика исследования
При построении экономико-математических моделей используется методология математического моделирования [2]. При нахождении оптимальных планов используются методы линейного программирования. Методика нахождения оптимальных планов предполагает, последовательное решение задачи для разных значений в и k.
3. Результаты исследования
Из ограничений задачи определим минимальные запасы ресурсов, при которых возможно производство, [1]. Так как х1-вox2>0 и x2>n, то
Ь1 > а11х1 + а12х2 > а1гр0х2 + а12х2 > а± ! р0п + а± 2 п = а± ^п (/?0 + К) = Ь0 и (2)
о2 > а21%1 + а22х2 > а21р0х2 + а22х2 > а2 1 п (/?о + ^2 ) = Ьо 2- (3)
Минимальными запасами ресурсов будут: Ъ о 1 = а 11 п ($о + к 1) и Ъ о 2 = а 21 п ((3 о + к 2) -
Положим , , , . Также положим, что . Тогда исходную модель можно представить в другом виде.
!а11Ах1 +а12Лх2 < ЛЪг а21Лх1 +а22Лх2 < ЛЪ2 Л х± -ß0Лх2 > 0 . Ахх> 0 Лх2 > О AZ = с1Ах1 +с2Лх2 -н> max
(5)
Для модели (5) определим коэффициен-
ты:
% = а
ЛЬ;
(6) (7)
р ч = 7Г:
В [1] были определены вспомогатель ные коэффициенты, которые мы будем ис
пользовать при нахождении оптимальных планов:
к i = Ъ (8)
ß j = ^
Hj
(9)
Определим понятия приоритета для ресурса [1]. Для данного ресурса Ri выгоднее производить продукцию А1, если и
выгоднее производить продукцию А2, если k>ki.
Также определим понятия избыточности ресурсов для продукции Ау. Для данного вида продукции Ау ресурс R1 избыточный, если в<в], и избыточный ресурс R2, если в>ву.
Для двух ресурсов также можно сформулировать понятие приоритета выпускаемой продукции двух видов, а также избыточности ресурсов для двух видов продукции.
Для ресурсов R1 и R2 приоритетным будет выпуск продукции А1, если нет приоритета между выпускаемой продукцией, если ^<к<^2, будет приоритетным выпуск продукции А2, если k>k2.
Для продукции видов А1 и А2 избыточным будет ресурс R1, если в<в1, оба ресурса не будут избыточными, если в1<в<в2, будет избыточным ресурс R2, если в>в2.
Для определения оптимизации выпуска продукции будем использовать два принципа:
1) приоритетный продукт выпускается в максимально возможном объёме согласно ограничений задачи;
2) при расходе ресурсов избыточные ресурсы не рассматриваются.
Определяем оптимальный план при [3].
В этом случае приоритетным будет выпуск продукции А1. Тогда при в<в1 избыточным будет ресурс R1, а при в>в1 избыточным будет ресурс R2. Поэтому в первом случае при оптимальном плане ^^п^, а во втором - ^^пп. Итак, при в<в1 оптимальный план:
Л Х = (п21-.0 ) , (10)
а при в>в1 оптимальный план:
А Х = (П11 ;О) , (11)
Переходим к значению k1<k<k2, [4]. Тогда нет приоритета выпуска продукции. Последовательно проверяем в. Если в<вь то избыточным будет ресурс R1. Оптимальный план смотрим по расходу ресурса R2. Для ресурса R2 при приоритетным является выпуск продукции Ах. Тогда оптимальным будет план (10).
Рассмотрим вХ<в<в2. В этом случае избыточных ресурсов нет. Находим план, при котором расходуются оба ресурса. Это план
= V к2-кг ' к2-кг ). ( )
Если при приоритете выпуска продукции А 1 ограничений на её выпуск не было, то на выпуск продукции А2 ограничения есть: Ax1-в0Ax2>0. Для плана (12) проверим это ограничение. Подставляем в последнее неравенство значения Ax1 и Ax2:
П11к2+П11Р0-П21к1-П21Р0 _ к2-к1
п11{Ро+к2)-п21{Ро+к1) > ^
к 2-к1 > . ( )
Из (13) следует, что третье ограничение выполняется при
(14)
Поэтому при < / < +к2 оптимальным будет план (12).
При // >// 1 к2 избыточным становится ресурс R2. Для ресурса R1 получаем усло-
вие, что в<вХ. Приоритетным становится выпуск продукции А2. Максимальное количество продукции А2 будет равно объёму, для которого неравенство в третьем ограничении выполняется как равенство. Поэтому Ax1=в0Ax2. Так как выпуск продукции определяется расходом ресурса R1, то Ax1=в0Ax2 подставляем в ограничение для ресурса R1, в предположении, что ресурс R1 расходуется полностью. Получаем план
А х = . (15)
КРо+кг'Ро+кг) У '
Переходим к значениям к>^, [5]. Теперь приоритетным становится выпуск продукции А2.
При в<в2, избыточным является ресурс R1. Ограничение смотрим на расход ресурса R2, с приоритетом выпуска продукции А2. Учитываем ограничение на выпуск продукции А2. Подставляем в ограничение по расходу ресурса R2 равенство Ax1=в0Ax2. Получаем условие, что при условии (14) избыточным остаётся ресурс R1. Оптимальным будет план
А Х = . (16)
\Ро+к2 'р0+к2) у '
При условии />//1 к2 избыточным
становится ресурс R2. Оптимальный план определяется ресурсом R1. Оптимальным будет план (15).
Составляем таблицу оптимальных планов согласно полученным исследованиям. Изменение параметра k определяем по строчкам, а изменения параметра в - по столбцам (табл.).
Таблица оптимальных планов
ß<ßi
ßi<ß<ßi
fi) + fc2 ßo + fei
ß>ßi
ßo+k2 ßo+кг
k<kj
(n21; 0)
(пц; 0)
(%; o)
kj<k<k2
(n21;0)
0
ft-/? ß-ßl nil'ß2~ßi-ni2'ß2-ß:
д
nußo .
ßo + ki'ßo + k
k>k2
i-
n2lßo n21
+ k2'ß0 + k2j
( n21ßo n21 \
U> + fe2' A + k2)
/ WnjSp nn \
U>+VAj + fcJ
Отметим, что план (12) совпадает с планом
Выводы
В итоге определены оптимальные планы при различных значениях параметров k и в, а также составлена таблица оптимальных планов для дополнительного количества продукции и сверх количеств x1=в0n и x2=n.
Отметим, что случаи равенства параметров особым значениям, [1], в статье не рассматривались, так они имеют самостоятельный характер исследования и свои особенности.
Библиографический список
1. Мамонов О.В., Бикеева М.В. Решение задачи об использовании двух ресурсов для предприятия, выпускающего два вида продукции, с учётом влияния минимальной относительной нормы производства одного вида продукции к другому и минимальной нормы выпуска продукции второго вида // Агропродовольственная экономика. 2018. №3. С. 22-42.
2. Мамонов О.В. Анализ эффективного использования двух ресурсов для предприятия, выпускающего два вида продукции // Агропродовольственная экономика. 2016. №12. С. 30-62.
3. Меняйкин Д.В. Анализ решения задачи о влиянии минимальной относительной нормы одного вида продукции к другому виду и минимальной нормы второго вида в случае баланса влияния обоих факторов и использования обоих ресурсов и приоритета первого вида продукции// Экономика
и бизнес: теория и практика. 2018. № 8. С. 83-87.
4. Шишина Л.Г. Анализ влияния норм продукции при бесприоритетном выпуске продукции // Актуальные проблемы агропромышленного комплекса: сб. трудов научно-практической конференции преподавателей, аспирантов, магистрантов и студентов Новосибирского ГАУ, Том. 2. Выпуск 3. 2018. С. 324-329.
5. Конюхова А.В., Мамонов О.В. Анализ решения задачи о влиянии минимальной относительной нормы одного вида продукции к другому виду продукции, минимальной нормы второго вида продукции в случае баланса влияния обоих факторов, использования обоих ресурсов при приоритете выпуска второго вида продукции // Актуальные направления развития аграрной науки в работах молодых учёных: сборник научных статей молодых ученых, посвященный 190-летию опытного дела в Сибири, 100-летию сельскохозяйственной науки в Омском Прииртышье и 85-летию образования Сибирского НИИ сельского хозяйства. ФГБНУ «Омский АНЦ». -Омск: ЛИТЕРА, 2018. - С. 194-198.
6. Багрова К.О., Шишина Л.Г. Анализ влияния норм продукции, когда показатели эффективности производства продукции пропорциональны расходу одного из ресурсов // Актуальные проблемы агропромышленного комплекса: сб. трудов научно-практической конференции преподавателей, аспирантов, магистрантов и студентов Новосибирского ГАУ, Том. 2. Выпуск 3. 2018. С. 22-27.
OPTIMAL PRODUCTION PLANS FOR TWO SPECIES WITH USE OF TWO RESOURCES IN THE LIMITATIONS ISSUED BY TWO NORMS
O.V. Mamonov, senior lecturer R.V. Lutsik, bachelor Novosibirsk state agrarian university (Russia, Novosibirsk)
Abstract. The problem of using two resources for the production of two types ofproducts with restrictions on production is considered. The first restriction on the relative number of manufactured products. The second limit on the release of one of the products. For the initial task, an auxiliary task is being formed, according to the solution of which optimal production plans are determined. The optimal plans are presented in the form of a table according to which these plans are determined depending on the parameters of resource consumption and the income of the products produced.
Keywords: the problem of optimal use of resources, relative norm, absolute norm, assessment of resource use, assessment of the influence of the production factor.
