Оптимальные параметры спутника с модельным демпфированием Текст научной статьи по специальности «Физика»

Общая и прикладная механика Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (2), с. 233-234

УДК 531.381

ОПТИМАЛЬНЫЕ ПАРАМЕТРЫ СПУТНИКА С МОДЕЛЬНЫМ ДЕМПФИРОВАНИЕМ

© 2011 г. С.А. Мирер1, И.В. Прилепский2

1 Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, Москва 'Московский физико-технический институт (государственный университет)

mirer@keldysh.ru

Поступила в редакцию 16.05.2011

Рассматривается задача об оптимальном гашении угловой скорости твердого тела. Механизм демпфирования, названный модельным, предполагает, что на теле вдоль трех фиксированных осей установлены устройства, вырабатывающие моменты, пропорциональные величинам проекций угловой скорости тела на эти оси. Целью исследования является определение параметров системы, при которых скорость демпфирования максимальна. Оптимизация проводится аналитически по коэффициентам демпфирования и ориентации осей моментных устройств в теле. Доказано, что максимальная эффективность демпфирования достигается при расположении моментных устройств вдоль главных осей инерции тела. Кроме того, доказан ряд экстремальных свойств тензора инерции произвольного твердого тела.

Ключевые слова: модельное демпфирование, степень устойчивости, тензор инерции.

Обсуждается задача оптимального гашения малой угловой скорости твердого тела. В частности, это может быть космический аппарат (спутник) на достаточно большом удалении от притягивающего центра, когда действующими на него гравитационными моментами можно пренебречь. Предполагается, что на теле по трем осям установлены устройства, вырабатывающие управляющие моменты, пропорциональные проекциям угловой скорости на эти оси. Такая система может быть реализована, например, с применением маховиков при наличии датчиков угловой скорости. Подобный тип демпфирования уже рассматривался в [1], где был назван модельным. В качестве меры быстродействия в таких задачах традиционно используется величина степени устойчивости [2]. Аналитически определяются оптимальные параметры системы, при которых степень устойчивости максимальна.

Система с тремя моментными устройствами вдоль произвольных фиксированных в теле осей сводится к системе с устройствами, установленными вдоль трех взаимно перпендикулярных осей (ег), положение которых относительно главных центральных осей инерции тела (Е;) определяется ортогональной матрицей направляющих косинусов а^ = (ei , ЕД Уравнения движения тела относительно центра масс имеют вид

Тсо +шх I© = - ^ ki (ю, еі) е і,

(1)

— тензор инерции в главных осях, ki — коэффициенты моментных устройств. Характеристическое уравнение линеаризованной в окрестности положения равновесия системы записывается в виде:

І1І2 І3 P + (^Ц + k2L2 + kзLз) p + (^Л 2<^ з +

+Л2 ЛЛ + Л1к132) р+Л1к2к3 = 0, (2)

где Ji = І1а21 +12 а22 +1 3а23 — момент инерции тела относительно оси еі; Ц = 12/3а21 +13/1а22 +

+1112аі3 •

Экстремальные соотношения между элементами тензора инерции твердого тела

Теорема 1. Для любого твердого тела ІМ < J1J2J3 < [(/1 + 12 + /3)/3]3, причем правое равенство достигается только при коллинеарности осей Охі и Оу^ (порядок соответствия не имеет значения), а левое равенство имеет место при J1 = J2 = J3 .

Полученный результат допускает геометрическую интерпретацию. Пусть имеется трехосный эллипсоид с полуосями а, Ь, с. Тогда всегда можно ввести декартову систему координат с началом в центре эллипсоида таким образом, что точки пересечения координатных осей с эллипсоидом окажутся на одинаковом расстоянии й от его центра, причем

11 ( 1 1 1

- + —Т + —г

і =1

где Ш — угловая скорость тела, I = diag (11, /2, /3)

й1 3^а Ь2 с

Для произвольного твердого тела доказаны

также неравенства [3]:

LLL3 > I?I2I\, JJ2 J > JiLi > IiI213

(i = 1,2,3).

Оптимальные параметры.

Случай пропорциональности kl

соответствующему моменту инерции

Поиск оптимальных параметров, при которых степень устойчивости уравнения (2) максимальна, проводится в два этапа. На первом этапе при фиксированных коэффициентах демпфирования определяется оптимальное положение осей демпфирования, на втором этапе определяются оптимальные коэффициенты демпфирования.

Поскольку Ji характеризует меру инертности тела при воздействии на него управляющего момента по оси ei, представляется естественным поставить задачу выбора оптимальных значений коэффициентов ki = к- / Jt. В этом случае характеристическое уравнение (2) принимает вид

Ii 1213Р + (kJ 1L + k2 J 2L2 + k3 J3L3) p + (kk +

+k2k3 + k^ki )JJ2J3p+k^k3JiJ2J3 — 0, (3)

для которого доказана

Теорема 2. Максимум степени устойчивости достигается в случае, когда оси демпфирования параллельны главным центральным осям- При этом £ i = max £ = min ki. aij 1

При оптимальных параметрах уравнение (3) имеет три вещественных корня, самый правый из которых определяет степень устойчивости.

Оптимальные параметры. Общий случай

Теорема 2 полностью решает вопрос об оптимальной степени устойчивости для уравнения (3). Однако для реальных демпфирующих ус-

тройств, как правило, существуют ограничения на параметры ki , а не kt = ki /Jt. В связи с этим больший практический интерес представляет оптимизация степени устойчивости уравнения (2). На первом этапе определяется оптимальное положение осей демпфирования в теле. При этом предполагается k1 < k2 < k3 , I1 < I2 < I3 ,

Теорема 3. Максимум степени устойчивости уравнения (2) определяется формулой

Е 1(k1, k2, k3)=max E(k1, k2, k3, aj) =

aij

=min{ k1/11, k2 /12, k3 /13} и достигается при коллинеарности осей демпфирования и главных осей инерции тела.

По существу, теорема 3 дает строгое обоснование гипотезы о пропорциональности коэффициентов ki величинам моментов инерции тела относительно осей демпфирования в оптимуме. При доказательстве теорем 2 и 3 использовался подход, предложенный в [4].

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 09-01-00431) и по программе Президента РФ государственной поддержки ведущих научных школ (НШ-6700.2010.1).

Список литературы

1. Луканин К.В., Сарычев В.А. Модельная задача о быстродействии и точности системы гравитационной стабилизации спутников. Препринт №47. ИПМ АН СССР, 1971.

2. Цыпкин Я.З., Бромберг П.В. О степени устойчивости линейных систем // Изв. АН СССР. ОТН. 1945. №12. С. 1163-1168.

3. Мирер С.А. О некоторых экстремальных соотношениях между элементами тензора инерции твердого тела. Препринт №55. ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2009.

4. Сарычев В.А., Сазонов В.В. Оптимальные параметры пассивных систем ориентации спутников // Кос -мические исследования. 1976. Т. 14, №2. С. 198-208.

OPTIMAL PARAMETERS OF A SATELLITE WITH MODEL DAMPING

S.A Mirer, I. V. Prilepskiy

A problem of optimal damping of the angular velocity of a rigid body is considered. Model damping implies that three damping devices installed along three axes («damping axes» which are fixed in the body) produce control torques proportional to angular velocity projections on corresponding axes. This paper aims to determine the system parameters resulting in the maximum damping rate. Optimization is performed with respect to the damping coefficients and the attitude of damping axes. It is demonstrated that optimum is achieved when damping axes are parallel to the principal inertia axes of the body. In addition, several extremal properties of the inertia tensor of a rigid body are obtained.

Keywords: model damping, degree of stability, inertia tensor.