CC BY
7Функцию h = h(xi,x2,..., xn) можно представить в виде
...,Xn) = th (gj (xi, ..., Xr), ..., g1lQg2 k 1 (xi,..., Xr), ..., g1-i(X's-2)R+1,- • • , X(s-i)r), . . .
•••, gi-°g2 ^ (X(s-2)R+i,•••, X(s-i)R),gi (X(s-i)R+i.....Xn).....gP°g2 k 1 (X(s-i)R+i.....Xn)).
Поэтому для произвольной функции h от n переменных справедливы соотношения
Db(h) ^ DB (th) + max DB(gi) ^ авn + o(n) + Ci |"log2 n] = авn + o(n).
ij
Лемма 7 доказана.
Из лемм 4 и 7 непосредственно следует утверждение теоремы 1.
Теорема 1 в произвольном конечном полном базисе B функций k-значной логики для функции Шеннона глубины устанавливает асимптотику роста вида авn, однако ни из формулировки, ни даже из доказательства не извлекается информация о способе нахождения константы а в. Тем не менее такой способ существует. Справедливы следующие утверждения.
Теорема 2. Для всякого базиса B функций k-значной логики константа ав имеет следующий вид: ав = (logд. Ав)-i7 где Ав является алгебраическим числом.
Теорема 3. Существует алгоритм, нахождения по произвольному базису B функций k-значной логики многочлена с целыми коэффициентами, максимальным действительным корнем которого является число Ав ■
Автор выражает благодарность О. М. Касим-Заде за постановку задачи, всестороннее внимание и ценные замечания.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 11-01-00508) и программы фундаментальных исследований Отделения математических наук РАН "Алгебраические и комбинаторные методы математической кибернетики и информационные системы нового поколения" (проект "Задачи оптимального синтеза управляющих систем").
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Лупанов О.Б. О схемах из функциональных элементов с задержками // Проблемы кибернетики. 1970. Вып. 23. 43-81.
2. Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа. Часть первая. М.: Наука, 1978.
3. Лупанов О.Б. О синтезе некоторых классов управляющих систем // Проблемы кибернетики. 1963. Вып. 10. 64-97.
Поступила в редакцию 20.06.2012
УДК 514.853
УСТОЙЧИВОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ ВРАЩЕНИЙ МНОГОМЕРНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
А. М. Изосимов1
Хорошо известно, что свободное вращение трехмерного твердого тела вокруг большой и малой осей инерции устойчиво, а вокруг средней неустойчиво. В настоящей работе этот результат обобщается на твердое тело в пространстве произвольной размерности.
Ключевые слова: многомерное твердое тело, устойчивость.
It is well known that the rotation of a free three-dimensional rigid body around the long and the short axes of inertia is stable, while the rotation around the middle axis is unstable. We generalize this result to the case of many-dimensional space.
Key words: many-dimensional rigid body, stability.
1 Изосимов Антон Михайлович — канд. физ.-мат. наук, ассист. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-
мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
Введение. Рассматривается задача о вращении твердого тела, на которое не действуют никакие внешние силы. В дальнейшем мы будем называть такое тело просто "твердым телом". Твердое тело будем называть асимметричным, если все его главные моменты инерции различны.
Вращение трехмерного твердого тела называется стационарным, если мгновенная ось вращения в каждый момент времени одна и та же. Известно, что всякое стационарное вращение трехмерного твердого тела есть вращение вокруг одной из главных осей инерции. В случае асимметричного тела таких осей ровно три.
Стационарные вращения вокруг различных главных осей инерции обладают различными динамическими свойствами. В этом легко убедиться, если взять книгу и попробовать закрутить ее вокруг одной из осей симметрии (в данном случае оси симметрии и главные оси инерции — это одно и то же). Вокруг большой и малой осей книга легко закручивается. Однако попытка закрутить ее вокруг средней оси приводит к "хаотическому" движению. Это связано с тем, что вращение вокруг большой и малой осей устойчиво, а вокруг средней неустойчиво. Этот результат принадлежит Эйлеру (подробности см. в монографии [1]).
Задача обобщения результата Эйлера на многомерный случай была поставлена Т. Ратью. Этому вопросу посвящены работы [2-7]. Полный ответ известен только для пространства размерности четыре, в большей же размерности вопрос до сих пор оставался открытым. Восполнению этого пробела и посвящена настоящая работа.
Замечание 1. Как показано в работах [8-13], уравнения многомерного твердого тела интегрируемы. На этот факт существенно опирались работы [2, 3, 5-7]. Наш же подход основан на наличии у уравнений многомерного твердого тела второй гамильтоновой структуры [14]. Оказывается, бигамильтонова структура системы может упростить анализ устойчивости. Эта идея восходит к работе [15].
Уравнение движения. Динамика п-мерного твердого тела описывается уравнениями
где О £ $о(п) — кососимметрическая матрица угловых скоростей, а 3 — симметрическая матрица, описывающая распределение масс в теле. Компоненты 3 могут быть вычислены по формуле
где Хг — координаты центра масс.
Собственные направления 3 будем называть главными осями инерции. Твердое тело будем называть асимметричным, если все собственные значения 3 различны.
Замечание 2. В матричном виде уравнения (1) написаны В.И.Арнольдом [1], хотя в координатной форме были известны еще в XIX в. [16].
Стационарные вращения. Как может вращаться многомерное твердое тело? В каждый момент времени Мга разбивается в прямую сумму:
Все компоненты этого разложения ортогональны друг другу, и все плоскости Пг двумерны. В каждой из плоскостей Пг происходит независимое вращение, а пространство ^ неподвижно. Это утверждение равносильно тому, что матрицу О угловых скоростей можно привести ортогональным преобразованием к каноническому виду.
Вращение многомерного твердого тела стационарно, если компоненты разложения (2) не меняются с течением времени. Какие вращения являются стационарными? Ответ в трехмерном случае мы уже знаем: компоненты разложения (2) должны быть натянуты на главные оси инерции. Оказывается, в многомерном случае это не всегда так. Если компоненты разложения (2) натянуты на главные оси инерции, то вращение действительно стационарно, но обратное неверно.
Определение 1. Стационарное вращение многомерного твердого тела называется регулярным, если компоненты разложения (2) натянуты на главные оси инерции. В противном случае вращение называется экзотическим.
Оказывается, с точки зрения устойчивости интересны лишь регулярные вращения.
Теорема 1. Экзотические стационарные вращения асимметричного многомерного твердого тела неустойчивы.
Замечание 3. Отметим, что стационарные вращения есть не что иное, как положения равновесия системы (1). Когда мы говорим об устойчивости стационарного вращения, речь идет об устойчивости
О 3 + 3 О = [3,02],
(1)
(2)
по Ляпунову соответствующего положения равновесия. Если же рассматривать стационарное вращение не как неподвижную точку в пространстве скоростей, а как траекторию в пространстве координат и скоростей, то, как отметил В. И. Арнольд, эта траектория может быть неустойчивой, даже если соответствующее ей положение равновесия системы (1) устойчиво.
Параболическая диаграмма стационарного вращения и теорема об устойчивости. Каждому регулярному стационарному вращению многомерного твердого тела мы поставим в соответствие рисунок — так называемую параболическую диаграмму вращения. Параболическая диаграмма позволяет легко определить, устойчиво вращение или нет.
Нарисуем координатную плоскость. На оси X отметим квадраты собственных значений матрицы 3. Поскольку мы рассматриваем регулярное вращение, каждая из плоскостей Пг (входящих в разложение (2)) натянута на пару главных осей инерции. Эти оси суть собственные векторы 3. Проведем через квадраты соответствующих собственных значений параболу, задаваемую уравнением
= (ж-МП^Хж-АаСП,)2) ; о;(Пг)2(Л1(Пг) + Л2(Пг))2 '
где А1 (Пг), Л2(Пг) — собственные значения 3, соответствующие собственным векторам, порождающим Пг, а ш(Пг) — угловая скорость вращения в плоскости Пг.
Повторим эту операцию для каждой из плоскостей Пг. Для каждой же неподвижной главной оси инерции (эти оси порождают пространство ^ из разложения (2)) проведем через квадрат соответствующего собственного значения 3 вертикальную прямую.
Определение 2. Полученный рисунок называется параболической диаграммой регулярного стационарного вращения.
Теорема 2. Пусть у нас имеется регулярное стационарное вращение асимметричного многомерного твердого тела.
1. Предположим, что параболическая диаграмма вращения содержит комплексную точку пересечения или точку пересечения в нижней полуплоскости. Тогда вращение неустойчиво.
2. Предположим, что все точки пересечения на параболической диаграмме вращения вещественны и лежат в верхней полуплоскости. Если при этом параболическая диаграмма не содержит точек касания, то вращение устойчиво.
Читатель легко проверит, что в случае размерности три и четыре теорема приводит к уже известному результату.
Настоящая работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 10-01-00748-а), программы "Ведущие научные школы РФ" (грант НШ-1410.2012.1), программы ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" (грант 14.740.11.0794) и гранта Правительства РФ по договору № 11.G34.31.0054.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1989.
2. Ошемков А.А. Топология изоэнергетических поверхностей и бифуркационные диаграммы для некоторых интегрируемых случаев динамики твердого тела на so(4) // Успехи матем. наук. 1987. 42, № 6. 199-200.
3. Fehér L., Marshall I. Stability analysis of some integrable Euler equations for SO(n) //J. Nonlinear Math. Phys. 2003. 10, N 3. 304-317.
4. Spiegler A. Stability of generic equilibria of the 2N dimensional free rigid body using the energy-Casimir method: Ph.D. Thesis. University of Arizona, Tucson, 2006.
5. Ca§u I. On the stability problem for the so(5) free rigid body // Int. J. Geom. Methods Modern Phys. 2011. 8. 1205-1223.
6. Birtea P., Ca§u I. Energy methods in the stability problem for the so(4) free rigid body // arXiv:1010.0295v2. 2011.
7. Birtea P., Ca§u I., Ratiu T., Turhan M. Stability of equilibria for the so(4) free rigid body //J. Nonlinear Sci. 2012. 22.187-212.
8. Манаков С.В. Замечание об интегрировании уравнений Эйлера динамики n-мерного твердого тела // Функц. анал. и его прил. 1976. 10, № 4. 93-94.
9. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Интегрирование уравнений Эйлера на полупростых алгебрах Ли // Докл. АН СССР. 1976. 231, № 3. 536-538.
10. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Уравнения Эйлера на конечномерных группах Ли // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1978. 42, № 2. 396-415.
11. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Интегрируемость уравнений Эйлера на полупростых алгебрах Ли // Тр. Семинара по векторному и тензорному анализу. 1979. 19. 3-94.
12. Трофимов В.В., Фоменко А.Т. Интегрируемость по Лиувиллю гамильтоновых систем на алгебрах Ли // Успехи матем. наук. 1984. 39, № 2. 3-56.
13. Ratiu T. The motion of the free n-dimensional rigid body // Ind. Univ. Math. J. 1980. 29. 609-629.
14. Болсинов А.В. Согласованные скобки Пуассона на алгебрах Ли и полнота семейства функций в инволюции // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1991. 55, № 1. 69-89.
15. Bolsinov A.V., Oshemkov A.A. Bi-hamiltonian structures and singularities of integrable systems // Regular and Chaotic Dynamics. 2009. 14. 431-454.
16. Frahm F. Uber gewisse differentialgleichungen // Math. Ann. 1874. 8. 35-44.
Поступила в редакцию 20.06.2012
УДК 539.31
К ВОПРОСУ О ФЛАТТЕРЕ ВЯЗКОУПРУГОЙ ПОЛОСЫ И. А. Кийко1, В. В. Показеев2
В точном решении задачи выделен новый безразмерный параметр, в зависимости от величины которого критическая скорость флаттера может изменяться от мгновенно-модульной до предельно модульной.
Ключевые слова: флаттер, вязкоупругая полоса, новый параметр, критическая скорость.
A new dimensionless parameter is selected in the exact solution of the problem. Depending on this parameter, the critical velocity of flutter can range from instantaneous modular to limit modular.
Key words: flutter, viscoelastic strip, new parameter, critical velocity.
Первые исследования флаттера вязкоупругой пластины были выполнены в работах [1-3]; в них принята постановка Мовчана [4] с заменой модуля Юнга на интегральный модуль-оператор теории вязко-упругости, использованы методы Бубнова-Галеркина и усреднения [5]. Было обнаружено, что критическая скорость потока примерно вдвое меньше, чем для соответствующей упругой пластины с мгновенным модулем Юнга, и это отношение не зависит от "вязких" свойств материала. Поскольку речь шла об асимптотической устойчивости, результат публикации [6] представлялся естественным: строгими оценками было показано, что критическая скорость, найденная по предельному модулю, обеспечивает достаточное условие устойчивых колебаний. В работе [7] предложен новый метод решения задачи о флаттере вязко-упругой пластины: в пространстве изображений Лапласа по времени находится решение соответствующей краевой задачи как аналитической функции комплексного параметра преобразования, характер особых точек (полюсов и точек ветвления) этой функции определяет асимптотику решения при t ^ то [8]. Результаты работы [7] и последующих [9-11] состоят в следующем: точными и приближенными решениями устанавливается, что критическая скорость флаттера равна мгновенно-модульной, критическая скорость дивергенции — предельно модульной, а "вязкие" свойства материала сказываются на характере колебаний в докритической (при флаттере) области.
Разноречивость данных о критической скорости флаттера вязкоупругой полосы и пластины не находила физического объяснения, частично эта проблема разрешается в предлагаемой заметке. Приводится точное решение задачи о флаттере вязкоупругой полосы при продольном обтекании (в рамках поршневой теории), материал полосы линейный вязкоупругий с экспоненциальным ядром релаксации. Выделяется безразмерный параметр — приведенное время релаксации, — который соотносится с безразмерным периодом основного тона собственных колебаний полосы. Показано, что в зависимости от величины этого отношения критическая скорость флаттера может изменяться от мгновенно-модульной до предельно модульной.
1 Кийко Игорь Анатольевич — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. каф. теории упругости мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
2 Показеев Валерий Викторович — канд. физ.-мат. наук, проф., зав. каф. высшей математики МГТУ "МАМИ", e-mail: [email protected].
