Идентификация компонент тензора инерции и координат центра масс тела на реверсивно-симметричных прецессиях Текст научной статьи по специальности «Физика»

ИДЕНТИФИКАЦИЯ КОМПОНЕНТ ТЕНЗОРА ИНЕРЦИИ И КООРДИНАТ ЦЕНТРА МАСС ТЕЛА НА РЕВЕРСИВНО-СИММЕТРИЧНЫХ ПРЕЦЕССИЯХ*

B. Г. Мельников

C.-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики (СПбГУ ИТМО),

канд. техн. наук, доцент, melnikov@mail.ifmo.ru

Введение. Моменты инерции твердых тел экспериментально определяют на неравномерных вращениях вокруг оси, а тензор инерции в точке тела — на шести осевых вращениях, или на неравномерных сферических движениях. Аэродинамическое сопротивление и силы трения в подшипниках исполнительного устройства отрицательно влияют на точность параметрической идентификации. В связи с этим применяются медленные движения объекта и используются устройства с возможно малым трением, с торсионными, мультиплярными и упругими подвесами, с газовыми подшипниками [1—8]. Возможно непосредственное определение приложенных к телу сил посредством измерения упругих деформаций подвеса, этим снимается проблема влияния конструктивного трения, но сохраняется отрицательное влияние сопротивления среды и возникает проблема неточного выполнения движения на деформируемом подвесе [9]. Применяются также расчетные формулы для осевых моментов инерции, полученные по теореме об изменении кинетического момента, они инвариантны относительно внутренних диссипативных моментов, содержат только внешние диссипативные моменты, влияющие на точность [10]. Метод определения осевого момента инерции на симметричном программном вращении, инвариантный относительно как внутренних, так и внешних диссипативных моментов, а также исполнительное устройство предложены в [11, 12] и продолжены в работах [13, 14]. В статье предлагается метод параметрической идентификации матрицы тензора инерции в точке твердого тела и координат его центра масс на полупрограммной реверсивно-симметричной прецессии тела — сферическом движении частного вида, определяемого одной угловой координатой. По этому методу шесть осевых вращений вместе с переходными процессами изменения углового положения тела относительно оси заменены одним двухосным сферическим движением с линейной связью между углами собственного вращения и прецессии, с одним переключением передаточного отношения.

1. Реверсивно-симметричное полупрограммное сферическое движение и прецессии твердого тела. Сферическое движение тела вокруг точки О в инерциаль-ной системе Ох\у\х\, содержащее этап замедленного вращения в ограниченных интервалах изменения углов Эйлера и этап ускоренного вращения тела на этих же интервалах, повторяющее в обратном порядке замедленное движение, будем называть реверсивно-симметричным сферическим движением. Такое движение типа торможение—об-ратный разгон может граничить с переходными процессами предварительного разгона, возможного выбега между этапами и конечного выбега. Движение назовем полупро-

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №10-08-01046).

© В. Г. Мельников, 2010

граммным, если первый этап представляет собой свободное неуправляемое замеряемое движение, а второй — управляемое движение, осуществляемое по программе, удовлетворяющее условию симметрии, составленной по предыдущим замерам. РСП-прецесси-ей будем называть реверсивно-симметричное полупрограммное сферическое движение тела с постоянным углом нутации в = п/2 и с линейной голономной связью между углами прецессии и собственного вращения вида ф = Аф, Л = const. Кроме того считаем, что ось прецессии Ozi вертикальна, а собственная ось вращения Oz горизонтальна. За обобщенную координату и обобщенную скорость данного движения тела, имеющего одну степень свободы, принимаем ф и Q = ф. Предполагаем, что тело совершает по углу ф не менее двух оборотов как на первом, так и на втором этапах прецессии. Подвижный аксоид РСП-прецессии есть круговой конус с осью Oz, углом р = arctg А между образующей конуса и осью. Конус перекатывается по неподвижному конусу, имеющему ось Ozi, и угол между образующей и осью а = п/2 — р. В дальнейшем будем рассматривать две РСП-прецессии, соответствующие двум значениям коэффициента Ai = 0, 76, А2 = 5, 24, которые образуют одно сферическое движение при однократном переключении передаточного механизма. Данные константы выбраны из условия, чтобы три оси виртуального икосаэдра, условно связанного с телом, располагались на одном подвижном аксоиде, а другие три оси — на другом аксоиде. Шесть осей икосаэдра равномерно распределены в теле вокруг центра O, угол между любыми парами осей достаточно большой, превосходит 630. Этим обеспечивается хорошая обусловленность получаемой в дальнейшем алгебраической задачи, максимальное значение детерминанта, равное 2.4, и соответственно минимальное влияние погрешности эксперимента на точность расчета. Допускаются ограниченные отклонения углов раствора пары конусов при сохранении приемлемого значения детерминанта.

2. Голономная стационарная система и кинематические формулы. На рис. 1

показано исполнительное устройство, состоящее из двухосного карданова подвеса с управляемым маломощным электродвигателем, усиленным двумя предварительно закрученными упругими элементами — торсионами, соосными с валами подвеса, которые в основном и осуществляют движение. Требуется, чтобы устройство удовлетворяло условию динамической симметрии, заключающемуся в том, чтобы модули моментов сил малого аэродинамического сопротивления и конструктивного трения в кинематических парах были инвариантны относительно направления вращения, либо отличались на достаточно малые величины, допускающие оценки. Последнее условие обеспечивает, в частности, цилиндрический кожух на внутренней рамке. Подвижная система состоит из внутренней рамки — цилиндра 1 с собственной осью Oz, в которой размещено тестируемое тело, внешней рамки 2 с вертикальной осью Ozi, ротора электродвигателя 3 с датчиком угла поворота, насаженного на вал внешней рамки, упругих элементов 4, 5, работающих на кручение, и двух планетарных механизмов с двумя колесами 6, насаженными на цилиндр, и двумя неподвижными колесами 7 с возможностью поочередного отключения.

Из рис. 2, поясняющего определение РСП-прецессии, вытекает справедливость следующих двух утверждений.

Пусть по результатам замеров свободного неуправляемого торможения на конечном угловом интервале методом аппроксимаций получено кинематическое уравнение движения вида

ф = f(t) при ф е [ф1,ф7], t е [ti,tr], ф7 — ф1 > 4п. (1)

Ъ :

Ш

Рис. 1. Устройство с механизмом переключения.

/| / /б /'6

Рис. 2. РСП-прецессия.

Тогда уравнение обратного симметричного движения находится посредством присвоения параметру £ значения 2^7 — £, где £ — новое обозначение времени,

ф' = /(2£7 — £), £ £ [£7, £1 = 2£7 — £1 ], (2)

при этом за РСП-движение принимается объединение двухоборотного движения согласно уравнения (1) на интервале [£1, £б] при £б < £7, ^ £ [^1, ^6 = ^1 +4п] и двухоборотного обратного движения, определяемого уравнением (2) на интервале [£6 = 2^7 — £б, £1].

Пусть угловая скорость П непрограммного торможения замеряется на интервале времени [£1,£б], методом математической обработки измерений получаем уравнение вида П = р(£). Тогда угловые скорость и ускорение обратного движения, начинающегося с некоторого момента времени £6 > £б, а также уравнение симметричного обратного

движения определяются формулами

П(£) = —р(і) при і = і6 + І6 — і7, £ Є [і6, ^і],

М(ї' )«' .

3. Моменты инерции относительно осей икосаэдра и матрица тензора инерции. Пучок шести осей икосаэдра равномерно распределен в пространстве вокруг центра О, имеет большие углы между соседними осями 7^ « 630 и максимальный определитель системы расчетных алгебраических уравнений det и = 2.4. В связи с этим будем определять моменты инерции тела относительно осей виртуального икосаэдра. Пусть ось Оу системы Охуг, связанной с цилиндром и телом, направлена отвесно в угловом положении, при котором торсионы недеформированны и угол ^ собственного вращения отсчитываем от отвеса к оси Оу. Виртуальный икосаэдр с радиусом описанной сферы Д =1 располагаем в цилиндре так, что ось Ог пересекает треугольную грань А1А2А3 в ее центре О1, причем сторона А2А3 параллельна Ох, а вершины А1, А5 двух треугольников, имеющих общее основание А2А3, а также первая и пятая оси икосаэдра ОА1 и ОА5 и высоты треугольников А1К1 = К1А5 = 3Л. расположены в плоскости Оуг (рис. 3). Введем обозначения: г — радиус вписанной сферы, а —длина стороны треугольника, вь в2 —углы наклона осей. Получим

3 + а/5 4 а

-0,8, а = , = »!,!, /1=—=«0,3,

^30 + бл/5 ’ ’ + 2аД ’ ’ 2а/3

ві = агееовг « 370, 5 = 1800 — 2arctg(r/h), в2 = ві + 5 ~ 79°.

Орты шести осей, являющихся одновременно радиусами-векторами вершин икосаэдра и другие константы представим вектор-строками: еі = [0, —2р, г], Є2 = [а/2, Л, г], ез = [—а/2, к, г], Є4 = [аі/2, Н, гі], Є5 = [0, 2Н, гі], Єб = [—аі/2, Н, гі], Лі = /Зі « 0, 76, Л2 = їй/?2 ~ 5,24 при Н = 0, 5 віп/?2, ї'і = соз/32,аі = \/4 — єіп2 /?2, где формулы для ортов е4,е5,еб получены из равнобедренного треугольника ОА4А.6 и равностороннего треугольника А4А5А.6 или посредством поворота орта е5 вокруг оси Ог на углы ±120°.

Три оси икосаэдра расположены на подвижном аксоиде с углом ві и три — на аксоиде с углом в2. Отметим, что треугольник А5А.6А4 повернут вокруг Ог на угол 180° относительно треугольника А4А2А3. Если исключить такой поворот, то минимальный угол между осями двух конусов уменьшится с 63° до 42°, что нецелесообразно.

Расчетная формула вектор-строки элементов матрицы тензора инерции через моменты инерции относительно осей икосаэдра имеет вид

[іх іу Л іху Jyz Jxz] = [Лі,..., Лз]У-і, detV = 2,3, (4)

где матрица преобразования образована из шести вектор-столбцов:

V = |^Ь ..., ^6^ Vk = [екх, еку, ekz, 2екхеку, 2еку ekz, 2ekxekz] .

Вместо данного пучка осей возможно применение других осей, например осей, расположенных на двух конусах с измененными углами раствора при выполнения условия, что детерминант существенно отличен от нуля.

У

Рис. 3. Оси и вершины икосаэдра.

4. Динамические уравнения и расчетные формулы для осевых моментов инерции. Пусть система тело—устройство в которую включены все подвижные элементы (рис. 1) исполняет РСП-прецессию при значении Лх = tg в передаточного отношения на интервале Ф(1) = [^ь^в] при = 0,^6 = 10п/3 с промежуточными равноотстоящими узлами ^ + (к — 1)К, к = 2, 3,4, 5; К = 2п/3. Выделим на двухо-

боротном интервале три однооборотных пересекающихся интервала:

Ф1Х) = [^1,^1 + 2п] = [^1,^4], Ф2Х) = [^2 ,^б], ФзХ) = [^з,^б]-

Считаем, что двухоборотная прецессия состоит из непрограммного замедленного замеряемого движения на интервале Ф(1) и программного обратного симметричного движения (рис. 2). Она разбивается на три однооборотные РСП-прецессии. Мощность инерционных сил, в отличие от мощности диссипативных сил, изменяет знак при переходе на обратное движение; это обстоятельство приводит к аналитическому отделению расчетных формул для инерционных сил от формул для диссипативных сил. По теореме об изменении кинетической энергии для системы тело—устройство на оборотах тормозного и обратного движений для интервалов Фк, к =1, 2, 3, имеем шесть уравнений

Ек+з — Ек = Ак + Вк + ук, (5)

Ек — Ек+з = Ак + Вк + к = 1,2,3.

Здесь Ек = Тк + Щ — узловые значения механической энергии, Пк — потенциальная энергия двух торсионов, Ак, А'к —работы электродвигателя на оборотах, Вк, В£ —отрицательные работы сил внутреннего трения в торсионе вместе с силами сопротивления окружающей среды, Ук,Ук — отрицательные работы сил трения в кинематических парах устройства, в том числе — в подшипниках двигателя. Работы силы тяжести тела

равны нулю ввиду полнооборотности вращения по ^ и вертикальности оси прецессии. Имеем Б'к = Bk в силу инвариантности сопротивления конструкции относительно направления движения, обеспеченной, в частности, круговой симметрией цилиндрической рамки. Предполагаем трение в конструкции малым, порядка е, тогда работы сил трения на торможении и обратном разгоне примерно равны, точнее — отличаются на величину второго порядка малости V£ = Vk — е|. Действительно, трение способствует торможению и мешает разгону, в результате двигатель на разгоне должен компенсировать двойной момент трения, что вызывает небольшое возрастание давления в кинематических парах передаточного механизма на величину O(e), а это в свою очередь приводит к возрастанию трения на O(e2). Указанное различие в работах сил трения в основном создается в передаточном механизме, в связи с этим на валу внутренней рамки (рис. 1) поставлен второй закручиваемый торсион, который, в основном, и обеспечивает ее вращение, а передаточный механизм выполняет корректирующую роль с малыми нагрузками и пренебрежимо малой зависимостью трения от направления вращения. Почленно вычтем уравнения (5), получим

2Ek — 2Ek+s + ek = Ak — Akj k = 1, 2, 3. (6)

Посредством почленного сложения уравнений (5) получаем уравнения Bk + Vk = — (Ak + Ak )/2 + ek/2, которые можно использовать для оценки работы диссипативных сил на оборотах.

Кинетическая энергия системы имеет вид T = (J(у>) + IА2)П2/2, где J(у>) —приведенный к фазовому вектору [П, ip\ момент инерции тела вместе с цилиндром, I = const — момент инерции относительно оси Ozi внешней рамки вместе с ротором и с приведенным к ф осевым моментом инерции торсиона. Из системы (6) находим формулы для приведенных к П моментов инерции для трех осей икосаэдра Jk = J(y>k):

Jk = (2nk+3 — 2nk + Ak — Ak — ek)(nk — nk+3) 1 — IА1, k = 1, 2, 3. (7)

Здесь nk — узловые значения потенциальной энергии торсиона, Ak, Ak — работы электродвигателя на полных оборотах в положительном и отрицательном направлениях, затраченные на изменение механического движения и преодоление диссипативных сил, е| — близкие к нулю величины, равные разностям работ сил конструкционного трения на симметричных движениях.

После исполнения прецессии при значении передаточного отношения А1 следует свободный выбег в отрицательном направлении с переключением в конечном положении на А2 и повторный эксперимент при этом передаточном отношении. В качестве второй РСП-прецессии принимаем свободное тормозное движение на новом угловом интервале Ф(2) = [^12) = п/3, ^^2) = 11п/3], сдвинутое вперед на 600. Соответственно, имеем три полнооборотных смещенных интервала:

ф!2) =[п/3,7п/3] = ь!2^ ^42)l ф22) =[п 3п] = ь22\ ^52) ],

ф32) =[5п/3,11п/3] = й2\

На этих интервалах получаем еще три приведенных момента инерции:

Jk = (2nk+3 — 2nk + Wk — Wk — efc + 5k — Sk)(nl — nk+3) 1 — IА2, k = 4 5, 6. (8)

Работа крутящего момента электродвигателя за оборот равна разности потребляемой энергии Wk и омических тепловых потерь 5k в обмотках вместе с расходами на

приращение энергии электромагнитного поля от начала оборота к его концу, отсюда получаем A'k — Ak = Wk — Wk — (5k — 5k). Подставляя эти выражения в (7), (8), получаем расчетные формулы, в которых измерение работы крутящего момента электродвигателя заменено измерением потребляемой им энергии с вычетом разности омических потерь на разгонном и тормозном оборотах:

Jk = (2nk+3 — 2nk + Wk — Wk — e| + 5k — 5k)(nI — П!+3) 1 — IА2,2, k = 1, . . . , 6 (9)

Здесь e|, а также I можно определять на дополнительном опыте с эталонными значениями Jk. Осевые моменты инерции тестируемого тела находим по формуле J° = Jk(1 + А2 2)-1 — I1, где I1 —моменты инерции цилиндра относительно мгновенной оси OL1, или OL2, постоянные ввиду круговой симметрии цилиндра.

Компоненты тензора инерции в точке O тела определяются либо по формулам (9), (4), либо — (8), (4).

5. Координаты центра масс твердого тела. Пусть mj = m+m' — масса системы тело—цилиндр, (р, a, z) — цилиндрические координаты центра масс системы в начальный момент времени t1, Oz — собственная горизонтальная ось тела, a > 0 —небольшой начальный угол отклонения центра масс от отвесной оси Oy при недеформированном состоянии торсионов. Рассмотрим движение центра масс C на первой РСП-прецессии на двух пересекающихся угловых интервалах Ф* = [да, да] и Ф* = [да, да] с величинами 2400.

Высота подъема H центра масс системы C на Ф* и опускания H на Ф* связаны формулами

H2,i = yo(cosа + sin(30° ± a)), Hi + Н2 = 3pcosa, Н2 — Hi = V3psina.

По аналогии с (6), полагая е| « 0, составим уравнения изменения энергии:

2(Ek — Ek+2) = Ak+2,k — Ak,k+2 ± 2m1ffHk k 1 2, (10)

где Ek —узловые значения механической энергии, Ak,k+2, Ak+2 k —работы электродвигателя на угловом интервале [да, да+2], которые можно вычислить через расходы электроэнергии. Почленным вычитанием и сложением уравнений (10) получаем расчетные формулы

3m\gpcosa = f\,V3m\gpsma = /2, (11)

где /1,2 = E4 — E2 ± (E1 — Es) + (A42 — A24)/2± (A13 — A31)/2. Функции /1, /2 считаем известными, поскольку найдены значения момента инерции системы и известны угловые кинематические параметры. Отсюда находим полярный радиус р центра масс системы тело—цилиндр, полярный радиус рс центра масс тела и полярный угол у>:

Р = \/ fi + 3/| / (Зт^д), а = &TctgV3f2/fi,pc = (1 + т'/т)р. (12)

Формулы (11), (12) определяют линию Cz'||Oz, на которой расположен центр масс тела. Третья координата zc центра масс тела определяется с привлечением дополнительного опыта при другом угловом расположении тела в цилиндре, либо она находится одновременно с массой тела m' на предварительном статическом испытании.

1. Гернет М. М., Ротобыльский В. Ф. Определение моментов инерции. М.: Машиностроение, 1969.

2. Беляков А. О., Блаженнова-Микулич Л. Ю. Идентификация инерционной матрицы консервативной колебательной системы // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика, механика. 2005. №3. С. 25-28.

3. Bogdanov V. V., Volobuev V. S., Kudryashov A. I., Travin V. V. A suite for measuring mass, coordinates of the center of mass, and moments of inertia of engineering components // Measurement Techniques. 2002. Vol. 45. N 2. С. 168-172.

4. Bottasso C., Leonello D., Maffezzoli A., Riccardi F. A procedure for the identification of the inertial properties of small-size UAVs // XX AIDAA Congress Milano, Italy. Proceedings. 2009.

5. Brancati R., Russo R., Savino S. Method and equipment for inertia parameter identification // Mechanical Systems and Signal Processing. 2010. Vol. 24. C. 29-40.

6. Previati G., Mastinu G., Gobbi M. Advances on inertia tensor and centre of gravity measurement: The INTENSO+ system // SAWE paper N3465. 2009.

7. Eberhard P., Schiehlen W., Sierts J. Sensitivity Analysis of Inertia Parameters in Multibody Dynamics Simulations // 12th IFToMM World Congress, Besanceon. 2007. June 18-21.

8. Atchonouglo E., Vallee C., Monnet T., Fortune, D. Identification of the ten inertia parameters of a rigid body // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 2008. Vol. 72. C. 22-25.

9. Hecker F., Hahn H. Mathematical modeling and parameter identification of a planar servo-pneumatic test facility // Nonlinear Dynamics. 1997. Vol. 14. С. 269-277.

10. Банит Ю.Р., Беляев М.Ю., Добринская Т. А., Ефимов Н.И., Сазонов В. В., Стаж-ков В. М. Определение тензора инерции Международной космической станции по телеметрической информации // Космические исследования. 2005. Т. 43. №2. С. 135-146.

11. Мельников В. Г. Способ определения осевого момента инерции тела и устройство для его осуществления // Патент на изобр. №2002119261, 2005.

12. Мельников В. Г. Использование программных движений для идентификации тензора инерции и центра масс твердого тела // Известия высших учебных заведений. Приборостроение. 2007. Т. 50. №8. С. 33-36.

13. Мельников В. Г. Многочленные преобразования нелинейных систем управления // Известия высших учебных заведений. Приборостроение. 2007. Т. 50. №5. С. 20-25.

14. Шаховал С. Н. Исследование матричных алгебраических уравнений, определяющих тензор инерции через осевые моменты инерции // Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики.

2008. №47. С. 196-201.

Статья поступила в редакцию 20 октября 2009 г.