Метод определения тензора инерции на программных движениях Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

удк 681.5 + 531+621+681

МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕНЗОРА ИНЕРЦИИ НА ПРОГРАММНЫХ ДВИЖЕНИЯХ

© 2010 В.Г. Мельников, А.С. Едачев, Г.И. Мельников, С.Н. Шаховал

Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий,

механики и оптики

Поступила в редакцию 30.03.2010

Представлен новый метод идентификации осевых и центробежных моментов инерции в точке тела, матрицы тензора инерции тела на устройствах с трением и аэродинамическим сопротивлением. Предложено исполнительное устройство и система реверсивно-симметричных программных движений, обеспечивающая определение инерционных параметров с точностью, не зависящей от трения. Предложено исполнительное устройство, осуществляющее метод.

Ключевые слова: реверсивно-симметричное движение, собственное вращение, тензор инерции, программное управление, идентификация

Работа посвящена экспериментальному определению тензора инерции автомобилей, самолетов и других изделий с использованием современных возможностей робототехники. Компоненты тензора инерции являются существенными константами динамических моделей движения тела в пространстве. В этой связи проблема определения инерционных параметров является важной. Тензор инерции, задаваемый центробежными и осевыми моментами инерции, находят экспериментально по 6 осевым моментам инерции относительно пучка из 6 осей [1], методы описаны в работах [110]. Проблема отрицательного влияния трения на точность обычно решается посредством усложнения конструкции, использования газовых подшипников, торсионных и мультиф-лярных подвесов, применения медленных движений.

В статье разрабатывается новый метод идентификации моментов и тензора инерции тела, использующий разгонно-тормозные ре-версивно-симметричные вращения вокруг осей, обеспечивающие аналитическое исключение моментов трения из расчетных формул. Предложено исполнительное устройство с двумя электродвигателями.

Мельников Виталий Геннадиевич, кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой теоретической и прикладной механики. E-mail: melni-kov@mail.ifmo.ru

Едачев Антон Сергеевич, магистр. E-mail: a.s.yedachev@mail.ru

Мельников Геннадий Иванович, доктор физико-математических наук, профессор кафедры теоретической и прикладной механики. E-mail: melni-kov.ifmo@ya.ru

Шаховал Сергей Николаевич, аспирант. E-mail: splin-terfiddler@gmail.com

Элементы тензора инерции и моменты инерции. Тензор инерции в точке О твердого тела в связанной с телом системе Охуг задают матрицей осевых и центробежных моментов инерции вида

I Ixy Ixz

x xy xz

J = I Iy I

yx y yz

I I Iz

zx zy z

I= I = - f pxyd

, Ix = j(y2 + z2 )pdV,

■ ху ух

V

(1)

Момент инерции тела относительно оси, заданной ортом ег, вектор-строкой ег=[егх егу егг], представляется в виде произведения вектор-строки и=[1х 1у 1г 1ху 1ух и и вектор-столбца Аг, составленного из квадратов и двойных произведений направляющих

Щ = Iг, А, =ех<е2 2еше1у 2е1уе1г 2е1Хе1г ]2, г = 1,...,6

(2)

Рассмотрим виртуальный конус с осью Ог, углом (2а) при вершине О, на конусе равномерно распределим пять осей с ортами

el,..., е5, орт е6 направим вдоль оси Ог, орт

е1 расположим в плоскости Охг, а последующие орты получаем последовательно поворотами на угол в=720 вокруг Ог. Получаем

е1 = [ео8(/'в - в), 8т(/'в - в), ^а^та, ' = 1,.,5 , еб = [0,0,1].

Посредством горизонтального объединения шести матричных равенств (2) получаем уравнение иЛ=1о, и формулу для вектор-строки и:

и = Iо В,

I о = Л 1,.., 16 1 Л = [л ,..., Лб 1

В = Л^ёй В = Шй Л

(3)

Исполнительное устройство (рис. 1, рис. 2) состоит из сервопривода 1 с робастной системой управления, платформы 2, шагового двигателя 3, подъемника 4, шарнира 5, платформы 6 с закрепленным на ней изделием 7. По условиям эксплуатации желательно, чтобы угол а был небольшим, но с другой стороны при малом а имеем малое значение определителя ^(а)=ёе1 Л, т.е. - плохо обусловленную задачу [11]. На рис. 3 показан график значений определителя, представленного функцией ^(а)=27,95 8т8а оо82а, максимальное значение Отах«2,29 достигается в случае направления ортов по осям икосаэдра, при угле а0«63,43°. Будем считать систему достаточно хорошо обусловленной при выполнении условия: |0(а)|>0,5, т.е. при значении угла из интервала а е [400; 82] (рис. 3).

Рис. 2. Макет устройства

Рис. 1. Схема устройства

Рис. 3. График значений определителя

Расчетная формула для моментов

инерции. Осевой момент инерции твердого тела будем определять на следующих реверсивных тормозных-разгонных вращениях, состоящих из замедленного вращения на угловом интервале [уу = У0 + А > 0 с повторением в обратном порядке вращения на интервале ]. Торможение может быть неуправляемым, но замеряемым, допускается замеряемый выбег за пределы интервала до некоторого значения Щг = у(1г). Затем осуществляем обратное движение, рассчитанное по замеренному движению. Пусть методом точечной аппроксимации получено уравнение торможения у = I(1) при t е [10,1Г ], тогда уравнение обратного движения есть у = I ((') при 1' = 10 + 1г -1. Работа сил тяжести равна нулю ввиду вертикальности оси вращения, поэтому

программные движения можно выполнять в любом ограниченном угловом интервале. По теореме кинетической энергии на тормозном и обратном вращении имеем уравнения

Подставляя последнее равенство в (5), получим энергетическую формулу

(/0 +1)(®12 -®02 )= 2(a + V),

(/о +1)( -®i2)= 2(/' + V')

О = Ц (t1),®0 = Ц (t0)

(4)

Здесь Л , Л' - работы крутящего момента на интервале [у0,у]; V, Г' - работы диссипа-тивных сил, I - момент инерции изделия, 10 -приведенный момент инерции исполнительного устройства. Вычитая почленно уравнения (4), получаем расчетную формулу, определяющую осевой момент инерции тела через разность работ крутящего момента

I = (AA)(o2-О )-1 -1

(5)

Формула (5) не содержит работы диссипатив-ных сил и может быть использована на динамически симметричных устройствах с существенным трением и аэродинамическим сопротивлением, удовлетворяющих условию равенства их работ на тормозном и обратном движении, что можно обеспечить симметричной оболочкой на изделии.

В конце первого эксперимента включается электродвигатель собственного вращения для поворота на угол Дф=72° и установки изделия в новом угловом положении по отношению к оси Ог1. Выполняется 5 испытаний. Шестое испытание выполняем при установке а=0 (рис. 1), где в расчетах следует применить формулу Гюйгенса-Штейнера. Итак, по формуле типа (5) находим 6 осевых моментов инерций изделия 11,.,16, при этом осевые моменты инерции устройства 101,...,106 находят заранее на отдельных испытаниях устройства без нагрузки.

Допустим, что замеряется потребление двигателем электроэнергии Е и Е' на рассматриваемых угловых интервалах. Она расходуется на механические работы Л + V и Л'+ V', а также - на омические потери и на изменение электромагнитного поля

Е = Л + V + 3,

Е ' = Л ' + V ' + 3',

Л' - Л = Е ' - Е - (3 '-3),3'>3

I = (E - E'+ 8 - 8')« - О) -1

, (6)

выражающую момент инерции тела относительно каждой оси через разность потребляемой электроэнергии и разность омических потерь в контурах. Потери 8,8 можно оценить на испытании с эталонным телом.

Пусть угол ф не фиксирован, медленно изменяется, обеспечивая непрерывное изменение положения в теле оси Ozj. Тогда имеем угловую скорость сферического движения в

виде о = цгk1 + фк « ц&k1, и с малой погрешностью можно применить формулы типа (5) на интервалах времени [t,,ti+1], i = 1,...,5, на

которых ф получает изменение 72 .

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ 06-08-01338-а и гранта Комитета по науке и высшей школе Санкт-Петербурга за 2009г.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1. Гернет, М.М. Определение моментов инерции / М.М. Гернет, В.Ф. Ратобыльский. - М.: Машиностроение, 1969. - 130 с.

2. Previati, G. Advances on inertia tensor and centre of gravity measurement: The INTENSO+ system / G. Previati, G. Mastinu, M. Gobbi // SAWE paper. - 2009.- № 3465.

3. Беляков, А.О. Определение моментов инерции крупногабаритных тел по колебаниям в упругом подвесе / А.О. Беляков, А.П. Сейранян // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. - 2008. - № 2. - С. 49-62.

4. Bogdanov, V.V. A Suite for Measuring Mass, Coordinates of the Center of Mass, and Moments of Inertia of Engineering Components / V.V. Bogdanov, V.S. Volobuev, A.I. Kudryashov, V.V. Travin // Measurement Techniques. - 2002. - V. 45, № 2.

- P. 168-172.

5. Hahn, H. Development of a measurement robot for identifying all inertia parameters of a rigid body in a single experiment / H. Hahn, M. Nie-bergall // IEEE Trans. Control Systems Technol.

- 2001. - N9 (2). - P. 416-423.

6. Банит, Ю.Р. Определение тензора инерции Международной космической станции по телеметрической информации / Ю.Р. Банит, М.Ю. Беляев, Т.А. Добринская и др. // Космические исследования. - 2005. - Т. 43, № 2. - С. 135-146.

7. Алексеев, К.Б. Определение динамических параметров космического летательного аппарата по признакам динамической асимметрии / К. Б. Алексеев, А.В. Шадян // Машиностроение и инженерное образование. - 2007. - № 2. - С. 53-58.

8. Мельников, В.Г. Способ определения тензора инерции тела.// Патент РФ на изобр. - 2009, №2262678, Бюлл. №6 от 27.02. 2009 - C.35.

9. Melnikov, V.G. A new method for inertia tensor and center of gravity identification // Nonlinear Analysis. - 2005. - V. 63. - № 5-7 - P. 13771382.

10. Мельников, В.Г. Энергетический метод параметрической идентификации тензоров инерции тел // Научно-технический вестник Санкт-

Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики. - 2010. - № 1. - С. 59-63.

11. Шаховал, С.Н. Исследование матричных алгебраических уравнений, определяющих тензор инерции через осевые моменты инерции // Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики. - 2008. - № 47. - С. 196-199.

METHOD OF IDENTIFICATION THE INERTIA TENSOR ON PROGRAM MOVEMENTS

© 2010 V.G. Melnikov, A.S. Edachev, G.I. Melnikov, S.N. Shahoval St.-Petersburg State University of Information Technologies, Mechanics and Optics

The new method of identification the axial and centrifugal moments of inertia in a point of a body, a tensor matrix is presented to inertia of a body on devices with friction and aerodynamic resistance. The executive device and the system of reversive-symmetric program movements providing definition of iner-tial parameters with accuracy, not dependent on friction is offered. The executive device which is carrying out a method is offered.

Key words: reversive-symmetric movement, own rotation, inertia tensor, program management, identification

Vitaliy Melnikov, Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Head of the Theoretical and Applied Mechanics Department. E-mail: melnikov@mail.ifmo.ru Anton Edachev, Master. E-mail: a.s.yedachev@mail.ru Gennadiy Melnikov, Doctor of Physics and Mathematics, Professor at the Theoretical and Applied Mechanics Department. E-mail: melnikov.ifmo@ya.ru Sergey Shahoval, Post-graduate Student. E-mail: splinterfiddler@gmail.com