CC BY
26
2л
отсчитываемых от следующих пяти угловых значений: ф0 = 0, ф1 = h , ..., ф4 = 4h ; h = ^ . На этих
оборотах имеем пять реверсивно-симметричных вращений (в одну и обратную стороны). Эти движения удовлетворяют парам уравнений энергии (в которых пренебрегаем угловой скоростью собственного вращения):
(J + Ik)(a>u+i -и?,k) = 2Ak + 2Fk, (J + Ik)(Ю12,к -и?,k+1) = 2A'k + 2Vk . (1)
В уравнениях (1) и1 k (k = 0,...,4 ) - узловые значения угловой скорости прецессии; J - приведенный момент инерции устройства; Ik - моменты инерции тела относительно оси Oz1 в угловой позиции k (относительно мгновенной оси, проведенной в теле при узловом значении ф = <k); Ak , A'k - полезные работы электродвигателей на движениях в одном и обратном направлениях; Vk и Vk = Vk - отрицательные работы диссипативных сил трения и аэродинамического сопротивления. Из (1) получаем расчетную формулу для пяти осевых моментов инерции тела:
Ik = ?Ak- Ak--J , k = 0, ..., 4. (2)
и1, k -и1, k+1
Эти оси расположены в теле на круговом конусе, описанном вокруг собственной оси Oz с углом а и 63,4° . Формулы (2) являются приближенными, так как в них не учитывается угловая скорость собственного вращения ю2. Точная формула, очевидно, имеет следующий вид:
Т At - Ak Т
Ik = 2k 2k - J , И -rok+1
где rak = w1 k + ю2 k ; =ro2k +ю2 k + 2и1 k и2 k cos а k ; угол ak - угол между ю1 k и ю2 k . При этом осевые моменты инерции тела Ik определяются относительно пяти мгновенных осей, направленных по векторам , на подвижном аксоиде. Дополнительно определяют в эксперименте момент инерции относительно собственной оси вращения Oz. Затем по шести моментам инерции находят матрицу тензора инерции в заданной точке O тела. Малые погрешности формулы (2) оцениваются с использованием способа [4]. Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ проект № 10-08-01046.
1. Мельников В .Г. Энергетический метод параметрической идентификации тензоров инерции тел // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. - 2010. - № 1 (65). - С. 59-63.
2. Мельников В.Г., Едачев А.С., Мельников Г.И., Шаховал С.Н. Метод определения тензора инерции на программных движениях // Изв. Самарского научного центра РАН. - 2010. - Т. 12 (33). - № 1 (2). -С. 445-448.
3. Мельников В .Г. Использование программных движений для идентификации тензора инерции и центра масс твердого тела // Изв. вузов. Приборостроение. - 2007. - Т. 50. - № 8. - С. 33-36.
4. Шаховал С.Н. Исследование матричных алгебраических уравнений, определяющих тензор инерции через осевые моменты инерции // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. - 2008. - Вып. 47. -С. 196-201.
Шаховал Сергей Николаевич - Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, аспирант, [email protected]
Мельников Геннадий Иванович- Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, доктор физ.-мат. наук, профессор, [email protected]
УДК 531
ИДЕНТИФИКАЦИЯ ТЕНЗОРА ИНЕРЦИИ ТЕЛА НА РЕВЕРСИВНО-СИММЕТРИЧНЫХ ПРЕЦЕССИЯХ В ОГРАНИЧЕННОМ УГЛОВОМ ИНТЕРВАЛЕ В.Г. Мельников, Р.Ю. Кравчук, Г.И. Мельников, С.Н. Шаховал
Решается задача определения тензора инерции на основании прецессионного двухосного реверсивно-симметричного сферического движения тела при ограничениях на два угловых интервала. Получены расчетные формулы для инерционных параметров.
Ключевые слова: матрица тензора инерции, угол прецессии, угол собственного вращения, реверсивно-симметричная прецессия.
Известен способ параметрической идентификации пяти осевых моментов инерции тела на реверсив-но-симметричном прецессионном двухосном движении тела вокруг неподвижной точки. Обобщим этот способ на случай отсутствия полных оборотов по углу собственного вращения. Пусть твердое тело вместе со сцепленной с ним системой Oxyz, собственной осью Oz c известным центром масс С, собственным углом поворота ф совершает сферическое движение вокруг неподвижной точки O. При этом за рассматриваемый конечный интервал времени мгновенная ось вращения тела описывает вокруг собственной оси Oz тела
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2012, № 1 (77)
часть кругового конуса в некотором секторе [фо = 0, ф5] при ф6 = 55 < л. Равномерной сетке узловых значений сопоставим шесть положений в теле мгновенной оси вращения c ортами, заданными строчными матрицами
ei = [en, ei2, ei3] = [cos ф; ,sin фг-, h]r, r = sin p, h = ctgp, i = 0,1,...,5.
Пусть на реверсивно-симметричной прецессии [1-4] определены пять моментов инерции тела I1,..., I5. Имеем выражения осевых моментов инерции через компоненты тензора инерции:
Ii = Jx4 + JyeÍ2 + Jzeis + 2JxyeHei2 + 2Jyzei2ei3 + JxzeHei3 , или
2 1 1 2
Ir = r Jx(1 + cos2фi) + - Jy (1 - cos 2ф- ) + Jzh + 2Jy sin2фl + 2h(Jyz sinф, + Jxz cos ф1 )).
Приводя подобные члены, получаем окончательные выражения для пяти осевых моментов, It = r 2(X2 + Y cos 2ф) + Z sin2фi + F cos ф; + H sin ф; ), i = 15, (1)
с пятью инерционными коэффициентами, составленными из шести компонент тензора инерции: X = (Jx + Jy) / 2 + Jzh2, Y = (Jx - Jy) / 2, Z = Jxy, F = 2Jxyh, H = 2Jyzh . Выражения (1) объединяются в матричное строчное выражение
VA = I при I = [Ij,...,I5]r2, V = [X Y Z F H], (2)
( 1 1 1 1 1 ^ cos(2фJ) cos(2ф2) cos^3) cos(2ф4) cos(2ф5) где A = sin^^ sin(2ф2) sin(2ф3) sin(2ф4) sin^5) cos(фJ) cos(ф2) cos(ф3) cos(ф4) cos^5) ч Sin(фJ) sin(ф2) sin^3) sin(ф4) sin(ф5) , Из уравнения (2) находим вектор-строку пяти неизвестных V = [X Y Z F H], а также центробежные моменты инерции тела и момент инерции относительно оси, соответствующий углу ф0 = 0 :
V = IA-1, Jxy = Z, Jzx = 2-F, Jyz = i-H, I0 = (X + Y + Z )r2.
В случае p = 63,4° на круговом конусе равномерно распределены пять осей виртуального икосаэдра, сцепленного с телом, и на реверсивно-симметричной прецессии экспериментально находятся пять моментов инерции, распределенных в секторе конуса [1-4]. Тогда моменты инерции относительно пяти осей икосаэдра вычисляются по формуле, аналогичной (1), в которой следует заменить углы ф; = i5 на
ф- = 12л /5. При этом вектор-строка V вычисляется по прежней формуле V = IA 1, но с новыми значениями строчной матрицы I. Момент инерции тела относительно шестой оси икосаэдра определяется отдельно на осевом реверсивно-симметричном вращении энергетическим методом, как указано в цитированных работах. Расчетные формулы компонент тензора инерции через найденные шесть моментов инерции приведены в [1-2].
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 10-08-01046).
1. Мельников В.Г., Едачев А.С., Мельников Г.И., Шаховал С.Н. Метод определения тензора инерции на программных движениях // Изв. Самарского научного центра РАН. - 2010. - Т. 12 (33). - № 1 (2). - С. 445-448.
2. Мельников В.Г. Энергетический метод параметрической идентификации тензоров инерции тел // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. - 2010. - № 1 (65). - С. 59-63.
3. Мельников В.Г. Идентификация компонент тензора инерции и координат центра масс тела на ревер-сивно-симметричных прецессиях // Вестник СПбГУ. Сер.1. Математика, механика и астрономия. -2010. - Вып. 3. - С. 97-104.
4. Патент 2436055. Способ определения тензора инерции тела и устройство для его осуществления / опубл. 10.12.2011. Бюл. № 34. - 17 с.
Мельников Валентин Геннадьевич - Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кандидат технических наук, доцент, зав. кафедрой, [email protected]
Кравчук Раиса Юрьевна - ОАО «Ростелеком», инженер, [email protected]
Мельников Геннадий Иванович - Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, доктор физ.-мат. наук, профессор, [email protected]
Шаховал Сергей Николаевич - Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, аспирант, [email protected]
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2012, № 1 (77)
