CC BY
30
МЕХАНИКА И МЕХАТРОНИКА
УДК 681.5 + 531
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ ТЕНЗОРОВ ИНЕРЦИИ ТЕЛ
В.Г. Мельников
Представлен метод определения шести инерционных параметров твердого тела в условиях неизвестной диссипации энергии, применяемый на его полупрограммном сферическом движении частного вида -неравномерной прецессии. Движение содержит этапы свободного неуправляемого торможения и управляемого обратного симметричного ускоренного движения по программе, рассчитанной по замерам предыдущего движения. Расчет инерционных параметров выполняется по замерам потребляемой электроэнергии. Предложено исполнительное робототехническое устройство.
Ключевые слова: тензор инерции, параметрическая идентификация, реверсивно-симметричное сферическое движение, полупрограмная прецессия.
Введение
Точность экспериментального определения моментов и тензоров инерции существенно зависит от величины диссипации энергии через трение в устройстве и через сопротивление среды. В связи с этим обычно ограничиваются применением устройств с малым трением, с мультиплярными, торсионными и пружинными подвесами, газовыми подшипниками [1-5]. Применяют непосредственное определение сил, приложенных к телу, путем замеров упругих деформаций податливой платформы, тем самым исключая из рассмотрения сложное исполнительное устройство, но получая существенные погрешности от деформаций конструкции [6]. Применение теоремы моментов позволяет исключить из расчетных формул влияние на точность только сил внутреннего трения [7-8], в то же время не исключается отрицательное влияние внешних диссипативных сил. В [9-13] предложен метод идентификации осевых моментов инерции тел, согласно которому проблема борьбы с отрицательным влиянием диссипации на точность сведена к проблеме точного исполнения программных тестовых симметричных движений.
В статье предлагается модифицированный метод параметрической идентификации матрицы тензора инерции, по которому вместо шести программных осевых реверсивно-симметричных вращений применено одно полупрограммное реверсивно-симметричное сферическое движение тела с одной обобщенной координатой - углом прецессии либо углом нутации, содержащее этап свободного непрограммного торможения, переходящего после реверса в этап программного обратного ускоренного движения на прежнем угловом интервале, согласованного с прежним этапом по свойству обратной реверсивной симметрии. Преимущество метода заключается в большей точности идентификации и быстродействии, поскольку вместо шести экспериментов с шестью выставками тела в шесть угловых положений выполняется только один эксперимент, кроме того, технически сложные замеры крутящего момента здесь заменены на текущие замеры расхода электроэнергии. Предложено исполнительное устройство с двухосным кардановым подвесом с одним электродвигателем и с упругим торсионным элементом.
Определения
Пусть тело размещено во внутренней осесимметричной цилиндрической рамке 1 двухосного карданова подвеса (см. рисунок) с горизонтальной осью собственного вра-
4
щения Oz и внешней рамки 2 с вертикальной осью прецессии О, соосной с торсио-ном 3 и ротором электродвигателя 4. Планетарный механизм 5 передает вращение на внутреннюю рамку согласно уравнению голономной связи углов прецессии и собственного вращения вида при А=1,235=£Р=£51°. Положение голономной системы тело - устройство с одной степенью свободы задаем обобщенной координатой ф. На двухоборотном угловом интервале [ф0=0,ф10=4п] введем промежуточные узлы \_ф1=Н,ф2=2Н,...,ф9=9Н], где к=2п/5 .
zi\
Рисунок. Исполнительное устройство
Реверсивной полупрограммной прецессией назовем сферическое двухосное движение тела с голономной связью у=Хф, состоящее из замедленного двухоборотного непрограммного вращения по ф с уравнением, определяемым по текущим замерам движения в виде
ф = P(t) п>и ф е[Фо = 0,Ф10 = 4П|, t eft, t10 ], (1)
переходящее после реверса с некоторого момента t '10 > tw в обратное программное симметричное движение на интервале времени [t '10, t'0 ] при t '0 = t '10 + t10 -10, удовлетворяющее уравнению
Ф=f (t) при f (t) = p(t*), t* = t \о +110 -1. (2)
Динамические уравнения энергии прецессионного движения
Применим теорему об изменении кинетической энергии к системе тело-устройство (рисунок) на полнооборотных пересекающихся угловых интервалах Ф =[фг,Фг+5] при г = 1,...,5 . Учитывая равенство нулю работы силы тяжести тела на полных оборотах по ф независимо от у и симметричность движений, получаем:
Т1+5 -Т = П,-Пг+5 + А, + Б, + у, г = 1,...,5; Т -Т1+5 =Пг+5-П, + А\ + Б\ + У\, Б\ = Б,, V) = V + е?.
Здесь Т и П - узловые значения кинетической энергии системы и потенциальной энергии торсиона, А, А'г - работы момента электродвигателя на интервале ф тормозного и обратного движений, Б, Б - работы внутреннего трения в торсионе и
сил сопротивления среды, одинаковые при цилиндрической форме кожуха, V ,V' - Работы сил трения в устройстве, в том числе в подшипниках электродвигателя, которые могут отличаться на положительную величину 82 в случае малого трения порядка ег. Из уравнений (3) получаем десять уравнений для работ сил и кинетических энергий:
A ', + Л, = 21 B + V | -е?, 2T, - 2TI+5 = 2П,+5 - 2П, + Л, - Л, + ег2. (4)
В случае Лг = 0, когда тормозное движение исполняется при выключенном электродвигателе, получаем A V = 2| Д + V | —е2, т.е. на обратном движении управляющий момент электродвигателя работает в маломощном режиме компенсации малой диссипации, следовательно, е2 « 0. Если вместо передаточного механизма применен второй электродвигатель, соосиый с валом внутренней рамки, также имеем в2 = 0. Угловая скорость сферического двухосного движения 63=фк +\j;k, =|iQe при |j= yfl+k=1,5890, где k,kt,e - орты осей Oz, Ozx и мгновенной оси OL. Кинетическая энергия тела T = J(ф)ц2Q2 / 2, где J(ф) - момент инерции тела относительно OL, J,2 - приведенный момент инерции тела. Для цилиндрической рамки имеем T = /ц2Q2 / 2, где I = const - момент инерции рамки относительно OL . Подставляя выражение кинетической энергии системы в уравнения (4), получим:
( +I)(Q2 -i&5) = 2П,+5 - 2П, + Л, - Л, + е2, J =J(ф,) = J(ф^).
Расчетные формулы для моментов инерции тела
Находим расчетные формулы моментов инерции тела относительно пяти мгновенных осей, равномерно распределенных в теле по круговому конусу с углом Р=51° между образующей OL и собственной осью Oz :
J, = (A V - Л, н-гП^-Ш, + е2 )(Q2-QL)-2 Ц-2- /ц-2, , = 1,..., 5.. (5)
Шестой момент инерции тела определяется на реверсивно-симметричном вращении системы вокруг неподвижной оси Oz1 при угле ф=0° на конечном угле поворота
[УиУг] п0 формуле
Л =Л 1 = (А\1-А12+2ЩЦ,2)-2ЩЦ,1))(Ц,21 -1)/2Г2 -4, (6)
где Jzl и /л - осевые моменты инерции тела и устройства при ф = 0. Единое твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной вертикальной оси, оказывает динамическое давление на подшипники, не зависящее от направления вращения, поэтому в (6) принимаем е^ =0. Работа крутящего момента электродвигателя равна потребляемой им электроэнергии E за вычетом омических тепловых потерь в обмотках 5г, в которые включаем и расходы на приращение энергии электромагнитного поля Д. = E - 5г, Л' г = E'- 5'. Отсюда
Л' , - Л = Е' , - E - (5 - 5), Л 21 - Д 2 = E2i - E12 - (5' - 5). (7)
В результате осевые моменты инерции определены формулами (5)-(6), где разности работ активного момента электродвигателя определяются формулами (7) через разности расходов электроэнергии и разности омических потерь.
Расчетные формулы для матрицы тензора инерции
Моменты инерции тела относительно осей связаны с элементами тензора инерции -осевыми декартовыми и центробежными моментами инерции - следующими формулами:
J, = IU,, i = 1,...,5 при I = [JxJyJ1JxyJ3aJa],
U = [е2 е2 е2 2е е 2е е 2е е ]T Здесь еы, ег>, ег2 - проекции ортов осей, равные направляющим косинусам осей. Горизонтальная конкатенация этих выражений приводит к матричному выражению вектор -строки осевых моментов инерции через вектор-строку элементов тензора инерции, умноженную на квадратную матрицу перехода:
J = IU при J = [J,..., J], U = [U,...,U6].
Отсюда получаем расчетную формулу для вектор-строки, составленной из моментов инерции относительно декартовых осей и центробежных моментов инерции:
I = JU-1 или IT= (U-1 )TJT . (8)
Для вышеуказанного пучка из шести осей имеем следующие вектор-строки ортов: e = sin в [cos^ - ф), sin^ - ф), ctg в], i = 1,..., 5; e6 = [1,0,0] Решение (8) хорошо обусловлено, поскольку det(U) = 0,9657 .
Заключение
В статье излагается обобщение метода идентификации шести компонент тензора инерции твердого тела. Предложено вместо пяти программных тестирующих реверсив-но-симметричных вращений вокруг неподвижных осей использовать одно сферическое неравномерное прецессионное движение. Кроме того, вместо программного движения использовано удобное для исполнения полупрограммное движение, состоящее из неуправляемого неравномерного движения и программного обратного управляемого движения, симметричного с предыдущим движением. Данный метод может быть реализован на предлагаемом робототехническом устройстве, а также на существующих в технике идентификационных устройствах при небольших изменениях в конструкции. Возможно применение метода в задачах идентификации крупногабаритных транспортных изделий - автомашин, спутников - при исполнении ими полупрограммных движений в условиях неизвестных диссипативных моментов.
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Комитета по науке и высшей школе Санкт-Петербурга за 2009 г.
Литература
1. Гернет М.М., Ратобыльский В.Ф. Определение моментов инерции. - М.: Машиностроение, 1969.
2. Previati G., Mastinu G., Gobbi M, Advances on inertia tensor and centre of gravity measurement: The INTENSO+ system // SAWE paper. - 2009. - № 3465.
3. Беляков А.О., Блаженнова-Микулич Л.Ю. Идентификация инерционной матрицы консервативной колебательной системы // Вестн. Моск. ун-та. - 2005. - №3. - С. 25-28.
4. Беляков А.О., Сейранян А.П. Определение моментов инерции крупногабаритных тел по колебаниям в упругом подвесе // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. - 2008. - № 2. - С. 49-62.
5. Bogdanov V.V., Volobuev V.S., Kudryashov A.I., Travin V.V. A Suite for Measuring Mass, Coordinates of the Center of Mass, and Moments of Inertia of Engineering Components // Measurement Techniques. - 2002. - V. 45. - № 2. - Р. 168-172.
6. Hahn H., Niebergall M. Development of a measurement robot for identifying all inertia parameters of a rigid body in a single experiment// IEEE Trans. Control Systems Technol. - 2001. - № 9 (2). - Р. 416-423.
П.А. Сергушин
7. Банит Ю.Р., Беляев М.Ю., Добринская Т.А., Ефимов Н.И., Сазонов В.В., Стажков В.М. Определение тензора инерции Международной космической станции по телеметрической информации // Космические исследования. - 2005. - Т. 43. - № 2. - С. 135-146.
8. Алексеев К.Б., Шадян А.В. Определение динамических параметров космического летательного аппарата по признакам динамической асимметрии // Машиностроение и инженерное образование. - 2007. - № 2. - С. 53-58.
9. Мельников В.Г. Метод идентификации тензоров инерции и центров масс твердых тел // III Всерос. совещание-семинар зав. каф. теоретической механики РФ - Пермь: ПГУ, 2004.
10. Мельников В.Г. Многочленные преобразования нелинейных систем управления// Известия вузов. Приборостроение. - 2007. - Т. 50. - № 5. - С. 20-25.
11. Патент РФ на изобр. №2262678. Мельников В.Г. Способ определения тензора инерции тела. - Опубл. БИ № 29, 20.10. 2005.
12. Мельников В.Г. Использование программных движений для идентификации тензора инерции и центра масс твердого тела // Известия вузов. Приборостроение. - 2007. - Т. 50. - № 8. - С. 33-36.
13. Шаховал С.Н. Исследование матричных алгебраических уравнений, определяющих тензор инерции через осевые моменты инерции // Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики. - 2008. - № 47. - С. 196-201.
Мельников Виталий Геннадьевич - Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой, melnikov@mail.ifmo.ru
УДК 534.1:53.085.1
МОДЕЛЬ ЛАНЧЕСТЕРА И ДИНАМИКА СПИРАЛЬНО-АНИЗОТРОПНЫХ СТЕРЖНЕЙ
П.А. Сергушин
Рассмотрена модель динамической системы с активным демпфером Ланчестера - составлена схема Simu-link, исследованы реакции на стандартные входные воздействия. Предложены альтернативы применения. Ключевые слова: динамика, колебания, демпфер Ланчестера, спиральная анизотропия.
Введение
Исследования колебаний в механических системах актуальны для многих областей науки и промышленности. Одним из наиболее значимых эффектов является свойство возникновения резонанса при воздействии на систему с некоторыми характерными для нее частотами. На практике явление резонанса может иметь негативные последствия - износ деталей механизмов, ослабление резьбовых соединений, появление шумов при работе механизмов и пр. Для гашения колебаний и сдвига резонансных частот применяют демпфирующие элементы [1].
Демпфер Ланчестера (рис. 1) представляет собой устройство, вращающееся вместе с валом как жесткое тело и рассеивающее энергию крутильных колебаний. Известны работы [2], в которых демпфер Ланчестера применяется для гашения линейных перемещений при механическом возбуждении системы в широком частотном диапазоне,
