Оптимальные параметры спутника с модельным демпфированием Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 531.381

С.А. Мирер1'2, И.В. Прилепский2 1 Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН 2 Московский физико-технический институт (государственный университет)

Оптимальные параметры спутника с модельным демпфированием

Рассматривается задача об оптимальном гашении угловой скорости твердого тела. Механизм демпфирования, названный модельным, предполагает, что на теле вдоль трех фиксированных осей установлены устройства, вырабатывающие моменты, пропорциональные величинам проекций угловой скорости тела на эти оси. Целью исследования является определение параметров системы, при которых скорость демпфирования максимальна. Оптимизация проводится аналитически по коэффициентам демпфирования и ориентации осей моментных устройств в теле. Строго доказано, что максимальная эффективность демпфирования достигается при расположении моментных устройств вдоль главных осей инерции тела. Кроме того, в статье доказан ряд экстремальных свойств тензора инерции произвольного твердого тела.

Ключевые слова: модельное демпфирование, степень устойчивости, тензор инерции.

I. Введение

Одним из важных критериев качества систем ориентации спутников является их быстродействие, под которым понимается скорость демпфирования собственных колебаний спутника в окрестности положения равновесия. Анализу зависимости быстродействия от параметров системы посвящено большое количество работ. При этом в качестве меры быстродействия часто использовалась величина степени устойчивости — взятая с обратным знаком действительная часть ближайшего к мнимой оси корня характеристического уравнения линеаризованной системы [1]. Для систем высокого порядка поиск оптимальных параметров, при которых степень устойчивости достигает максимума, проводился, как правило, численно (см., например, [2]); при этом в ходе оптимизации прослеживалась следующая тенденция: максимум степени устойчивости достигается при подравнивании вещественных частей группы корней, иногда всех [2-4]. Отметим, что с точки зрения проведения численного поиска оптимальных параметров тенденция подравнивания вещественных частей в оптимуме означает дополнительные сложности, поскольку зависимость степени устойчивости от параметров системы в точке экстремума оказывается неаналитической. С другой стороны, используя гипотезу о подравнивании вещественных частей группы корней характеристического уравнения, можно ввести дополнительные ограничения на параметры системы. В результате поиск оптимального решения можно проводить уже не во всем допустимом пространстве параметров, а в некотором его подпространстве [5].

Для достаточно широкого класса систем, характеристические уравнения которых имеют невысокий порядок (3-4) и специальный вид, поиск оптимальных параметров удается провести аналитически. Возможность аналитической оптимизации степени устойчивости является особенно важной в случае, если получаемые результаты применимы к широкому классу систем стабилизации. В этой связи в первую очередь следует упомянуть [6], где решен вопрос об оптимальном быстродействии систем с характеристическими уравнениями вида

а0(х)р4 + к^1(х)р3 + [Й2й1(х) + а2(х)]р2 + к1аз(х) + [к2аз(х) + а4(х)] = 0, (1)

к.1 а1(х)р3 + [к2а1(х) + а2(х)]р2 + к1аз(х)р + [к2аз(х) + а4(х)] = 0, (2)

а0(х)р3 + к^(х)р2 + а2(х)р + к1аз(х) = 0 (3)

(исследование степени устойчивости для уравнения вида (1) было также независимо проведено в [7]). Здесь выделенные параметры, коэффициенты к1 и к2, как правило, характеризуют демп-

фирующий и восстанавливающий момент, вектор х — прочие параметры системы, например, моменты инерции и т.п.

Учитывая важность и большую практическую значимость полученных в [6] результатов, опишем их более подробно. Специальный вид уравнений (1)--(3) позволяет разбить оптимизацию степени устойчивости на два этапа: на первом этапе определяется £^х) = шах^,^ £(к1,к2,х), на втором — £т = шахх £1 (х). Метод получения £1 (х) можно проиллюстрировать на примере уравнения (1):

1. На первом этапе выдвигается гипотеза о конфигурации корней характеристического уравнения, на которой достигается оптимум. С учетом отмеченной выше тенденции к подравниванию вещественных частей в оптимуме и порядка уравнения достаточно рассмотреть две конфигурации:

— пара кратных комплексно-сопряженных корней

ао[(р + I)2 + ш2]2 = 0, 1> 0,ш2 ^ 0; такая конфигурация существует при Л ^ I, где

Л = л/а3/а1, I = ^ (а1а2а3 — — а^а0 )/4а0а1а3;

— четыре вещественных корня, три из которых совпадают:

а0(р + d)3(p + = 0, 11 ^ 1> 0 (конфигурация существует при Л ^ I).

Для каждой конфигурации вычисляется степень устойчивости; в первом случае £ = I = I, во втором £ = I = Л\/х(у) — 1, где V = 12/Л2, а ) — корень уравнения г3 — 12кг +16к = 0, лежащий в интервале 4/3 < г ^ 2; определяются соответствующие значения коэффициентов к1, к2.

2. Для доказательства того, что полученная таким образом величина степени устойчивости действительно является максимальной, применяется следующий алгоритм:

— производится замена переменной р = в — £ в уравнении (1);

— доказывается, что при любых значениях к1, к2 получившееся уравнение имеет корни, лежащие на мнимой оси или правее нее, что и означает невозможность достижимости большей степени устойчивости. При этом используется критерий Рауса-Гурвица в форме Лье-нара-Шипара.

Полученные на первом этапе оптимизации выражения для £1(х) далее используются для поиска оптимальных значений остальных параметров и определения £т = шахх £1(х). В качестве примера проанализирована система спутник-стабилизатор (рис. 1), состоящая из спутника с центром масс О1 и стабилизатора с центром масс О2, соединенных шарниром Р с вязким трением и упругостью. На рис. 1 О1х1у1г1 и О2х2у2г2 есть главные центральные оси тел, OXYZ — оси орбитальной системы координат: ось ОУ направлена по нормали к плоскости орбиты, ось OZ — по радиус-вектору. Отметим, что в [6] рассмотрен частный случай системы спутник-стабилизатор, когда центры масс обоих тел совпадают.

Не останавливаясь подробно на рассмотрении уравнений (2) и (3), отметим, что (2) в оптимуме имеет вещественный корень кратности 3, а для (3) оптимум степени устойчивости при заданных значениях параметров х может достигаться либо при подравнивании вещественных частей двух (вещественных) или трех корней, либо в точке, где д£(к1,х)/дк1 = 0. Таким образом, свойство подравнивания вещественных частей в окрестности экстремума степени устойчивости в работе [6] получило строгое обоснование.

Полученные в [6] результаты использовались при анализе следующих систем: — система спутник-стабилизатор с вязким трением и упругостью в шарнире: плоские колебания в окрестности горизонтального и вертикального положений равновесия (спутник и стабилизатор ориентированы вдоль касательной к орбите либо вдоль радиус-вектора) в случае несовпадения шарнира с центрами масс тел [8] (уравнение вида (1));

— спутник, стабилизированный вращением, с демпфером маятникового типа [9] (рис. 2) (уравнение вида (1));

— спутник, стабилизированный вращением, с гиродемпфером (гироскопом в вязкоупругой подвеске, рис. 3) [10] (уравнение вида (3));

— спутник с установленными на нем гиродемпфером и вращающимся ротором [11] (уравнение вида (3) для вращающегося спутника и уравнение вида (2) для невращающегося спутника в прецессионном приближении, уравнение вида (1) для невращающегося спутника в рамках точной теории);

— спутник с двумя гиродемпферами [12] (уравнение вида (3)).

Рис. 1

Среди других работ, посвященных аналитической оптимизации степени устойчивости, можно упомянуть [13], где показано, что для характеристического уравнения порядка 2п локальный максимум степени устойчивости достигается при таких значениях параметров, когда характеристическое уравнение имеет п-кратный корень —й ± ш. Кроме того, при исследовании системы спутник-стабилизатор в случае, когда в шарнире нет упругости [14], возникает характеристическое уравнение вида

а0(х)р4 + ка1(х)р3 + а2(х)р2 + ка3(х)р + а4(х) = 0. (4)

Исследование уравнения (4) в [14] выполнено с использованием подхода, предложенного в [6]. На первом этапе находится ^1(ж) = шах^ £(к1,х), для чего на плоскости безразмерных параметров 9 = а0а3/а1а2, 7 = а1 а4/а2а3 определяются области существования и оптимальности возможных конфигураций корней уравнения (4). Это либо две пары комплексно-сопряженных корней с совпадающими вещественными частями, либо кратные вещественные корни, либо пара комплексно-сопряженных корней и вещественный корень с совпадающими вещественными частями. Кроме того, определена область в пространстве параметров, в которой экстремум достигается при выполнении условия д£(к1,ж)/дк! = 0. На втором этапе с использованием полученных результатов найден оптимум = шахх ^1(х) для горизонтальной конфигурации системы спутник-стабилизатор в случае совпадения шарнира с центрами масс обоих тел.

В настоящей работе проводится аналитическая оптимизация быстродействия еще одной механической системы. Рассматривается твердое тело, на котором для гашения угловой скорости по трем осям установлены устройства, вырабатывающие управляющие моменты, пропорциональные проекциям угловой скорости тела на эти оси. Такая система может быть реализована, например, с применением маховиков (при наличии на спутнике датчиков угловой скорости). Подобная система уже рассматривалась в [2, 15], где такой тип демпфирования назван модельным. Поиск оптимальных параметров проводится в два этапа. На первом этапе при фиксированных коэффициентах демпфирования определяется оптимальное положение осей демпфирования, на втором этапе определяются оптимальные коэффициенты демпфирования. Показано, что максимум степени устойчивости достигается при установке моментных устройств вдоль главных центральных

осей инерции спутника. Попутно доказаны некоторые экстремальные соотношения между элементами тензора инерции произвольного твердого тела.

II. Задача о модельном демпфировании

Рассматривается задача оптимального гашения малой угловой скорости твердого тела. В частности, это может быть космический аппарат (спутник) на достаточно большом удалении от притягивающего центра, когда действующими на него гравитационными моментами можно пренебречь. Движение спутника относительно его центра масс описывается уравнением

СК

— = М,

сг

где

К = М = т1е1 + т2е2 + тзе3.

Здесь К — кинетический момент тела, М — управляющий момент, Г — тензор инерции тела, w — его угловая скорость; е, и т, — орты осей управления и соответствующие управляющие моменты (1 = 1, 2, 3), причем

т, = -кг^е), к, — коэффициенты моментных устройств. Тогда получаем

з

Гл¥ + w х ^ = — ^^ кг^,ег)ег, (5)

г=1

или, проектируя векторное уравнение (5) на главные центральные оси инерции тела,

Лги 1 + (1з — 12)ш2шз + Е 3=1 к,^,е,)(е,,Е1) = 0,

12*Ъ2 + (/1 — 1з)шзш1 + £ 3=1 к,^,ег)(ег,Е2) = 0, (6)

1зй)з + (/2 — /1)^1^2 + Ез=1 к,^,е,)(е,,Ез) = 0.

Здесь ш, — проекции угловой скорости тела на его главные центральные оси инерции; тензор инерции в этих осях имеет диагональный вид Г = сИад(/1,/2,/з); Е, — орты главных центральных осей инерции тела. Обозначим (е,,Е^-) = а^, тогда

з з з з з

М, = (М,Е,) = — к] Шsajs) а^ = — ^ Шs I ^ к,-ajsaji I = — ^ misШs,

j = 1 Vs=1 / s=1 \]' = 1 ) s=1

где

з

т,я = '

к] ajsaji. ]=1

Таким образом, М = —Дw, причем матрица Д симметричная. Известно [2], что систему, в которой моментные устройства установлены по трем произвольным осям, всегда можно свести к системе, в которой эти оси являются взаимно перпендикулярными. В дальнейшем считаем, что орты е, образуют правую тройку взаимно ортогональных векторов, ориентация которой относительно главных центральных осей определяется ортогональной матрицей А. Тогда

к1 0 0 Д = Ат | 0 к2 0 | А.

0 0 кз

Система уравнений (6) имеет тривиальное решение

ш1 = ш2 = шз = 0.

Линеаризуя (6) в окрестности этого решения, получим систему

/iw i + + mi2^2 + mi3W3 = 0,

hu 2 + Ш21^1 + Ш22^2 + Ш23^3 = 0, I3W 3 + m3iwi + Ш32^2 + Ш33^3 = 0,

характеристическое уравнение которой, с учетом выражений для ш^ и ортогональности A, имеет вид

Л/2/3Р3 + [ki(/2l3«2i + I3 Iia22 + Iil2 a?3) + ^2 (/2/^ + /3/^2 + ^^3)+

+fc3(l2l3a2i + /3/^2 + Iil2a23)]p2+ (7)

+ [kik2(1ia3i + /^2 + /3a33) + k2k3(/iaii + /ja^ + /^3) + ( )

+k3ki(1ia2i + I2a22 + /^al^jp + kik2k3 = 0.

Введем обозначения

Ji = Iia2i + /2a22 + I3a23,

Li = /2/^ + /3/^ + Ii/2a23, (i = 1,2,3),

/^i - ki/Ji.

Тогда уравнение (7) принимает вид

/1/2/3 Р3 + (fci JiLi_+ ^2^2 + fc3_J3L3)p2+ ______(8)

+ (/i/2 + /2/3 + /3/i) Ji J2 J3P + /i/2/3 Ji J2 J3 =0. ()

Далее будут определены параметры системы, при которых достигается максимум степени устойчивости уравнения (8). При этом задача решается в два этапа. Сначала находится оптимальное расположение осей демпфирования в тела спутника

Ci(/i,/2,/3) = max £ (/i,/2,/3,aij), затем определяются оптимальные значения коэффициентов моментных устройств:

£2 = max £i(fci ,1/2 Д3). ki

III. Случай равенства коэффициентов демпфирования

Пусть сначала ki = = = k (считаем, что допустимое множество изменения этого параметра есть [0,K]) Тогда (8) принимает вид

I1I2I3P3 + k(JiLi + J2L2 + JsL3)p2 + (3p + k)k2 Ji J2 J3 = 0. (9)

Как уже отмечалось выше, при поиске оптимальных параметров целого ряда пассивных и полупассивных систем ориентации спутников наблюдается тенденция выравнивания действительных частей корней характеристического уравнения при приближении к экстремуму.

Предположим, максимальная (по ориентации осей демпфирования) степень устойчивости уравнения (9) достигается при таких значениях параметров, когда все корни действительны и равны между собой (справедливость данной гипотезы будет строго обоснована в разделе V). Подобная ситуация имеет место, например, в задаче о быстродействии системы спутник-стабилизатор [8, 15]. Тогда должны выполняться соотношения

36(k)1i/2/3 = k(JiLi + J2L2 + J3L3), 3£2(k)ii/2/3 = 3k2 JJ2J3, £3(k)1il2l3 = k3Ji J2J3,

откуда

Ji J2J3 = Ii/2/3, (10)

3^ + № + ЗзЫ = 3/1 Ыз, (11)

к = 6(к). (12)

Из (12) следует, что второй этап оптимизации в данном случае тривиален: £2 = £1(К) = К. Что касается (10) и (11), то можно доказать, что эти равенства имеют место только в случае параллельности осей демпфирования и главных центральных осей инерции тела (при этом порядок соответствия осей несущественен).

Как видно, при рассмотрении данной задачи возникает необходимость в анализе специфических функций элементов тензора инерции твердого тела, а именно З1323з и ■З1Ь1 + З2Ь2 + ЗзЬз. По результатам такого анализа удалось, абстрагируясь от исходной задачи, доказать некоторые экстремальные соотношения между элементами тензора инерции произвольного твердого тела. Получаемые при этом результаты позволяют также в дальнейшем провести оптимизацию степени устойчивости для уравнения (8) в случае, если допускается использование различных коэффициентов демпфирования.

IV. Экстремальные соотношения между элементами тензора инерции

твердого тела

Рассмотрим твердое тело с главными центральными моментами инерции /1,/2,/з. Определим две связанные с телом правые прямоугольные системы координат:

Ох1х2хз — система координат с осями вдоль главных центральных осей инерции тела; Оу1у2уз — система координат, ориентация которой относительно Ох1х2хз определяется ортогональной матрицей А = ||aijУ; ее элементы являются направляющими косинусами между соответствующими осями, то есть

aij = со8(Оу,,Ох, ). Известно, что момент инерции тела относительно оси Оу, имеет вид

з

2

З, = ^ /к о^к.

к=1

Теорема 1. Для любого твердого тела выполняются следующие неравенства:

/1/2/з « 3 « ( 11 + /2 + /з )з , (13)

причем левое равенство достигается только при коллинеарности осей Ох, и Оу, (порядок соответствия осей значения не имеет), а правое равенство имеет место при 31 = З2 = Зз. Доказательство.

1. Сначала докажем правую часть (13), то есть неравенство

зз +)з

Обозначим / = 3323з, с = (/1 + /2 + /з)/3. С учетом очевидного соотношения 31 + 32 + Зз = /1 + /2 + /з = 3с имеем

/ = 32 ■ 1[(31 + Зз)2 — (31 — Зз)2] « 432(3с — 32)2, (14)

причем равенство в (14) достигается при З1 = Зз. Теперь рассмотрим

/1(32) = 4 32(3с — З2)2.

Заметим, что из «неравенств треугольника» для главных центральных моментов инерции

/1 « /2 + /з, /2 « /з + /1, /з « /1 + /2

следуют аналогичные неравенства для диагональных элементов тензора инерции в любой системе координат:

З1 « З2 + Зз, З2 « Зз + З1, Зз « З1 + З2.

В результате

32 « Зз + 31 = 3с — 32, то есть функция /1 определена на отрезке [0,3с/2]. С учетом соотношений

J = !<* - J2)(C - J2), J = f(J2 -

это доказывает, что max /i имеет место при J2 = с. Таким образом, окончательно получаем max / = с3, причем это значение достигается при Ji = J2 = J3 = с.

Покажем, что найденный максимум действительно достигается. Иными словами, докажем, что всегда можно так выбрать направления осей системы координат Оу^Уз, что будут справедливы условия

Ji = Да2! + /2а22 + /за! = с, i = 1,2,3, (15)

причем достаточно потребовать выполнения только двух из трех условий (15), например,

Ji = /ia1i + Ла^ + /за2з = с, (16)

J2 = /ia2i + Ла^ + /за2з = с. (17)

Заметим, что входящие в (16), (17) элементы матрицы A должны удовлетворять также условиям ортогональности:

a2i + ai2 + а2з = 1, а^ + а22 + а2з = 1, aiia2i + ai2a22 + alзa2з = 0. (18)

Разрешая систему (16) — (18) относительно aj, мы, вообще говоря, должны получить однопара-метрическое семейство. Не останавливаясь на получении этого семейства, ограничимся лишь тем, что покажем существование хотя бы одного решения.

Положение системы координат О^у2уз относительно Ож^ж^ а следовательно, и матрицу A можно определить тремя углами, например, самолетными углами тангажа а, рыскания в и крена y (рис. 4). Тогда условия ортогональности (17) выполняются автоматически. Уравнение (16) удовлетворяется, например, при

222 a2i = a22 = а2з = 1/3.

Принимая во внимание выражения для направляющих косинусов aj через самолетные углы

aii = cos а cos в, а2з = — cos в sin y,

ai2 = sin а sin y — cos а sin в cos y, a^ = — sin а cos в,

а^ = sin а cos y + cos а sin в sin y, аз2 = cos а sin y + sin а sin в cos y,

a2i = sin в, азз = cos а cos y — sin а sin в sin y, a22 = cos в cos y,

эти условия дают sin2 в = 1/3, sin2 y = 1/2. Пусть для определенности

sin в = 1/л/3, sin y = 1/л/2, cos y = 1/л/2,

тогда

aii = —(1 + cos 2а), 3

a22 = 1 (1 — 1 cos 2а — sin 2а J , (19)

i2 3 2 2

2 1 Л 1 „ V3 . п \

a13 = -11--cos 2a +--sin 2a .

Подставляя (19) в (16), получаем

1 / h + /Л 0 1 • 0

С + 3 I/i--2— I cos2a - - /3) sin2a = c,

откуда

tg2a = V3

/1 - c

(20)

12 — 13

Заметим, что выражение (20) теряет смысл при 12 = 13. Однако в этом случае сов2а = 0, откуда, в частности, а = п/4.

Рис. 4. Углы ориентации

Таким образом, показано, что для произвольного твердого тела всегда можно так выбрать направления осей системы координат Оу1 у2у3, что все осевые моменты инерции окажутся одинаковыми, то есть

Л = Л = Л = 3(11 + 12 + 13).

Заметим, что полученный результат допускает также следующую геометрическую интерпретацию. Пусть имеется трехосный эллипсоид с полуосями а, Ь, с. Тогда всегда можно ввести декар-тову систему координат с началом в центре эллипсоида таким образом, что точки пересечения координатных осей с эллипсоидом окажутся на одинаковом расстоянии 1 от его центра, причем

1

11

1

1

d2 3 V a2 + b2 + c2

2. Докажем левую часть (13), то есть неравенство

/1 /2/3 < Jl J2 J3 = f.

Сначала рассмотрим выражение J1J3. Имеем

Jl J3 = (/1 «11 + /2 a22 + /3 a23 )(/1 «31 + /2 a¡2 + /3 а3з) =

= Л2 a11 a31 + /2 a12 a32 + /2 «13 a33 + ^/2 («21 a32 + a12 a31) + +I2 Тэ (a12 a33 + «13 a32 ) + Л (a12 a31 + a11 a33 ) =

= (/1 ana31 + /2a12«32 + /3«13«33)2 + /1 /2(an«32 - a12«31 )2+ +/2/3(an«33 - a13«32)2 + /3/1 («13«31 - an«33)2.

С учетом очевидных соотношений

а21 = (012033 — ^^^ а22 = (013031 — ^^^ а23 = (а11а32 — 012031)2

получаем

7 7 = (/1011031 + /2012032 + /3 013033)2 + + /2/3021 + ЛДа^ =

= (/1011031 + /2012032 + /3О13О33)2 + ¿2.

(22)

Отсюда, в частности, следует неравенство 73^ £2 или 7273 ^ 72£2. Точно так же доказываются два аналогичных неравенства. В результате имеем

^ г = 1, 2, 3. (23)

Далее, преобразуя 72£2, получаем

№ = /1/2/3 + /1(/2 - /3)2022023 + /2(/3 - /1)2023021 + /3(/1 - /2)2021022. (24)

Заметим, что аналогичные тождества имеют место для и ^£3, то есть

= /1/2/3 + /1(/2 - /3)20^2023 + - /1)2023021 + /3(/1 - Л)2021022, (25)

откуда, в частности,

ЗгЬг > /1/2/3 (26)

С использованием полученных соотношений выражение / = 71 приводится к виду / = /1/2/3 + /1(/2 - /3)2022023 + /2(/3 - /1)2023021 + ^(Л - Л)^^^

+ (/1021 + /2022 + /3 023)(/10П031 + /2012032 + /3013033)2,

откуда следует неравенство 717273 ^ /1/2/3, причем равенство возможно только при одновременном выполнении условий

021022 = о, 022023 = 0, 023021 = 0;

/1011031 + /2012032 + /3013033 = 0. Кроме того, напомним, что в силу ортогональности матрицы А

011031 + 012032 + 013 033 = 0.

(27)

(28)

(29)

Анализ системы (27) — (29) при /1 = /2 = /3 показывает, что равенство в (21) возможно в следующих шести случаях (здесь приведены только ненулевые элементы матрицы А):

1)0? 3)02

2 11 = °22 = 033 = 1 2)011 = 023 032 = 1;

2 12 = 021 = 033 = 1 4)0^2 = 023 = 031 = 1; (30)

2 13 = 021 = 032 = 1 23 121 )0 6) = 022 = 031 = 1.

5)0

Из вида решений (30) следует, что все они отвечают ситуациям, в которых оси систем координат Оу1у2у3 и ОХ1Х2Х3 совпадают (ось Оуг коллинеарна оси Охк). Разумеется, среди решений (30) надо оставить лишь те, которые отвечают правой системе координат, то есть удовлетворяют условию |А| = 1.

Отметим также, что совершенно аналогично может быть доказано неравенство

^ /2/2/3.

(31)

3. Имеет место также неравенство

7^1 + ^¿2 + ^¿3 ^ 3/1 /2/3,

(32)

которое следует непосредственно из (26). Каждое из неравенств (26) вырождается в равенство при коллинеарности одной из осей системы координат Oyiy2y3 одной из осей системы координат Ж3. Равенство в (32) достигается при одновременном вырождении всех неравенств (26) в равенства, что имеет место в случаях (30), то есть при коллинеарности всех осей систем координат ОУ1У2У3 и ОЖ1Ж2Ж3.

V. Задача о модельном демпфировании. Общий случай

Вернемся к задаче о модельном демпфировании и характеристическому уравнению (8). Рассмотрим общий случай, когда коэффициенты демпфирования ki различны, а допустимые множества их изменения есть 0 ^ ki ^ Ki, i = 1, 2, 3. Для первого этапа оптимизации ответ на вопрос о максимальном значении степени устойчивости и оптимальной ориентации осей демпфирования дает следующее утверждение.

Теорема 2. Максимум степени устойчивости достигается в случае, когда оси демпфирования параллельны главным центральным осям. При этом £1 = maxaij. £ = mini ki.

Доказательство. Пусть для определенности mini ki = k3.

1. Покажем, что значение степени устойчивости £ = k3 достигается. Действительно, пусть оси демпфирования параллельны главным центральным осям. Тогда (см. раздел 2) Ji J2J3 = /1/2/3, J1L1 = J2L2 = J3L3 = /1/2/3, и (8) приводится к виду

Ill2l3 (p + k1)(p + k2)(p + k3) = 0.

Степень устойчивости при этом, очевидно, равна k3.

2. Докажем, что нельзя получить степень устойчивости, большую k3. Для этого воспользуемся подходом, предложенным в [6]: а именно, сделаем в (8) замену переменной s = p + k3 и покажем, что полученное в результате уравнение bos3 + 61 s2 + fos + b3 = 0 имеет корни, лежащие на мнимой оси или в правой полуплоскости. Чтобы убедиться в этом, достаточно показать несовместность условий b2 > 0 и b3 > 0, которые имеют вид

3/1/2/3^ - 2k3 > kiJiLi + J1J2 J3(k1k2 + k1k3 + k2k3) > 0, (33)

i=1

£1(7^1 - 717273) + к2(72^2 - 717273) + £3(73^3 - /1/2/3) > 0. (34)

Для доказательства несовместности системы (33), (34) рассмотрим следующую из нее систему, первое неравенство которой является суммой (33) и (34) с весами 1/к3 и 2/к3, а второе неравенство — это (34), умноженное на 1/к3. Тогда, обозначая о1 = к1/к3,о2 = к2/к3 (очевидно, о1 ^ 1, О2 ^ 1), получим

(01 - 1)(о2 - 1) > 1 - /1/2/3/717273, (35)

(717273 - 7^1)01 + (717273 - 72^2)02 < 73£3 - /1/2/3. (36)

С учетом (13), (23), (26) неравенство (35) определяет в допустимой области о1 ^ 1, о2 ^ 1 на плоскости (01,02) область над ветвью гиперболы, а (36) — область под отрезком. Очевидно, достаточно рассмотреть случай, когда точка (1,1) удовлетворяет (35), поскольку в противном случае пересечение области (36) и допустимой области пусто. Характерный вид областей (35), (36) в этом случае приведен на рис. 5. Геометрически несовместность (35), (36) означает, что точка касания гиперболы и прямой, параллельной отрезку, лежит вне области, определяемой (36). Координаты этой точки касания есть

01*=iJJ1 J2J3-J2L2(1 -/1/2/3/J1J2J3), 02*=1+JJ1 J2J3-J1^1 (1 -/1/2/3/J1J2J3).

V J1J2J3 - J1L1 V J1J2J3 - J2L2

Требуется доказать, что (o1 * ,o2*) не удовлетворяет (36), то есть

I--3

2^/(J1 J2 J3" J1L1 )(J1 J2 J3 - J2L2)(1 - /1/2/3/J1J2 J3) ^ ^ JiLi - 2J1J2 J3 - /1/2/3. (37)

i=1

В случае, если правая часть (37) отрицательна, неравенство очевидно; в противном случае, возведение в квадрат и учет (26) дает

- Л^)// - /2/2)/ / - /1/2/3) ^ ^ 4(7^2/3 - /1/1)(/1/2/3 - /2/2)(/1 /2/3 - /3/3) =

= /1/2/3 /iLi - 2/1/2/3 - /1/2/^ .

Заметим, что справедливость тождества

4/1/2/3 - /1/1Х/1/2/3 - /2/2Х/1/2/3 - /3/3) =

\ 2 (38)

= Ji J2/3 JiLi — 2Ji J2 J3 — /1/2/3)

была установлена с использованием символьных вычислений на ЭВМ. Таким образом, (37) выполнено, и, тем самым, невозможность достижения £ > /3 доказана.

Рис. 5

Следствия:

1. Второй этап оптимизации в данном случае также оказывается тривиальным. (Максимум степени устойчивости £2 = mini K достигается при fci = ^ = /3 = mini Ki).

2. Гипотеза о том, что в случае /i = /2 = /3 = k оптимум достигается, когда уравнение (9) имеет трехкратный действительный корень, оказывается верной (так как при такой конфигурации корней степень устойчивости равна k).

Доказанная теорема полностью решает вопрос об оптимальной степени устойчивости для уравнения (8). Отметим, однако, что для реальных демпфирующих устройств, как правило, существуют ограничения на параметры ki (0 ^ ki ^ Ki,i = 1, 2, 3), а не = ki/Ji. В связи с этим интерес представляет оптимизация степени устойчивости уравнения (7), которое перепишем в виде

/1/2 /3Р3 + (kiLi + k2/2 + k3/3)p2 + (kik2 J3 + k2k3 Ji + k3ki J2)p + №k3 = 0. (39)

На первом этапе будем проводить оптимизацию степени устойчивости (39) по ориентации осей демпфирования:

£i(ki,k2,k3) = max £ (ki,k2,k3,aij).

aij

Пусть для определенности

ki < k2 < k3, (40)

/i < /2 < /3. (41)

Теорема 3. Максимум степени устойчивости уравнения (39) определяется формулой

£i(ki,k2,k3) = min{ki//i,k2//2,k3//3}. (42)

Доказательство. Достижимость степени устойчивости, определяемой (42), очевидна: если 1-е моментное устройство расположено вдоль 1-й главной центральной оси, 2-е — вдоль 2-й, 3-е — вдоль 3-й, то характеристическое уравнение принимает вид (Др + k^(I2p + k2)(I3p + k3) = 0. Доказательство невозможности достижения большей степени устойчивости проведем отдельно для трех случаев.

1. Пусть ki/Ii = min{k1//1,k2//2,k3//3}. Предположим, что при некоторой ориентации осей демпфирования £i(fei,fe2,&3) > ki/Ii. В силу теоремы 2 степень устойчивости при этом не превышает min{k1/J1; k2/J2; k3/J3} и, следовательно, не превышает ki/Ji. Однако ki/Ji ^ ki/Ii в силу (41) и определения Ji. Полученное противоречие доказывает теорему.

2. Пусть

k2/l2 = min{ki/Ii,k2/l2,k3/l3}. (43)

Доказательство того, что (ki,k2,k3) = k2/I2, будем проводить аналогично доказательству теоремы 2: сделаем в (39) замену переменных s = р + k2/I2 и покажем, что получающееся в результате уравнение bos3 + bis2 + 62s + b3 = 0 имеет корни, лежащие на мнимой оси или правее. Для доказательства этого факта достаточно показать несовместность условий b2 ■ k2/I2 + b3 > 0 и b3 > 0 (из чего следует несовместность системы условий b2 > 0,b3 > 0). Вводя параметры oi = , killi

03 = к"2//2, эти условия можно записать в виде

/i(oi,03) = 0i03 - OiLi/l2l3 - 03L3/Iil2 + 2 - L2/Iil3 > 0,

f2(oi,03) = (1 - J2/l2)oi03 - (J3/I3 - Li/l2l3)oi--( Ji/Ii - L3/Iil2)03 - 1 + L2/Iil3 > 0.

Отметим, что из определений ai, 03, а также из (40) и (43) следует, что

(44)

(45)

1 ^ ai ^ I2/Ii, 03 ^ 1, 03 ^ aiIi/I3.

(46)

Будем говорить, что точки на плоскости (01,03), удовлетворяющие (46), образуют допустимую область изменения этих величин. Заметим также, что из сравнения предполагаемой оптимальной степени устойчивости с величинами к1/71,к2/72,к3/73 следует, что достаточно рассмотреть (44), (45) для случаев

72 < /2, 01 > 71//1 (^ 71 < /2 из (46) ),

поскольку вне этой области значений параметров значение степени устойчивости априори не больше к2//2 в силу теоремы 2. Через 03(1)(01) и 03(2)(01) обозначим функции, определяемые уравнениями /1 (01,03) =0 и /2(01,03) = 0 соответственно.

На рис. 6 изображены области на плоскости (01,03), определяемые (44) (вертикальная штриховка), (45) (закрашено) и (46) (ограничена жирными линиями).

Рис. 6

Общий вид расположения областей (в частности, положение ветвей гипербол) и тот факт, что пересечение данных областей является пустым, обоснуем поэтапно:

а) форма ветвей гипербол и положение областей (44) и (45) относительно них. Первое следует из <Г3(1) ^ 0 и ¿73(2) ^ 0 при 71 ^ те. Действительно, <73(1) ^ 0 эквивалентно неравенству /1/3 + /|/2 - 2/1/|/3 ^ 0, которое выполняется при 71 ^ те в силу (31) и неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим; 73(2) ^ 0 при 71 ^ те эквивалентно условию [/2(/1 + /3) -/2/1 -/1][/2(/1 + /3) - /2/3 - /3] ^ 0. Заметим, что, исходя из (41) и определения /i,Li легко показать, что V?

// + Li ^ /1(/2 + /3), (47)

/2/i + Li < /2(/1 + /3), /3/ + Li ^ /3(/1 + /2),

(48)

(49)

и выполнение требуемого условия следует из (48).

Положение областей (44) и (45) относительно ветвей гипербол легко определяется с учетом того, что (+те, + те) принадлежит как (44), так и (45);

б) горизонтальная асимптота гиперболы 73(1) (полужирная штриховая линия на рис. 6) лежит ниже прямой 73 = 1, и, следовательно, левая нижняя подобласть (44) не пересекается с допустимой областью (46). Действительно, уравнение этой асимптоты есть 73 = /17/2/3, но /17/2/3 ^ 1 в силу (41) и определения /1;

в) вертикальная асимптота гиперболы 73(2) (полужирная сплошная линия на рис. 6) лежит правее прямой 71 = /27/1, и, следовательно, правая верхняя подобласть (45) не пересекается с допустимой областью (46). Действительно, уравнение этой асимптоты есть 71 = (/17/1 - /37/1/2)7(1 - /27/2), а (/17/1 - /37/1/2)7(1 - /27/2) ^ /27/1, что напрямую следует из (48) с учетом /1 + /2 + /3 = /1 + /2 + /3.

Из результатов а)-в) следует, что система (44), (45), (46) может быть совместной лишь при условии пересечения левой нижней ветви 73(2) и правой верхней ветви 73(1);

г) ветви гипербол 73(1) и 73(2) не пересекаются. Действительно, условием пересечения является положительность дискриминанта квадратного уравнения, получаемого исключением 73 из системы У1 (71,73) = 0, /2(71,73) = 0. С использованием тождества (37) это условие преобразуется к виду

/1 /3

/2/3 /3

/Л / _ /2 /1 /2 /х) V /2

/2 /1/3

1

(2/1 /2/3 - /1/3/2 - /2/2) > 0.

(50)

Отметим, что первый сомножитель в левой части (50) неотрицателен (это следует из того, что

(2)

функция 73 )(71) (нестрого) выпукла при 71 ^ те, что доказано в п. а). Второй сомножитель, напротив, неположителен вследствие (26) и неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим. Таким образом, (50) не выполняется, и ветви гипербол действительно не могут пересекаться .

Из результатов утверждений пп. а—г следует, что (44), (45) не выполняются одновременно в области (46) допустимых значений параметров 71, 73 и, следовательно, £1(^1,^2,^3) = к27/2. 3. Пусть

Й37/3 = ш1П{Л17/1,Л27/2,Л37/3>. (51)

Доказательство проводится аналогично пункту 2: сделаем в (39) замену переменных в = р + /37/3 и покажем, что получающееся уравнение Ьов3 + &1в2 + ^2в + 63 = 0 имеет корни, лежащие на мнимой оси или правее ее. Докажем несовместность условий 62/37/3 + 63 > 0 и 63 > 0 (из чего будет следовать несовместность необходимых условий Ь2 > 0,Ь3 > 0). Вводя параметры 71 = ,

к.2/12

72 = кя/1я, эти условия можно записать в виде

/1(71,72) = 7172 - 71/17/2/3 - 72/27/1/3 +2 - /37/1/2 > 0,

(52)

3Ветви гипербол могут касаться, но и в этом случае система (44)-(45) несовместна в силу того, что входящие в нее неравенства строгие.

/г(«1 ,«2) = (1 - /з/1з)«1«2 - /2/12 - ^1/72/3)^1--(Л/Л - 72//1/з)«2 - 1 + ¿3//1/2 > 0.

Отметим, что из определений «1, «2, а также из (40) и (51) следует, что

1 ^ «1 ^ /3//1, 1 ^ «2 ^ /3//2, «2 ^ «1/1//2.

(53)

(54)

Будем говорить, что точки на плоскости («1,«2), удовлетворяющие (54), образуют допустимую область изменения этих величин. Через «2(1) («1) и «2(2) («1) обозначим функции, определяемые уравнениями /1(«1,«2) = 0 и /2(«1,«2) = 0 соответственно. На рис. 7 изображены области на плоскости («1,«2), определяемые (52) (вертикальная штриховка), (53) (закрашено) и (54) (ограничена жирными линиями).

Рис. 7

Общий вид расположения областей (в частности, положение ветвей гипербол) и тот факт, что пересечение данных областей является пустым, обоснуем поэтапно:

а) форма ветвей гипербол и положение областей (52) и (53) устанавливается аналогично пункту 2;

б) точка А(/3//1,/3//2) лежит на гиперболе «2(2) (проверяется постановкой);

в) горизонтальная асимптота гиперболы «2(1) (полужирная штриховая линия на рис. 7) лежит ниже прямой «2 = 1. Действительно, уравнение горизонтальной асимптоты есть «2 = ¿1/12/3, а ¿1/12/3 ^ 1 в силу (41) и определения ¿1. Следовательно, левая нижняя подобласть (52) не пересекается с допустимой областью;

г) вертикальная асимптота гиперболы «2(2) (полужирная сплошная линия на рис. 7) лежит левее прямой «1 = /3//1, то есть точка А лежит на правой ветви этой гиперболы, и, следовательно, правая верхняя подобласть (53) не пересекается с допустимой областью. Действительно, уравнение этой асимптоты есть «1 = (/1//1 - ¿2//1 /3)/(1 - /3//3), а условие (¿1//1 - ¿2//1/3)/(1 - /3//3) ^ /3//1 эквивалентно (49) с учетом /1 + /2 + ¿3 = /1 + /2 + /3.

Из пп. а-г следует, что система (52), (53), (54) может быть совместной лишь при условии пересечения левой нижней ветви «2(2) и правой верхней ветви «2(1);

д) ветви гипербол «2(1) и «2(2) не пересекаются. По аналогии с пунктом 2 условие пересечения сводится к

¿¿1 /2/3

¿2 /2

¿Л / _ ¿3

/3 /1 /1У V /3

^3

/1/2

1

(2/1 /2/3 - /1/2/3 - ¿¿3) > 0.

(55)

При этом первый сомножитель в левой части (55) неотрицателен (это следует из того, что функция «2(2) выпукла (нестрого) при «1 ^ те, что доказано в п. а). Второй сомножитель, напротив, неположителен вследствие (26) и неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим. Таким образом, (55) не выполняется, и ветви гипербол действительно не могут пересекаться.

Из пп. а—д следует, что (52), (53) не выполняются одновременно в области (54) допустимых значений параметров ai, о2 и, следовательно, £1(^1,^2,^3) = k3//3. Теорема доказана.

Следствие. Поскольку в силу теоремы 3 £i(ki, k2, кз) является монотонно неубывающей функцией по каждому из аргументов, второй этап оптимизации вновь оказывается тривиальным: оптимальными являются k = Ki, i = 1, 2, 3, при этом £2 = min{Ki//i,K2//2,Кз//3}.

VI. Заключение

В работе проведена оптимизация степени устойчивости системы с модельным демпфированием угловой скорости по ориентации осей демпфирования и коэффициентам демпфирования. Строго показано, что в оптимуме оси демпфирования параллельны главным центральным осям инерции твердого тела. Доказан также ряд экстремальных свойств главных осей, которые, помимо приложения к оптимизации степени устойчивости, представляют и самостоятельный интерес.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (№ 09-01-00431) и гранта Президента РФ по государственной поддержке ведущих научных школ (НШ-6700.2010.1).

Литература

1. Цыпкин Я.З., Бромберг П.В. О степени устойчивости линейных систем // Изв. АН СССР, ОТН. - 1945. - № 12. - С. 1163-1168.

2. Луканин К.В., Сарычев В.А. Модельная задача о быстродействии и точности системы гравитационной стабилизации спутников: препринт / ИПМ. — М.:, 1971. — № 47.

3. Сарычев В.А., Пеньков В.И. Исследование гравитационной системы стабилизации спутника с демпфирующей пружиной: препринт / ИПМ. - М.: 1974. - № 127.

4. Яковлев Н.И. Оптимизация по быстродействию параметров гравитационных систем ориентации с двумя демпферами: препринт / ИПМ. - М.:, 1976. - № 56.

5. Сарычев В.А., Пеньков В.И., Яковлев Н.И. Оптимизация параметров линейных систем: препринт / ИПМ. - М.:, 1975. - № 124.

6. Сарычев В.А., Сазонов В.В. Оптимальные параметры пассивных систем ориентации спутников // Космические исследования. - 1976. - Т. 14, № 2. - С. 198-208.

7. Borrelli R.L., Leliakov I.P. An Optimization Technique for the Transient Response of Passively Stable satellites // J. of Optimization Theory and Applications. - 1972. - V. 10, N 6. - P. 344-361.

8. Sarychev V.A., Mirer S.A., Sazonov V.V. Plane Oscillations of a Gravitational System Satellite-Stabilizer with Maximal Speed of Response // Acta Astronautica. - 1976. - V. 3, N 9-10. -P. 651-669.

9. Сарычев В.А., Мирер С.А. Оптимальные параметры спутника, стабилизируемого вращением, с демпфером маятникового типа // Космические исследования. — 1997. — Т. 35, № 6. — С. 651-658.

10. Мирер С.А. Оптимальное гиродемпфирование нутационных колебаний спутника, стабилизируемого вращением // Космические исследования. — 1977. — Т. 15, № 5. — С. 677-682.

11. Sarychev V.A., Mirer S.A., Isakov A.V. Dual-Spin Satellites with Gyro-Damping // Acta Astronautica. - 1982. - V. 9, N 5. - P. 285-289.

12. Мирер С.А. Плоские колебания спутника с двумя гироскопами // Космические исследования. - 1978. - Т. 16, № 1. - С. 137-139.

13. Сидорюк М.Е. К задаче нахождения максимума степени устойчивости: препринт / ИПМ. — М.:, 1981. - № 89.

14. Мирер С.А., Прилепский И.В. Оптимальные параметры гравитационной системы спутник-стабилизатор // Космические исследования. — 2010. — Т. 48, № 2. — С. 198-208.

15. Сарычев В.А., Мирер С.А. Оптимальные параметры гравитационной системы спутник-стабилизатор // Космические исследования. — 1976. — Т. 14, № 2. — С. 209-219.

16. Мирер С.А. О некоторых экстремальных соотношениях между элементами тензора инерции твердого тела: препринт / ИПМ. — М.:, 2009. — № 55.

Поступила в редакцию 21.01.2011.