Об одном механизме глобального перемещения полюсов тела в свободном угловом движении Текст научной статьи по специальности «Физика»

МЕХАНИКА

УДК 531.37

ОБ ОДНОМ МЕХАНИЗМЕ ГЛОБАЛЬНОГО ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ПОЛЮСОВ ТЕЛА В СВОБОДНОМ УГЛОВОМ ДВИЖЕНИИ

© 2013 г.

В.В. Новиков, Л.Н. Григорьева Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского

grigorieva_ln@mail .т

Пвступила - ре9акцию 22.03.2013

Изучаются свободные угловые движения деформируемого упругого тела с малой анизотропией упругих свойств, обладающего в недеформированном состоянии квазишаровым тензором инерции. Показано, что с уменьшением угловой скорости вращения тела возможно изменение положения в нем оси устойчивого стационарного вращения. Результаты рассмотрения позволяют предложить вероятный механизм глобального перемещения полюсов Земли.

Ключе-ые слв-а: устойчивость, стационарное вращение, анизотропия, плоскость изотропии, эллип-

соид инерции.

Рассматривается однородное тело объема V, ограниченное поверхностью S. С телом связана система координат Ох1 х2 х3, вращающаяся с угловой скоростью й(/). Относительно этой системы смещение элемента объема характеризуется вектором й (г,/). В отличие от абсолютно твердого тела, движение которого полностью определяется изменением положения изначально задаваемой связанной с ним системы координат, в случае деформируемого тела выбор связанной системы осуществляется в каждый момент времени в соответствии с условиями отсутствия в ней малых поступательных перемещений и поворотов тела как целого [1]:

| йdV = 0, | [г, и ^V = 0.

V V

Полагая, что упругие свойства тела обладают малой анизотропией, запишем компоненты тензора напряжений:

С . = Ай„5 . + 2^. + стйи,

1

где йу = 2

длины и массы примем Ї, - характерное время движения шара как целого относительно центра инерции, Я - радиус шара и его массу М. Введем новые обозначения:

рЯ2

А

к = —, Ц

є = -

Ц/,

діщ+дщ - тензор деформации,

дху дхі

X, ц - постоянные Ламе.

Параметры с^И характеризуют анизотропные свойства тела. Они удовлетворяют условиям: суы = ст = сул = сму , т.е. в °бщем случае содержат 21 независимую компоненту.

При переходе к безразмерным переменным и параметрам в качестве масштабов времени,

где р - плотность шара.

Считаем, что параметр е << 1. Это условие означает, что периоды упругих колебаний много меньше периода вращательных движений тела. Предполагается, что внутреннее рассеяние энергии обеспечивает достаточно быстрое затухание упругих колебаний. Поэтому в рассмотрении можно ограничиться лишь угловыми движениями тела.

Параметры анизотропии упругих свойств представим в виде: сук1 = ц5а ук1, где 5 - отношение наибольшей из постоянных с уЫ к ц. При этом величины е и 5 связаны неравенством: е << 5 << 1.

В сделанных предположениях вектор и можно представить в виде ряда по малым параметрам е , 5 и ограничиться первыми членами разложения:

и (г, t) = е[м0 (г, t) + 5м1 (г, t)].

Составляющая и0(г,t) вектора смещения отвечает деформированию однородного изотропного тела, вращающегося с угловой скоростью й^), и определяется в результате решения следующей задачи:

ди 0

к^-5,.,. + 2^ = fi в V,

дх^ дх,

[киаи 5,, + 2и,0 ]п = 0 на £,

(1)

1 а а J j

где / = = [й,[й, г]] - центробежная сила,

п = п1е1 - нормаль к поверхности S.

Вектор й1(r,t) характеризует вклад анизотропных свойств тела. Он вычисляется по известному и0 :

дй, дй‘

:—- 5,.,. + 2—-дх,. дх,.

№

дик

дх,.

I.. =

|[(х/ + 2х1и1 )5, - (х,х, + 2хиа )]dV =

малых возмущениях этого движения вектор угловой скорости й = й1е1 + й2е2 + (й3 + О)е3, где й, << О. В данном приближении поправки к тензору инерции, связанные с учетом упругих свойств тела, в соответствии с [2] имеют вид:

13 3 =

2

*, + 35(1 - 5.)

О2

(2)

[К 5, + 2и,]п, = - ауыКпа на & Составляющие вектора кинетического момента К запишем в виде К1 = /,й,, где в рассматриваемом приближении тензор инерции имеет вид:

где

■, jLЛ

V

=10 + е(/, + ы'„).

Тензор инерции I0 отвечает недеформиро-ванному телу. Обусловленные упругими свойствами тела величины I,, I,, как и входящие в них деформации и0(г, t), и1(г, t), в соответствии с (1), (2) являются квадратичными функциями компонент угловой скорости. Для вычисления Iа , I, воспользуемся результатами работы [2].

Угловая скорость й определяется в результате решения уравнения

К + [й, К ] = 0. (3)

По форме оно совпадает с уравнением Эйлера для абсолютно твердого тела, но здесь выражение для кинетического момента состоит из двух слагаемых: линейного по компонентам угловой скорости й , отвечающего абсолютно твердому телу, и кубического (в данном приближении) по составляющим вектора й.

Эффект перехода оси стационарного вращения к новому положению в теле продемонстрируем на примере упругого шара, обладающего плоскостью изотропии, перпендикулярной оси Ох3. Предположим, что шар содержит точечные включения (неоднородности), которые приводят к малым отклонениям тензора инерции недеформиро-0

ванного тела 1, от его значения для шара, но не влияют на деформации. Оси системы Ох1 х2 х3 являются главными осями инерции недеформиро-ванного тела: I, = (10 + А, )5,, где 10 = 2/5,

А, <<10.

Пусть тело приведено в быстрое вращение вокруг оси Ох3 с угловой скоростью О. При

2 , 2 4 = 35(1 - 5,)Ой„ ^ = 35(1 - 5,)Ой2,

4 = 4 = Я 2а3333°2, 4 = gзаз333О2,

I13 = Я 4а3333Ой1, 123 = Я 4 а3333Ой2,

gl = -0.019 + 0.01951 + 0.22952 +1.653,

Я2 = 0.298 - 0.9351 + 0.13353 +

+ 0.58152 + 0.2295152 -0.68652, я3 =-0.017 + 0.17151 + 0.53353 -

-1.16252 + 0.9145152 - 0.68652 - 853,

2

Я4 =-0.007 + 0.25, -1.452,

5, =

3к + 2

2(19к +14)

52 =

1

15(к + 2)’

53 =■

1

15(3к + 2)

Уравнение (3) в проекциях на оси Ох1 х2 х3 принимает вид:

2/5й 1 + (А3 - А2)Ой2 - е5яа3333О3й2 = 0,

2/5й 2 + (А1 - А3)Ой1 + е5яа3333О3й1 = 0, (4)

й 3 = 0,

где

я = я 2 + я 4 - Я3 = 0.308 - 0.9015! - 0.453 +

+ 0.34352 - 0.6855152 + 852.

Отметим, что я > 0 при любых значениях параметра ке (0,да), в чем можно непосредственно убедиться.

Выражение для кинетической энергии тела при постоянном кинетическом моменте имеет вид:

Т = Т0 + ^[(А3 - А1 - е5яа3333О2)й12 + + (А3 - А2 - е5яа3333О )й2].

(5)

Однородный изотропный упругий шар (А, = 0, , = 1, 2, 3 , а3333 = 0 ), как следует из (4), не прецессирует. Любое положение в нем оси вращения остается неизменным со временем. Шар принимает форму эллипсоида вращения, но деформации и0(г,t) на угловом движении тела не сказываются.

Рис. 1. Траектории конца вектора K на сфере K2 = const при

Д 2 < Д3 < Д1 , a3333 = 0

Рис. 2. Траектории конца вектора K на сфере K 2 = const при

Д t = 0, i = 1,2,3 , a3333 < 0

Рис. 3. Траектории конца вектора K на сфере K2 = const при

Д2 < Д3 < Д1, a3333 < 0 , Q > Q,

Пусть Ох3 является осью среднего момента инерции, т.е.

А2 < А3 < А1 .

В приближении абсолютно твердого тела вращение вокруг оси Ох3 неустойчиво. Ему отвечает седловая точка (рис. 1).

Рассмотрим случай, когда тензор 10 шаровой, т.е. А, = 0, , = 1,2,3, а параметр, характеризующий анизотропию упругих свойств, а3333 < 0 . В соответствии с (4) вращение вокруг Ох3 консервативно устойчиво вне зависимости от знака а3333. На рис. 2 показаны траектории

конца вектора К на сфере постоянного кинетического момента при различных значениях кинетической энергии тела. Вращению вокруг Ох3 отвечает особая точка типа центр. При а3333 < 0 учет малых внутренних потерь энергии приводит к трансформации центра в устойчивый фокус, т.к. в этом случае вращению тела вокруг Ох3 отвечает минимум кинетической энергии при постоянном кинетическом моменте (5).

Интересный качественный эффект обнаруживается в случае, когда анизотропия упругих свойств и малое отличие тензора инерции неде-формированного тела от I0 наблюдаются одновременно. В уравнениях движения (4) эти факторы оказывают различное влияние в зависимости от угловой скорости вращения О . Пусть параметры А, (, = 1,2,3), а3333 и угловая скорость О таковы, что анизотропия определяет качество динамики тела (рис. 3). Стационарное вращение относительно оси Ох3 консервативно устойчиво при достаточно больших значениях

О: О2 >(А -А^А I 1 = О2.

/е5?|а3333|

С уменьшением угловой скорости Q область притяжения устойчивого вращения относительно Ox3 уменьшается, сепаратрисы, показанные на рис. 3, сближаются. Наконец, при Q = Q, траектории конца вектора кинетического момента на сфере K2 = const принимают вид, показанный на рис. 4.

При Q < Q, динамику тела определяет, главным образом, его тензор инерции в неде-формированном состоянии (т.е. величины Дt, i = 1,2,3): стационарное вращение вокруг Ox3 неустойчиво, а вращение относительно двух других осей консервативно устойчиво (рис. 5).

Пусть твердое тело совершает угловые движения вблизи некоторого направления устойчивого стационарного вращения (в нашем случае

- вокруг Ox3). Со временем внутренняя диссипация уменьшает кинетическую энергию (угловую скорость) тела. Однако качественно его динамика не изменится. Одновременно с уменьшением угловой скорости Q затухает прецессия тела, следовательно, прекращается какое-либо движение в теле, а вместе с ним -внутреннее рассеяние энергии. Тело возвращается к исходному стационарному вращению, сокращается лишь область его притяжения.

Иначе обстоит дело, когда наряду с внутренней диссипацией энергии присутствует и малое внешнее сопротивление движению тела. Кинетический момент не сохраняется, но его изменение в виду малости можно не принимать в расчет. Внешнее сопротивление уменьшает угловую скорость Q тела и в отсутствие прецессии, а следовательно, со временем изменяет соотношение между факторами, определяющими динамику тела. В результате при Q = Q, ось устойчивого стационарного вращения смещается в теле в новое положение. В рассмотренной

Рис. 4. Траектории конца вектора K на сфере K2 = const при Д2 < ДЗ < д. , аЗЗЗЗ < 0 , Q = Q,

задаче минимум кинетической энергии «перемещается» от ОхЗ к направлению Ox., т.е. ось вращения за короткое время повернется в теле на угол %/2 . В инерциальном пространстве явление глобального перемещения полюсов представляет собой поворот тела.

На основе результатов работы можно предположить в качестве одной из причин наблюдавшегося в истории Земли глобального перемещения полюсов существенное влияние упругих свойств Земли на ее угловые движения. Наличие литосферных плит позволяет рассматривать Землю как анизотропно-упругое тело. Предположение об отклонении тензора инерции от шарового в недеформированном состоянии шара также имеет основание. В качестве масштаба замедления вращения Земли можно принять наблюдаемое увеличение продолжитель-

-З

ности суток на 1.7 -10 с за столетие за счет приливного момента, обусловленного гравитационным взаимодействием Земли с Луной и Солнцем.

Заметим, что в отсутствие внешнего сопротивления также возможен переход к новому положению оси устойчивого стационарного

Рис. 5. Траектории конца вектора K на сфере K2 = const при Д2 < Д3 < Д1, a3333 < 0 , Q < Q,

вращения в теле. Предположим, что тело от случая к случаю испытывает малые внешние непродолжительные воздействия, вызывающие его прецессию. Внутренняя диссипация приводит к уменьшению угловой скорости, а вместе с ней - к сокращению области притяжения главной оси. Со временем даже весьма малое внешнее воздействие может вывести тело за пределы области притяжения данного стационарного состояния.

Авторы благодарны Г.Г. Денисову за постоянный интерес к работе и полезные замечания.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 12-0100314).

Список литературы

1. Денисов Г.Г., Новиков В.В. О свободных движениях деформируемого твердого тела, близкого к шару // Изв. АН СССР. МТТ. 1983. № 3. С. 43-50.

2. Новиков В.В. Анизотропно-упругий шар в свободном движении // Прикладная математика и механика. 1987. Т. 3. Вып. 5. С. 767-774.

3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. М.: Наука, 1987. 246 с.

ON A MECHANISM OF THE GLOBAL MOTION OF BODY’S POLES IN A FREE ANGULAR MOTION

V. V. Novikov, L.N. Grigorieva

Free angular motions of a deformable elastic body with a small anisotropy of elastic properties and the quasispherical inertia tensor in its undeformed state are studied. It is shown that a decrease in the body's angular velocity can lead to a displacement of its stable stationary rotation axis. The results obtained allow one to propose a possible mechanism of the global movement of the Earth's poles.

Keywords: stability, stationary rotation, anisotropy, plane of isotropy, inertia ellipsoid.