CC BY
74
К.И. Лившиц, Л.Ю. Сухотина
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЦЕНОЙ ПРОДАЖИ ОДНОРОДНОЙ ПРОДУКЦИИ
Рассматривается задача оптимизации величины отчислений на приобретение новой партии товара и розничной цены однородной продукции.
1. ОПИСАНИЕ МОДЕЛИ
В работе предполагается, что функционирование торговой компании может быть описано следующей моделью. Обозначим через S(t) капитал компании, а через K(t) количество однородного товара, принадлежащего компании, в момент времени t. Будем считать, что моменты продажи товара образуют пуассоновский поток с интенсивностью X(t), причем средний объем одной покупки пропорционален имеющемуся количеству товара, т.е. равен aK(t). Предположим далее, что на интервале времени (t, t+At) фирма тратит часть своего капитала, равную |a(t)S(t)At, где 0<|a(t)<|a0, на закупку нового товара и расходы на обслуживание торговли (хранение на складе, транспортировка и т.д.) равны cK(t). Пусть 1/Ь - оптовая цена единицы товара, а u(t) -розничная. Тогда изменение среднего капитала S (t) и среднего количества товара K (t), принадлежащего компании, будет описываться системой уравнений
d>d(t) = -|a(t)S (t) + ((t)u(t)a - c)K (t),
dK (t) dt
(1)
= |a(t)bS (t) -X(t)aK (t)
с начальными условиями К (0) = К0, £ (0) = £0.
Относительно функции Х(1) сделаем следующие простые предположения. Будем считать, что
X(t) = ■
Х0
dS (t) dt dK (t)
dt
= - |oS (t) + (Xua - c) K (t), = |abS (t) - XaK (t).
(3)
Характеристическое уравнение системы уравнений
(3) имеет вид
z2 + z|i(1 - Ь) + Xa(Xua - c) - ц2Ь = 0.
(4)
Очевидно, что функции £ (1) и К (1) будут возрастать с ростом t, если, по крайней мере, один из корней 60
уравнения (4) положителен. Несложно показать, что для этого должно выполняться условие
Х а ( и -) - с > 0 . (5)
Смысл условия (5) очевиден. Левая часть соотношения есть чистая прибыль от продажи единицы товара в единицу времени. По аналогии с соотношением (5) потребуем, чтобы в общем случае параметры Х(1) и и(1) удовлетворяли условию
X (0 а ( и(1) - Уъ) - с > 0 . (6)
Если функция Х(1) задается соотношением (2), то условию (6) можно придать более простой вид. Будем считать, что Ь = 1 (т.е. за единицу масштаба принята оптовая цена товара) и обозначим
2с 0 (7)
а =
Х0 a
> 0 .
С учетом (2) условие (6) принимает вид
а и (1)2 - 2 и (1) + а + 2 < 0. (8)
Неравенство (8) может быть выполнено, если параметр а заключен в пределах 0 < а < VI -1 , что накладывает ограничение на величину расходов с по обслуживанию торговли. Тогда условие (8) выполнено, если и1 < и(1) < и2, (9)
где
и, =-
1
-V1 -а2 -
- 2а
(2)
1 + и^У
Выбор функции Х(0 в виде (2) обусловлен следующими соображениями. Очевидно, что интенсивность Х(0 потока покупок зависит от цены на товар и должна быть тем ниже, чем выше цена товара, при и(1) ^ 0 интенсивность Х(0 должна оставаться конечной. Наконец, функция Х(1)и(1) должна иметь максимум по и(1), так как она характеризует выручку от продажи единицы товара. Простейшей функцией, удовлетворяющей этим условиям и является функция (2).
Очевидно, параметры модели (1) должны удовлетворять некоторым условиям, обеспечивающим прибыль фирме. Для получения этих условий рассмотрим вначале случай, когда параметры не зависят от времени: и(0 = и, Х(1) = Х, ц(1) = ц. Тогда система уравнений (1) принимает вид
1 +
•\Д - а2 -
2а
и величины uj и и2 удовлетворяют условиям: 1 < u ^ л/2 +1, u ^ л/2 +1.
(10)
(11)
2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЦЕНОЙ ПРОДАЖИ И ОТЧИСЛЕНИЯМИ НА ЗАКУПКУ ТОВАРА
Будем считать, что цель фирмы состоит в том, чтобы, выбирая розничную цену товара и(1) и долю отчислений на закупку товара ц(1), максимизировать средний капитал фирмы в момент времени Т. Получающаяся оптимизационная задача
£ (1) = тах (12)
при условии, что переменные £ (1) и К (1) удовлетворяют системе уравнений (1) и выполняются условия (2) и (9), может быть решена с использованием принципа максимума Л.С. Понтрягина [1]. Применение принципа максимума к решению поставленной задачи состоит из выполнения следующих этапов. Вначале составляется функция Гамильтона Н (и, ц) = у1 (1) ( ц(1)Ь£ (1) - Х(1) аК (1))+
+ у 2 (0 (- ц(1 )£(0 + () аи(1) - с)(1)), (13)
где сопряженные переменные у 1(1) и ^2(1) удовлетворяют системе уравнений
а
%1(і)
йі
дН
дК
= Х(і)ау^і) - ((і)аи(і) - с)2(і),
йу 2(і) йі
дН
' дБ
(14)
= -ц(і )йуі(і) + ц(і )у 2 (і),
с вытекающими из (12) граничными условиями
у,(Т) = 0, у 2(Т) = 1. (15)
Затем оптимальные управления и(1) и ц(1) ищутся из условия
(16)
Н (и, ц) = тах
и (і),ц(і)
с учетом ограничения 0 < ц(1) < ц0 и условия (9).
Так как функция Гамильтона Н(и, ц) (13) линейна
относительно ц(1), то оптимальное управление ц(1) определяется условием
ц(і) =
ц0, если у1(і)Ь - у2(і) > 0, 0, еслиу1(і)Ь - у2(і) > 0.
(17)
Таким образом, управление ц(1) является релейным. Точки переключения управления определяются из условия
Ф (1) = У1 (1)Ь -у2(0 = 0. (18)
Оптимальное управление и(1) должно максимизировать функцию Гамильтона (13) при выполнении условия (9).Функция Гамильтона (13) достигает максимума при и = и 0, которое является корнем уравнения
у2(і) и>(і) -2уДі) и0(ґ)-у2(і) = 0.
(19)
у1 (і) = 1 - ехр| Х°а2 (Т - і) і.
[1 + и1 ]
(23)
Так как при этом ф (1) < 0, то управление ц(1) = 0. Точка 11 переключения управления и(1) определится условием
У 1(11) + д/уДО2 +1 = их, (24)
где ух(11) определяется соотношением (23).
При 1 < 11 управление и(1) = и0(1). Из соотношения (22) имеем теперь
у^і) =
и0(і) - 1 2и0(і) .
(25)
Дифференцируя (25) по і и учитывая уравнение (21),
получим уравнение, определяющее функцию и0(і) -йи0(і) = 2с (аи0(і)- 1К(і)
йі
а 1 + и0(і)
(26)
с граничным условием и0(11) = и1. Так как йи^1)/ё < 0,
то на некотором отрезке (11-е, 11) уравнение(26) определяет монотонно убывающую функцию. Решение уравнения (26) имеет вид
и0 (і)
и0 (і) — и — а 1п------------------------+
а +1
1п
а и0 (і) -1
а и1 -1
= 2с (і - і1).
(27)
Как следует из соотношения (26), наибольшее значение функции и0(1) равно 1/а. При и0(1)<1/а функция и0(1) монотонно убывает, так как ёи 0(1)/ё < 0. Таким образом решение (27) удовлетворяет условию
и1 < и0(1) < 1/ а< и2. (28)
Пусть теперь момент времени 1* определяется из
условия и
(і*) = и* = 42+1
+1, т.е.
і* = і1 +
и * -и1 - а 1п-+
а +1, ( 1 -аи *
1п
а
1 — а
(29)
Для его существования необходимо, очевидно, вы-
полнение условия
Отсюда
и2, если и0(1) > и2, и (1) = <! и0 (1), если и1 < и0 (1) < и2, (20)
и1, если и0 (1) > и1.
Рассмотрим вначале правый конец траектории 1 = Т. Из граничных условий задачи (15) следует, что при 1 = Т ф(1) < 0. Так как функции у1(1) и у2(1) - кусочнодифференцируемы, то в некоторой е-окрестности точки Т ф (1) также меньше 0. Следовательно, в некоторой окрестности точки Т у2(1) = 1 и
^у!^ =Х(1) ау1(1) -(Х(1) аи(1) - с), (21)
и0(1 )2 - 2у1(1)и0(1) -1 = °. (22)
Далее, так как у1(Т) = 0, то и0(Т)=1. Поэтому и(Т)= и1. Из системы (21), (22) получаем, что в некоторой е-ок-рестности точки Т и(1) = и1, что с учетом (8) и (10) дает
і1 + 2с
и * -и1 - а 1п-+
а2 +1, ( 1 -аи * +--------1п
а
1 — а
> 0.
(30)
Тогда при і = і* у 1 (і*) = 1 в силу соотношения (25) и функция ф (і) (18) меняет знак. Таким образом, при і < і* управление ц (і) = ц0.
Если условие (30) выполняется, то затраты на закупку товара начинаются в некоторый момент времени і0 и заканчиваются в момент времени і* (0<і0<і*). Покажем, что і0 = 0. Для этого нужно показать, что при і < і* функция ф (і) (18) не меняет знак. Введем функцию 9(і)>0 соотношением
X (і) а и (і) - с = ( + 9 (і)) (і) а. (31)
В силу условия (7) такая функция 9(і) заведомо существует. Тогда на отрезке [і0, і*] система уравнений (14) перепишется в виде
) = - Х(і) а (у 2 (і) - у 1 (і)) -- 9(і) Х(і) ау 2 (і),
) =Ц0 (у 2 (і) -у1(і)).
Переходя от функций у1(і) и у2(і) к функциям ф (і) и у2(і), получаем систему уравнений
йфіі) = - (0 + Х(і )а )ф(і) - 9 (і )Х(і) ау 2 (і), йу 2 (і)
йі
• = -Цсф(і)
относительно функций ф (і), у2(і) с граничными условиями ф (і*) = 0 и у2(і*) = 1. Откуда
+
а
+
ф(1) = 10( г)Х( 2)ау 2 (г) ехр|-1 (ц0 + Х( у)а )ёу |ёг, (32)
где у2(г) > 1. Таким образом, если ф (1) > 0 на отрезке (1, 1*), то ф (1) > 0 в точке 1. Последнее означает, что управление ц(1) имеет вид
(ц0, если 1<1*, (33)
(О, если 1 > 1*,
где точка 1* определяется условием (29).
Вернемся к управлению и(1). При 1 < 1* функция и(1) определяется соотношениями (19), (20). Из соотношения (19)
у 1(1)_ и„(1) -1
(34)
у 2(1) 2и0(1)
причем при 1 = 1* функция и0(1) удовлетворяет ограни чениям (20). Дифференцируя (34) по 1, получим, учи тывая систему (14), дифференциальное уравнение, оп ределяющее функцию и0(1) на [0, 1*]:
ёи0(О Х аи0(1 )2 - и й(1) +
• = Хп а---------------------+
&
и0(1) +1
+ ,, ()2 - 1)(и„(1)2 -2и0(1) -1)
Ц°^ 2 («0 (1) +1) с граничным условием и(1*) = и*. Так как при и0(1) = и* ёи0 (1)/Ж < 0 , то и0(1) > и* на отрезке [0, 1*]. Таким образом, на [0, 1*] управление и(1) имеет вид «ц) = {и2, если и0(1) > и2,
(и0(1), если и0(1) <и2.
Получившийся вид оптимальных управлений ц(1) и и(1) хорошо согласуется с интуитивными представлениями. Если компании необходимо аккумулировать свой капитал, то вначале необходимо прекратить закупку новых партий товара, а затем, постепенно снижая розничную цену товара, довести ее до минимально возможной.
ЛИТЕРАТУРА
1.Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. М.: Наука, 1971. 396 с.
Статья представлена кафедрой прикладной математики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Кибернетика» 12 апреля 2004 г.
