CC BY
28
В.М. Кац, К.И, Лившиц ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ РАСХОДАМИ НА РЕКЛАМУ СТРАХОВОЙ КОМПАНИИ
Томский государственный университет
Свободный капитал страховой компании может быть, в частности, направлен на привлечение новых клиентов (рекламу). Это, с одной стороны, интенсифицирует поступление денежных средств в компанию, а другой - увеличивает количество страховых выплат и отвлекает часть средств собственно на рекламу. Поэтому возникает задача исследования влияния рекламных расходов на характеристики деятельности страховой компании, в частности на ее средний капитал.
Предположим, что в отсутствии расходов на рекламу функционирование страховой компании описывается классической моделью [1]. Страховые премии поступают непрерывно, так что за время At капитал компании увеличивается на величину €„Дг, страховые выплаты - независимые случайные величины со средним значением а, моменты страховых возмещений образуют пуассоновский поток интенсивности X.
Пусть в момент времени t капитал компании равен S(t') и-в промежутке + на привлечение новых клиентов расходуется часть капитала «(fjS(t)At, щеО<м(г)<м0 <1, При и0 «1 можно считать, что скорость поступления страховых выплат в компанию должна увеличиваться на величину, пропорциональную u(f )S (l). Однако затраты на рекламу не могут, во-первых, дать эффект ранее чем через некоторое время т, а во-вторых, обладают эффектом последействия, т.е. после прекращения расходов на рекламу она еще некоторое время продолжает действовать. Поэтому введем функцию R{t), связанную с S(t) соотношением [2, 3]
и будем считать, что расходы на рекламу приводят к тому; что скорость потока страховых премий увеличивается с величины С0 до величины С0 + - т).
Однако с увеличением числа клиентов компании увеличивается и число страховых случаев. Поэтому интенсивность потока страховых выплат должна увеличиться с величины Х0 до некоторой Х0 + A,,R(t - т). Если нагрузка страховой премии остается постоян-
ной, то величины С0, С,. нием
X, связаны соотноше-
Со
Хп
dS(t)
dt
- -u(t)S (t) + (C0 -XQa) +
+(С-Х,и)И(1-т), (1)
*“=-*(>)+"(<№
с начальными условиями5(0) = 51, иЛ(() = 0 при ^[-т, 0].
Цель страховой компании состоит в том, чтобы, выбирая рекламную стратегию и (г), максимизировать критерий качества
/ = | р(*)5(*)А,
о
где р(/) - не отрицательная, монотонно возрастающая функция. Прир = ехр(-5(Г-£)), где 8 - коэффициент дисконтирования, максимизируется средний капитал за время Т. прир(|) = 5(| ~т) - капитал в некоторый момент времени Т и т.д.
Получившаяся оптимизационная задача может быть решена с использованием, принципа максимума для систем, описываемых уравнениями с запаздывающим аргументом [4]. Введем функцию/(г) соотношением
д(')
dt
и, обозначая
Т=С-),о,ж!(<)=7ДИ_,х:(,)- *W
x3(t)
Со Ка
С-a XftCl
С0 X 0а
(3)
сведем поставленную задачу к стандартной форме. Необходимо максимизировать х3(Т), где переменные х(/) удовлетворяют системе уравнений
dt
:-ы(ф1(г) + ух,(г-т) + 1,
(4)
dxз(t)
dt
Откуда_процесс изменения среднего капитала компании 5 (г) будет описываться уравнениями
с начальными условиями Xj(0) = х,0, х.(0) = 0, x2(t) = 0 при t е [-т, 0].
В.М. Кац, К. И. Лившиц. Оптимальное управление расходами на рекламу страховой..
Функция Гамильтона [4] для нашей задачи имеет
вид
Н = Ц (г) + ух2 (t-x) +1_
+P2{t)
+P3(t)p(t)x(t),
где сопряженные переменные Р( (У) определяются на отрезке [Г - х, Г] системой уравнений
Рассмотрим вначале участок траектории [Г-т, Г]. Из граничных условий задачи и системы уравнений (6) следует, что в некоторой е - окрестности точки Г
Р1(Т-Е) = Р](Т)-Ё(Т)Е. + о(е) = р(т)£ + о( е),
(5) р2 (Т - вЬ р2 (Т) - К (ту + о(е) = о(е).
Откуда в £ — окрестности точки Г управление и(Г) = 0.
Решая систему уравнений (б), получим
dp (t) _ дн
8х1
dt
■~pjxt)p{t), dP2 (t) = дН _ 1
dt dx2 k
dPjt) _ 6H
>(')-
R(l).
(6)
dt
dx.
о
с граничными условшми P,(J) = 0, P,(7) = 0, P,(7) = 1, а на отрезке [О, T - x] системой уравнений
dPijt) ^ dH dt dx,
dP2 (і) 8H
8H
dt
dx2 ox2(t-xS\
(7)
dt
dx,
: 0.
Управление иіі), максимизирующее функцию Га-мильтона (5), имеет вид
и(0:
ы„, если X.
(Л
^it)-p.it)
0, если X, (?)
-m-W)
>0;
<0.
(8)
(9)
Щ = \ф)іт, P2(t) = 0, P{t) = 1.
(10)
Откуда на всем отрезке [Г-х, Г] и (7) = 0. Рассмотрим участок траектории [0, Г-т], на котором переменные Р (/) определяются системой (7) с граничными условиями (10). Опять имеем в некоторой е - окрестности точки Т - X
/?(7’-т-е) = />(7,-т)-^(7’-т)е + о(б) =
= ^ (Г - т) + р(Г - т)е + о(е),
Р2 (Т - т ~ е) = Р2 (I - т) - Р2 (Г - т) е + о { е) = о(е).
Откуда в е - окрестности точки Т - т управление м(г) = 0. Решая систему уравнений (7) с граничными условиями (10), получим, что в некоторой окрестности точки Г-т
К (/) = ,]
ехр
t-v
t V
\ г
IJ p(z)dz,
(II)
/»з(0 = 1.
Точка переключения управления (точка выключения рекламы) {, если она существует, определяется условием (9), которое с учетом (11) дает
jp(z)dz = y | | 1-ехр
t +т-_у
р (y)dy. (12)
Таким образом, управление является релейным, и задача построения оптимального управления сводится к нахождению точек переключения (точек включения и выключения рекламы), определяемых условием
При { >1 и{{) = 0, при ?<?' к(V) = щ.
Условие (12) налагает определенные ограничения на параметру. Во-первых, параметру>1. Смысл условия очевиден. Из соотношений (1) и (3) следует, что параметр у определяет приращение капитала компании за счет рекламы. Если у <1, то затраты на рекламу бессмысленны.
Если уравнение (12) имеет решение, то затраты на рекламу начинаются в некоторый момент времени ^ и заканчиваются в момент г* (0 < г0 < і*). Покажем, что 10 = 0. Для этого нужно показать, что при к? функциях(|1 (9) ее меняет знак. Так как
Р3 (f) = 1 на [0, т], то napa-FJ (?) и х(?) удовлетворяет
/ Г * і
при t е \ tQi t Iсистеме уравнении
Mil
dt
dx(t)
exp -I
dt
yB(t + x).
= u0x(t)-p(t),
= (1 + ku0)x(t) - i? (?) - kp(t) -
(13)
f-w0 (?*-?))-exp j x| -exp(-i<0(z-?))-exp| --—-
+
dz.
(16)
„ /л интегралом, входящим в (16), можно пренебречь
Разрешая систему (13) относительно х(?) и учи- „ЛГ,а,,0,7^-гг>Л
тывая. что х* (?) = 0, получим
X ?
л(?1-уД(7Чт)^
Так какр(г) монотонно возрастает, тор(г)>0, и интегралом, входящим в (16), I усиливая неравенство. Поэтому
/}(*’)-у/>(*' + т) + £р(?*)_
1 - и А
:(Ф
1 — uQk
exp
t -t) -exp| -
t —i
exp
(-“o ('*"'))"
exp
t -t
(17)
і
kJ р(г)ехр(-м0 (z - t))dz
+ -
l-uQk
exp(—M0(z-r)) —exp| -
Г г-?4
dz. (14)
Наконец, точка ?’ - точка выключения рекламы. Поэтому в s - окрестности точки f x(t — ej < 0. Раскладывая х(?' — s) в ряд Тейлора, получим, учитывая, чтох(У ) = 01
x{t* -ej = -xij )е + о(е) , а из уравнения(13)
Из первого уравнения (13) следует, что при всех ?
В (?) < -р(|) , где, по условию, р (?) - монотонно воз- Щ{) = (1 + *Ир Ы**) - /> (Л - Ыг* ) + у/? (/’ + т).
растающая функция. Поэтому л-| г1) имеет оценку ' 4 ' 7 ■ ; 4 ' ''
сверху
c(t):
(18)
1 - u0k
exp
(-«о (/
-ехр
<|p(z)
1
k
+--------x
1 - u0k
( z-t
Откуда должно выполняться условие у/> (?Ч т) -/>(?’) - кр[{) > 0.
Из (17) и (18) получаем, наконец, что при ? < ?’ х(?) < 0 и, таким образом, при ? < ?* точки переключения управления рекламой отсутствуют. Окончательно получаем, что оптимальное управление затратами на рекламу имеет вид
~щ ехр(-ы0 (г - ?)) + -ехр ^
dz. (15)
«(*) =
Беря входящий в (14) интеграл по частям, полу-
щ, при ? < ? ;
0, при t >?*,
чим
г(?):
1 - щк
где точка переключения ? определяется соотношением (12). Интересно отметить, что оптимальная рекламная стратегия не зависит от начального капитала компании.
Литература
1. Panjer Н.Н., Willmot G.E. Insurance Risk Model. Society of Actuaries. Shaumburg, 1992,
2. Ахмедова Д.Д., Терпугов А,Ф, Математическая модель функционирования страховой компании с учетом расходов на рекламу // Изв. вузов. Физика, 2001. № 1.
3. Kats V.M., Livshits K.l. Optimization of Advertising Expenses in the Functioning of an insurance Company /7 Applied Stochastic Models and Information Processes. Petrozavodsk, 2002.
4. Янушевский P.T. Управление объектами с запаздыванием. М., 1978,
