Рынок как оптимально самоуправляемая инерционная система с запаздыванием Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

2008

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Управление, вычислительная техника и информатика

№ 3(4)

УПРАВЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ

УДК 519.865

В.В. Поддубный, О.В. Романович РЫНОК КАК ОПТИМАЛЬНО САМОУПРАВЛЯЕМАЯ ИНЕРЦИОННАЯ СИСТЕМА С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

Рассматривается математическая модель рынка одного товара при известной линии спроса с учетом запаздывания в поставках товара. Сформулированы общий и частные критерии оптимальности поведения рынка. Состояние рынка характеризуется ценой товара в последовательные дискретные моменты времени и объемами непроданного товара (остатками). Управление состоянием рынка производится изменением цены товара. Учитывается инерционность (консервативность) рынка по отношению к изменениям цены товара. Из критериев оптимальности выводятся стратегии (алгоритмы) самоуправления рынка при переходе его из некоторого возмущенного состояния в состояние равновесия. Приведены примеры численного исследования различных моделей рынка с использованием метода возможных направлений.

Ключевые слова: рынок, цена товара, инерционность, запаздывание, математическая модель, оптимальное самоуправление.

В классической модели рынка Вальраса - Маршалла [1] и ее модификациях [2] рыночное равновесие достигается в точке пересечения линий спроса и предложения. В этой модели рынок, будучи выведенным в некоторый начальный момент времени из состояния равновесия, стремится снова к состоянию равновесия, совершая вокруг него затухающие колебания, если точка равновесия устойчива, и незатухающие колебания, если она неустойчива (известная «паутинообразная» модель рынка).

В реальных условиях функционирования рынка можно предположить, что вид линии спроса более или менее известен (его можно идентифицировать по результатам наблюдений покупательского спроса при различных ценах на один и тот же товар). Но вид линии предложения, как правило, неизвестен, и его практически невозможно оценить по наблюдениям за состоянием рынка. В связи с этим в данной работе рассматривается математическая модель рынка, не требующая знания линии предложения, но использующая знание линии потребительского спроса.

1. Постановка задачи

Пусть х - цена товара, 0° - объем спроса товара при данной цене. В простейшем случае линия спроса, определяющая зависимость объема спроса товара от его цены, представляется прямой линией [1], понижающейся с ростом цены:

0° (х) = <2т - ах, (1)

где а - модуль тангенса угла наклона линии в координатах цена-спрос (х, 0), 0т -спрос при нулевой цене. Реально спрос 0°(х) нелинеен, и при приближении цены к нулю очень быстро возрастает, а при значительном увеличении цены медленно приближается к нулю, оставаясь положительным, так что линейная модель спроса (1) является простейшим приближением линии спроса, достаточно адекватным реальности лишь в окрестности точки рыночного равновесия.

Пусть состояние рынка характеризуется в каждый данный момент (интервал) текущего времени г ценой товара х(г). Не будет большим преувеличением предположение о том, что рынок стремится обеспечить покупательский спрос и при этом добиться максимальной прибыли путем соответствующего регулирования цены товара. Очевидно, слишком высокие цены приведут к падению покупательского спроса на этот товар и снизят объем продаж с соответствующим уменьшением прибыли. Наоборот, слишком низкие цены сделают рынок нерентабельным для продавцов. Следовательно, критерий оптимальности поведения рынка должен быть связан с требованием обеспечения покупательского спроса при цене, обеспечивающей максимальную прибыль продавцов, т.е. максимальную рентабельность рынка.

Примем в качестве стратегии поставки товара на рынок поставку товара при закупке его в объёме покупательского спроса. В момент времени г покупательский спрос определяется линией спроса

ел (г) = - ах(г). (2)

Обычно между моментом заказа товара для поставки его на рынок и моментом исполнения заказа (фактической поставкой) проходит некоторое время т (запаздывание, лаг поставки), так что к моменту времени г на рынок поступит товар, заказанный за т единиц времени до этого в объёме

25 0) = <2т - аХ({ -« (3)

по цене закупки Таким образом, к моменту времени г объём поставки товара равен 0(г), тогда как объём спроса товара в этот момент составляет величину 0°(г) по цене х(г).

Заметим, что стратегия закупки товара в объёме текущего спроса (3) не учитывает того факта, что в момент времени г-т на рынке уже может находиться непроданный на предыдущем интервале товар в объёме 0(г-т), так что логичнее было бы заказывать поставку товара в объёме

<2S 0) - -« = бт - аХ({-т) - -т)

вместо объёма спроса (3), если 0(г) > 0(г-т), т.е. если текущий спрос превышает остатки, или вообще не заказывать товар, если его остатки превышают текущий спрос. Однако в такой постановке модель рынка резко усложняется, хотя, естественно, является более адекватной реальности. Из-за сложности такой модели оставим пока стратегию закупки товара для поставки его на рынок в виде текущего спроса (3).

Если х(г-т) < х(г), то 0(г) > 0°(г), и спрос будет полностью удовлетворен. При этом останется непроданным 0(г) = 05(г) - 0°(г) >0 единиц товара. Если же х(г-т) > х(г), то 0(г) < 0°(г), и спрос может оказаться неудовлетворенным в полном объёме. Весь товар 0(г) будет продан, непроданного товара (остатка) не будет (0(г) = 0), и образуется дефицит спроса 0(г) - 0°(г) < 0, что приведет к недополученной прибыли.

Таким образом, если к моменту t (к началу г-го интервала дискретного времени) имелся остаток (непроданный товар) в объёме Q(t), а дополнительное предложение (поставка) товара на этом интервале составило величину 0(7), то продано на этом интервале может быть либо Q^(t), если Q(t) + Q(t) > Q^(t), либо Q(t) + QS(t), если Q(t) + Q(t) < Q^t). Тогда остаток товара на рынке к началу следующего (t+1-го) интервала выразится величиной

Q(t +1) = [Q(t) + Qs (t) - QD (t)] • 1 (Q(t) + QS (t) > QD it)), (4)

где 1(-) - индикатор события, указанного в скобках, равный 1, если событие имеет место, и 0, если нет.

Соотношение (4) может рассматриваться как уравнение состояния рынка по переменной Q. В развернутой форме это уравнение имеет вид

Q(t +1) = [Q(t) - a(x(t-т) - x(t))]1 (Q(t) - a (x(t-t) - x(t))), t = 0,1,2,... (5)

Очевидно, на закупку товара в объёме Q(t) по цене P1 продавец платит сумму Q(t)Pi. А продажа товара происходит в момент t по цене x(t) в объёме

бпрод0) = min ) + QS it), QD it)) = min iQit) + Qm - axit - x), Qm - axit)) =

= [Qm - (ax(t -t) - Q(t)) • !( x(t -t) ^ x(t) + Q(t) 1 a)-

-ax(t) • 1 (x(t - t) < x(t) + Q(t) / a)] x(t) - (Qm - ax(t - t)) P - Q(t)P2 . (6)

При этом выручка продавца составит на интервале t величину Qpo^tMt), а прибыль - разницу

Qs it)р - бпрод (t)x(t).

При этом, если Q(t) Ф 0 (оставался некоторый объём непроданного товара на текущем интервале дискретного времени), то хранение его стоило Q(t)P2, где Р2 -цена хранения единицы товара, и прибыль уменьшается на эту величину. Таким образом, текущая прибыль продавца на t-м интервале времени составляет величину

J it) = min iQit) + Qm - axit-x), Qm - axit)) x{t) -

- (- axit -T)) p - Qit)P2 . (7)

Если с течением времени цена стабилизируется, принимая равновесное значение х, так что x(t) ^ x, x(t-x) ^ x, min(Q(t) + Qm - ax(t-x), Qm - ax(t)) ^ Qm - ax, то текущая прибыль принимает вид

Jit) = (Qm - ax)(x - p) - Qit)P2, (8)

откуда видно, что наибольшего и стационарного значения она достигает в отсутствие остатков непроданных товаров, т.е. при Q(t) = 0:

Jiх) = iQm - ax)ix - Pi). ()

Это квадратичная выпуклая вверх функция x. Следовательно, максимальное значение текущая прибыль достигает при

x = = p*, ()

2 a

max J(x) = J (P* ) = (Qm aPl )2 .

x ' ' 4a

Заметим, что линия спроса 0т - ах принимает значение, равное нулю, при

хтах = 0т/а (это максимальная цена, при которой спрос обращается в нуль, т.е.

предельная цена, по которой покупатель уже не согласен покупать товар). Цена закупки товара р < Р < хтах всегда.

Таким образом, в рассматриваемой модели рынка существует равновесная цена Р , обеспечивающая максимальную прибыль продавца, которая достигается при отсутствии остатков непроданного товара.

Пусть до некоторого начального момента г = 0 рынок находился в состоянии равновесия, так что

*(/)|,<0 = Р*. (1

Пусть в момент г = 0 рынок каким-либо образом выводится из состояния равновесия, т.е. цена товара в этот момент принимает значение

х(0) = Р0 Ф Р*. (12)

Очевидно, для обеспечения максимальной прибыли продавца рынок в следующий же момент дискретного времени должен вернуться в состояние равновесия Р , т.е. скачком изменить цену от значения х(0) = Р0 до значения х(1) = Р . Однако реальный рынок, как правило, не допускает резкого изменения цен, обладая определенной инерционностью, консерватизмом. Эту инерционность можно ввести в математическую модель рынка в виде аддитивной штрафной функции вида

Я 2

(( +1) - х(г)) , Я > 0,

к целевой функции рынка /(г). Величину и(г) = х(г+1)-х(г) можно рассматривать как «управление», которое вырабатывает инерционный рынок, стремясь перевести себя из возмущенного состояния х(0) = Р0 в равновесное Р с максимизацией на траектории этого перехода суммарной прибыли:

- (ах( - т) - б(/)) • 1 (х( - т) > х() + 2() / а) -

t=0

-ах(г)-1(х({-т) < х({) + 2(1)/а)]х(г) -

Т-1 п

- (2т - ах(-0)) - 2(()Р2 }- X 2 (?) ^ таХ (13)

(=0 2 и,х

при ограничениях типа равенств (уравнения состояния)

х(1 +1) = х(1) + и(}), х(0) = Р0 > 0 , х(()|,<0 = Р*, г = 0, Т -1, (14)

<2^ +1) = [2(г) - ах(г -т) + ах(г)] -1( х(г -т) < х(г) + <2^)/ а),

е(0) = Qo, г = 0, Т -1, (15)

и неравенств (ограничения на состояния)

х( +1) > 0, г = 0, т -1, (16)

или, что то же, неравенств (ограничений на управления)

х(г) + и(г) > 0, г = 0, Т -1. (17)

Здесь Т - время наблюдения за состоянием рынка (время функционирования рынка).

Таким образом, рассматриваемая модель рынка - это оптимально самоуправляемая система, описываемая уравнениями состояния (14), (15), максимизирующая выпуклый вверх функционал качества (13) с помощью управлений и(г), допустимых системой неравенств (16) или (17).

3. Необходимые условия оптимальности

Выпишем необходимые условия оптимальности управления u(t) и состояния x(t), Q(t), используя функцию Лагранжа, присоединяющую к функционалу качества (13) ограничения типа равенств (уравнения состояния) (14), (15) с помощью неопределенных множителей Лагранжа (сопряженных по Гамильтону переменных) _p(t+1), q(t+1):

T -1

L( x, Q, u, p, q) = J (x, Q, u) + ^ p(t +1) (x(t) + u(t) - x(t +1)) +

t=о

T-1

+^ q(t +1)[(Q(t) - ax(t -t) - ax(t))-1(x(t -t) < x(t) + Q(t)/a)- Q(t +1)]. (18)

t=o

Решив двойственную задачу

L(u, p, q) = max L(x, Q, u, p, q) (19)

x,Q

при фиксированных значениях управлений u(t) и сопряженных переменных p(t+1), q(t+1), получим систему рекуррентных уравнений для сопряженных переменных, решаемую в обратном времени:

p(t) = pit +1) -

где

q(t) = q(t +1) dJ

dJ

dx(t)

dJ

, t = T -1,1, piT) =

, t = T -1,1, q(T) =

dJ

dx(T)

dJ

dx(t)

1<t<T-1

dJ

dx(t)

dJ

dx(t)

dJ

T+1 <t<T-T

dQ(t) dQ(T)

= Qm - - Q(t)) • 1 (* > x(t) + Q(t) / a) -

-2ax(t) • 1 (P* < x(t) + Q(t) / a),

= Qm -(Po -q(t))1(Po > x(t) + q(t)/a)-

T

-2ax(T) -1( P < x(t) + Q(T)/ a),

= Qm - (x(t - t) - Q(t))1 (x(t - t) > x(t) + Q(t) / a)-

-2ax(t) • 1 (x(t - t) < x(t) + Q(t) / a) -

(20)

(21)

dx(t)

-ax(t + t) • 1(x(t) > x(t + t) + Q(t + t)/a) + aPl,

= Qm - (ax(t - t) - Q(t)) • l(x(t -t) ^ x(t) + Q(t) 1 a))-

T-T<t <T

-2ax(t)-1(x(t-t) < x(t) + Q(t)/a));

()

dJ

dQ(t) dJ

dQ(t) dJ

= x(t)'l(P* ^ x(t) + Q(t)/a)-P2,

= x(t) •1(P0 ^ x(t) + q(t)/ a)- P2 ,

= x(t)-1(х(г-x) > x{t) + Q(t)/a)-p2. (23)

dQ(t) x+1<t<T

Выпишем функцию Гамильтона как функцию управления u(t):

R

H(u(t)) = ~~2u +1)' м(г). ()

Оптимальное управление находится из условия максимума этой функции по u(t) при ограничениях (17). Функция Гамильтона (24) - выпуклая вверх квадратичная функция скалярной переменной u(t). Безусловный максимум этой функции находится в точке

u (t) = p(t +1)/ R . (25)

Но оптимальное управление u(t) должно удовлетворять ограничению (17), откуда получаем

u(t) = u* (t) -l(u* (t) + x(t) > 0), (26)

т.е. окончательно

u(t) = (p(t +1)/ R) • 1 (x(t) + p(t +1)/ R > 0). (27)

Подставив это выражение в уравнение состояния (14), получаем уравнение состояния в замкнутой форме (т.е. уравнение состояния оптимального самоуправляемого рынка):

x(t +1) = x(t) + (p(t +1)/R) -1(x(t) + p(t +1)/ R > 0),

x(0) = P0 , x(t)|,<0 = P*. (28)

Это уравнение совместно с уравнением состояния (15) и уравнениями (20), (21)

для сопряженных переменных p(t), q(t) образуют нелинейную двухточечную

краевую задачу (ДТКЗ), решение которой определяет оптимальную траекторию перехода рассматриваемой модели инерционного рынка с запаздыванием из возмущенного состояния x(0)=P0 к равновесному состоянию P .

К сожалению, эффективных общих методов решения нелинейных двухточечных краевых задач не существует.

4. Метод возможных направлений

Воспользуемся для решения оптимизационной задачи (13) при ограничениях типа равенств (14), (15) и неравенств (16) или (17) одним из методов последовательных приближений по управлениям - методом возможных направлений [3], конкретизировав его применительно к рассматриваемой задаче оптимизации инерционного рынка с запаздыванием. Опишем работу алгоритма по шагам.

Шаг 1. Выбираем в качестве допустимого начального приближения для

управления и (г) = 0, г = 0, Т -1.

Шаг 2. Используя рекуррентное соотношение (14), вычислим траекторию цен х(г), г = 1, Т, соответствующую заданному управлению и(г), полагая х(0) = Р0. Используя рекуррентное соотношение (15), вычислим соответствующую траекторию остатков товара Q(t), г = 1, Т, полагая 2(0) = Q0.

Шаг 3. Используя формулы (22) и (23), вычислим все производные дЗ/дх(1) и

ЭУ/д<2(), г = 1, Т, соответствующие значениям х(г), Q(t), после чего, используя рекуррентные соотношения (20), (21), вычислим в обратном времени все сопряженные переменные р(), д(1), г = 1, Т.

Шаг 4. Вычислим градиент функции Гамильтона при заданных и(1) и полученных р(1):

дН (и (г))

Y(t) = -

du (t)

= -Ru(t) + p(t +1), t = 0, T -1. (29)

U=U, p=p

Найдем направления ) изменения и(і), обеспечивающие наибольшее улучшение показателя качества (увеличение функции Гамильтона), решив задачу максимизации скалярного произведения

г-1 дН (~и(г)) Т-1-

X я, \ = X у(гко ^ тах (30)

д«(0 t=0 ‘

при ограничениях |s(t)| < 1, t = 0, T -1. Очевидно, её решение имеет вид

s(t) = sign у (t) = sign (p (t +1) - Ru (t)), t = 0, T -1. (31)

Шаг 5. Строим новое управление

u(t) = u(t) + ss(t), t = 0, T -1, (32)

где s > 0 - шаг изменения управления в направлении s(t). Тогда получится новая траектория

x(t +1) = x(t) + u(t) + єs(t), t = 0, T -1, x(0) = P0 . (33)

Решив это уравнение для любого t, получим

x(t +1) = x(t +1) + sc(t +1), t = 0, T -1, (34)

где обозначено

с( +1) = £ s(k), t = 0, Т -1. (35)

к=0

С одной стороны, шаг е > 0 должен быть выбран так, чтобы не нарушались неравенства (16):

х(ї +1) + єс(г +1) > 0, t = 0, Т -1. (36)

Очевидно, если с(?+1)>0, то є>0 может быть любым, даже как угодно большим. Если же с(?+1)<0, то, очевидно,

о <в< .

И<+1)|

Положим

где

є„ = mm

(t)},

+да,

c(t +1) > 0,

s“(t) = <K іл/і /■ 1M '/■ n n’ 1 = 0T -1 •

[x(t + 1)/|c(t +1)|, c(t +1) < 0

(37)

(38)

С другой стороны, шаг е>0 желательно выбрать таким, чтобы целевой функционал при новом управлении увеличился как можно больше, т.е. чтобы У(е), определяемый формулой (13) при и() = и(() + 6), х(( + 1) = х(( + 1) + £с(г + 1) ,

t = 0, Т -1, с учетом (15) и условия е(()|(<0 = 0 , достигал максимального по е>0 значения. Ограничиваясь параболическим приближением функции Де):

л Ч dJ(0) 1 d2 J(0) 2

J(є) * J(0) + —— є + ----------T^-s2

d є

2 d є2

и обозначая

dJ (є)

d є

получим линейное уравнение

= A,

d 2 J (є)

є=0

d є2

= B.

dJ (є) d є

откуда

єx = argmax J(є);

Окончательно

є = min (s„, є x). Коэффициенты A и B рассчитываются по формулам

A = 'Y,{QmC(t) + aP1c(t -T) -

t =0

~-yax(t-T)c(t) + ac(t-T)x(t)-Q(t )c(t) J-l( x(t-t) > x(t) + Q(t)/a) -

-2ac(t)x(t) -l(x(t -t) < x(t) + Q(t)/a- R(x(T) -P0),

t _ _

B = ^ {-2ac(t -x)c(t) -1 (c(t -t) > x(t) + Q(t)/ a)-

t=0

-2ac2(t) -l(x(t -t) < x(t) + Q(t)/a)} -Rc(T),

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

(44)

причем при вычислениях следует учитывать, что с()|(<0= 0 , х(і)| = Р*, х(0) = Р0 .

Шаг 6. Найдя таким образом оптимальную величину шага є>0, обеспечивающего максимальное увеличение функционала качества и не выводящего траекторию рыночной цены в область отрицательных значений, т.е. за допустимые пре-

є=0

є

делы, получим новое приближение управления u(t) = u(t) + ss(t), t = 0, T -1, к оптимальному и оценим его качество. Если

max |u(t) -u(t)| < 8 , (45)

где 5 > 0 - допустимая погрешность отыскания управления, то процесс построения решения заканчивается. Иначе переходим на шаг 2 и продолжаем процесс последовательных приближений, пока не достигнем желаемой точности решения (45).

5. Более простые модели инерционного рынка с запаздыванием

Рассмотренная выше модель инерционного рынка с запаздыванием довольно сложна. Более простые модели, хотя, возможно, менее адекватные реальности, получаются, если в них Q(t) = 0.

Для каждой из этих моделей в системе уравнений состояния (14), (15) остаётся только первое уравнение (14), описывающее динамику цены с теми же начальными условиями. Ограничения (16) или (17) остаются прежними. В системе сопряженных уравнений остаётся только уравнение (20) с соответствующей заменой целевого функционала на J, где j - номер рассматриваемого варианта задачи. Функция Гамильтона (24) и все соотношения (25) - (28) сохраняют прежний вид. Шаги алгоритма метода возможных направлений остаются прежними, только на шаге 5 целевая функция J(e) заменяется функцией J(e), соответствующей рассматриваемому варианту модели.

Рассмотрим 3 варианта частных моделей.

Вариант 1. Рынок с уничтожением остатков непроданного товара. Эта модель характерна для рынка скоропортящихся продуктов.

В этой модели функционал качества принимает вид

T

J1 = Jle(t)S0 = XdSm -ax(t-Т)-l(x{t-т) > x(t))-

t =0

T-1 R

-ax(t)-1(x(t-t) < *(0)]x(t)-(Qm -ax(t-x))p} - £ — u2(t). (46)

t=0 2

Сопряженная система

d j ______ d j

p(t) = pit +1) + J, t = T -1,1, p(T) =—L-, (47)

dx(t) dx(T)

dJ1 _ dJ

где

3x(t) 3x(t)

, t = 1, T. (48)

' Q(t)-o

Вариант 2. Рынок с реализацией в каждый момент дискретного времени всего поставляемого товара, даже если поставка превышает спрос.

В этой модели функционал качества вместо (13) принимает вид

J2 = Z(Qm - ax(t - т))x(t) - р) - £fu2 (t). (49)

t=0 t=0 2

Сопряженная система

d j _______ d j

p(t) = p(t +1) + —^, t = T -1,1, p(T) , (50)

dx(t) dx(T)

где

а/,

дх(і)

д/2

дх()

д/,

дх(()

= (т - аР ) а (х({) - Р1 ),

= Шт -аРо)-а(х(т)-р),

= (т - ах( -т))- а(х(^)- Р )•

(51)

Вариант 3. Рынок с дополнительной поставкой товара на текущем интервале дискретного времени.

В этом варианте предполагается, что если цена товара х(г-т) в момент его заказа превышает цену товара х(г) в момент его продажи, так что поставка товара не удовлетворяет спрос в момент t, то возможна дополнительная поставка товара в момент г, что позволит удовлетворить спрос в этот момент. Однако в этой модели также предполагается, что если поставка заказанного ранее товара превышает спрос, товар все равно будет продан на интервале текущего времени. Таким образом, в этом варианте модели, как и в предыдущем варианте, предполагается, что продается весь товар без остатка, даже если поставка превышает спрос.

При такой постановке задачи функционал качества вместо (13) принимает вид

Т

/3 = X (т - ах(^-Т) )(х(0 - Р ) +

¿=0

Т-1 ^

+а (х(ї -т) - х(ї))(х(ї) - р) -1(х(ї -т) < х(ї)) - ^—и2 (г) • (52)

і=0 2

Этот функционал можно привести к эквивалентному, иногда более удобному виду

т

•}ъ = X [бя - ах(-т) -1(х(*-т) < х(?))-

-і и

-ах() 'К х(-т) - х())] (х(0 - рі) - и2 (г) •

і=0 2

Сопряженная система

д т ____ д I

р(0 = р(і+1)+Т, I = т -1,1, р(Г) = 3

где

дЛ

дх(і) д/3

дхО

дх( у * — дх(Т)

= <2т -аР*-і(* <х(г))-а(2х(г)-р)-і(* >х(г)),

-1

= бт - аРо -1(рс < х(т))- а(2х(т)- Р1 )1(Р, > x(т)),

(53)

(54)

дх()

= <2т - ах(г -т) -1(х(г -т) < х(г))-

Т+1</<Г-Т

-2ах(і) -1(х(г -т) > х(г)) - ах(г + т) -1(х(г) < х(г + т)) + аР,

і=0

ал

дх(і)

= <2т -ах(і-т)-1(хО-т) <х(г))-а(2х(г)-р)-1(х(г-т)>х(г)) • (55)

т+\Я<Г

6. Примеры численного моделирования вариантов рынка

При численном моделировании различных вариантов рынка использовались следующие значения параметров: Т = 500; Я = 100; = 4; а = 0,4; Р0 = 3; Р\ = 1;

Q0 = 1; т = 0 - 40. Значение равновесной цены вычислялось по формуле (10): Р = 5,5.

На рис. 1 и 2 изображены оптимальное управление и(г) и оптимальная траектория цены х(г) для основной модели рынка в отсутствие запаздывания (т = 0). Виден экспоненциальный ход траектории цены к равновесному значению. Остаток непроданного товара в этом случае остается неизменным: Q(t) = Q0.

и і 0.15 0.1 0.05 0

-0.05

0 100 200 300 400 I

Рис. 1. Оптимальное управление и(?) при т = 0

X

5.5 5

4.5 4

3.5

3

0 100 200 300 400 I

Рис. 2. Оптимальная цена х(і) при т = 0

На рис. 3 - 6 приведены оптимальное управление и(г), оптимальная траектория цены х(г), поведение остатка непроданного товара 2(г) и фазовая траектория рынка - зависимость остатка товара от цены Q(x) - для основной модели рынка при запаздывании т = 10. Видно, что цена товара возрастает до равновесного значения и долго сохраняется на этом уровне. Но примерно за 2т единиц времени до конца интервала функционирования рынка цена начинает снижаться, причем скорость снижения цены достигает максимального значения за т единиц времени до конца интервала, а максимальное снижение цены достигается в конце интервала. Это можно объяснить необходимостью хотя бы частичной распродажи остатков непроданного товара.

0.2

0.1

0

-0.05

0 100 200 300 400 (

Рис. 3. Оптимальное управление и(?) при т = 10

X

5.5 5

4.5 4

3.5 3

( \

0 100 200 300 400 ґ

Рис. 4. Оптимальная цена х(і) при т = 10

и

0 100 200 300 400

Рис. 5. Остаток товара Q(t) при т = 10

3 3.5 4 4.5 5 5.5 x

Рис. 6. Фазовая траектория Q(x) при т = 10

На рис. 7 - 10 приведены оптимальное управление и(г), оптимальная траектория цены х(г), поведение остатка непроданного товара 2(г) и фазовая траектория рынка Q(x) для основной модели рынка при запаздывании т = 20. Видно, что с увеличением запаздывания скорость снижения цены возрастает, а само снижение цены и уменьшение остатка товара к концу интервала увеличиваются.

u

0.25

0.2

0.15

0.1

0.05

0

-0.05

V

0

100 200

300

400

Рис. 7. Оптимальное управление u(t) при т = 20

100 200 300 400

Рис. 9. Остаток товара Q(t) при т = 20

5.5 5

4.5 4

3.5 3

\

0

100

200 300

400

Рис. 8. Оптимальная цена x(t) при т = 20

Í

3

3.5

4

4.5

5

5.5

Рис. 10. Фазовая траектория Q(x) при т = 20

t

x

t

t

0

t

x

Исследования показали, что при больших запаздываниях (т>40) остаток товара к концу интервала уменьшается почти до нуля. Скорость этого снижения зависит от инерционности рынка, определяемой параметром Я (чем больше Я, тем выше инерционность), а время снижения определяется запаздыванием. Инерционность

рынка не позволяет быстро снижать цену при распродаже остатков и доводить ее до «бросовой» цены за конечное время 2т.

На рис. 11 - 16 приведены оптимальное управление и(?) и оптимальная траектория цены х(?) для вариантов 1 - 3 частных моделей рынка при запаздывании т = 30.

Рис. 11. Оптимальное управление и(/) при т = 0 - 30 (вариант 1 модели)

Рис. 12. Оптимальная цена х^) при т = 0 - 30 (вариант 1 модели)

Из рис. 11, 12 видно, что в варианте 1 модели рынка переход к равновесному состоянию носит экспоненциальный характер и не зависит от запаздывания.

Рис. 13. Оптимальное управление и(/) при т = 0 - 30 (вариант 2 модели)

0

100

200 300

400

Рис. 14. Оптимальная цена х^) при т = 0 - 30 (вариант 2 модели)

і

Из рис. 13, 14 видно, что в варианте 2 модели рынка цена колеблется вокруг состояния равновесия. Как показали исследования, амплитуда этих колебаний возрастает с увеличением запаздывания т и уменьшается с его уменьшением, причем колебания становятся пренебрежимо малыми при малых запаздываниях т и исчезают при т = 0. В последнем случае в начале интервала функционирования рынка имеем экспоненциальный рост цены до равновесного значения, а затем трудно объяснимый новый рост цены в конце интервала. По-видимому, рост цены или увеличение амплитуды колебаний цены на правом конце интервала функционирования рынка («концевой» эффект) в моделях вариантов 2 и, как увидим ниже,

3 объясняется нереалистичным предположением этих моделей о возможности продажи всего поступающего на рынок товара безотносительно к спросу на него. Отсутствие этого предположения в основной модели рынка, как видим, не приводит к появлению «концевого» эффекта.

Рис. 15. Оптимальное управление u(t) при т = 0 - 30 (вариант 3 модели)

0 100 200 300 400

Рис. 16. Оптимальная цена x(t) при т = 0 - 30 (вариант 3 модели)

Из рис. 15, 16 видно, что в варианте 3 модели рынка характер поведения цены тоже колебательный, но колебания имеют более сложный вид. При т = 0 они исчезают, и мы имеем экспоненциальный переход цены к равновесному значению. При малых т возникают затухающие колебания, с увеличением т уменьшение амплитуды колебаний замедляется, и, наконец, при некотором достаточно большом т точка равновесия рынка теряет устойчивость (на рис. 16 - при т = 30).

Подчеркнем, что в отсутствие запаздывания (т=0) во всех вариантах частных моделей имеем экспоненциальной переход цены к равновесному значению, как и в случае основной модели.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гальперин В.М., Игнатьев С.М., Морозов В.И. Микроэкономика: В 2 т. / Под общ. ред. В.М. Гальперина. СПб.: Экономическая школа, 2002. Т. 1. 349 с.

2. Поддубный В.В., Романович О.В. Разностные динамические модели рынка вальрасов-ского типа с постоянными и случайными переменными запаздываниями // Сб. научных трудов по материалам Международной научно-практической конференции «Научные исследования и их практическое применение. Современное состояние и пути развития. Транспорт, физика и математика». Одесса, 2007. Т. 1. С. 60 - 69.

3. Пропой А.И. Элементы теории оптимальных дискретных процессов. М.: Наука, 1973. 256 с.

t

Статья представлена кафедрой прикладной информатики факультета информатики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию 20 марта 2008 г.