CC BY
76
ОПТИМАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ НА ОСНОВЕ ГЕНЕТИЧЕСКОГО АЛГОРИТМА
Р.В. ЛЕСОВИК, д-р техн. наук, доцент С.В. КЛЮЕВ, канд. техн. наук, доцент А.В. КЛЮЕВ, аспирант
Белгородский государственный технологический университет им. В.Г. Шухова Klvuyev@yandex. ru
Предложена методика оптимального проектирования несущих конструкций на основе генетического алгоритма. В качестве примера рассмотрено проектирование стальной рамы при варьировании 9 параметров с использованием метода конечных элементов. Выявлен наилучший вариант, соответствующий минимуму объема материала рамы.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: оптимальное проектирование, стальная рама, системное проектирование, генетический алгоритм, минимальный объем.
В последние десятилетия в области инженерного дела, а также экономики и планирования намечается стремительный переход от допустимых инженерных и управленческих решений к оптимальным решениям. Однако современная теория оптимизации пока не удовлетворяет требованиям инженера - проектировщика в связи с тем, что ее строгие математические методы не учитывают реальных ситуаций проектно-конструкторских задач. Вместе с тем современная, все более усложняющаяся практика проектирования и конструирования нуждается в эффективных математических средствах решения таких задач.
Характерной чертой нового подхода является комплексная разработка, позволяющая проектировать систему в целом, а не по отдельным ее частям. Поэтому одной из чрезвычайно важных научных и прикладных задач является разработка методологии оптимального проектирования сложных технических систем - системного проектирования.
Конструкцию характеризует ряд показателей: стоимость, надежность, вес, габариты, время разработки и др., которые могут находиться во взаимном противоречии. Трудность решения задачи состоит в недостатке априорной информации, необходимой для поиска оптимального варианта конструкции. Поэтому процедуру проектирования целесообразно строить так, чтобы на каждом его последующем этапе объем информации о конструкции возрастал. В то же время необходимо исключать неудовлетворительные варианты, выявленные в ходе проектирования. Таким образом, должны сочетаться две тенденции - генерация многообразия вариантов и усечение выявленного множества [1]. Предлагаемая процедура проектирования согласуется с эволюционной стратегией оптимизации и, в частности, генетическими алгоритмами (ГА) [3].
Проектирование конструкции представляется в виде некоторой последовательности уровней ее разработки, которые характеризуются степенью детализации ее элементов. Такой способ проектирования можно связать с некоторой ие-
рархической моделью, обладающей спецификой иного класса структурных эволюционных моделей - деревьев последовательных решений.
Генетические алгоритмы получили развитие в середине 60-х годов 20-го в. благодаря трудам Дж. Холланда. Они имитируют эволюционный процесс при особом акценте на генетические механизмы, т.е. наследование и рекомбинацию генов. Осуществляется это некоторым числом (популяцией) искусственных хромосом (индивидов). Каждая хромосома содержит п генов, которые соответствуют п искомым переменным оптимизационной задачи.
Генетические алгоритмы, как и эволюционные алгоритмы вообще, применяются для поиска глобального экстремума функции многих переменных. Принцип их работы основан на моделировании некоторых механизмов популя-ционной генетики, манипулировании набором хромосом при формировании генотипа новой биологической особи путем наследования участков хромосом родителей, случайным изменением генотипа, известного в природе как мутация.
На рис. 1. представлен генетический алгоритм. Главная идея эволюции состоит в том, чтобы улучшать фитнес индивидов первой генерации популяции, пока не будет достигнут критерий прекращения.
1. Начальная популяция. Вначале необходимо создать начальную популяцию индивидов. Так как о целевой функции еще ничего не известно, примем гены индивидов в ранее установленной области случайными и равномерно распределенными, сопоставимо с методом Монте-Карло.
2. Оценка индивидов. Каждому из новорожденных индивидов необходимо на основании целевой функции определить фитнес. После этого можно начать петлю генераций в стремлении улучшить фитнес индивидов.
3. Селекция - первый шаг к этому улучшению, при котором индивиды, по стратегии, выбираются случайно или на основе их прежнего фитнеса. Этот выбор служит либо продолжением рода, либо передачей элитного статуса. Индивид с элитным статусом нельзя ни исключить из фактической генерации, ни изменить.
4. Воспроизводство означает продолжение рода отобранных для этого индивидов. Простейший способ размножения - копирование индивидов. Стратегия ГА пытается помимо этого путем рекомбинации генов на хромосомах генерировать лучшие индивиды. Как правило, при этом из родительских индивидов образуются пары, которые обмениваются между собой генами случайным образом и образуют таким образом два новорожденных.
5. Мутация изменяет отдельные гены генопула. Благодаря этому при ГА генопул должен обновляться, потому что с размножением генов шла бы потеря многообразия генопула обычно уже после малого числа генераций.
6. Оценка индивидов. После того как путем рекомбинации и мутации хромосомы индивидов изменены, необходимо для каждого из новорожденных определить фитнес.
Рис. 1. Генетический алгоритм
7. Замена индивидов. В конце петли генерации необходимо установить, какие индивиды из популяции исключаются. Иначе без замены популяция росла бы все дальше. ГА заменяют обычно большинство родителей новорожденными.
8. Критерий прекращения определяет длительность процесса оптимизации и имеет решающее значение для оценки результата. Используются два варианта формулировки критерия прекращения: 1) контроль фитнеса, в результате которого процесс прекращается, если в рамках установленного числа генераций максимальная величина фитнеса в популяции кардинально не улучшается; 2) установление числа генераций.
Оба варианта имеют несовершенства. При первом варианте может случиться, что максимальная величина фитнеса в популяции долгое время не изменяется, а затем, например, вследствие удачной мутации, наступает ее улучшение. Поэтому в случае слишком раннего прекращения достигается лишь субоптимум. При втором варианте критерия оптимум вообще не ставится во главу угла. Часто выбирается решение, удовлетворяющее в достаточной мере допускам, установленным для варьируемых параметров. В этом случае все же необходимо проведение оптимизационных процессов с различным числом генераций, чтобы можно было дать определенную оценку результата. Путем селекции и исключения индивидов с относительно плохим фитнесом популяция также переоценивается. Разумеется, вследствие этого генопул может потерять отдельные хорошие гены. ГА пытаются сделать эти потери по возможности малыми [2].
В качестве примера рассмотрим проектирование стальной рамы. Минимизируется объем, а вместе с этим вес и расход материала. Задаются дополнительные условия, касающиеся условий прочности и устойчивости, общей и локальной. В качестве материала применяется сталь С345 со следующими характеристиками: плотность р = 78 кН/м3; модуль продольной упругости Е = 2,1-Ю5 МПа; коэффициент поперечной деформации V = 0,3; предел текучести Иуп =360 МПа расчетное сопротивление Ну =300 МПа
Заданы размеры рамы: /с = 4,8 м. 1Р = 4 м и интенсивность нагрузки на горизонтальную проекцию ригеля 8 кН/м. Оптимизируется 9 параметров системы (рис. 2): Ь - половина ширины полки двутавра; Нрл - высота сечения ригеля слева; Нрп - высота сечения ригеля справа; Нсв - высота сечения стойки вверху; Нсн - высота сечения стойки внизу; 1Р„ - толщина полки ригеля; 1рс - толщина стенки ригеля; - толщина полки стойки; /сс - толщина стенки стойки.
Из условий соблюдения локальной устойчивости элементов двутаврового
сечения установлены допускаемые отношения их размеров: для полки - 10, для стойки - 110. Верхняя и нижняя границы искомых переменных устанавливаются следующими (в см):
5 <6 <15;
10 </^<30; 0,5 <^„<1,5;
10 <^„<30;
Рис. 2. Профиль рамы и сечения ригеля и стойки
. 0,5<?сс<1,5;
10</2св<30; Ю < < 30;
0,5 <^<1,5; 0,5 <^<1,5.
Целевая функция, выражающая объем материала рамы, имеет вид
К = 244/сс(Лсв +ксн-Ъсп) + Ърс{крл +крп -2/,,,,) +¿(19,2/,,, +16/,,,,).
Это же выражение с обратным знаком определяет фитнес-функцию.
Используя для расчета метод конечных элементов, разбиваем половину объема рамы на 108 элементов - 48 в ригеле и 60 в стойке, при этом в поперечном сечении - 6 элементов (по 2 в полке и стенке).
В соответствии с числом оптимизируемых параметров вводим модель хромосомы:
ь И ' 1рл И ' 1рп И ' 1св И ' 1сн ¿рп ¿рс ¿сп
Элементы сведены в 4 группы - полка и стенка ригеля, полка и стенка стойки. Узлы сведены в 26 групп, передвижения которых соответствуют генам хромосомы.
Таблица 1. Размеры элементов профилей
ь Ирл Ирп ¿рп ¿рс Исв Исн ¿сп ¿сс
1 55 138 143 6,4 5,0 100 105 5,0 5,0
2 69 209 231 5,7 5,1 298 281 6,6 5,0
3 50 120 157 5,6 5,0 102 158 5,0 5,0
4 50 120 194 5,6 5,0 101 108 5,0 5,0
5 63 191 252 5,2 5,0 191 300 5,8 5,0
6 50 115 123 7,0 5,0 102 119 5,0 5,0
7 50 161 162 5,5 5,0 101 121 5,0 5,0
8 51 128 169 5,6 5,0 103 116 5,0 5,1
9 51 131 154 6,1 5,1 102 120 5,0 5,0
10 50 126 161 5,8 5,0 110 117 5,1 5,1
Для расчета рамы применялись следующие параметры: индивидов 20; генераций 300; селекционное давление 0,1; норма мутации 0,05; число замен 15.
Отклонения для мутаций носили линейный характер и составляли для толщин полок и стенок 0,001...0,0001, а для других элементов 0,01...0,001.
Достигнутые результаты (размеры в мм) представлены в табл. 1. В табл. 2 представлены объем рамы К(м3), наибольшее нормальное напряжение а (МПа) и отношение ЬЛрп и ЬЛсп.
Таблица 2. Геометрические характеристики рамы и напряжения
V а ьлт ЬЛсп
1 0,0150 161 7,4 9,4
2 0,0265 160 11,7 10,1
3 0,0150 161 8,5 9,5
4 0,0147 160 8,4 9,5
5 0,0224 388 11,5 10,4
6 0,0153 338 6,8 9,5
7 0,0149 162 8,6 9,5
8 0,0149 162 8,7 9,7
9 0,0152 162 7,9 9,7
10 0,0149 161 8,2 9,3
Из табл. 2 видно, что отношения ЬЛрп и ЬЛсп превышены во 2-й и 5-й строках. В 5-й и 6-й строках превышено расчетное сопротивление. Таким образом, тремя вариантами решения следует пренебречь.
Толщины стенок соответствуют принятой нижней границе. Остальные размеры находятся в пределах установленных границ. В семи оставленных вариантах решения объем отличается незначительно (в пределах 3,4 %). Минимальному объему соответствует 4-й вариант решения.
Выводы
1. Генетические алгоритмы являются мощным поисковым средством. Решение полученное на их основе, субоптимально, но это не мешает применять их для поиска глобальных экстремумов при оптимизации строительных конструкций.
2. ГА по сравнению с известными аналитическими методами оптимизации приемлемы для решения многопараметрических невыпуклых задач.
3. При увеличении количества оптимизируемых параметров возрастает число индивидов и генераций. Вместе с тем повышаются затраты машинного времени, что в ряде случаев может служить показателем оценки использования генетических алгоритмов.
Л и т е р а т у р а
1. Хупфер П. Оптимизация строительных конструкций на основе иерархической вероятностной модели/ П. Хупфер, А.Г. Юрьев// Проблемы оптимального проектирования сооружений: докл. 3-го Всерос. семин. В 2 т. - Новосибирск: НГАСУ, 2000. - Т. 1. -С. 166 - 172.
2. Юрьев А.Г. Эволюционные и генетические алгоритмы оптимизации строительных конструкций / А.Г. Юрьев, С.В. Клюев. - Белгород: Изд-во БГТУ им. В.Г. Шухова, 2006. - 134 с.
3. Riedel J. Genetik als alternative Optimierungsstrategies / J. Riedel // 4. Institutskolloquium, Bauhaus - Universität Weimar: Bericht 3/98, Institut für Strukturmechanik. - Weimar: Bauhaus - Universität, 1998. - S.19 - 33.
OPTIMIZATION OF BUILDING STRUCTURES ON THE BASIS OF GENETIC ALGORITHM
R.V. Lesovic, S.V. Klyuyev, A.V. Klyuyev
The technique of optimal design of bearing structures on the basis of genetic algorithm has been suggested. A design of steel frame with varying 9 parameters using the method of finite elements is considered as an example. The best variant corresponding to the volume minimum of the frame material is revealed.
KEY WORDS: optimal design, steel frame, system design, genetic algorithm, minimal volume.
нк -0- Hb
