CC BY
147
После определения коэффициентов аф используя обратное преобразование Фурье, можно вычислить компоненты НДС среды в декартовой и цилиндрической системах координат. При этом для вычисления интегралов Фурье можно использовать любой численный метод, если определитель полученной из граничных условий системы уравнений не обращается в ноль.
2. В качестве примера расчёты проводились для равномерно распределённых в интервале |П<0,2 м по внутренней поверхности бетонной оболочки осесимметричных нормальной и скручивающей нагрузок одинаковой интенсивности, движущихся со скоростью с=100 м/с в массиве алевролита при следующих значениях параметров: Л=1 м, к=2 м, А0=0,02 м; у0=0,2, д,=12,1.103 МПа, р0=2,5.103кг/м3, А=1,68 8.103 МПа, ^=2,532.103 МПа, р=2,5403 кг/м3.
Интенсивность нормальной нагрузки выбиралась таким образом, чтобы общая нагрузка по всей длине участка нагружения равнялась сосредоточенной нормальной кольцевой нагрузке р.
На рисунке показан результат воздействия нагрузок на земную поверхность, где в поперечной плоскости П=0) приведены кривые изменения перемещений и\=их/л/р (м), и°у=иу^/р (м) и нормальных напряжений о°уу=ау/р.
Как следует из анализа поведения кривых, экстремальные прогибы их земной поверхности и экстремальные нормальные напряжения ауу имеют место при у=-0,4Л, а максимальное горизонтальное смещение иу - при у=0,8Л (ауу здесь равно нулю). С увеличением |У перемещения и напряжения быстро затухают, и при |у|=3,2Л динамическое воздействие нагрузки на земную поверхность практически неощутимо.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Пожуев В.И. Действия подвижной скручивающей нагрузки на цилиндрическую оболочку в упругой среде // Строительная механика и расчет сооружений. - 1984. - № 6. - С. 58-61.
2. Айталиев Ш.М., Алексеева Л.А., Украинец В.Н. Влияние свободной поверхности на тоннель мелкого заложения при действии подвижных нагрузок // Известия АН КазССР. 3. Сер. физ.-матем. - 1986. - № 5. - С. 75-80.
3. Новацкий В. Теория упругости. - М.: Мир, 1975. - 872 с.
4. Украинец В.Н. Реакция упругого полупространства на бегущую вдоль оси периодическую нагрузку // Математический журнал. Алматы. - 2005. - № 3. - С. 96-102.
Поступила 05.06.2006 г.
УДК 624(007.2:57.085)
ОПТИМИЗАЦИЯ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ НА ОСНОВЕ ГЕНЕТИЧЕСКОГО АЛГОРИТМА
А.Г. Юрьев, С.В. Клюев, А.В. Клюев
Белгородский государственный технологический университет им. В.Г. Шухова E-mail: [email protected]
Предложена методика оптимального проектирования несущих конструкций на основе генетического алгоритма. В качестве примера рассмотрено проектирование стальной рамы при варьировании 9 параметров с использованием метода конечных элементов. Выявлен наилучший вариант, соответствующий минимуму объема материала рамы.
В последние десятилетия в области инженерного дела, а также экономики и планирования намечается стремительный переход от допустимых инженерных и управленческих решений к оптимальным решениям. Однако современная теория оптимизации пока не удовлетворяет требованиям инженера-проектировщика в связи с тем, что ее строгие математические методы не учитывают реальных ситуаций проектно-конструкторских задач. Вместе с тем современная, все более усложняющаяся практика проектирования и конструирования нуждается в эффективных математических средствах решения таких задач.
Характерной чертой нового подхода является комплексная разработка, позволяющая проектировать систему в целом, а не по отдельным ее частям. Поэтому одной из чрезвычайно важных научных и
прикладных задач является разработка методологии оптимального проектирования сложных технических систем - системного проектирования.
Конструкцию характеризует ряд показателей: стоимость, надежность, вес, габариты, время разработки и др., которые могут находиться во взаимном противоречии. Трудность решения задачи состоит в недостатке априорной информации, необходимой для поиска оптимального варианта конструкции. Поэтому процедуру проектирования целесообразно строить так, чтобы на каждом его последующем этапе объем информации о конструкции возрастал. В то же время необходимо исключать неудовлетворительные варианты, выявленные в ходе проектирования. Таким образом, должны сочетаться две тенденции - генерация многообразия вариантов и усечение выявленного
множества [1]. Предлагаемая процедура проектирования согласуется с эволюционной стратегией оптимизации и, в частности, генетическими алгоритмами (ГА) [3].
Проектирование конструкции представляется в виде некоторой последовательности уровней ее разработки, которые характеризуются степенью детализации ее элементов. Такой способ проектирования можно связать с некоторой иерархической моделью, обладающей спецификой иного класса структурных эволюционных моделей - деревьев последовательных решений.
Генетические алгоритмы получили развитие в середине 60-х гг. XX в. благодаря трудам Дж. Хол-ланда. Они имитируют эволюционный процесс при особом акценте на генетические механизмы, т. е. наследование и рекомбинацию генов. Осуществляется это некоторым числом (популяцией) искусственных хромосом (индивидов). Каждая хромосома содержит п генов, которые соответствуют п искомым переменным оптимизационной задачи.
Генетические алгоритмы, как и эволюционные алгоритмы вообще, применяют для поиска глобального экстремума функции многих переменных. Принцип их работы основан на моделировании некоторых механизмов популяционной генетики, манипулировании набором хромосом при формировании генотипа новой биологической особи путем наследования участков хромосом родителей, случайным изменением генотипа, известного в природе как мутация.
Рис. 1. Генетический алгоритм
На рис. 1 представлен генетический алгоритм. Главная идея эволюции состоит в том, чтобы улучшать фитнес индивидов первой генерации популяции, пока не будет достигнут критерий прекращения.
1. Начальная популяция. Вначале необходимо создать начальную популяцию индивидов. Так как о целевой функции еще ничего не известно, примем гены индивидов в ранее установленной области случайными и равномерно распределенными, сопоставимо с методом Монте-Карло.
2. Оценка индивидов. Каждому из новорожденных индивидов необходимо на основании целевой функции определить фитнес. После этого можно начать петлю генераций в стремлении улучшить фитнес индивидов.
3. Селекция - первый шаг к этому улучшению, при котором индивиды, по стратегии, выбираются случайно или на основе их прежнего фитнеса. Этот выбор служит либо продолжением рода, либо передачей элитного статуса. Индивид с элитным статусом нельзя ни исключить из фактической генерации, ни изменить.
4. Воспроизводство означает продолжение рода отобранных для этого индивидов. Простейший способ размножения - копирование индивидов. Стратегия ГА пытается помимо этого путем рекомбинации генов на хромосомах генерировать лучшие индивиды. Как правило, при этом из родительских индивидов образуются пары, которые обмениваются между собой генами случайным образом и образуют таким образом два новорожденных.
5. Мутация изменяет отдельные гены генопула. Благодаря этому при ГА генопул должен обновляться, потому что с размножением генов шла бы потеря многообразия генопула обычно уже после малого числа генераций.
6. Оценка индивидов. После того, как путем рекомбинации и мутации хромосомы индивидов изменены, необходимо для каждого из новорожденных определить фитнес.
7. Замена индивидов. В конце петли генерации необходимо установить, какие индивиды из популяции исключаются. Иначе без замены популяция росла бы все дальше. ГА заменяют обычно большинство родителей новорожденными.
8. Критерий прекращения определяет длительность процесса оптимизации и имеет решающее значение для оценки результата. Используются два варианта формулировки критерия прекращения: 1) контроль фитнеса, в результате которого процесс прекращается, если в рамках установленного числа генераций максимальная величина фитнеса в популяции кардинально не улучшается; 2) установление числа генераций. Оба варианта имеют несовершенства. При первом варианте может случиться, что максимальная величина фитнеса в популяции долгое время не из-
меняется, а затем, например, вследствие удачной мутации, наступает ее улучшение. Поэтому в случае слишком раннего прекращения достигается лишь субоптимум.
При втором варианте критерия оптимум вообще не ставится во главу угла. Часто выбирается решение, удовлетворяющее в достаточной мере допускам, установленным для варьируемых параметров. В этом случае все же необходимо проведение оптимизационных процессов с различным числом генераций, чтобы можно было дать определенную оценку результата.
Путем селекции и исключения индивидов с относительно плохим фитнесом популяция также переоценивается. Разумеется, вследствие этого гено-пул может потерять отдельные хорошие гены. ГА пытаются сделать эти потери по возможности малыми [1, 2].
В качестве примера рассмотрим проектирование стальной рамы. Минимизируется объем, а вместе с этим вес и расход материала. Задаются дополнительные условия, касающиеся условий прочности и устойчивости, общей и локальной. В качестве материала применяется сталь С345 со следующими характеристиками: плотность р=78,5 кН/м3; модуль продольной упругости Е=2,Ы05 МПа, коэффициент поперечной деформации у=0,3; предел текучести Л=3б0 МПа, расчетное сопротивление Лу=300 МПа.
Заданы размеры рамы: 4=4,8 м, 4=4 м и интенсивность нагрузки на горизонтальную проекцию ригеля 8 кН/м. Оптимизируется 9 параметров системы (рис. 2): Ь - половина ширины полки двутавра; крл - высота сечения ригеля слева; - высота сечения ригеля справа; Асв - высота сечения стойки вверху; кш - высота сечения стойки внизу; 4п и 4с, 4п и 4с - толщина полки и стенки ригеля и стойки соответственно.
переменных устанавливаются следующими (в см): 5<Ь<15; 10<йрл<30; 10<йрп<30; 0,5<4<1,5; 0,5<4<1,5; 10<^<30; 10<АС<30; 0,5<4<1,5; 0,5<4<1,5.
Целевая функция, выражающая объем материала рамы, имеет вид
V = 2,4 /СС(АСВ + ¿сн - 2 ¿сп) +
+2^ (Лрл + V - 2 V) + ¿(19,2¿сп +16 V).
Это же выражение с обратным знаком определяет фитнес-функцию.
Используя для расчета метод конечных элементов, разбиваем половину объема рамы на 108 элементов - 48 в ригеле и б0 в стойке, при этом в поперечном сечении - б элементов (по 2 в полке и стенке).
В соответствии с числом оптимизируемых параметров вводим модель хромосомы
Ь ¿рп ¿рп ^рп ^рс ¿сн ¿св 4п 4е
Элементы сведены в 4 группы - полка и стенка ригеля, полка и стенка стойки. Узлы сведены в 26 групп, передвижения которых соответствуют генам хромосомы.
Таблица 1. Размеры элементов профилей
Ь ¿рп ¿рп ^рп ^рс ¿сн ¿св ^сп Кс
1 55 138 143 6 ,4 5,0 100 105 5,0 5,0
2 69 209 231 5 ,7 5,1 298 281 6,6 5,0
3 50 120 157 5 , 6 5,0 102 158 5,0 5,0
4 50 120 194 5,6 5,0 101 108 5,0 5,0
5 63 191 252 5,2 5,0 191 300 5,8 5,0
6 50 115 123 7,0 5,0 102 119 5,0 5,0
7 50 161 162 5,5 5,0 101 121 5,0 5,0
8 51 128 169 5,6 5,0 103 116 5,0 5,1
9 51 131 154 6,1 5,1 102 120 5,0 5,0
10 50 126 161 5,8 5,0 110 117 5,1 5,1
Для расчета рамы применялись следующие параметры: индивидов 20; генераций 300; селекционное давление 0,1; норма мутации 0,05; число замен 15.
Отклонения для мутаций носили линейный характер и составляли для толщин полок и стенок 0,001...0,0001, а для других элементов 0,01...0,001.
Достигнутые результаты (размеры в мм) представлены в табл. 1. В табл. 2 представлены объем рамы V, м3, наибольшее нормальное напряжение о, МПа, и отношение Ь//рпи Ь/4п.
Таблица 2. Геометрические характеристики рамы/ и напряжения
Рис. 2. Профиль рамыI и сечения ригеля и стойки
Из условий соблюдения локальной устойчивости элементов двутаврового сечения установлены допускаемые отношения их размеров: для полки - 10, для стойки - 110. Верхняя и нижняя границы искомых
V о ЬДрп ЬДп
1 0,0150 161 7,4 9,4
2 0,0265 160 11,7 10,1
3 0,0150 161 8,5 9,5
4 0,0147 160 8 ,4 9, 5
5 0,0224 388 11,5 10,4
6 0,0153 338 6,8 9,5
7 0,0149 162 8,6 9,5
8 0,0149 162 8,7 9,7
9 0,0152 162 7,9 9,7
10 0,0149 161 8,2 9,3
Из табл. 2 видно, что отношения ¿//рп и ¿Дп превышены во 2-й и 5-й строках. В 5-й и 6-й строках превышено расчетное сопротивление. Таким образом, тремя вариантами решения следует пренебречь.
Толщины стенок соответствуют принятой нижней границе. Остальные размеры находятся в пределах установленных границ. В семи оставленных вариантах решения объем отличается незначительно (в пределах 3,4 %). Минимальному объему соответствует 4-й вариант решения.
Выводы
1. Генетические алгоритмы являются мощным поисковым средством. Решение, полученное на их
основе, субоптимально, но это не мешает применять алгоритмы для поиска глобальных экстремумов при оптимизации строительных конструкций.
2. Генетические алгоритмы по сравнению с известными аналитическими методами оптимизации приемлемы для решения многопараметрических невыпуклых задач.
3. Решение можно уточнить, увеличив густоту сетки конечных элементов. При увеличении количества оптимизируемых параметров возрастает число индивидов и генераций. Вместе с тем повышаются затраты машинного времени, что в ряде случаев может служить показателем оценки использования генетических алгоритмов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Юрьев А.Г., Клюев С.В. Генетические алгоритмы оптимизации строительных конструкций // Образование, наука, производство и управление в XXI веке: Матер. Междунар. науч. конф. В 4 т. - Старый Оскол: Изд-во СТИ МИСиС, 2004. - Т. 4. -С. 238-240.
2. Юрьев А.Г., Клюев С.В. Эволюционные и генетические алгоритмы оптимизации строительных конструкций. - Белгород: Изд-во БГТУ им. В.Г. Шухова, 2006. - 134 с.
Поступила 22.09.2006 г.
УДК 537.333
МОДЕЛИРОВАНИЕ ИНЖЕКЦИИ И ЗАХВАТА ЭЛЕКТРОНОВ ПУЧКА В МАЛОГАБАРИТНЫХ БЕТАТРОНАХ МЕТОДОМ МАКРОЧАСТИЦ
В.П. Григорьев, В.В. Офицеров, В.А. Семешов
Томский политехнический университет E-mail: [email protected]
Рассмотрена задача моделирования самосогласованной динамики электронного пучка в малогабаритных бетатронах. Дается описание численной модели, разработанной на основе метода макрочастиц. Приведеныi результаты моделирования процессов инжекции и захвата электронов в режим ускорения в бетатронах с аксиально-симметричным и несимметричным магнитным полем. Определеныi оптимальные входные параметрыi инжекции по энергии и току пучка (20...40 кэВ и 0,1...1,0 А), обеспечивающие максимальное число захваченных электронов. Численно исследованыi способыi повышения эффективности захвата за счет использования вариации внешнего магнитного поля и дополнительного отбора энергии у захваченных электронов вихревой тормозящей ЭДС. Это позволило увеличить коэффициент захвата с 4 до 7,4 % и захватить в ускорение до 7,410ю электронов.
Введение
Широкое использование малогабаритных бетатронов требует существенного повышения интенсивности излучения. Поэтому одной из наиболее важных проблем при создании бетатронов является повышение эффективности захвата электронов в режим ускорения. Известно, что определяющую роль в механизме захвата [1, 2] играет кулоновское взаимодействие электронов пучка. Существующий подход [3, 4] исследования этого механизма захвата в классических бетатронах, основанный на аналитических методах, хорошо описывает физику явления в случае аксиально-симметричных магнитных полей. Это дало возможность получить качественные зависимости параметров захвата в линейном приближении от-
носительно малого параметра ДД/Д, в предположении, что ширина вакуумной камеры ДД значительно меньше радиуса равновесной орбиты Д,.
Данные допущения не применимы в малогабаритных бетатронах, в которых поперечные размеры пучка сравнимы с радиусом равновесной орбиты. Поэтому необходимо разработать методы для получения количественных характеристик параметров захвата, отражающие не только влияние поля пространственного заряда пучка, но и геометрию системы, а также сложный профиль внешнего магнитного поля. Решение этой проблемы наиболее полно можно осуществить на основе численного моделирования с использованием современного метода макрочастиц [5]. Достоинство данного под-
