CC BY
47
УДК 681.513.52
Д.В. Козлов, инж., +7-910-162-08-70, MrKozlovDV@rambler.ru
(Россия, Тула, ТулГУ)
ОПТИМАЛЬНОЕ ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ ПОЗИЦИОНИРОВАНИЕ ДВИГАТЕЛЯ ПОСТОЯННОГО ТОКА (СИСТЕМА ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА)
Получен оптимальный по быстродействию закон управления двигателем постоянного тока с обмоткой независимого возбуждения, математическая модель которого учитывает демпфирование, связанное с вращением якоря. Закон представлен в аналитическом виде, что позволяет использовать его непосредственно, не прибегая к дополнительным вычислениям.
Ключевые слова: двигатель постоянного тока, задача позиционирования, оптимальное быстродействие, релейное управление, поверхность переключения, обращенное время.
Введение. Задача управления двигателем постоянного тока (ДПТ) является одной из распространенных в теории электропривода. В большинстве случаев применяется наиболее простое управление по якорной обмотке в предположении постоянства магнитного потока. Такой подход вполне обоснован для двигателей с независимой обмоткой возбуждения (ДПТ НВ), в которых можно обеспечить постоянный ток цепи статора, а также для двигателей небольшой мощности с постоянными магнитами (ДПТ ПМ).
Известные оптимальные по быстродействию законы управления ДПТ НВ (ДПТ ПМ) получены либо для простейшей модели второго порядка [1] при пренебрежении электромагнитной постоянной времени цепи якоря, либо третьего, в которой ее вклад учитывается приближенно методом малого параметра [4].
Постановка задачи. В данной работе ставится задача аналитического определения закона оптимального по быстродействию управления ДПТ НВ (ДПТ ПМ), математическая модель которого учитывает демпфирование, связанное с вращением якоря, и имеет следующий вид [6]:
dt
d^mm + в т = м - м С1)
Ja—m + Bm®m = Me ~Mr> dt
т dia , r i , e _ и a ла'а еа u max >
dt
где Me = kmia, ea = ke®m , Umax = ua ~ Ubr; t - время, с; фт - угол поворота вала двигателя, рад; - угловая скорость вала, рад/с; ia - ток в цепи якоря, A; ua - напряжение на обмотке якоря, В; ea - противоЭДС, наведен-
134
ная в обмотке якоря при его движении, В; Ubr - общее падение напряжения в узле "щетки - коммутатор" (для ДПТ HB), В; La - коэффициент самоиндукции обмотки якоря, Гн; Ra - активное сопротивление обмотки якоря, Ом; Bm - коэффициент демпфирования двигателя, связанный с вращением якоря, Н-м-с/рад; Ja- момент инерции вращающихся частей, при-
2 2
веденный к валу двигателя, кг-м /с ; Mr - момент сопротивления, приведенный к валу двигателя, Н-м; Me - вращающий электромагнитный момент двигателя, Н-м; ke = km = стФ - электромагнитный коэффициент, Вб; ст - конструктивная постоянная ДПТ, не зависящая от режима его работы, шт.; Ф - магнитный поток через один полюс в воздушном зазоре, Вб/шт.
Решение задачи управления. Метод фазового пространства. Для
решения задачи оптимального по быстродействию управления ДПТ HB (ДПТ ПМ) будем использовать метод фазового пространства, предложенный A.A. Фельдбаумом [5]. Согласно этому методу, в каждый момент времени t состояние объекта характеризуется вектором X. В результате приложения управляющего воздействия u = ± Umax происходит движение
объекта из начального положения X0 по некоторой траектории в фазовом пространстве. В момент времени t = T изображающая точка достигает заданного положения X.
Полагая Mr
0, запишем (1) в векторно-матричной форме: X = AX + Bu,
а коэффициенты
(2)
f 0 a12 0 1 f 0 ^
где X = ®m , A = 0 -a22 a23 , B = 0
l la V 0 -a32 _ a33,, V b3 ,
B,
к
к
I m т e
12 , a22 =~Г~, a23 , a32 = ~, a33 =
R
a
J,
a
J
a
L
a
L
b3 = —.
a
L
a
Можно показать, что объект (2) обладает свойством полной управляемости по Калману. Кроме того, будем считать, что он является объектом управления с полной информацией, у которого все составляющие вектора состояния доступны непосредственному измерению.
Все дальнейшие действия удобнее производить не в фазовом пространстве для вектора X, а в фазовом пространстве для погрешности
Е = X - X, причем в "обращенном" времени т = Т - ?, где X - вектор заданных координат, Т - оптимальное время. Очевидно, по окончании
переходного процесса Е ^ 0, а изображающая точка переходит из начала координат в исходное положение Хо.
Для единообразия последующих записей, следуя Фельдбауму [5], заменим Е на X, под которым будем понимать вектор погрешности.
Переход в новый базис. Определить оптимальный закон для
объекта (2) в базисе {А, Б} трудно, поэтому перейдем в базис |А, В|,
имеющий более простой вид.
Для начала вычислим собственные числа матрицы А:
=-(а22 + а33 "1^/2, ^2 =~(а22 + а33 + 1^/2, = 0, (3)
где ц = «22 - а33 ) - 4а23а32 .
Собственным числам (3) соответствуют собственные вектора
/ \ / л
VI
1
^1а23 (Л2 + а33 )
V 2
1 * 2
^ 2а231 (^1 + а33 )
Г1 ^
, ^3 = 0
V 0 .
(4)
Вектора записаны с учетом легко проверяемого равенства, имеющего вид 2 = «22«33 + «23«32 .
Так как бег (Р) Ф 0, где Р = (V2: Vз) - матрица, составленная из
собственных векторов, то существует преобразование подобия, приводящее матрицу А к диагональному виду [2]
А = diag (А,ь X 2, ) = Р_1АР. (5)
Тогда, вводя вектор состояния
Ъ = Р 1Х =
0 ц 1 (^1 + «33 ) ц 1«23
0 -Ц \21 2 + а33 ) ^21а23
-и -1
21<а33
21а23
X,
(6)
перепишем (2) в новом базисе |А, Б|:
Ъ = Аъ + Б и,
где А = А, Б = Р_1Б = л)"
Коэффициент
(7)
ц •
а23Ь3
а22а33 + а23а32
л • 1л • 1 1
А2 а23131
(8)
Определение линии переключения у/Рассмотрим движение изображающей точки в "обращенном времени" на первом интервале.
Учитывая, что Z'T = -Z't, запишем (7) в "обращенном" времени:
dzi
d I
dz'
2
d I
dz3 d I
-^izi -ц ,
= -^2Z2 + M- , = -цы.
(9)
Так как в момент т = 0 объект находится в начале координат, то начальные условия имеют следующий вид:
z1(1)(0) = 0, z 21)(0) = 0,
z31)(0) = 0,
(10)
где (1) обозначает порядковый номер интервала движения изображающей точки в "обращенном" времени.
Решением системы (9) при условиях (10) является
X0)
z|1) = РТ1цК[1Х2
z21) = 21
z® =-Лты(0),
-1 e~X 21 -1
ых
ы
(0)
(11)
Х0)
где - закон управления при нахождении изображающей точки в
начале координат.
Выразим из последнего уравнения системы (11) время т :
-1
т = -л"^31)
ы
(0)
(12)
-sign I z31)ы(0)
(13)
Взяв sign(...) от обеих частей равенства (12), получим
sign (т)
Очевидно также, что "обращенное" время т изменяется так же, как и "прямое" t: от 0 до T - и всегда является неотрицательной величиной.
Таким образом, для выполнения условия т> 0 при любых допустимых значениях z31) и ы(0) из (13) следует, что
ы (°) = -
(1)
(14)
при этом Umax = ua ~ Ubr .
Подставляя (12) и (13) в первое и второе уравнения системы (11), получим уравнения траектории движения изображающей точки на первом интервале
^ (z31) ) =
до/ z (i)
"Л %Umax
Д1)
-1
Д1)
-1
"Л 1^2Umax "(1)
(15)
Umax slgn (z3
(1)
Для определения линии переключения первого интервала \\f
(1)
можно использовать любое из равенств (15). Воспользовавшись вторым, получим
V(1)(-2,-3) = 22 е-^^™^3 -1 (23). (16)
При записи (16) опущены индексы номера интервала (1). Это объясняется тем, что изображающая точка движется по линии переключения,
(1) (1)
то есть их координаты совпадают: ¿2 = -2 и 23' = 23.
Определение поверхности переключения у/Для восстановления всей траектории движения изображающей точки в фазовом пространстве будем использовать метод припасовывания, согласно которому начало траектории последующего интервала является концом траектории предыдущего.
Начальные условия на втором интервале получаются из (11) с помощью замены т^-^, где 11 - длительность первого интервала "обращенного" времени, и имеют вид
(2) -1 Л -1л
z1 -ц Л^1 ^ 2
u
(0)
(2) -1л л-1
z32) =-Лт1 u(0).
2 Х1
-1
u
(0)
(17)
Решением (9) при начальных условиях (17) является система
'z{2) = 2(1) -u(0)) + e"*^ )и(0) -u(1)
(1) _u(0)U e"Х2)u(0) -u
(2) -1л л-1
z2 2
u 7 - u
(2) z3 =-Л
xu(1) + т1 u(0)
В соответствии с теоремой об и-интервалах [3] знак управляющего воздействия на втором интервале должен быть противоположен знаку на
первом, то есть и(1) =-и(0).
Тогда (18) примет вид
u
(1)
u
(1)
(19)
z{2) = -ц"1Л ^2 е(Т+Т1) - 2е+1
z22) = W21 Ге) - 2е2* + Г
z32) =-Л[т-Т1 ]u(1),
где u(1) = Umaxsign(у(1)) .
Так как изображающая точка на втором интервале движется по поверхности переключения у(2), то ее можно определить, исключив времена I и Т1 из системы (19).
Выразим из последнего уравнения (19) время i1:
, -1 (2) Т1 = т + л ¿3
u
(1)
1
Подставив (20) во второе уравнение (19), получим
z22) 21
-А,2 (2x+^_1z32)
/1)
-1
- 2е 2 т+1
u
(1)
(20)
(21)
Для упрощения последующих преобразований введем новые пере-
менные
а = е
-Л"1^ 2 z32)
Д1)
-1
, р = е 1, у = 1 -цл"1 ^Г1^ 2 ¿22)
u
(1)'
-1
(22)
с учетом которых выражение (21) перепишем в виде
а(32 -2р + у = 0. (23)
Из (22) следует, что Р> 0, поэтому решением (23) является
Р = а-1 (1 + 71 -ау). (24)
Подставляя в (24) значения а и Р из (22), логарифмируя и
упрощая, определим время т :
т = -\~2 ln(1 + 41 -ay)- л"1 z32)
u
(1)'
-1
(25)
Тогда время Т1 из (20)
Х1 (1 + V1 -ау|.
(26)
Наконец, зная значения т и Т1, из первого уравнения системы (19) получим искомую поверхность переключения второго интервала
V(2) (,z2,23) = - gl [g2g3 (g2 - 2) +1], где введены коэффициенты
(27)
g1 = 1л^11
g 2 =(1 + >11 -ау) 1
Ац^ 21
(28)
Л
-ь
g3 = е
У(1))
В (27) так же, как и при записи (16), опущены индексы номера интервала.
Переход в старый базис. Производя замену координат Ъ ^ X согласно (6), из (16), (27) и (28) с учетом (3), (8) и (22) после несложных
преобразований можно получить поверхность переключения у(2) для исходного объекта (2)
у(2) (ХЬ*2,Х3 ) = ^1^2 + ^2Х3 + А3 [/1/2 (/1 - 2) +1]sign (у(1))
у(1) ( ХЬ Х2, Х3 ) = А9 Х2 + Аю Х3 + А1 у(0) ( ХЬ Х2, Х3 ) = А12 Х1 + А13 Х2 + А14 Х3,
где функции /1, /2, /3 определены как
(0)
(29)
/1 ( Х1, Х2, Х3 )= 1- /2° 1 + ( А4 Х2 + А5 Х3 ) sign (у(1) |
Л/с
(1)
/2 (Х1, x2, Х3 ) = ехР ( А6 Х1 + А7 Х2 +
/3 (Х1, x2, Х3 ) = ехр ( А15Х1 + А16Х2 + А17Х3 )^п (^(0) ) Коэффициенты в (29), (30)
A
A3
a22 ~ a33 a22 + a33 - '
4a23b3Umax
a22 +a33
A =-
2a
23
An =
л( a22 + a33 M-)Umax 2a33
л( a22 + a33 +
тах
A _ (a33 ~ a22
A
11
A\i =
^(a22 + a33 _ 4a23b3Umax ц(а22 + a33 _ Ла33
A2 — A4 —
A — A8 -
A10 -
2a
23
a22 + a33 -ц)' (a33 -a22
л(a22 + a33 (a22 + a33
тах
2 Л Umax 2a23
тах
л( a22 + a33 2a23
^(a22 + a33
A
(31)
12
A
13 a23b3 '
(a22 + a33 +
A14 -
Л
15
A
17
2Л Umax (a22 + a33 + 2b3Umax
A
16
V(a22 -a33 )2 -4a23a32 :
С :
Л
a33 (a22 + a33 2 a23b3U max (a22 + a33 (a22 + a33 ' a23b3
Оптимальный по быстродействию запишется в виде
u = u(2) -"opt ~u ~
a22a33 + a23a32 закон управления объектом (7)
(2)
(32)
Так как в (29)-(32) Х1, Х2, Х3 являются координатами вектора погрешности Е, то для получения закона позиционирования ДПТ НВ (ДПТ ПМ) необходимо выполнить замену
X ^ X - X*, (33)
где X = (€ € Х3 )Т и Х*=|Х* 0 01 - текущее и требуемое положение объекта (2) соответственно.
Используя (6), из (33) можно получить вектор требуемого положения для объекта (7) в базисе |л, В|
P _1X*
i \ 0
0
v x1 J
Выводы. Полученный в работе закон управления является оптимальным по быстродействию и представлен в аналитическом виде. Он позволяет осуществлять высокоточное позиционирование ДПТ НВ (ДПТ ПМ), чья математическая модель учитывает демпфирование, связанное с вращением якоря.
Список литературы
1. Иванов В. А., Фалдин Н. В. Теория оптимальных систем автоматического управления. М.: Наука, 1981. 336 с.
2. Мирошник И. В. Теория автоматического управления. Линейные системы. СПб.: Питер, 2005. 336 с.
3. Павлов А. А. Синтез релейных систем, оптимальных по быстродействию. Метод фазового пространства. М.: Наука, 1966. 392 с.
4. Пупков К. А., Фалдин Н. В., Егупов Н. Д. Методы синтеза оптимальных систем автоматического управления. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. 502 с.
5. Фельдбаум А. А. Основы теории оптимальных автоматических систем. М.: Наука, 1966. 624 с.
6. Krishnan R. Electric Motor Drives: Modeling, Analysis and Control. Prentice Hall, Inc., 2001. 626 p.
D.V. Kozlov
THE TIME-OPTIMAL POSITIONING OF DC MOTOR (A 3rd-ORDER SYSTEM)
The problem of synthesis a time-optimal control law for positioning DC motor with separate excitation winding is solved. Its mathematical model has a third order and takes into account the damping associated with armature's rotation. The law is presented in analytical form and can be used directly without additional calculations.
Key words: DC motor, positioning problem, time optimality, relay control, switching surface, reversed time.
Получено 03.10.11
