Научная статья на тему 'Оптимальное по быстродействию позиционирование двигателя постоянного тока (система третьего порядка)'

Оптимальное по быстродействию позиционирование двигателя постоянного тока (система третьего порядка) Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

CC BY
421
48
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ДВИГАТЕЛЬ ПОСТОЯННОГО ТОКА / ЗАДАЧА ПОЗИЦИОНИРОВАНИЯ / ОПТИМАЛЬНОЕ БЫСТРОДЕЙСТВИЕ / РЕЛЕЙНОЕ УПРАВЛЕНИЕ / ПОВЕРХНОСТЬ ПЕРЕКЛЮЧЕНИЯ / ОБРАЩЕННОЕ ВРЕМЯ

Аннотация научной статьи по электротехнике, электронной технике, информационным технологиям, автор научной работы — Козлов Д. В.

Получен оптимальный по быстродействию закон управления двигателем постоянного тока с обмоткой независимого возбуждения, математическая модель которого учитывает демпфирование, связанное с вращением якоря. Закон представлен в аналитическом виде, что позволяет использовать его непосредственно, не прибегая к дополнительным вычислениям.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

THE TIME - OPTIMAL POSITIONING OF DC MOTOR (A 3 rd-ORDER SYSTEM)

The problem of synthesis a time optimal control law for positioning DC motor with separate excitation winding is solved. Its mathematical model has a third order and takes into account the damping associated with armatwe's rotation. The law is presented in analytical form and can be rned directly without additional calrnlations.

Текст научной работы на тему «Оптимальное по быстродействию позиционирование двигателя постоянного тока (система третьего порядка)»

УДК 681.513.52

Д.В. Козлов, инж., +7-910-162-08-70, MrKozlovDV@rambler.ru

(Россия, Тула, ТулГУ)

ОПТИМАЛЬНОЕ ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ ПОЗИЦИОНИРОВАНИЕ ДВИГАТЕЛЯ ПОСТОЯННОГО ТОКА (СИСТЕМА ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА)

Получен оптимальный по быстродействию закон управления двигателем постоянного тока с обмоткой независимого возбуждения, математическая модель которого учитывает демпфирование, связанное с вращением якоря. Закон представлен в аналитическом виде, что позволяет использовать его непосредственно, не прибегая к дополнительным вычислениям.

Ключевые слова: двигатель постоянного тока, задача позиционирования, оптимальное быстродействие, релейное управление, поверхность переключения, обращенное время.

Введение. Задача управления двигателем постоянного тока (ДПТ) является одной из распространенных в теории электропривода. В большинстве случаев применяется наиболее простое управление по якорной обмотке в предположении постоянства магнитного потока. Такой подход вполне обоснован для двигателей с независимой обмоткой возбуждения (ДПТ НВ), в которых можно обеспечить постоянный ток цепи статора, а также для двигателей небольшой мощности с постоянными магнитами (ДПТ ПМ).

Известные оптимальные по быстродействию законы управления ДПТ НВ (ДПТ ПМ) получены либо для простейшей модели второго порядка [1] при пренебрежении электромагнитной постоянной времени цепи якоря, либо третьего, в которой ее вклад учитывается приближенно методом малого параметра [4].

Постановка задачи. В данной работе ставится задача аналитического определения закона оптимального по быстродействию управления ДПТ НВ (ДПТ ПМ), математическая модель которого учитывает демпфирование, связанное с вращением якоря, и имеет следующий вид [6]:

dt

d^mm + в т = м - м С1)

Ja—m + Bm®m = Me ~Mr> dt

т dia , r i , e _ и a ла'а еа u max >

dt

где Me = kmia, ea = ke®m , Umax = ua ~ Ubr; t - время, с; фт - угол поворота вала двигателя, рад; - угловая скорость вала, рад/с; ia - ток в цепи якоря, A; ua - напряжение на обмотке якоря, В; ea - противоЭДС, наведен-

134

ная в обмотке якоря при его движении, В; Ubr - общее падение напряжения в узле "щетки - коммутатор" (для ДПТ HB), В; La - коэффициент самоиндукции обмотки якоря, Гн; Ra - активное сопротивление обмотки якоря, Ом; Bm - коэффициент демпфирования двигателя, связанный с вращением якоря, Н-м-с/рад; Ja- момент инерции вращающихся частей, при-

2 2

веденный к валу двигателя, кг-м /с ; Mr - момент сопротивления, приведенный к валу двигателя, Н-м; Me - вращающий электромагнитный момент двигателя, Н-м; ke = km = стФ - электромагнитный коэффициент, Вб; ст - конструктивная постоянная ДПТ, не зависящая от режима его работы, шт.; Ф - магнитный поток через один полюс в воздушном зазоре, Вб/шт.

Решение задачи управления. Метод фазового пространства. Для

решения задачи оптимального по быстродействию управления ДПТ HB (ДПТ ПМ) будем использовать метод фазового пространства, предложенный A.A. Фельдбаумом [5]. Согласно этому методу, в каждый момент времени t состояние объекта характеризуется вектором X. В результате приложения управляющего воздействия u = ± Umax происходит движение

объекта из начального положения X0 по некоторой траектории в фазовом пространстве. В момент времени t = T изображающая точка достигает заданного положения X.

Полагая Mr

0, запишем (1) в векторно-матричной форме: X = AX + Bu,

а коэффициенты

(2)

f 0 a12 0 1 f 0 ^

где X = ®m , A = 0 -a22 a23 , B = 0

l la V 0 -a32 _ a33,, V b3 ,

B,

к

к

I m т e

12 , a22 =~Г~, a23 , a32 = ~, a33 =

R

a

J,

a

J

a

L

a

L

b3 = —.

a

L

a

Можно показать, что объект (2) обладает свойством полной управляемости по Калману. Кроме того, будем считать, что он является объектом управления с полной информацией, у которого все составляющие вектора состояния доступны непосредственному измерению.

Все дальнейшие действия удобнее производить не в фазовом пространстве для вектора X, а в фазовом пространстве для погрешности

Е = X - X, причем в "обращенном" времени т = Т - ?, где X - вектор заданных координат, Т - оптимальное время. Очевидно, по окончании

переходного процесса Е ^ 0, а изображающая точка переходит из начала координат в исходное положение Хо.

Для единообразия последующих записей, следуя Фельдбауму [5], заменим Е на X, под которым будем понимать вектор погрешности.

Переход в новый базис. Определить оптимальный закон для

объекта (2) в базисе {А, Б} трудно, поэтому перейдем в базис |А, В|,

имеющий более простой вид.

Для начала вычислим собственные числа матрицы А:

=-(а22 + а33 "1^/2, ^2 =~(а22 + а33 + 1^/2, = 0, (3)

где ц = «22 - а33 ) - 4а23а32 .

Собственным числам (3) соответствуют собственные вектора

/ \ / л

VI

1

^1а23 (Л2 + а33 )

V 2

1 * 2

^ 2а231 (^1 + а33 )

Г1 ^

, ^3 = 0

V 0 .

(4)

Вектора записаны с учетом легко проверяемого равенства, имеющего вид 2 = «22«33 + «23«32 .

Так как бег (Р) Ф 0, где Р = (V2: Vз) - матрица, составленная из

собственных векторов, то существует преобразование подобия, приводящее матрицу А к диагональному виду [2]

А = diag (А,ь X 2, ) = Р_1АР. (5)

Тогда, вводя вектор состояния

Ъ = Р 1Х =

0 ц 1 (^1 + «33 ) ц 1«23

0 -Ц \21 2 + а33 ) ^21а23

-и -1

21<а33

21а23

X,

(6)

перепишем (2) в новом базисе |А, Б|:

Ъ = Аъ + Б и,

где А = А, Б = Р_1Б = л)"

Коэффициент

(7)

ц •

а23Ь3

а22а33 + а23а32

л • 1л • 1 1

А2 а23131

(8)

Определение линии переключения у/Рассмотрим движение изображающей точки в "обращенном времени" на первом интервале.

Учитывая, что Z'T = -Z't, запишем (7) в "обращенном" времени:

dzi

d I

dz'

2

d I

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

dz3 d I

-^izi -ц ,

= -^2Z2 + M- , = -цы.

(9)

Так как в момент т = 0 объект находится в начале координат, то начальные условия имеют следующий вид:

z1(1)(0) = 0, z 21)(0) = 0,

z31)(0) = 0,

(10)

где (1) обозначает порядковый номер интервала движения изображающей точки в "обращенном" времени.

Решением системы (9) при условиях (10) является

X0)

z|1) = РТ1цК[1Х2

z21) = 21

z® =-Лты(0),

-1 e~X 21 -1

ых

ы

(0)

(11)

Х0)

где - закон управления при нахождении изображающей точки в

начале координат.

Выразим из последнего уравнения системы (11) время т :

-1

т = -л"^31)

ы

(0)

(12)

-sign I z31)ы(0)

(13)

Взяв sign(...) от обеих частей равенства (12), получим

sign (т)

Очевидно также, что "обращенное" время т изменяется так же, как и "прямое" t: от 0 до T - и всегда является неотрицательной величиной.

Таким образом, для выполнения условия т> 0 при любых допустимых значениях z31) и ы(0) из (13) следует, что

ы (°) = -

(1)

(14)

при этом Umax = ua ~ Ubr .

Подставляя (12) и (13) в первое и второе уравнения системы (11), получим уравнения траектории движения изображающей точки на первом интервале

^ (z31) ) =

до/ z (i)

"Л %Umax

Д1)

-1

Д1)

-1

"Л 1^2Umax "(1)

(15)

Umax slgn (z3

(1)

Для определения линии переключения первого интервала \\f

(1)

можно использовать любое из равенств (15). Воспользовавшись вторым, получим

V(1)(-2,-3) = 22 е-^^™^3 -1 (23). (16)

При записи (16) опущены индексы номера интервала (1). Это объясняется тем, что изображающая точка движется по линии переключения,

(1) (1)

то есть их координаты совпадают: ¿2 = -2 и 23' = 23.

Определение поверхности переключения у/Для восстановления всей траектории движения изображающей точки в фазовом пространстве будем использовать метод припасовывания, согласно которому начало траектории последующего интервала является концом траектории предыдущего.

Начальные условия на втором интервале получаются из (11) с помощью замены т^-^, где 11 - длительность первого интервала "обращенного" времени, и имеют вид

(2) -1 Л -1л

z1 -ц Л^1 ^ 2

u

(0)

(2) -1л л-1

z32) =-Лт1 u(0).

2 Х1

-1

u

(0)

(17)

Решением (9) при начальных условиях (17) является система

'z{2) = 2(1) -u(0)) + e"*^ )и(0) -u(1)

(1) _u(0)U e"Х2)u(0) -u

(2) -1л л-1

z2 2

u 7 - u

(2) z3 =-Л

xu(1) + т1 u(0)

В соответствии с теоремой об и-интервалах [3] знак управляющего воздействия на втором интервале должен быть противоположен знаку на

первом, то есть и(1) =-и(0).

Тогда (18) примет вид

u

(1)

u

(1)

(19)

z{2) = -ц"1Л ^2 е(Т+Т1) - 2е+1

z22) = W21 Ге) - 2е2* + Г

z32) =-Л[т-Т1 ]u(1),

где u(1) = Umaxsign(у(1)) .

Так как изображающая точка на втором интервале движется по поверхности переключения у(2), то ее можно определить, исключив времена I и Т1 из системы (19).

Выразим из последнего уравнения (19) время i1:

, -1 (2) Т1 = т + л ¿3

u

(1)

1

Подставив (20) во второе уравнение (19), получим

z22) 21

-А,2 (2x+^_1z32)

/1)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

-1

- 2е 2 т+1

u

(1)

(20)

(21)

Для упрощения последующих преобразований введем новые пере-

менные

а = е

-Л"1^ 2 z32)

Д1)

-1

, р = е 1, у = 1 -цл"1 ^Г1^ 2 ¿22)

u

(1)'

-1

(22)

с учетом которых выражение (21) перепишем в виде

а(32 -2р + у = 0. (23)

Из (22) следует, что Р> 0, поэтому решением (23) является

Р = а-1 (1 + 71 -ау). (24)

Подставляя в (24) значения а и Р из (22), логарифмируя и

упрощая, определим время т :

т = -\~2 ln(1 + 41 -ay)- л"1 z32)

u

(1)'

-1

(25)

Тогда время Т1 из (20)

Х1 (1 + V1 -ау|.

(26)

Наконец, зная значения т и Т1, из первого уравнения системы (19) получим искомую поверхность переключения второго интервала

V(2) (,z2,23) = - gl [g2g3 (g2 - 2) +1], где введены коэффициенты

(27)

g1 = 1л^11

g 2 =(1 + >11 -ау) 1

Ац^ 21

(28)

Л

g3 = е

У(1))

В (27) так же, как и при записи (16), опущены индексы номера интервала.

Переход в старый базис. Производя замену координат Ъ ^ X согласно (6), из (16), (27) и (28) с учетом (3), (8) и (22) после несложных

преобразований можно получить поверхность переключения у(2) для исходного объекта (2)

у(2) (ХЬ*2,Х3 ) = ^1^2 + ^2Х3 + А3 [/1/2 (/1 - 2) +1]sign (у(1))

у(1) ( ХЬ Х2, Х3 ) = А9 Х2 + Аю Х3 + А1 у(0) ( ХЬ Х2, Х3 ) = А12 Х1 + А13 Х2 + А14 Х3,

где функции /1, /2, /3 определены как

(0)

(29)

/1 ( Х1, Х2, Х3 )= 1- /2° 1 + ( А4 Х2 + А5 Х3 ) sign (у(1) |

Л/с

(1)

/2 (Х1, x2, Х3 ) = ехР ( А6 Х1 + А7 Х2 +

/3 (Х1, x2, Х3 ) = ехр ( А15Х1 + А16Х2 + А17Х3 )^п (^(0) ) Коэффициенты в (29), (30)

A

A3

a22 ~ a33 a22 + a33 - '

4a23b3Umax

a22 +a33

A =-

2a

23

An =

л( a22 + a33 M-)Umax 2a33

л( a22 + a33 +

тах

A _ (a33 ~ a22

A

11

A\i =

^(a22 + a33 _ 4a23b3Umax ц(а22 + a33 _ Ла33

A2 — A4 —

A — A8 -

A10 -

2a

23

a22 + a33 -ц)' (a33 -a22

л(a22 + a33 (a22 + a33

тах

2 Л Umax 2a23

тах

л( a22 + a33 2a23

^(a22 + a33

A

(31)

12

A

13 a23b3 '

(a22 + a33 +

A14 -

Л

15

A

17

2Л Umax (a22 + a33 + 2b3Umax

A

16

V(a22 -a33 )2 -4a23a32 :

С :

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Л

a33 (a22 + a33 2 a23b3U max (a22 + a33 (a22 + a33 ' a23b3

Оптимальный по быстродействию запишется в виде

u = u(2) -"opt ~u ~

a22a33 + a23a32 закон управления объектом (7)

(2)

(32)

Так как в (29)-(32) Х1, Х2, Х3 являются координатами вектора погрешности Е, то для получения закона позиционирования ДПТ НВ (ДПТ ПМ) необходимо выполнить замену

X ^ X - X*, (33)

где X = (€ € Х3 )Т и Х*=|Х* 0 01 - текущее и требуемое положение объекта (2) соответственно.

Используя (6), из (33) можно получить вектор требуемого положения для объекта (7) в базисе |л, В|

P _1X*

i \ 0

0

v x1 J

Выводы. Полученный в работе закон управления является оптимальным по быстродействию и представлен в аналитическом виде. Он позволяет осуществлять высокоточное позиционирование ДПТ НВ (ДПТ ПМ), чья математическая модель учитывает демпфирование, связанное с вращением якоря.

Список литературы

1. Иванов В. А., Фалдин Н. В. Теория оптимальных систем автоматического управления. М.: Наука, 1981. 336 с.

2. Мирошник И. В. Теория автоматического управления. Линейные системы. СПб.: Питер, 2005. 336 с.

3. Павлов А. А. Синтез релейных систем, оптимальных по быстродействию. Метод фазового пространства. М.: Наука, 1966. 392 с.

4. Пупков К. А., Фалдин Н. В., Егупов Н. Д. Методы синтеза оптимальных систем автоматического управления. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. 502 с.

5. Фельдбаум А. А. Основы теории оптимальных автоматических систем. М.: Наука, 1966. 624 с.

6. Krishnan R. Electric Motor Drives: Modeling, Analysis and Control. Prentice Hall, Inc., 2001. 626 p.

D.V. Kozlov

THE TIME-OPTIMAL POSITIONING OF DC MOTOR (A 3rd-ORDER SYSTEM)

The problem of synthesis a time-optimal control law for positioning DC motor with separate excitation winding is solved. Its mathematical model has a third order and takes into account the damping associated with armature's rotation. The law is presented in analytical form and can be used directly without additional calculations.

Key words: DC motor, positioning problem, time optimality, relay control, switching surface, reversed time.

Получено 03.10.11

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.