Вихревые алгоритмы в задаче управления двигателем постоянного тока Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

удк 62-50

ВИХРЕВЫЕ АЛГОРИТМЫ В ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ ДВИГАТЕЛЕМ ПОСТОЯННОГО ТОКА1

С.А. Кочетков, В.А. Уткин

Для электромеханических объектов разработаны новые вихревые алгоритмы (англ. vortex algorithms) управления в классе разрывных функций. Отмечено, что отличительная особенность этих алгоритмов состоит в обеспечении инвариантности в асимптотике выходных переменных объекта управления к несогласованным (не принадлежащим пространству управлений), недоступным для измерения возмущениям. Вихревые алгоритмы применены в задаче слежения за заданным угловым положением ротора двигателя постоянного тока с неизвестным моментом нагрузки.

Ключевые слова: двигатель постоянного тока, внешнее возмущение, инвариантность, асимптотика, наблюдатель состояния, вибролинеаризация.

введение

Теория релейных систем [1] широко применяется для синтеза систем управления электроприводами различного типа [1—5]. Тот факт, что современные электроприводы управляются инверторами напряжения, имеющими заведомо ключевую природу функционирования, делает естественным применение теории релейных систем управления для данного класса объектов. В частности, применение теории систем с разрывными управлениями, функционирующих в скользящем режиме [6], обеспечивает декомпозицию общего движения замкнутой системы на временные этапы:

— этап попадания на многообразие скольжения (быстрые движения);

— движение вдоль этого многообразия (медленные движения),

а также инвариантность медленных движений к параметрическим неопределенностям и внешним возмущениям, действующим по каналам управления.

Отметим, что непосредственное использование разрывных управлений не обеспечивает инвариантность к несогласованным (не принадлежащим пространству управления) внешним и параметри-

1 Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (гранты № 12-08-13105-офи-м-ржд, 14-01-31190-мол-а).

ческим возмущениям. Один из способов обеспечения инвариантности выходных переменных в системах с несогласованными возмущениями заключается в использовании в обратной связи оценок возмущений, полученных с помощью наблюдателей на скользящих режимах [7, 8]. Однако благодаря низкочастотным фильтрам в таких наблюдателях в замкнутой системе управления возникают малые динамики, что приводит к снижению частоты переключений релейных элементов и, следовательно, к ошибкам регулирования.

В данной работе предложено альтернативное решение проблемы обеспечения инвариантности в асимптотике выходных переменных при действии на систему несогласованных возмущений широкого класса. Преимущества разработанного подхода продемонстрированы в задачах управления и наблюдения простейшей электромеханической системой — электроприводом постоянного тока.

Работа имеет следующую структуру. В § 1 представлен новый способ синтеза обратной связи на

основе вихревых алгоритмов, обеспечивающей инвариантность выходных переменных к несогласованным возмущениям. В § 2 описана модель и формализована постановка задачи управления

2 Название «вихревые...» объясняется тем, что изображающая точка системы описывает вращательные затухающие во времени колебания, график которых напоминает воронку.

двигателем постоянного тока (ДПТ) с неизвестным моментом нагрузки. В § 3 на основе вихревых алгоритмов решаются проблемы синтеза закона управления и наблюдателя состояния. В § 4 приведены результаты моделирования разработанной системы управления ДПТ, демонстрирующие эффективность представленного способа синтеза инвариантной системы слежения.

1. основной результат

Рассмотрим каноническую систему второго порядка при воздействии внешних несогласованных возмущений вида

У1 = У2 + f(t), У2 = u + f2(t),

(1)

где y1, y2 — измеряемые фазовые переменные, y1 — выходная, регулируемая переменная, u — управление, f1(t), f2(t) — внешние возмущения, которые полагаются неизвестными ограниченными функциями времени с ограниченными производными: |f1(t)| < F1 = const > 0, |f2(t)| < F2 = const > 0,

|f (t)| < F1 = const > 0, |f2 (t)| < F1 = const > 0,

|f (t)| < F2 = const > 0, |f (t)| < F1 = const > 0.

Ставится задача синтеза обратной связи, обеспечивающей асимптотическую стабилизацию выходной переменной системы (1):

lim|y1(t)| = 0.

t — с

Для решения данной задачи выполним пошаговую процедуру синтеза обратной связи в соответствии с методологией блочного подхода [9].

Шаг 1. С помощью смешанной замены переменных У2 = y2 + f1(t) приведем систему (1) к каноническому виду

y 1 = У2 , У2 = u + f (t) + f2(t). (2)

Шаг 2. Сформируем вихревой закон управления по известным фазовым переменным системы (1) в виде

u = — вУ1 — ay2 — Msign(y1), M = const > 0,

а, в = const > 0. (3)

Подставив выражение (3) в уравнения (2), получим

У1 = У 2, У2 = -вУ1 - а У 2 - Msign(y1) + S(t),(4) где $(t) = a/1(t) + f (t) + f2(t).

С учетом ограничений на внешние возмущения получим оценки неопределенной составляющей и ее производной:

Ш < Е, 11 (t)| < Е;

(5)

где Е = aF1 + F2 + F1, Е = aF1 + F2 + F1.

Сформулируем основной результат работы в виде теоремы.

Теорема 1. Пусть в замкнутой системе (4) выполнены условия:

1) переменная ^(t) удовлетворяет ограничениям (5);

2) параметры a, M алгоритма управления (3) выбраны согласно неравенствам

M > Е, a(M - Е) > 2 Е .

Тогда замкнутая система (4) экспоненциально устойчива. ♦

Доказательство теоремы 1 приведено в Приложении.

Замечание. В рамках классического подхода [6] организация скользящего режима на поверхности s = су1 + У2, c = const > 0 с помощью разрывного управления u = —Msign(s), M = const > 0 приводит к движению по многообразию s = 0, описываемому уравнением У1 = —су1 + f1(t). Как видим, инвариантность выходной переменной У1 системы (1) к несогласованному возмущению f1(t) не обеспечивается. ♦

Далее алгоритмы вида (3) применяются в задачах управления ДПТ.

2. постановка задачи управления двигателем постоянного тока

Рассмотрим математическую модель ДПТ с постоянным возбуждением вида [5]

Х 1 = %2, 5с2 = a21[x3x4 " - mL(t)],

= a32(u

Х2Х4

a3153),

Х 4 = 0,

(6)

где х1 — угол поворота вала двигателя, рад, х2 — угловая скорость, рад/с, х3 — ток якоря, А, х4 — магнитный поток, Вб, и — напряжение на якоре, В, тх(?) — переменный момент нагрузки, Н-м, который трактуется как внешнее несогласованное возмущение, а21 — величина, обратная моменту

инерции двигателя, 1/(кг-м ), а31 — сопротивление обмотки якоря, Ом, а32 — величина, обратная значению индуктивности якоря, 1/Гн, Ме = х3х4 — электрический момент, Н-м.

3

При синтезе систем управления электроприводами, как правило, предполагается, что момент нагрузки является выходом динамической модели (генератора возмущений)

qxq

IV = Ww, шь = А №, м> е Я№ е Я

АТ е Яи",

т

с известными матрицами А и неизвестными начальными условиями.

Такой подход позволяет описывать различные возмущения, встречающиеся на практике. Например, при № = О, где О — нулевая матрица, момент нагрузки постоянный и неизвестный. При соответствующем выборе модели возмущений можно сгенерировать гармонический сигнал заданной частоты и др. Непрактичность такого подхода обусловлена тем, что в процессе функционирования реальный момент нагрузки может не соответствовать принятой модели.

В данной работе предполагается, что момент нагрузки является неизвестной ограниченной функцией времени и механических координат х1, х2 с ограниченной полной производной. Введение зависимости момента нагрузки от координат позволяет расширить класс допустимых возмущений и учитывать, например, вентиляторную нагрузку, вязкое трение и др. [5].

Далее предполагается выполнение условий:

1) на переменные системы (6) наложены естественные физические ограничения |х2| < Х2, |х3| < Х3, |х4| < Х4, |и| < и;

2) класс функций, описывающих момент нагрузки, удовлетворяет неравенствам

х1, х2) < М1Х, | ть (?, х1, х2)| < М2Х, | тьь(*, х1, Х2)| где константы Ы}Ь > 0, / = 1, 2, 3, известны;

3) из последних неравенств имеем ограничения на производные вектора состояния

| х 11 < Х2, | х21 < Х2 = а21(Х3Х4 + М1Х), х 3 < Х3 = а32(и + Х2Х4 + а31Х3).

В качестве цели управления рассматривается одна из основных задач управления ДПТ: отработка заданного сигнала х1г(?) по углу поворота вала двигателя:

Предполагается, что заданный сигнал х^Д?) описывается гладкой ограниченной функцией времени, производные которой до четвертого порядка существуют и ограничены.

Для решения поставленной задачи слежения (7) в § 3 описана пошаговая процедура синтеза обратной связи в рамках блочного подхода [9], который заключается в последовательном решении элементарных задач стабилизации невязок между фактическими и выбранными значениями фиктивных управлений, в качестве которых рассматриваются фазовые переменные.

3. базовый алгоритм управления на релейных вихревых алгоритмах

Базовый закон управления ДПТ разработан в предположении, что все переменные системы (6) доступны для измерений.

Шаг 1. В первом уравнении системы (6), записанном относительно ошибки слежения (7)

х 1 = х2 — х 1 г, решается элементарная задача выбора стабилизирующей локальной связи. В качестве фиктивного управления принимается фазовая

переменная х2, выбираемая в виде х2 = —к1 х1 +

X 1г, где к1 > 0 — коэффициент обратной связи, обеспечивающий желаемое собственное движение в замкнутой подсистеме

x i + x 2*

(8)

На втором шаге решается задача стабилизация невязки между фактическим х2 и выбранным фиктивным управлением

x 2 + k i x i xx i r ^ 0*

(9)

Шаг 2. С учетом уравнений (6) составим дифференциальное уравнение относительно невязки (9)

x2 a2lx3x4 +

(10)

где ^(t) = a21mL — k1 x1 + k1 x 2 — x 1r *

Шаг 3* Запишем дифференциальное уравнение относительно новой переменной x3 = a21x3x4 + ^(t) с учетом выражений (6), (8) и (9) в предположении, что поток намагничивания постоянен (x4 = = const > 0):

x1 (t) = x^i) - x^l) ^ 0*

(7)

x3 = —a2x2 — a3 x3 + b0u + ^2(i),

(ii)

где bo = a21a32X4, a2 (k1 + a21a32Х4 ), a3 (a31a32

a21a32X2 ) X1 a21a32X2 X 1r - X1 r + a31a32^1(t) + a21 mL .

Выберем управляющее воздействие u1 в виде

b0u = -(La - a3)a21x4x3 - Msign(x2), (12)

где La = const > 0, M = const > 0 — параметры закона управления, выбор которых поясним далее.

Введем обозначение ^(t) = (La - a3)^1(t) + ^2(t). Для данной переменной и ее производной согласно введенным ограничениям на задающее и возмущающее воздействия имеем оценки

I4(t)| < e, 14 (t)| < e,

(13)

где Е, Е — некоторые положительные константы.

В силу теоремы 1 сформулируем результат: при выполнении условий

M > E, L = a,

7 a 7

a(M - E) > 2 E

переменные замкнутой системы (8), (10)—(12) экспоненциально сходятся к нулю независимо от внешнего возмущения.

Отметим, что в замкнутой системе (8), (10)—(12) существует жесткая взаимосвязь между скоростью сходимости невязок и значением параметра а2. Если значение параметра а2 и амплитуды М фиксируются из конструктивных соображений, то скорость сходимости переменных системы существенно ограничивается.

Следующий результат показывает, что скорость сходимости в некоторой области может быть существенно увеличена путем соответствующего выбора параметра а закона управления (12).

Введем обозначение

4(t) = (La - а3)4х(?) + 4,(t)

a, x 2,

(14)

для данной переменной согласно введенным ограничениям можно получить оценки типа (13).

Применительно к поставленной задаче управления ДПТ результаты из работы [10] могут быть сформулированы в следующем виде.

Теорема 2. Пусть в замкнутой системе (8), (10)—(12) выполнены условия:

1) переменная из выражения (14) удовлетворяет ограничениям (13);

2) параметры алгоритма управления (12) выбраны согласно неравенствам Ьа = а, М > Е,

а(М - Е) > Е .

Тогда справедливы утверждения:

1) переменная х1 асимптотически инвариантна

к возмущению ^(t) и lim xx = 0,

t

2) существует конечное время tr такое, что при

t > tr для переменных x2 (t), Х3 (t) замкнутой системы (8), (10)—(12) справедливы оценки

\Х2 (t)| < X,e

-Y( t - tr)

\Хз (t)\ < X3e

4 (t - tr)

где у, Х2, Х3 — некоторые положительные константы. ♦

Закон управления (12) предполагает применение демпфирования в контуре обратной связи путем введения члена —(Ьа — а3)а21х4х3. Отметим, что на практике при решении задач управления электроприводами управляющие воздействия априори имеют ключевую природу. Связано это, прежде всего, с тем, что в таком режиме работы на ключевых инверторах рассеивается наименьшее количества тепла. Использование непрерывного управления весьма затруднительно на практике, особенно для двигателей большой мощности. Возникает проблема реализации разработанного закона управления (12), которая может быть решена двумя способами.

1. Рассеивание энергии, используемое в алгоритме управления (12), может быть реализовано на основе введения добавочного резистора в цепь якоря двигателя. В этом случае часть мощности, необходимой для придания замкнутой системе необходимых динамических свойств, будет рассеиваться на этом добавочном сопротивления. Его сопротивление будет определяться желаемой скоростью сходимости невязок к нулю, которая задается

коэффициентом у (см. теорему 2).

2. Недостаток первого способа заключается в зависимости коэффициента затухания у замкнутой системы от температуры, что приводит к необходимости охлаждения добавочного резистора либо регулировки его сопротивления. В следующей теореме показывается, что диссипацию энергии можно обеспечить благодаря двухуровневому ключевому преобразователю энергии. Для получения диссипативной компоненты применяется метод вибролинеаризации характеристики реле высокочастотным сигналом. Рассмотрим один из вариантов реализации подобного алгоритма управления

Ь0и = —М281§п(х3 + 8(1)) — М^П х 2), (15)

где M1 = const > 0, M2 = const > 0 — параметры двухуровневого ключевого инвертора, 8(t) —вибросигнал вида

5(t) =

^ t, 0 < t < П,

п 2 ю

25 - ^ t, < t < —

-45 + -25Ю t, < t <

2ю 2 ю

< t < 2-П >■ - I-;; 2ю ю

i = 1, p,

где 5 = const > 0 — амплитуда, ю = const > 0 — частота вибросигнала.

Как показано в работах [11—13], при определенном выборе параметров вибросигнала 5(t) действие реле M2sign( x3 + 5(t)) (первой компоненты управляющего воздействия (15)) на замкнутую систему (8), (10), (11), (15) эквивалентно линейной обратной связи (M2/5)x3. Опираясь на результаты теоремы 2, приведем без доказательства следующую теорему.

Теорема 3. Пусть в замкнутой системе (8), (10), (11), (15) выполнены условия:

1) возмущение ^(t) из (14) удовлетворяет ограничениям (13), где в обозначениях (14) принято

La = M/5;

2) параметры алгоритма управления (15) выбраны согласно неравенствам M1 > M2 > Z,

M (M - Z) > Z , 5 > , |£1(t)| < Z„ Z, = const > 0. 5 1 a2,x4 1 1 1

Тогда существуют константы N = const > 0 и ю0 = const > 0 такие, что при ю > ю0 справедливо

неравенство lim |x11 < N/ю. ♦

t ^ ю

Из теоремы 3 следует, что при неограниченном росте частоты вибросигнала ю ^ +<» алгоритм управления (15) позволяет обеспечить асимптотическую инвариантность выходной переменной к внешнему возмущению.

4. синтез наблюдателей на вихревых алгоритмах

Синтез наблюдателя на основе вихревых алгоритмов рассмотрим на примере первого уравнения системы (6) в предположении, что угол х1 и ток якоря х3 доступны измерению, а коэффициенты а21, а31, и32 известны.

Вначале проведем синтез наблюдателя для угловой скорости вращения двигателя х2. Рассмотрим первое уравнение системы (6)

x1 x2.

(16)

Построим наблюдатель переменной x2 в виде

z 11 = «12, Z 12 = —«1^12 + ^sign^)* (17)

В силу выражений (16) и (17) запишем систему уравнений относительно ошибок наблюдения

e1 = x1 — z11, e12 = x2 — Z12: e 1 = e12, e 12 = — a1e12 — L1sign(e1) + p1(t), (18)

где p1(t) = a1x2(t) + x2 (t), L1 = const > 0*

Согласно ограничениям, введенным в § 2, для возмущения p1(t) и его производной справедливы

оценки |p1(t)| < P1, |р 1 (t)| < P1, P1 = const > 0, P1 = const > 0* Тогда при выполнении соотношений L1 > P1, a1(L1 — P1) > P1 в силу теоремы 2 имеет место асимптотическая сходимость переменных системы (18) к нулю, следовательно,

lim z12 = x2.

t ^ ю

(19)

В отличие от классического наблюдателя на скользящих режимах [6, 8]

z 11 = L1sign(e1), e 1 = x2 — L1sign(e1),

цт = —т + L1sign(e1), ц = const > 0, ц ^ 0 ^ т ^ x2,

в котором используется вспомогательный фильтр для получения текущей информации о переменной x2(t), наблюдатель (17) уже включает в свою

структуру фильтр типа цт = —т + v* Такой подход позволяет повысить точность наблюдения благодаря исключению динамической задержки обработки сигнала*

Для получения оценки переменной a32x2x4 построим наблюдатель вида

Z 21 = Z22 — a32(u — a31x3),

¿22 = —a1z22 + L2sign(e2)* (20)

В силу уравнений (6) и (20) и в предположении x4 = const система уравнений относительно оши-

бок наблюдения e2 = x3 - z21, e22 = a32x3x4 - z22 имеет вид

e2 = e22, e22 = -a1e22 - L2sign(e2) + p2(t), (21) где p2(t) =

a1a32X2X4 + a32 X2 X4. Согласно ограничениям, введенным в § 2, для возмущения p2(t) и его производной имеют место

оценки |p2(t)| < P2, | р2 (t)| < P2 , P2 = const > 0,

P2 = const > 0. Тогда согласно результатам теоремы 2 при выполнении неравенств L2 > P2,

a1(L2 - P2) > P2 переменные системы (21) сходятся асимптотически к нулю, следовательно,

lim z22 a32X2X4.

t -со

(22)

Оценка потокосцепления x4 вычисляется из выражений (19) и (22)

t — Z22

a32x2

и может быть использована в законе управления с целью обеспечить заданные характеристики переходного процесса во времени и учесть эффект размагничивания системы возбуждения.

5. результаты моделирования

В качестве примера рассмотрим задачу управления двигателем постоянного тока с постоянным возбуждением (x4 = const > 0). Параметры двигателя приведены в таблице.

Подставляя значения указанных параметров в модель ДПТ (6), получим

X1 = x2, Х2 = 0,5[x3 + mL(t)], Х3 = -10x2 - 11x3 + 2u.

(23)

Далее приведена пошаговая процедура синтеза алгоритма управления.

Шаг 1. Запишем уравнение для ошибки слеже-

ния Х1 = Х1 - X1r

4r

(24)

Параметр Значение Параметр Значение

a32 2, Гн-1 a21 0,5, (кг-м2)-1

Х4 1, Вб a31 5,5, Ом

и выберем фиктивное управление x2 в виде

Х>2 X 2 0,5 X1 I X1 r .

Шаг 2. Для обеспечения стабилизации невязки х2 = х2 + 0,5х1 — х 1г перепишем систему (23) в новых переменных с учетом уравнений (24) и (25):

х 1 0,5 Х1 + Х2,

х2 = 0,5х3 - 0,25 х1 + 0,5 х2 + fx(t), Хс з = -10х2 - 11х3 + 2u,

где f1(t) = 0,5mL(t) - X 1r. С учетом новой переменной Х3 = 0,5х3 - 0,25 Х1 + 0,5 Х2 имеем

х 1 0,5 Х1 + х 2, X 2 Х3 + f1(t),

х3 = -10,5 х3 + u + f2(t),

(26)

где /2(1) = —2,375х1 + 0,25х2 + 0,5/1(?) — 5х 1г.

Шаг 3. Пусть для данного двигателя заложены проектные ограничения

| х11 < п, рад, | х 21 < 100, рад/с, |х3| < 50, А. (27)

При моделировании использовались задающие воздействия и возмущения

х1г(1) = б1п1 + 8т(2?), рад,

шь(1) = 38т(0,5?) + 28т(1,5?), Н/(кг-м). (28)

В силу выражений (27) и (28) получим следующие ограничения на возмущения /1(1) и /2(1):

/(Щ < 7,5; |/2(1)| < 51,211; |/ (1)| < 11,25;

|/2 (1)| < 292,68; / (1)| < 19,625. (29)

Выберем управляющее воздействие в виде (12) без дополнительного демпфирования Ьа — а3 = 0. Согласно теореме 2 амплитуду реле необходимо выбрать так, чтобы выполнялись неравенства

M - Е > 0, 10,5(M - Е) > Е ,

(30)

где = 10,5/1(?) + £ (1) + /2(0, Ш < Е, Ц (1)| < Е .

С учетом ограничений (29) получим оценки возмущения и его производной:

Ш| < 129,96; Ц (1)| < 430,43.

С учетом последних неравенств перепишем выражения (30):

М > 129,96; М — 129,96 > 40,993.

что переменная х3 из системы (26) отрабатывает возмущение — /1(?).

заключение

Продемонстрированы преимущества предложенных в работе [10] методов синтеза инвариантных систем на основе вихревых алгоритмов в задаче управления простейшей электромеханической системой — двигателем постоянного тока. Задача управления ДПТ в предложенной постановке никогда не ставилась ранее, и, следовательно, не решалась. В этом смысле авторы не сочли возможным провести сравнение с известными методами синтеза систем управления электроприводами, что обычно принято в прикладных работах. Разработанные в данной работе алгоритмы синтеза обратной связи могут быть полезны при решения широкого спектра задач управления электромеханическими системами различного уровня сложности [14—18].

ПРИЛОЖЕНИЕ

Доказательство теоремы 1. Перепишем

уравнения (4) в новых координатах y1 =

■-в

0,5

Ур

У 2 = а y 1 + y2 (далее рассматривается случай, когда а2/4 - в * 0):

yi = - а yi + Yiy2 ,

Результаты моделирования

Согласно последним неравенствам выберем управляющее воздействие в виде u = —180sign( x 2 )*

На рисунке представлены результаты моделирования в среде MATLAB/Simulink на основе численного интегрирования методом Дормана — Принса (ode 5)* В увеличенной части рисунка показана установившаяся ошибка при различном шаге дискретизации ts: слева шаг интегрирования

t = 10 4 c, справа — t = 10 3 c* Как видно, чем меньше шаг интегрирования, тем меньше установившаяся ошибка* Поскольку доказанный в теореме 2 теоретический результат справедлив только при бесконечной частоте переключения реле (ts = 0), постольку такой результат вполне объясним* Из результатов моделирования также видно,

У2 = Y2У1 - а У2 - Msign(У1 ) + к(0, (П1)

где Yi = Y2

-в

0,5

2

а4- -в

2

0,5

, при — - в > 0, и y2 = - Y1 =

при - в < 0.

Рассмотрим составную функцию Ляпунова (с учетом, что М >

v = \y. | - А у, + ^ + ^.

|У1' МУ1 2M 2M

-2 У1

-2 У2

(П2)

Дифференцируя функцию Ляпунова с учетом уравнений (П1), получим

V = - а \у I + —к у - к ул - _а_ У1 + 2 1У11 2 МУ1 МУ1 2 МУ1

+ УлМг У1У2 - 2МУ2 - xTQx - а IУ11 *

_2 „о _ _

-WQ)[У1 + У2 ] - а|У11,

а -2

(П3)

2

4

2

2

где x = (y1 y2), матрица Q =

А

а Y 1 + Y2 2M 2M

Y 1 + Y2 а 2M 2M ^

/ X 2Х ^

= 2 ( 1 - м —М , ^тах(б) — максимальное собственное

число матрицы 0.

Отметим, что квадратичная форма отрицательно определена при любых а > 0, р > 0, что легко проверяется по критерию Сильвестра [19]. Следовательно,

Хтах(0) < 0. Как видно, при а > 0 или а(М - Е) > 2 Ё производная функции Ляпунова отрицательна. Следовательно, переменные замкнутой системы асимптотически стремятся к нулю.

Из выражения (П2) можем записать неравенство

к - 1(1+М + 2М ( у2 + У2 ) - со(| У11 + У2 + У2 ),

где с0 = тах {1 + М 2М

Перепишем (П3) с учетом последней оценки

^ - ^тах(0[+ У2 ] - «1У1 I -- -^1 + У1 + у2 ) - -У^,

где у = ^ , сх = тт^тахШ)!, а }. С0

Из этого выражения следует экспоненциальная сходимость переменных у1 и у2 при а и М, удовлетворяющих условиям теоремы, и произвольном параметре р > 0. Теорема 1 доказана.

литература

1. Цыпкин Я.З. Релейные автоматические системы. — М.: Наука, 1974.

2. Pisano A., Davila A., Fridman L, Usai E. Cascade control of PM DC drives via second-order sliding-mode technique // IEEE Trans. on Industrial Electronics. — 2008. — Vol. 55, N 11. — P. 3846—3854.

3. Yao J, Jiao Z, Ma D. Adaptive robust control of dc motors with extended state observer // IEEE Trans. on Industrial Electronics. — 2014. — Vol. 61, N 7. — P. 3630—3637.

4. Dodds J.S., Utkin V.A, Vittek, J. Sensorless Induction Motor Drive with Independent Speed and Rotor Magnetic Flux Control. Part I — Theoretical Background. Part II — Simulations and Real Time Implementation // Journal of Electrical Engi-

neering. — Part I. — 1998. — Vol. 49, N 7. — P. 186—193; — Part II. —1998. — Vol. 49, N 9, 10. — P. 232—239.

5. Чиликин М.Г., Ключев В.И., Сандлер А.С. Теория автоматизированного электропривода. — М.: Энергия, 1979.

6. Utkin V.I., Guldner J., Shi J. Sliding mode control in electromechanical systems. — London: Tailor and Francis, 2009.

7. Lascu C, Andreescu G.D. Sliding-mode observer and improved integrator with DC-offset compensation for flux estimation in sensorless-controlled induction motors // IEEE Trans. on Industrial Electronics. — 2006. — Vol. 53, N 3. — P. 785—794.

8. Краснова С.А., Уткин В.А. Каскадный синтез наблюдателей состояния динамических систем. — М.: Наука, 2006.

9. Принцип блочного управления. Ч. I, II / С.В. Дракунов, Д.Б. Изосимов, А.Г. Лукьянов и др. // Автоматика и телемеханика. — Ч. I. — 1990. — № 5. — С. 3—13; — Ч. II. — 1990. — № 6. — С. 20—31.

10. Кочетков С.А., Уткин В.А. Инвариантность в системах с несогласованными возмущениями // Автоматика и телемеханика. — 2013. — № 7. — С. 46—83.

11. Iannelli L., Johansson K.H., Jonsson U.T., Vasca F. Averaging of nonsmooth systems using dither // Automatica. — 2006. — Vol. 42, N 4. — P. 669—676.

12. Кочетков С.А., Уткин В.А. Компенсация неидеальностей исполнительных устройств // Автоматика и телемеханика. — 2010. — № 5. — С. 21—47.

13. Красовский А.А. О вибрационном способе линеаризации некоторых нелинейностей // Автоматика и телемеханика. — 1948. — Т. 9, № 1. — С. 20—29.

14. Dixon W., Dawson D.M., Zergeroglu E, et al. Nonlinear control of wheeled mobile robot robots (in series Lecture notes in control and information sciences). — Berlin: Springer-Verlag, 2001.

15. Пестерев А.В. Синтез стабилизирующего управления в задаче следования колесного робота вдоль заданной кривой // Автоматика и телемеханика. — 2012. — № 7. — С. 25—39.

16. Jafarov E.M., Parlakfi M.N.A., Istefanopulos Y. A new variable structure PID-controller design for robot manipulators // IEEE Trans. on Control Systems Technology. — 2005. — Vol. 13, N 1. — P. 122—130.

17. Рывкин С.Е. Скользящие режимы в задачах управления автоматизированным синхронным электроприводом. — М.: Наука, 2009.

18. Черноусько Ф.Л., Ананьевский И.М., Решмин С.А. Методы управления нелинейными механическими системами. — М.: Физматлит, 2006.

19. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1966.

Статья представлена к публикации членом редколлегии

В.Ю. Рутковским.

Кочетков Сергей Александрович — канд. техн. наук,

ст. науч. сотрудник, И kos@ipu.ru,

Уткин Виктор Анатольевич — д-р техн. наук, гл. науч. сотрудник,

И vicutkin@ipu.ru,

Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН,

г. Москва, S (495) 334-93-21.

Не забудьте подписаться!

Подписку на журнал «Проблемы управления» можно оформить в любом почтовом отделении (подписной индекс 81708 в каталоге Роспечати или 38006 в объединенном каталоге «Пресса России»), а также через редакцию с любого месяца, при этом почтовые расходы редакция берет на себя. Отдельные номера редакция высылает по первому требованию.