CC BY
78
Список литературы
1. Поляков А. Ю., Брусенцев В. А. Программирование графики: GDI+ и DirectX. СПб.: БХВ-Петербург, 2005. 368 с.
2. Роджерс Д., Адамс Д. Математические основы машинной графики: пер. с англ. М.: Мир, 2001. 604 с.
3. Снук Г. Создание 3D-ландшафтов в реальном времени с использование C++ и DirectX 9: Пер. с англ. М.: КУДИЦ-ОБРАЗ, 2006. 368 с.
A. Kravtsov
The review of mathematical models of lighting at three-dimensional stages construction
The various mathematical lighting models are considered in this article. There are given mathematical and software bases at lighting modelling.
Keywords: ambient lighting, diffuse lighting model, specular lighting model, realistic lighting, shadowing, masking.
Получено 04.08.10
УДК 681.513
А.В. Сурков, инж., eeo@tsu.tula.ru (Россия, Тула, ТулГУ),
ОПТИМАЛЬНЫЕ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ В ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
Предлагается подход к решению задачи аналитического конструирования оптимальных регуляторов (АКОР) для автоматизированного электропривода по критерию быстродействия, основанный на использовании функций переключения. Он менее трудоемок (на порядок и более), чем стандартное решение задачи с использованием теоремы об п интервалах А.А. Фельдбаума.
Ключевые слова: оптимальное управление, быстродействие, электрический
привод
Для простоты рассуждений, не влияющих на суть рассматриваемого подхода ограничимся случаем электропривода с одним управляющим воздействием, уравнение возмущенного движения которого имеет вид:
Х{Г) = А(Х) + В(Х) • м(0, (1)
где X є Rn - вектор отклонений фазовых координат состояния объекта от заданной траектории движения; Л(Х) - матрица-столбец с нелинейными однозначными функциями аі(X) = аі(х\,Х2,...,хп), і = 1,2,...,п;
В( X) = (Ь{, Ь>2,..., Ьп) - вектор столбец с элементами Ь = 0, Ь2 = 0,..., Ьп = 1;
управляющее воздействие u (t) принадлежит замкнутому множеству U * и на него наложено ограничение
|u (t )| < 1. (2)
Область U * допустимых управлений определяется двумя условиями: классом допустимых (непрерывных или кусочно-непрерывных) функций и дополнительным ограничением эксплуатационного или конструктивного характера, накладываемыми на u (t) внутри данного класса.
Решение стандартной задачи оптимального быстродействия - на множестве допустимых управлений (2) следует найти закон обратной связи U(t) = Fj[X(t)], образующий совместно с исходным нелинейным
объектом (1) устойчивую замкнутую систему, доставляющую минимум функционалу
T
J =j F0(X)dt, F0(X) = 1 (3)
0
при переводе объекта управления из начального положения X(0) в конечное нулевое - методом динамического программирования Р. Беллмана или
с использованием принципа максимума Л.С. Понтрягина приводит к управлению, которое можно записать в виде
u = -sign[\y( X) ], (4)
где \у( X) - функция переключения регулятора, причем у/ = 0 - поверхность переключения.
Дальнейшее стандартное решение задачи подразумевает подстановку управления (4) в уравнения Беллмана или гамильтониана, что приводит к необходимости решать либо нелинейное уравнение Беллмана в частных производных, либо нелинейную двухточечную краевую задачу. Это представляет известные математические трудности, связанные с отсутствием, за редким исключением, общих аналитических решений нелинейных дифференциальных уравнений. В настоящее время нельзя указать общего рецепта для решения.
Сформулируем задачу следующим образом: - на множестве допустимых управлений (2) следует найти функцию переключения \у(X), стоящую под знаком sign в оптимальном управлении (4), которое переводит объект (1) из произвольного начального X(0) = X0 в нулевое конечное состояние X(T) = 0 за минимальное время.
Такой подход, во-первых, избавляет от необходимости повторного решения задачи и позволяет использовать важный результат решения задачи методами Беллмана или Понтрягина, заключающийся в том, что для релейной системы функция переключения существует. Во-вторых, и это главное, позволяет воспользоваться принципом декомпозиции задачи на
ряд однотипных подзадач существенно меньшей сложности и тем самым получить искомое решение аналитически.
Решение задачи основано на использовании основного функционального уравнения относительно функции переключения, которое записывают с учетом уравнений объекта (1):
у/ = Сг • X = СгА + СВи.
Здесь С = (%1^2gl=д\f/|дxi^, (/> - скорость проникновения, то есть проекция вектора относительной скорости изображающей точки на нормаль к поверхности переключения. Для сокращения записи обозначим
1у(Х) = 0-Х = /(Х) + ф(Х)-и (5)
Результаты исследований свойств функции переключения и скорости проникновения приводят к следующим выводам [1]:
1. Функцию переключения следует искать в виде \//(Х) = Х1+г(х2,х2,...,хп), т. е. gl=д\f/(X)|дXl= 1, где 2(Х) - некоторая функция координат объекта;
2. Функция ф( X) - положительно определенная;
3. Правую часть уравнения можно умножать на некоторую положительно определенную функцию Ф( X) > 0;
4. /(X )| = ф( X) - необходимое и достаточное условие оптимальности по быстродействию для неосциллирующих систем;
5. Весь оптимальный по быстродействию процесс состоит из п интервалов управлений вида щ = -sign\щi (X) ], где i = 1, 2, ..., п; щ (X) = 0 -поверхность переключения ьго интервала, причем общая поверхность переключения щ( X) = щ! X) = 0 для оптимального управления и состоит из п вложенных друг в друга поверхностей переключения все более уменьшающейся размерности, последняя поверхность вырождается в точку.
Учитывая приведенные свойства, можно предложить следующий алгоритм решения. Для определения общей функции переключения щ( X),
составляют уравнение (5) для каждого ьго интервала, начиная с последнего. Непосредственным интегрированием уравнения (5) с учетом уравнений объекта (1) в некоторых частных случаях функции щ (X) и искомый закон
управления легко определяются аналитически. Однако непосредственное интегрирование уравнения (5) в общем случае приводит к появлению трудно определяемой постоянной интегрирования. Поэтому в соответствии с выводом 1 решение на каждом интервале i предлагается искать в виде
Щ СЮ = X + ^ (Х+Ъ X+2-.., хп ).
В этом случае для определения функций zi(X) каждого интервала
получают уравнение
fi (X)+-^ • fi+1( X)+-£l(X2 • fi+2( X)+...+ ЩП • fn (X):
- zi(X) - X
- xi+1 sign[/i+1( X )].
-xi
i+2
-x
n
n
Последнее уравнение в отличие от уравнения Беллмана является линейным дифференциальным уравнением в частных производных первого порядка, решение которого хорошо известно.
Пример. Рассмотрим объект третьего порядка из трех интегрирующих звеньев
XI =х2, Х2=Хз, х3 = и. (6)
Уравнениями (6) приближенно описывается ряд объектов, например, процесс управления курсом самолета, собственным демпфированием которого можно пренебречь. Наиболее полно и подробно задача синтеза оптимальной системы (6) с ограниченной третьей производной регулируемой величины решена А.А. Фельдбаумом и А.А. Павловым. В этих работах получено точное решение для быстродействующего оптимального управления:
u
sign
3 "
X3 X1 + + 1 3 X2X3 + " X 2 " -2- + X2Sign/2 2 Sign/2
(7)
где /2 = sign
X2 +
x3| x3
Решение. Имеем три интервала управления. На последнем (третьем) интервале остается только одна самая "быстрая" координата Х3, т.е. функция переключения на третьем интервале щ = *3. На предыдущем (втором) интервале функциональное уравнение для функции переключения будет иметь вид
у/2=щ+\щ\-и = *3+ | | -и
или с учетом уравнений объекта (6) имеем у/2 = х2+\х^ \ -х^, откуда непо-
' *31 --*3
средственным интегрированием определяем /2 = X2 +
. Из послед-
ней формулы видно, что на втором интервале к координате *3 добавляется более "медленная" координата *2. Записываем теперь функциональное уравнение для первого интервала:
у/ = щ= у/2+ \ц/2\.и = х2л
1 x3 1 • x3
x2 +
x3 1 • x3
u.
(8)
2
равнения (8) на пои умножим на не-
На первом интервале к координатам %2, добавляется еще более "медленная" координата х^ Подчеркнем, что функциональное уравнение первого интервала является одновременно основным (общим) уравнением. Однако при интегрировании уравнения (8) необходимо определять постоянную интегрирования, которая зависит от начальных условий.
Пользуясь выводом 3, разделим правую часть у
ложительно определенную величину |^21 = которую функцию Ф(Х) > 0:
¥ = [^п(У2) + и\ф- (9)
На основании вывода 1, будем искать \у( X) в виде
у( X) = Х1 + z( х2, Х3), тогда
. . дг . дг . дг дг
(// = х14----х2 ч-----х3=х2ч--------х3 ч-----и. (10)
Зх2 Зх3 Зх2 Зх3
Из формул (9), (10) следует:
^2 6^
х2 + х3 = Ф • Т— = Ф
6x2 6Х3
или
х2 +• х3 =• ^%п(У2). (11)
6Х2 6х3
Уравнение (11) является линейным дифференциальным уравнением в частных производных первого порядка. Подстановкой
х3
2 = х2 • х3 • 2) + у + ^ (12)
его можно свести к обыкновенному уравнению в частных производных:
02 02
■ *3 - —■ signal) = 0.
8*2 8x3
Соответствующее обычное дифференциальное уравнение имеет вид
[2]
d*2 d*3
x3 -sign(Wl)'
Учитывая, что на первом интервале 1^2 ф 0 и не изменяет знака, при этом sign(^2) = const, непосредственно из предыдущего соотношения находим
z* (X) = М( X *),
Х2
где ju(X ) - произвольная функция координаты X = *2 ■ sign(\y2)+ ——.
Итак, предполагаемое решение принимает вид u = -sign[^( X)];
x3
ty(X) = + z(*2,*3) = + *2 • *з • sign(^2) + -3 + ju(X*), (13)
причем должно выполняться условие:
8Z
— = x2 • sign(W2) + x:
8x3
Этому условию удовлетворяет функция
з
Подставляя (14) в (13), получим оптимальный по быстродействию закон управления, совпадающий с известным (7).
1. Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов по критериям точности, быстродействию, энергосбережению / В.В. Сурков [и др.]: монография. Тула: ТулГУ, 2005. 300 с.
2. Зайцев В.Ф. Справочник. Дифференциальные уравнения с частными производными первого порядка. М.: Физматлит, 2003.
A. Surkov
Optimal speeds in electromechanical systems
The method of solving the problem of analytical construction of optimal regulators by criterion of speed for automated electrical drive is proposed. It is based on a switching function and is less laborious (for an order and higher) than standard decision using the theorem of n intervals by A.A. Feldbaum.
Key words: optimal control, high-speed, electric drive.
Список литературы
Получено 04.08.10
