CC BY
47
The paper is concerned the problem of synthesis for high order linear continuous objects with restrictions on regulator control and minimum regulation time in terms of classic automatic control theory. The method of solving the problem with the help of analytical design theory of optimal controllers was proposed. It was also found distribution of poles closed-loop control system.
Key words: linear one-dimensional object, maximum operating speed, analytical design of optimal controller, poles of closed-loop control system.
Lovchakov Vladimir Ivanovich, doctor of technical science, professor, [email protected], Russia, Tula, Tula State University,
Mozzhechkov Vladimir Anatol'evich, doctor of technical science, main engineer, [email protected], Russia, Tula, JSC "ETCPrivod"
УДК 681.513
СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОПРИВОДАМИ И ПУТИ ИХ РЕШЕНИЯ
Б.В. Сухинин, В.В. Сурков
Известно, что если проблемы не решаются на том уровне, где они появились -необходимо подняться на уровень выше. Возникающие проблемы оптимального управления невозможно решить чисто математически: математика без физики - глупа, физика без математики - слепа. Предлагается взглянуть на проблемы метода динамического программирования Р. Беллмана, имеющего методологическое значение, со стороны физических явлений. Это позволяет решить проблемы оптимальной по точности системы управления электроприводом высокого порядка, в том числи и нелинейным.
Ключевые слова: аналитическое конструирование, оптимальное управление, оптимальная точность, устойчивость, функциональное уравнение.
Наиболее общий метод решения задач оптимального управления в форме обратной связи, получивший название динамического программирования, предложен Р. Беллманом еще в 30-х годах прошлого столетия. В его основе лежит принцип оптимальности: любой конечный участок оптимальной траектории является также оптимальным, а любой промежуточный участок может быть не оптимальным.
Современные идеи оптимального управления распространяются не только на технические объекты и технологические процессы в промышленности, но и на такие области, как организация и управление производством, экономика, менеджмент, биология, военное дело и даже политика или здоровье отдельного человека, его успехи. Отметим методологическое значение принципа Беллмана - управлять можно чем или кем угодно, если выполнены три условия: известен объект управления, известна конечная цель управления и известен критерий оценки качества управления. Если нет хотя бы одного из них - нет смысла приступать к решению задачи управления.
Ограничимся рассмотрением проблем управления применительно к электроприводам. Разработка систем управления (СУ) электроприводами, обеспечивающие малые ошибки (не более 20 угл. с.) на минимальных скоростях слежения (до 0,01 град/с) при флуктуациях момента трения и нагрузки в процессе эксплуатации; наличия люфта редуктора, на порядок превышающем допустимую ошибку; нежесткой и неуравновешенной конструкции исполнительного механизма - позволит создать высокотехнологичное промышленное оборудование (например, прецизионные станки) и перспективные виды вооружения и военной техники (например, высокоточные радиолокационные станции слежения).
Для простоты изложения, не влияющего на сущность задачи, будем рассматривать электропривод (объект) с одним управляющим воздействием, уравнение возмущенного движения которого, в соответствии с теорией А.М. Ляпунова:
X = А(Х) + В(Х) • и,
• т /
где X = (хьх2,...,хп) , х{ = х1 = ёх^Л, \ = 1,2,...,п, А(Х) - матрица-столбец с элементами а1(Х) °а1(х1,х2,к,хп), представляющими собой нелинейные однозначные функции; В(Х) = (Ь1,
Ь2, к ,Ьп)\
Ь1 = 0,Ь2 = 0,к ,Ьп-1 = 0,Ьп Ф 0, Х = (х1,х2,...,хп) — вектор-столбец переменных параметров (фазовый вектор или вектор состояния) динамического объекта, п — количество параметров или порядок объекта или количество дифференциальных уравнений объекта в форме Коши.
Итак, объект управления:
х 1 = ах(Х),х2 = а2(Х),к,хп = ап(Х) + Ьп(Х) • и. (1)
Цель управления: перевести объект (1) из начального положения Х(0) = (х10,х20,...,хп0) в конечное положение Х = 0, т.е. в начало координат за конечное время.
Критерий оценки качества управления: очевидно, наибольшее значение из всех приведенных критериев имеют критерии точности (что толку от того, что деталь изготовлена быстро, с минимумом ресурсов, но не точно). Общим признаком интегральных критериев точности является их независимость в явной форме от управления [2]:
I = ^(Х)^, Бо(Х) > 0, (2)
причем, критерий быстродействия является частным случаем критерия точности при Бо (X) = 1 или критерий быстродействия является одновременно и критерием точности.
Известно, что минимизация критерия точности (например, методом динамического программирования Р. Беллмана) обеспечивается идеальными релейными управлениями [2]:
и =-81§п(у(Х)), |и|< 1 (3)
где у(Х) — искомая функция переключения, причем у(Х) = 0 - поверхность переключения, проходящая через начало координат у(0) = 0.
Стандартное решение задачи подразумевает подстановку управления (3) в уравнение Беллмана, что приводит к проблемам, связанным с решением нелинейного уравнения Беллмана в частных производных даже в случае линейного объекта.
Как известно, если проблемы не решаются на том уровне, где они появилась, то необходимо подняться на уровень выше. Возникшие проблемы трудно решить чисто математически: математика без физики - глупа, физика без математики - слепа. Взгляд на проблемы хотя бы еще со стороны физики приводит к основному функциональному уравнению относительно искомой функции переключения (скорости проникновения поверхности переключения):
у(Х) = ^ ^-х 1 + |У-х 2 + ... + 1^ х „ = ОА + ОБи (4)
ш Эх1 Эх2 Эхп
или
у(Х) = ЦХ) + ф(Х) - и . (5)
Здесь ЦХ) = ОА = В1(Х) - а^Х) + §2(Х) - а2(Х) +... + §п(Х) - ап(Х);
ф(Х) = ОБ = £п(Х)-Ъп(Х), О = (§1,§2,...,ёп), = Эу /ЭхА ф 0 - неизвестные искомые функции.
Из физики работы устойчивого эквивалентного объекта (5) следует, что для управления им (для изменения знака скорости проникновения, т.е. для удержания объекта на поверхности переключения в скользящем режиме вплоть до начала координат), необходимо выполнить единственное условие управляемости релейной системы в виде нестрогого равенства:
|f(X)|<j(X), j(X) > 0, (6)
которое легко реализовать в виде подчиненного управления аналогично случаю ограничения координат. Можно показать, что условие (6) является одновременно и условием устойчивости движения системы, и условием возникновения скользящего режима. Чем ближе условие (6) к строгому равенству, тем более быстрым будет процесс управления, а при равенстве -получим оптимальное быстродействие.
Функции gj(X) Ф 0 в условии (6) могут быть какие угодно, в частном случае (для облегчения интегрирования функции y) выбираем (например, произвольно) gi = const Ф 0 (что означает решение задачи управления с помощью линейных обратных связей).
В частном случае при gj = const Ф 0 искомое решение задачи в отклонениях:
y(X) = gi • xx + g2 • x2 +... + gn • Xn и u = -sign(y(X)), (7)
где вместо отклонений xi необходимо подставить реальные координаты xi ^ xi - хЬза или xi ^ xi - хЬвоз. Здесь хЬза - задание (управление) по соответствующей координате, x^g^ - возмущающие воздействия (задания) или помехи (это тоже управления, но неизвестные нам, они могут быть как вредными, так и полезными, например, момент нагрузки, который мешает искомому управлению).
Применительно к электроприводам (это объект, как правило, третьего порядка с одним входом управления) различают три основные задачи (по числу независимых координат): управление моментом (током) x3, управление скоростью x2 и управление положением вала привода x1.
Найденное управление (7) получено из уравнений возмущенного движения и сводит к нулю (оптимально по точности) все отклонения (возмущения), по какой бы причине они ни возникли. Следовательно, управление в отклонениях (7) можно использовать для определения оптимального управления по любой реальной координате.
Например, управление по реальной координате x1 (угол поворота вала двигателя):
u = sign(x^ - xi - а •x2 + b •(xн - x3)),
где а = g2/g1; b = g3/g1; x н - возмущение по координате x3 (по току), пропорциональное моменту нагрузки. Так как момент нагрузки неизвестен, то отклонение тока x3 - x н выражают часто через производные от координат из уравнений объекта (1), причем производные получают с помощью наблюдающих устройств за реальными координатами объекта, используя для синтеза наблюдающих устройств тот же рассматриваемый метод.
Управление по другой реальной координате x2 (скорость вращения вала двигателя):
u = sign(x 2зад - x 2 + c • (x н - x3 )),
где c = g3 /g2.
Управление по x3 (ток двигателя или момент):
u = ^Ч^ад - x 3 ) .
Здесь g1 = g2 = 0. Можно показать, что это управление по току двигателя (моменту) будет оптимально одновременно и по быстродействию.
Применяя метод подчиненного управления, также легко определить управление при ограничении любых координат или их комбинаций, например, условие (6).
Часто возникает задача управления двумя координатами, например, приводы сканера антенны: необходимо стабилизировать скорость и одновременно положение вала привода на каждом периоде вращения. Управление по реальной координате x2 (скорость):
u = sign(x2зад - x2 + а • (xн - x3) + b • (x 1зад - x1)).
Из последнего выражения следует, что в приводе сканера необходимо искусственно организовать дополнительный вход возмущения (управления) по координате x^, выполняющий роль полезного возмущения. Поскольку x^ должна быть линейно возрастающая функция: x13a4 = x2 • t + фзад, что трудно реализовать, можно взять в качестве датчика, например, вращающийся трансформатор (ВТ), вал которого соединен с валом привода. При этом x^ = sin(x2 • t + фзад). Для увеличения точности позиционирования можно использовать и вторую (косинусную) обмотку ВТ.
Пример. Пусть электропривод постоянного тока задан системой уравнений в отклонениях:
ф' = ю; w' = i; i' = u; | u |< 1, (8)
где ф - угол поворота вала привода; w - скорость вращения вала двигателя; i - ток двигателя.
Составим функциональное уравнение (3) для объекта (8), предполагая gi = const Ф 0, g1 = 1:
y'(X) = ф' + а • w' + b • i' = w + а • i + b • u . (9)
Запишем условие(4) для первого интервала:
| ю + а • i |< b
или
I i^i w + а • i
| У 2 |£ 1, У 2 =-Г-, (10)
b
где y 2 - функция переключения второго интервала.
Функциональное уравнение второго интервала:
, ю' + а • 1' 1 + а • и
Условие (4) для второго интервала:
|1|< а
или
IУ3 |£ 1, У3 1= (11)
а
где у 3 - функция переключения третьего интервала.
Интегрируя уравнение (9) и используя принцип подчиненного управления для учета ограничений (10) и (11), запишем оптимальное управление для реальных координат:
и = s1gn(s1gn(s1n(юзад • 1 - б1и(ф) + а • (юзад - ю) +
, ю + а-1Л 1 + Ь(1 н -1))---—) —), (13)
Ь а
где ф зад = 0 и 1 н = 0.
На рис. 1 приведены результаты моделирования объекта (8) с управлением (13) в режиме разгона привода.
Исследование работы объекта (8) с управлением (13) в режиме разгона и вывода на заданную скорость, например, ю зад = 90 1/с и наибольшим быстродействием, приводит к величинам а = 1 и Ь = 4.75, при этом ограничения (11) и (12) выполняются автоматически и их нет необходимости учитывать:
и = sign(sign(sin(юзад • 1 - sin(ф) - ю - 4.75 • 1). (13)
Из рис. 1 следует, что отработка заданной скорости происходит оптимально по быстродействию. На рис. 1 (график управления) не показан скользящий режим, возникающий по окончании переходного процесса.
На рис. 2 приведены результаты моделирования объекта (8) с управлением (13) в режиме стабилизации скорости и отработки угла поворота вала привода. Из рис. 2 следует, что при стабилизации скорости отработка угла в системе происходит практически с нулевой ошибкой.
Итак, для построения оптимальной по точности системы управления любым объектом, в том числе, нелинейным высокого порядка, имеющим вход управления необходимо и достаточно выполнить (принудительно реализовать в системе управления) одно единственное нестрогое равенство (6) и получить универсальную функцию переключения (7) в отклонениях, которая (в случае линейных обратных связей) легко позволяет определить управление по любой координате с любыми ограничениями.
Рис. 1. Результаты моделирования переходных процессов сканера
Рис. 2. Графики изменения координат сканера в режиме стабилизации скорости
165
Таким образом, к настоящему моменту времени сотрудниками кафедры электротехники и электрооборудования ТулГУ решены проблемы, связанные с оптимальными по точности системами управления нелинейными объектами высокого порядка.
Дальнейшее рассмотрение проблем оптимального управления с точки зрения физики с привлечением математики и учетом нравственности позволит решить главную проблему теории оптимальных систем - проблему оптимального быстродействия.
Список литературы
1. Конференция "Перспективные системы и задачи управления" УДК 681.51 Материалы Восьмой Всероссийской научно-практической конференции «Перспективные системы и задачи управления». Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2013. 378 с.
2. Сухинин Б.В., Сурков В.В., Цырук С.А., Феофилов Е.И. Оптимальное по точности (быстродействию, энергосбережению) управление электромеханическими объектами [Текст]. Тула: Изд-во ТулГУ, 2014. 140 с.
Сухинин Борис Владимирович, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой,. [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Сурков Виктор Васильевич, д-р техн. наук, доц., проф., [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет
MODERN PROBLEMS OF OPTIMUM CONTROL OF ELECTRIC DRIVES AND WAYS OF
THEIR DECISION
B.V. Sukhinin, V.V. Surkov
It is known that if problems do not dare at that level where they have appeared - it is necessary to rise on level above, on higher step of morals. Arising problems of optimum control cannot be solved purely with the help of mathematics: the mathematics without physics -is silly, the physics without mathematics - is blind. It is offered to look at problems of a method of dynamic programming of R.Bellmana having methodological value, from outside the physical phenomena. It allows solving problems optimum on accuracy of a control system of the electric drive of a high order, in that count also nonlinear.
Key words: analytical designing, optimum control, optimum accuracy, stability, the functional equation.
Sukhinin Boris Vladimirovich, doctor of technical science, professor, manager of de-partament, eeoatsu. tula.ru, Russia, Tula, Tula state university,
Surkov Victor Vasilevich, doctor of technical science, docent, professor, vvs150 747@ mail. ru, Russia, Tula, the Tula state university
