CC BY
46
Control of electromechanical systems with square-law cost function is analyzed on an example of the DC-drive for two-mass engine-generator system. The new optimum criterion is offered and the analytical formula of a regulator is received, this allows taking into account inequality constraints on control signal and all state coordinates.
Key words: DC-drive, electromechanical system, one-mass system, control system, two points boundary problem, optimal control, cost function, linear quadratic regulator, LQR, quadratic functional.
Podborski Pavel Eduardovich, candidate of technical sciences, docent, pan-podpeamail. ru, Russia, Republic of Khakassia, Sayanogorsk, Sayano-Shushensky branch of Siberian Federal University,
Podborski Eduard Nikolaevich, candidate of technical sciences, docent, panpo-denamail.ru, Russia, Republic of Khakassia, Abakan, Khakass Technical Institute - branch of Siberian Federal University
УДК 681.51
ОПТИМАЛЬНЫЙ ПО ТОЧНОСТИ ВЕНТИЛЬНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ
Т.З. Нгуен, Ч. Кхань, В.В. Сурков
Рассмотрены вопросы аналитического конструирования оптимального по точности регулятора тока (момента) синхронного двигателя с датчиком положения ротора (вентильного электропривода) для следящих систем, инвариантных к действиям внешних дестабилизирующих факторов и изменению параметров систем. Показана структурная схема системы управления током вентильного электропривода. Приводятся результаты математического моделирования характеристик системы в различных режимах работы.
Ключевые слова: вентильный моментный двигатель, оптимальная точность, аналитическое конструирование, следящая система.
В настоящее время при проектировании следящих и оптимальных систем отмечается тенденция расширения области применения бесконтактных моментных электродвигателей (например, промышленно выпускаемой серии ДБМ) с датчиком положения ротора (вентильных двигателей) как наиболее перспективных с точки зрения значительной перегрузочной способности. Эти двигатели допускают интенсивное использование, поскольку не имеют ограничений на частоту пусков и реверса, форму и частоту токов двигателя, величину момента инерции и закон изменения нагрузки двигателя в режиме длительных предельных токов в течение всего срока службы.
Отличительная особенность работы вентильных двигателей (ВД) заключается в том, что они являются принципиально нелинейными системами.
Теоретически исчерпывающее решение задачи управления нестационарными объектами в условиях действия координатных возмущений дает идея построения оптимальных по точности систем, устойчивых при неограниченном увеличении коэффициента усиления и ограничении на управляющий сигнал [1].
В данной работе рассматривается аналитическое конструирование оптимального по точности регулятора тока (момента) вентильного электропривода, для разнообразных следящих систем.
Силовая часть привода с ВД на основе синхронного двигателя при токе возбуждения If = const может быть представлена следующими уравнениями [2]:
г • L + L •
did dt
M •
di
— + 1- L • w-iq dt q
di
г • iq +1- L • q dt
q
+ M•«• L -L •«• i
d
u
q,
(1)
3 • (M • if • iq - L • (1 -1) • id • iq)
dt 2
-m.
где
2r
Ud = 3[Ua 2r
Uq = 3[Ua
• 2r.
id = 3[ia
2
• cos u + ub • cos(u - p) + uc • cos(u+p)]
• sin u+ub • sin(u - p) + uc • sin(u + p)],
cos u+ib • cos(u - p) + ic • cos(u+p)],
(2)
(3)
—[ia • sin u + ib • sin(u - p) + ic • sin(u+p)]
и к, 1к (к = а, Ь, с, f или к = d, q) - напряжения и токи в трех контурах фаз и контуре возбуждения или по осям d и q в приведенной двухфазной машине; и - угол поворота ротора синхронного двигателя, и = | +и0;
р = 1200 - угол сдвига осей фазных обмоток двигателя относительно друг друга; Я - активное сопротивление обмотки статора двигателя; Ь - коэффициент индукции по продольной оси двигателя; 1 - коэффициент явно-полюсности; I - момент инерции вращающихся масс; ю - скорость вращения ротора синхронного двигателя; М - коэффициент взаимоиндукции между обмоткой статора и ротора; тэм - электромагнитный момент вращения вала двигателя; тн - момент нагрузки на валу двигателя.
501
q
Из уравнений (1) следует, что для вентильного двигателя (рис.1) напряжения иа, иь и ис задаются датчиком положения ротора, например, сельсином:
Ч = k • ивх • ^(и + ВХ
% = k• ^х • sin(u + e-p), (4)
ио = k • и вх • эт(и + е + р), где В - угол установки датчика положения ротора относительно вала синхронного двигателя; к - коэффициент усиления от входа демодулятора 1 до выхода усилителя 4, причем к • ивхтах = Е/2; Е - эдс источника питания усилителя.
Рис. 1. Структурная схема ВД: 1 - модулятор; 2 - датчик положения ротора (сельсин); 3 - трехфазный демодулятор; 4 - трехфазный усилитель; 5 - синхронный двигатель
Подставляя (4) в (2), можно получить
и
к • ивх • sin В;
ич = к • ивх • соэ В
(5)
Из уравнений (1) следует, что синхронный двигатель представляет собой объект регулирования с двумя управляющими воздействиями: иа
и V
С целью упрощения получения оптимальных законов управления будем считать, что уравнения (1) записаны в отклонениях, т.е. это уравнения возмущенного движения объекта. Воспользуемся методом, изложенным в [3].
•ч
Выделим из системы (1) уравнения, описывающие движение при-
did diq
вода по токам id, 1 и найдем —- и —-
q dt dt
did _ r M dif Л . E
=---L +---L-l-w-i„ +
Lj + l - w - i„ + - Uj
dt L d L dt q 2 - L d;
diq _ r . M 1 E
(6)
- iq---w-if +---w-id +---uq
q ^ . T f T, d О T, T q.
dt l-L q l-L f l d 2-l-L
Непосредственно из уравнений (6) следует
иё = ит • ^ёп(Мзад - = ит • ^ёп(к • Мзад - к ' ^ = ит ' ^ёп(иёзад - к ' ^ ;(7)
= ит • ^п(^ад - ^ = ит • 8Щп(к • - к • ^ = ит • Э^^д - к • ^ ,(8)
где ит - напряжение питания преобразователя; ^зад, iqзад или иёзад, uqзад - заданные значения сигналов управления для регулятора тока ^ и ^ соответственно; к - коэффициент пропорциональности, к > 0.
Переменные в координатах выражаются через переменные в реальных координатах А, В, С посредством соотношений (2), (3). Например, фиктивным токам ^, ^ соответствуют реальные фазные токи ^, ^
Воспользовавшись соотношениями (3), найдем, что разностям к • idзад - к • id и к • iqзaд - к • iq соответствуют разности к • ^д - к •
к • iвзaд - к • iв, к • i
Сзад к • iC каждой фазы двигателя и оптимальным
управлениям (7), (8) в координатах соответствуют фазные управления:
иА = ит • sign(k • iAзaд - к • iA); (9)
ив = ит • sign(k • iвзaд - к • iв); (10)
ис = ит • ^ёп(к • icзaд - к • ic). (11)
Обозначим
иАзад = к • iAзaд , ивзад = к • iBзaд , иСзад = к • iCзaд . (12)
Из формул (9) - (11) следует, что для оптимального по точности и быстродействию управления токами (моментом) вентильного привода (рис. 2) требуется трехфазный задатчик тока (датчика положения ротора), трехфазный датчик тока двигателя и трехфазное реле [4].
В качестве трехфазного преобразователя в схеме используется, например, трехфазный мост из шести транзисторов (тиристоров), которые работают в ключевом режиме.
Трехфазный регулятор тока работает следующим образом. Напряжение задания ивх (сигнал управления по току) преобразуется модулятором в напряжение прямоугольной формы повышенной частоты (500...20000 Гц) с амплитудным значением, равным и вх и подается на об-
мотку возбуждения датчика положения ротора 2 синхронного двигателя, например, сельсина, ротор которого механически соединен с ротором синхронного двигателя. Сигнал с обмоток синхронизации сельсина подается на трехфазный демодулятор 3, на выходе которого появляется напряжение задания на оптимальный регулятор тока:
иАзад = к1 • Ивх • ^п[и + 0];
иВзад = к1 • ивх • 5т[(и-р) + 0];
(13)
иСзад = к1 • Uвх • + р) + 0],
где к1 - общий коэффициент преобразования модулятора, датчика положения ротора синхронного двигателя и демодулятора.
Рис. 2. Структурная схема оптимального по точности и быстродействию регулятора тока (момента) ВД: 1 - модулятор; 2 - датчика положения ротора; 3 - трехфазный демодулятор; 4 - трехфазный сумматор; 5 - трехфазное реле; 6 - трехфазный преобразователь; 7 - трехфазный датчик тока; 8 - синхронный
двигатель
Воспользовавшись соотношениями (2), (3), (9), найдем и регуляторов (7) и (8), соответствующие заданиям (13):
и и
дзад "^зад
иёзад "^зад
к1 • и к • и
вх
sin(0); вх со^0). 504
(14)
(15)
При этом оптимальные управления (7), (8) примут вид
_ Um - sign[ki- UBX - sin(0) -к-id];
ur
(16)
^q _ Um - sign[ki - ивх - cos(0) - к - iq]. (17)
Из (16) следует, что при установке датчика положения ротора в нулевое положение (0 = 0) регулятор тока id стабилизирует ток id на нулевом уровне оптимально по быстродействию и поддерживает его оптимально по точности так, что id _ 0. При этом уравнения (9) - (11) с учетом (12), (13) при 0 _ 0 приводятся к виду
sign[k - ивх - sin(u) - k - iA]; sign[k - ивх - sin(u - р) - к - iB]; (18)
UC = Um - sign[k - ивх - sin(u + р) - к - ic].
По уравнениям (18) построена структурная схема (рис. 2).
Уравнения (1) с учетом (16), (17) при 0_ 0 и If _ const преобразуются к виду
di
UA = Um UB = Um
r - iq +1-L -q dt
q + M-If - w_uq;
J -
dw
~dT
^эм _-mн 5
(19)
3 - M -1
2
f- iq
m
эм
Uq _ Um - sign(k1 - Uвх - k - iq )
(20)
Выводы. Предлагаемый способ оптимального управления вентильным двигателем на основе синхронного двигателя переменного тока (например, промышленно выпускаемой серии ДБМ) позволяет рассматривать возможность замены коллекторного двигателя постоянного тока, используемого в высокоточных системах слежения на более предпочтительный вентильный двигатель.
1. Дифференциальные уравнения (19) полностью аналогичны дифференциальным уравнениям коллекторного двигателя постоянного тока. Следовательно, и статические и динамические характеристики при управлении ВД по предлагаемому способу полностью аналогичны статическим и динамическим характеристикам коллекторного двигателя постоянного тока.
2. Из третьего уравнения (19) следует, что ток ^ пропорционален
электромагнитному моменту, следовательно, регулятор тока (20) является одновременно и регулятором момента. То есть, ВД приобретает дополнительно свойства оптимального по точности и одновременно оптимального по быстродействию моментного двигателя.
505
Список литературы
1. Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов по критериям точности, быстродействию, энергосбережению / В.В. Сурков [и др.]. Тула: Изд-во ТулГУ, 2005. 300 с.
2. Горев А. А. Переходные процессы синхронной машины. М.: ГЭИ,
1950.
3. Оптимальное по точности (быстродействию, энергосбережению) управление электромеханическими объектами / Б.В. Сухинин, В.В. Сурков, С.А. Цырук, Е.И. Феофилов. Тула: Изд-во ТулГУ, 2014. 140 с.
4. Патент 2354036 Российская Федерация. Способ управления вентильным двигателем и следящая система для его осуществления / Егоров А.Ю., Сухинин Б.В., Сурков В.В., Домнин А.Н., Сурков А.В.; заявитель и патентообладатель Тульский государственный университет. № 2007145131; заявл. 04.12.07; опубл. 27.04.2009.
Нгуен Тиен Зунг, асп., [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Чан Кхань, асп., khanh89hd@,gmail. com, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Сурков Виктор Васильевич, д-р техн. наук, проф., ivts.tiilgiiaramhler.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет
OPTIMAL FOR ACCURACY ENGINE T.D. Nguyen, T. Khanh, V. V. Surkov
Addressed issues of analytical design optimal on the accuracy of the cruise control power (torque) synchronous motor with position sensor rotor (valve electric) for monitoring systems, invariant to the external destabilizing factors and change the settings systems. Shows the hlock diagram of the control system shock valve electric. Are the results of mathematical modeling of the system in the various modes of operation.
Key words: torque engine, optimum accuracy, analytical design, servo system.
Nguyen Tien Dung, postgraduate, nguyentiendungl 08agmail. com, Russia, Tula, Tula State University,
Tran Khanh, postgraduate, khanh89hdagmmail. com, Russia, Tula, Tula State University,
Surkov Victor Vasilevich, doctor of technical sciences, professor, ivts. tulgu@,ramhler. ru, Russia, Tula, Tula State University.
