Синтез систем управления электромеханическими объектами по критериям точности Текст научной статьи по специальности «Математика»

Точность работы современных частотно-регулируемых асинхронных электроприводов обычно ограничивается ошибкой системы. Предлагаемое оптимальное управление позволяет свести ошибку систем автоматического регулирования к нулю (теоретически). Это повышает эффективность работы частотно-регулируемых асинхронных электроприводов и расширяет их функциональные возможности.

Список литературы

1. Усольцев А. А. Частотное управление асинхронными двигателями: учеб. пособие. СПб: СПбГУ ИТМО, 2006. 94 с.

2. Ловчаков В.И., Сухинин Б.В., Сурков В.В. Оптимальное управление электротехническими объектами. Тула: Издательство ТулГУ, 2004. 152 c.

3. Рудаков В.В., Столяров И.М., Дартау В.А. Асинхронные электроприводы с векторным управлением. / Л.: Энергоатомиздат, 1987. 136 с.

M. Prokofyev

Optimal in accuracy control of commercially manufactured asynchronous variable frequency electric drive.

Consideration is given to the solution of problem of obtaining optimal in accuracy control of asynchronous variable frequency electric drive shaft rotation speed basing on switching functions. The criteria of system stability is taken into account.

Key words: optimal in accuracy control, switching function.

Получено 02.11.10

УДК 681.513

М.Е. Прокофьев, инж.,

Б.В. Сухинин, д-р техн. наук, проф.,

В.В. Сурков, д-р техн. наук, проф., (4872) 33-23-34, eeo@tsu.tula.ru (Россия, Тула, ТулГУ)

СИНТЕЗ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ ПО КРИТЕРИЯМ ТОЧНОСТИ

Рассматривается «физический» подход к решению задачи точности на основе функций переключения. Показывается, что для нелинейных систем оптимальное по точности управление в общем случае состоит из n интервалов управлений, которые могут быть найдены один за другим по мере сжатия - расширения фазового пространства в процессе функционирования системы.

Ключевые слова: аналитическое конструирование оптимальных по точности регуляторов, количество интервалов управлений.

Введение. В практике создания систем автоматического управления (САУ) аналитическое конструирование оптимальных регуляторов (АКОР) А.А. Красовского [1], несомненно, является наиболее приемлемым для

230

инженерной практики. Однако этой теории присущи известные недостатки, связанные с использованием для расчета нелинейных САУ интегральных критериев. С прикладной, инженерной точки зрения подбор весовых коэффициентов критериев - это итерационная процедура. Только в весьма редких случаях удается с первого раза выбрать целесообразную форму и структуру критерия качества, который бы удовлетворял желаемой совокупности инженерных требований к САУ. Проблема целесообразного выбора весовых коэффициентов критерия даже для линейных САУ остается до сих пор в должной мере нерешенной. Кроме того, большинство разработчиков при анализе и синтезе оптимальных САУ предпочитают использовать определенные, имеющие ясный физический смысл критерии качества управления, такие, как критерий точности, быстродействия, критерии минимума расходов ресурсов (топлива, энергии, вещества и т.д.).

В настоящее время в теории и практике широкое распространение получили интегральные квадратичные обобщенные критерии качества САУ:

1 ¥

10 = 21

20

п 2 m 2

X qi ■ ^ (0 + X о •u2 (0 i=1 ]=1

dt . (1)

Важной особенностью квадратичных критериев качества вида (1) является возможность синтеза САУ, позволяющих неограниченно увеличивать коэффициент усиления системы без потери устойчивости, поскольку данные критерии оценивают качество стабилизации (x(/) (1,) ® 0 при t ® ¥) и, следовательно, гарантируют устойчивость синтезированных замкнутых систем. Чем меньше rj в критерии (1), тем меньше получится

10 при прочих равных условиях. Это определяет один из возможных путей учета целого комплекса требований к синтезируемым оптимальным системам: требуемое качество управления, заданную степень устойчивости, а также низкую чувствительность к параметрическим и координатным возмущениям.

Наилучший результат при таком подходе достигается в пределе при увеличении коэффициентов усиления до бесконечности (rj ® 0), причем

критерий качества (1) примет вид

T

J = |Fo(X^, Fo(X) > 0 - некоторая функция координат, (2)

0

при этом сигнал управления также неограниченно увеличивается, что невозможно выполнить в реальных системах и на управление приходится накладывать ограничение типа неравенств. Предполагается, что для рассматриваемой задачи определен соответствующий масштаб, вследствие чего на

функции управления Uj накладываются ограничения

£ 1, а линейный

регулятор с насыщением, соответствующим ограничению Uj £ 1, при увеличении коэффициента усиления системы до бесконечности трансформируется в идеальный релейный регулятор. В результате можно получить релейную оптимальную систему, которая обеспечит наилучшее качество стабилизации и достаточно быстрые и плавные переходные процессы. В критерии (2) Т - время регулирования - не фиксировано. Особенность критерия (2) состоит в том, что в замкнутой системе возможен режим, характеризующийся тем, что при среднем значении сигнала на входе, равном нулю, релейный элемент переключается с высокой частотой из одного устойчивого состояния в другое, а среднее значение сигнала на выходе по абсолютной величине меньше максимального, соответствующего одному из устойчивых состояний (скользящий режим). В работе [2] доказано, что релейная система в скользящем режиме эквивалентна линейной системе с бесконечно большим коэффициентом усиления. К основным свойствам таких систем относится равенство нулю всех коэффициентов ошибок системы, а также свойство инвариантности по отношению к внешним возмущениям и к изменениям параметров объекта.

Будем называть такую систему, работающую по критерию (2), который не зависит явно от управляющего воздействия, системой, оптимальной по точности.

В данной работе предлагается подход к решению задачи АКОР по критериям точности, основанный на использовании функций переключения оптимальных регуляторов, который позволяет не решать проблему выбора весовых коэффициентов критерия качества.

Постановка задачи. Рассмотрим объект с одним управляющим воздействием, уравнение возмущенного движения которого

X^) = А(X) + В(X) • и О1), (3)

где X е Яп - вектор отклонений фазовых координат состояния объекта от заданной траектории движения; А( X) - матрица-столбец с элементами щ(X) = щ(Х1,Х2,...,хп), г = 1,2,...п, представляющими собой нелинейные однозначные функции от составляющих вектора состояния объекта;

В^) = (¿1,¿2,...,Ьп) - вектор-столбец с элементами ¿1 = 0, ¿2 = 0, •••,

Ьп _1 = 0, Ьп = 1; управляющее воздействие и(1) принадлежит замкнутому множеству и и на него наложено ограничение

\и^)\ £ 1 (4) Область и допустимых управлений определяется двумя условиями: классом допустимых (непрерывных или кусочно-непрерывных) функ-

ций и дополнительным ограничением (4) эксплуатационного или конструктивного характера, накладываемыми на u(t) внутри данного класса.

Применение современных методов синтеза для решения поставленной задачи приводит к выводу, что необходимым условием оптимальности управления объектом (3) по критерию (2) при ограничении (4) является релейный закон управления

u = -sign[y(X)], (5)

где y(X) - оптимальная функция переключения регулятора (которую

можно рассматривать как агрегированную переменную [3]), причем у = 0 - поверхность переключения, соответствующая оптимальному управлению (5).

Дальнейшее стандартное решение задачи подразумевает подстановку управления (5) в уравнения Беллмана или гамильтониана, что приводит к необходимости решать либо нелинейное уравнение Беллмана в частных производных, либо нелинейную двухточечную краевую задачу, причем для конкретного критерия качества. Поскольку такие решения представляют известные математические трудности, поставим задачу поиска не оптимального управления u, а функции y , стоящей под знаком sign в выражении управления (5). При такой постановке определение оптимальной функции переключения y означает одновременно и решение задачи АКОР по критерию точности, причем для критерия, который записан в общем виде.

Методы и алгоритм решения. Решение задачи основано на использовании основного функционального уравнения относительно искомой оптимальной функции переключения. Для его получения найдем скорость проникновения [1], то есть проекцию вектора относительной скорости, изображающей точки на нормаль к поверхности переключения у = 0 с учетом уравнений объекта (3):

у(X) = G • X = GA + GBu .

Здесь G = (g1,g2,...,gn); gi = Эу/Эх; управление u определяется формулой (5). Для сокращения записи обозначим f (X) = GA и j(X) = GB, тогда

y(X) = G • X& = f (X) + j(X) • u . (6)

Соотношение (6) является следствием решения стандартной задачи АКОР применительно к релейным системам вариационными методами (динамическое программирование, принцип максимума) и устанавливает связь между уравнениями объекта (3), искомой оптимальной функцией переключения (агрегированной переменной), оптимальным управлением и функциями f (X) и j( X), требующими своего определения. Функциональное дифференциальное уравнение (6) справедливо во всем фазовом пространстве, поскольку оно является обобщенным уравнением

объекта (3), т.е. уравнение (6) эквивалентно уравнениям объекта (3). Действительно, во-первых, уравнение (6) формируется на основе всех уравнений объекта, во-вторых, для объекта (6) можно составить уравнение Беллмана:

[ , х &Б 1 1 а 1

ш1п и р0( X)+^ _ _ = ш1п и Г0^) + •у Эу

0.

где

У =

dy

&

V

ЭХ

• X.

(7)

(8)

у

Подставляя (8) в уравнение(7), можно получить уравнение

лТ

Ш1П

и

Ро( X ) +

V

а?

Эу

У

= 0.

которое в точности совпадает с уравнением Беллмана, составленным для исходного объекта (3). Отметим, что соотношение (6) использовали в своих трудах многие авторы, например, А. А. Красовский [1] в АКОР по критерию обобщенной работы для определения условия возникновения скользящего режима, и которое "... всегда выполняется в достаточно малой окрестности начала координат", Е.А. Барбашин [4] и В.И. Уткин [5] в исследованиях скользящих режимов, А. А. Колесников [3] в синергетической теории управления, который назвал соотношение (6) обобщенным функциональным уравнением и обосновал данное название. Обоснование того, что уравнение (6) эквивалентно уравнениям (3), можно найти также в трудах Павловского Ю.Н. [6] и Петрова Ю.П. [7].

Предлагаемый подход к решению задачи АКОР по критериям точности (2) основан на следующем утверждении.

Утверждение 1. Если управление (5) переводит устойчивый объект (3) или эквивалентный ему объект (6) из начального состояния X (0) = X о (у( X о) = Уо) в конечное нулевое X (Т) = 0 (у(0) = 0) и доставляет на траекториях движения объекта минимум критерию точности (2) при ограничении на управляющий сигнал (4), т.е. если управление оптимально, то выполняется условие:

\/(X)| < Ф(X). (9)

Доказательство утверждения. Пусть управление (5) оптимально, следовательно, оно переводит и удерживает объект на поверхности переключения у( X) = 0, а поскольку у(0) = 0 и объект устойчив, то управление (5) переводит его в конечное нулевое состояние. Из функционального уравнения (6) следует, что объект можно удержать на поверхности переключения ) = 0 только за счет изменения знака производной от функции переключения под действием управления (5). Это означает, что должно выполняться условие (9).

Пусть условие (9) выполняется. Тогда управление (5) переводит объект на многообразие у( X) = 0 и удерживает его на многообразии, а в силу того, что объект устойчив и у(0) = 0 , управление (5) переводит объект по многообразию в начало координат, т.е. управление (5) оптимально по критерию точности (2).

Таким образом, для того, чтобы управление (5) было оптимальным, необходимо и достаточно выполнения условия (9). И для того чтобы условие (9) выполнялось, необходимо и достаточно оптимальности управления

(5).

Следствие. Из условия (9) следует, что функция ф^) в уравнении

(6) должна быть положительно определенной, т.е. ф^) > 0.

При произвольной функции ф^) Ф 0 уравнение (6) и соответственно уравнение (3) могут быть преобразованы так, чтобы функция при управлении и^) была бы положительно определенной. Действительно, подставляя функцию ф( X), представленную в виде

ф( X) = ф( X )| • sign[ф( X)],

в функциональное уравнение (6) и обозначая

и* = и • sign(ф), (10)

получим уравнение (6) в виде

у (X) = / (X) + ф( X )| • и *. (11)

Пусть условие (9) для уравнения (11) выполняется, т.е.

/(X)| <ф(X)|. (12)

Поскольку управление и * удовлетворяет ограничению (4) и уравнение (11) аналогично уравнению (6), то в соответствии с утверждением

и* = -sign(y). (13)

Решая совместно уравнения (10) и (13), получим закон оптимального управления объектом (3) для случая любой функции ф^) Ф 0 :

и = и * -57£п(ф) = -SІgn(y•ф), (14)

Подставляя (14) в (3), получим преобразованные уравнения объекта X = А + ВТ • sign(GB) • и *. (15)

Для оптимального управления объектом (15) необходимо и достаточно выполнить условие утверждения, причем само оптимальное управление определяется формулой (14). Будем предполагать, если не оговорено специально, что функция ф^) удовлетворяет условию утверждения.

Процесс движения объекта (3) под действием управления (5) можно условно разбить на два этапа [3]: первый этап (первый интервал) устойчивого движения к поверхности переключения ) = 0 и второй этап движения вдоль поверхности ) = 0. На втором этапе в силу ) = 0 производная у (X) = 0.

Решим уравнение у(X) = /(X) + ф(X) • и = 0 относительно управления (найдем эквивалентное управление и2 [5], обеспечивающее движение вдоль у( X) = 0), при этом учтем неравенство (9):

/ (X) |У(х)\ . Г/.^Л1

и2 =---------77^ = -^7 • ^п[/(X)]. (16)

Ф(X) Ф(X)

Отметим, что оптимальное управление на втором этапе одно и то же и определяется по формуле (5). Эквивалентное управление (16) является всего лишь следствием (преобразованием) основного управления (5) в силу дополнительного уравнения у( X) = 0, появляющегося на втором этапе.

Если решить теперь уравнение у (X) = Х1 +о( Х2, Х3,..., хп) = 0 относительно выходной (самой "медленной") координаты: Х1 = о(х2, Х3,..., хп) и подставить Х1 в уравнения объекта (3) и эквивалентного управления и2 (16), то можно увидеть, что на втором этапе движения объекта вдоль y(X) = 0 произошло сжатие фазового пространства в момент переключения на одну координату:

|/( ^ Х3,..., Хп ,и')\ . г/у л^Л

и2 = -—;-------------^ ^п[/(хъ Х3,..., Хп,и)].

ф( ^ Х3,..., Хп )

Отметим, что условие (9) является одновременно необходимым и достаточным условием сжатия фазового пространства в момент переключения.

Процесс движения объекта (3) на втором этапе под действием управления (16), в свою очередь, можно условно разбить также на два этапа: первый этап (второй интервал) устойчивого движения к поверхности переключения /(X) = 0 и второй этап движения вдоль поверхности / (X) = 0.

Если обозначить функцию / (X) в эквивалентном управлении (16) новой функцией переключения второго интервала у2(Х2,Х3,...,Хп) = = / (Х2, Х3,..., Хп), то по отношению к новой функции у 2 второго интервала можно, в свою очередь, повторить все рассуждения. Выполняя аналогичные действия последовательно (п -1) раз, приходим к выводу, что фазовое пространство постепенно сжимается до единицы, причем

II, , 1111! ,..., Хп ,и')\ .

Ы < Щп-1 < ... < Р2 < и = 1, и = -------- ------—^Sign(yi),

Фi-1( Х,..., Хп )

i = 2,3,..., п , последняя функция переключения будет состоять всего лишь из одной координаты хп : уп = хп , а последнее эквивалентное управление щп переводит и удерживает точку в начале координат.

Утверждение 2. Если неустойчивый объект управления описывается нелинейным дифференциальным уравнением (3) п-го порядка, то для оптимального по точности управления необходимо и достаточно не более

ния 1-го интервала у- (i = 1,2,..., п -1) определяется функциональным уравнением уi (X) = /- (X) + ф- (X) • и, а последнего (п-го) интервала фп = хп .

Приведенные утверждения позволяют предложить следующий алгоритм решения задачи АКОР систем, работающих в соответствии с критерием (2).

1. Относительно искомой функции переключения у( X) записывают функциональное уравнение (6) с учетом уравнений объекта (3).

2. Выбирают (например, произвольно или из некоторых физических соображений, аналогично подходу В.И. Уткина [5] или иных, например, аналогично подходу А.А. Колесникова [3]) коэффициенты матрицы G так, чтобы условие (9) выполнялось, или обеспечивают выполнение условия (9), например, используя метод подчиненного управления.

3. Интегрированием уравнения (6) определяют функцию у(X) и оптимальное по точности управление.

4. Если с найденным управлением объект неустойчив (например, при моделировании), то повторяют предыдущие пункты для второго интервала и т.д.

Замечание 1. Из утверждений следует, что для определения оптимального по критерию (2) управления необходимо и достаточно выполнить единственное условие (9).

Замечание 2. Назовем условие (9) необходимым и достаточным условием управляемости оптимальной системы с устойчивым объектом.

1. Поскольку критерий качества записан в общем виде, то функциональному дифференциальному уравнению (6) удовлетворяет бесконечное множество функций переключения у(X) и можно определить бесконечное множество оптимальных по точности управлений, отличающихся друг от друга, например, временем регулирования.

2. Из-за неопределенности критерия (2) следует, по мнению авторов, несущественный недостаток предлагаемого подхода: трудность определения конкретного вида критерия качества, соответствующего найденному оптимальному по точности управлению.

Пример. Пусть задана система Х^) + /1(Х1) = и(?) и /1(Х1) = Х1 . Запишем уравнения движения объекта в форме Коши:

п интервалов управлений и- =

SІgn(Уi), причем функция переключе^

Выводы:

Выбор примера (17) обусловлен тем, что в данном случае имеется довольно редкая возможность найти точное выражение для линии переключения оптимального быстродействующего управления [8]:

Х1

I I /

1 1 — x2 + Х2

—ln

6 (i+| x2|)2 V3

1 arctg—2 slgn( Х2) — 1

11

:j3aTCtg73

slgn( Х2), (18)

Составим функциональное уравнение (6) для системы (17):

¥(X) = g1 ' Х1 + g2 ' Х2

(19)

и подставим в (19) уравнения объекта (17): у = gl • Х2 - g2 • Х2 + g2 • и .

Здесь /(X) = gl • Х2 - g2 • х|, ф(X) = g2 > 0.

Запишем условие (9), которое в данном случае примет вид

g1' Х2

g 2 ' Х2

<

g2 . Из уравнений объекта (17) следует, что для позиционных и следящих систем Х2 < 1 (в установившемся режиме при максимальном управляющем воздействии). Выбирая знак равенства в последних двух соотношениях и решая их совместно, получим |g1 — g2 = |g2 . Будем искать решение среди g1 = const и g2 = const > 0, тогда g1 = 2g2. Интегрируя функциональное уравнение (19) при g2 = g1/2, получим функцию переключения y(X) = g1' Х1 + g1' Х2 / 2 + C, где С - постоянная интегрирования. Величину C легко найти из условия y(0) = 0 (поверхность переключения для оптимального управления должна проходить через начало координат). Учитывая g1 > 0, имеем оптимальное по критерию точности (2) управление

и = — sign

g1 ' Х1 + g1 '

Х2

2

= — sign

Х1 +

Х2

2

(20)

На рисунке показаны результаты моделирования системы (17) с управлением (18) (кривые, обозначенные цифрой 1) и с управлением (20) (кривые, отмеченные цифрой 3).

Достоинством предлагаемого подхода к решению задач АКОР по критериям точности является то, что он дает проверочные достаточные условия оптимальности. Покажем это на данном примере.

Известно, что для объекта, состоящего из двух интеграторов, включенных последовательно, оптимальное по быстродействию управление [9]:

и

-sign

Х1 +

|Х2|' Х2 2

(21)

Получим функциональное уравнение (6) с учетом управления (21). Для этого найдем производную от функции переключения управления (21) у = Х1 + |х2| • Х2 и подставим уравнения объекта (17). В результате имеем

I I 3 I I V = /(X) + ф(X) • и = Х2 - Х2 • Х2 + \Х2\• и .

Запишем условие | Г(X) | £ ф(Х) для предполагаемого управления (21) | х2 -1 х2 | х2 | £ | х2 | или 0 £ | х2 | £ ^2 , что выполняется для позиционных и следящих систем. Следовательно, управление (21) является оптимальным управлением по критерию точности (2), однако конкретный вид критерия для управления (21) записать затруднительно.

1.2

Результаты моделирования переходных процессов объекта (17) с оптимальными управлениями: (18) (кривые 1),

(21) (кривые 2), (20) (кривые 3)

Степень оптимальности по быстродействию системы (17) с управлением (21) можно оценить путем сравнения результатов моделирования

239

переходных процессов объекта с оптимальным быстродействующим управлением (18) (кривые 1 на русунке) и управлением (21) по критерию точности (кривые 2). Из рисунка следует, что эти кривые практически совпадают, однако управление (21) намного проще управления (18).

Список литературы

1. Красовский А. А. Аналитическое конструирование контуров управления летательными аппаратами. М.: Машиностроение, 1969. 240 с.

2. Цыпкин Я.З. Теория релейных систем автоматического регулирования. М.: Гостехиздат, 1955. 456 с.

3. Колесников А. А. Синергетическая теория управления. М.: Энер-гоатомиздат, 1994. 344 с.

4. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967. 223 с.

5. Уткин В.И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления. М.: Наука, 1981. 367 с.

6. Павловский Ю.Н. Теория факторизации и декомпозиции управляемых динамических систем и ее приложения // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1984. № 2. С. 45 - 57.

7. Петров Ю.П. Вариационные методы теории оптимального управления. М.: Энергия, 1977. 280 с.

8. Клюев А.С., Колесников А.А. Оптимизация автоматических систем управления по быстродействию. М.: Энергоиздат, 1982. 240 с.

9. Куропаткин П.В. Оптимальные и самонастраивающиеся системы. Л.: Госэнергоиздат, 1975. 303 с.

M. Prokofiev, B. Suhinin, V. Surkov

Synthesis of electromechanic objects control systems by accuracy criteria

Consideration is given to the solution problems of “physical” approach of accuracy basing on switching functions. It is shown that in case of nonlinear systems, optimal in accuracy control in its general case consists of n control intervals, which can be determined in sequence according to compressing and broadening of phase space during functioning of the system.

Key words: analytical construction of controllers optimal in accuracy, number of control intervals.

Получено 02.11.10