Решение задачи оптимального быстродействия методом проекций Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 681.513.52

Д.В. Козлов, асп., (4872)-34-58-50, 910-162-08-70,

МгКо21оуЭУ@гашЬ1ег.ш (Россия, Тула, ТулГУ),

В.В. Крючков, асп., (4872)-33-51-08, 919-078-21-78,

Ь1аскрйсИ@гашЬ1ег.ги (Россия, Тула, ТулГУ)

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО БЫСТРОДЕЙСТВИЯ МЕТОДОМ ПРОЕКЦИЙ

Предложен новый численный метод решения задачи оптимального по быстродействию управления линейным неосциллирующим объектом, в основе которого лежит понятие проекции изображающей точки на поверхность переключения. Главным достоинством метода является то, что для управления не требуется знать уравнение поверхности.

Ключевые слова: релейное управление, оптимальное быстродействие, поверхность переключения, изображающая точка.

1. Введение

Особое место среди систем управления электротехническими объектами занимают релейные системы, неослабевающий интерес к которым объясняется рядом их замечательных свойств: инвариантностью к внешним возмущениям, низкой чувствительностью к параметрическим возмущениям, возможностью получения оптимального по быстродействию управления. Кроме того, релейные системы имеют простую конструкцию, практически не требуют настройки, легки в эксплуатации [1, 8].

Однако конструирование быстродействующих релейных регуляторов связано с серьезными трудностями [3, 6], что делает весьма актуальной разработку не только аналитического, но и численного метода решения этой задачи.

2. Постановка задачи

Рассмотрим неосциллирующий линейный объект, уравнение возмущенного движения которого можно представить в виде

&Х (? )/ & = АХ (?)+ Ви(), (1)

где X е Яп - вектор отклонений фазовых координат объекта от заданной траектории движения; А - матрица объекта, имеющая размерность п х п;

Т

В = (Ь^,^2,...,Ьп) - вектор-столбец с элементами Ьг- = 0, / = 1...п -1, Ьп = 1;

и ^ )И 1 (2)

управляющее воздействие, которое в оптимальных по быстродействию системах должно доставлять минимум функционалу

Т

3 ^ шт (3)

0

Известия ТулГУ. Технические науки. Вып. 1. 2010 при переводе объекта управления из начального положения X(0) = Х0 в конечное нулевое X (Т) = 0.

Как известно [7] для объекта (1) можно определить функцию у, называемую «поверхностью переключения», которая при ограничении (2.2) и условии минимизации функционала (3) связана с оптимальным законом управления и соотношением

и = -£ign(у). (4)

В замкнутой форме поверхность переключения можно найти для объектов не выше третьего порядка. Неизвестно ее аналитическое представление даже для системы из п последовательных интегрирующих звеньев при п > 4.

Ниже предлагается метод, позволяющий определить момент пересечения траектории движения изображающей точки объекта (1) с поверхностью переключения у текущего интервала. Его эффективность подтверждается моделированием оптимального по быстродействию управления двигателем постоянного тока, описываемого дифференциальным уравнением третьего порядка.

3. Метод проекций

Для наглядности, не влияющей на сущность предлагаемого метода, рассмотрим объект третьего порядка.

Пусть точка р(хю^сь-^зо) характеризует его начальное положение в фазовом пространстве. Под действием управления (4) она начнет перемещаться к началу координат по некоторой траектории. Согласно теореме об п-интервалах [9] всю траекторию можно разделить на участки Р3Р2, Р2Р и Р1Р0, внутри которых знак управления не меняется, причем количество их не превышает по- Рис. 1. Движение объекта

рядок системы (рис. 1). в фазовом пространстве

* I * \

Обозначим через Р3 ш ,Х20,Х30) проекцию точки Р3 на поверхность переключения у при фиксированных координатах Х2 и Х3. В свою оче-

*

редь, криволинейный отрезок Р3 Р2 будет представлять собой проекцию траектории движения точки Р3 на первом интервале управления.

В соответствии с принципом оптимальности Беллмана, если вся траектория оптимальна, то объект из состояния Р3 перейдет в состояние за минимальное время. Следовательно, управляющий сигнал должен наискорейшим образом уменьшать отклонение 8 точки Р3 от плоскости

*

а, проходящей через точку Р3 и имеющую нормаль, параллельную оси 0X1.

Управление, вычислительная техника и информационные технологии Из аналитической геометрии известно [4], что 8> 0, если начало

*

координат и точка Р3 лежат по разные стороны от плоскости а (рис. 2, а), и 8 < 0, если по одну сторону (рис. 2, б).

а>о;р*

а

ё<0

б

Рис. 2. Отклонение 8 точки Р3 от плоскости а

Очевидно, для выполнения условия 8 ^ 0 управление на первом интервале должно иметь вид

Щ = -81^(81) = -sign{xl - X* ). (5)

Как только изображающая точка Р3 окажется на поверхности у, начнется второй этап движения, при этом фазовое пространство сожмется,

и положение объекта будет зависеть уже от двух координат Х2 и Х3, стар-

шей из которых станет Х2.

Таким образом, по аналогии с (5) управление для i -го интервала можно записать как

Щ = _^(х _ х*). (6)

Запись (6) означает, что для оптимального по быстродействию управления объектом (1) на i -м интервале его движения в фазовом пространстве размерностью п - i +1 необходимо прикладывать такое управляющее воздействие щ , которое будет уменьшать отклонение 8i• изобра-

жающей

точки

от

гиперплоскости,

параллельной

ОХ^+1XI + 2 — Хп _1 Хп и проходящей через точку проекции Рп-!+1 .

В рассматриваемом случае, когда порядок системы равен трем, на первом интервале гиперплоскостью, проходящей через точку проекции, является обычная плоскость, параллельная ОХ2Х3; на втором интервале она вырождается в линию, параллельную оси ОХ3 ; на третьем представляется точкой в начале координат.

В управлении (6) единственной неизвестной величиной является

*

значение проекции старшей координаты х^ на гиперплоскость. Для ее оп-

Известия ТулГУ. Технические науки. Вып. 1. 2010

т

ределения рассмотрим движение точки Р3 X ,Х20,хзо! вдоль траектории

* *

Рз Ре в проекции на плоскость ОХ2X3 (рис. 3).

Момент времени *е выбира-

* *

ется так, чтобы точки //,- и /3 на**

ходились по разные стороны у , то есть знаки сигналов управления должны быть противоположными. Если знак не меняется, необходимо увеличить значение .

Далее, полагая

*¥ЛЯ = (*3 + *Е)/2, определяется

*

управление в точке Руля и сравниваются знаки сигналов в точках

* *

Руля и Р3 . При совпадении знаков

Рис. 3. Проекция траектории

*

движения точки Р3 на плоскость ОХ2X3

*

необходимо принять Руля за новую * * точку Р3 , при различии - Руля за

Е-

Процедура повторяется до тех пор, пока интервал времени [*3, *е ] не станет сравним с шагом дискретизации.

*

Определенное значение Руля принимается за точку пересечения

*

проекций траектории объекта и поверхности переключения Р[ , а время *уля - за момент смены знака сигнала управления.

Зная *уля и знак сигнала управления, из уравнений объекта, проинтегрированных в обратном времени [5], можно найти значение проекции

*

старшей координаты хг- данного интервала.

Применяя описанный выше алгоритм на всех интервалах "попятно-

то есть

го движения, начиная с последнего, для которого ип рассматривая системы все большей и большей размерности, можно определить все времена переключения сигнала управления и восстановить оптимальную траекторию объекта. При этом необходимо учитывать, что конечная точка I - го интервала движения является начальной точкой (г -1)-го интервала, где г = п...1 [2].

4. Оптимальное управление двигателем постоянного тока

В качестве примера рассмотрим оптимальное по быстродействию управление двигателем постоянного тока, уравнения движения которого в форме Коши имеют следующий вид:

Х = а\%2, X2 = «2Х3, ^ (7)

где коэффициенты а\ = 1; «2 = 2788; «з = 2,24; «4 = 125; а5 = 1163, а в качестве координат Х1, Х2, Х3 выступают соответственно угол поворота, скорость вращения и ток в цепи якоря.

Для формирования управляющего сигнала использовался метод проекций, описанный выше.

Моделирование перевода объекта (7) из начального состояния (- 4;0;0) в конечное нулевое производилось в математическом пакете Мар1е у12 при шаге дискретизации, равном 0,0001 с (рис. 4).

(

А Л'

Рис. 4. Изменение координат, сигнала управления и проекции х*

В таблице приведены значения координат изображающей точки Р,

*

а также ее проекции Р на поверхность переключения с шагом 0,005 с.

Таблица

Изменение координат изображающей^ точки

г Р & Р

Хі Х2 Хз Х1

0,0000 -4,0000 0,0000 0,0000 0,0000

0,0050 -3,9352 34,7943 4,2872 -0,3505

0,0100 -3,5811 109,0882 6,0171 -1,3445

0,0150 -2,8152 195,9061 6,2477 -2,5024

0,0200 -1,6924 231,8474 1,4574 -1,5638

0,0250 -0,6473 166,2783 -6,8933 -0,6237

0,0300 -0,1002 58,8473 -8,5981 -0,0865

0,0350 -0,0013 0,5901 -0,3634 -0,0002

0,0400 0,0000 -0,0080 0,0427 0,0000

0,0450 0,0000 0,0000 -0,0051 0,0000

Как показало моделирование, метод обладает достаточной для практики точностью и не требует применения мощной вычислительной техники.

Таким образом, предлагаемый в работе метод проекций позволяет существенно упростить решение задачи оптимального по быстродействию управления линейными неосциллирующими объектами высокого порядка. Вычисление моментов времени смены знака сигнала управления происходит в автоматическом режиме и не требует знания уравнения поверхности переключения.

Список литературы

1. Клюев А.С., Колесников А.А. Оптимизация автоматических систем управления по быстродействию. М.: Энергоиздат, 1982. 240 с.

2. Козлов Д.В., Крючков В.В., Сурков В.В. Подход к решению задачи оптимальных по быстродействию управлений // Изв. ТулГУ. Сер. Проблемы управления электротехническими объектами. Вып. 3. 2005. С. 14-16.

3. Колесников А.А. Синергетическая теория управления. М.: Энер-гоатомиздат, 1994. 344 с.

4. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М.: Наука, 1974. 832 с.

5. Крючков В.В., Сурков В. В. Решение задачи оптимального быстродействия при использовании «обратного времени» // Системы управления электротехническими объектами: сб. научных трудов четвертой Всероссийской научно-практической конференции. Тула: ТулГУ, 2007. Вып. 4С. 112-114.

6. Справочник по теории автоматического управления / под ред. А.А. Красовского. М.: Наука, 1987. 712 с.

7. Сурков А.В., Сухинин Б.В. Аналитическое конструирование оптимальных по быстродействию систем // Изв. ТулГУ. Сер. Проблемы управления электротехническими объектами. Вып. 3. 2005. С. 119-122.

8. Сурков В.В., Сухинин Б.В. Современные проблемы оптимального управления электротехническими объектами // Системы управления электротехническими объектами: сб. научных трудов четвертой Всероссийской научно-практической конференции. Тула: ТулГУ, 2007. Вып. 4С. 100-103.

9. Фельдбаум А.А. Основы теории оптимальных автоматических систем. М.: Наука, 1966. 624 с.

D. Kozlov, V. Kryuchkov

Solving the time-optimal control problem by projection method

A new numerical method for solving the time-optimal control problem of linear nonoscillating object is proposed. It is based on the concept of representation point projection on the switching surface. The main advantage of this method is that it isn't needed the equation of the surface.

Keywords: relay control, optimal performance, the surface of the switch image point.

Получено 12.01.10

УДК 658.5:502.1:519.852

Е.В. Фалина, канд. техн. наук, доц., (4872) 35-37-60, [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ)

УПРАВЛЕНИЕ БЕЗОПАСНОСТЬЮ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ И ЭКОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ПРИ ПОМОЩИ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

Рассматриваются вопросы производственной и экологической безопасности при возникновении ЧС. Предлагается способ управления безопасностью производственных и экологических процессов при помощи планирования экспериментов.

Ключевые слова: безопасность, производственные процессы, экологические процессы, планирование, эксперименты.

Основной целью управления безопасностью труда является организация работы по обеспечению безопасности, снижению травматизма и аварийности, профессиональных заболеваний, улучшению условий труда на основе комплекса задач по созданию безопасных и безвредных условий труда.

Труд играет исключительно важную роль в жизни и деятельности каждого человека. Большую часть жизни человек участвует в общественно полезном труде в сфере производства и прочих областях.

На качественную работоспособность человека как неотъемлемого звена каждого предприятия, организации влияет ряд факторов. К ним от-