Модифицированный метод фазового пространства в решении задач быстродействия Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.513

МОДИФИЦИРОВАННЫЙ МЕТОД ФАЗОВОГО ПРОСТРАНСТВА В РЕШЕНИИ ЗАДАЧ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ

В.И. Ловчаков, А.Э. Соловьев, Ю.Ю. Дорохин

Для линейных объектов предлагается метод синтеза оптимальных по быстродействию замкнутых систем управления, в котором определение функции переключения оптимального регулятора сведено к решению линейного уравнения в частных производных методом характеристик с использованием результатов метода фазового пространства.

Ключевые слова: система управления, фазовое пространство, критерий быстродействия, функция переключения, скорость проникновения поверхности пер е-ключения.

1. Постановка задачи управления

Решение задач быстродействия в форме обратной связи представляет серьезную теоретическую проблему как для нелинейных, так и линейных объектов, а с учетом широкого распространения данных задач - также и практически важную задачу, которая относится к центральной проблеме современной теории автоматического управления [1].

В работе развивается, уточняется «физический» подход к решению задачи быстродействия [1-3] применительно к классу линейных объектов, движение которых описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ):

■ п

\х] (о, со=/2 о2 (о, *3 (о, -,хп (0)=2Х-*; (')>

(1)

_[(О,-, хп(1)=аппхп(Г) + Ъи(1), |Ц0|^тах=1,

7=3

где / (.) -линейные функции от фазовых координат объекта; - сигнал управления, ограниченный по модулю величиной итах; аг], Ь - параметры

объекта. Подчеркнем, что матрица параметров а имеет верхнюю треугольную форму.

Необходимо отметить, что класс объектов управления, описываемых уравнениями (1), относительно широк для практических приложений. Во-первых, отметим, что к описанию в форме (1) приходим при использовании канонического вектора состояния X(¿) = (х(/%х(1)(/%...,х{п)^))Т объекта, если последнее уравнение с управляющим сигналом содержит одну фазовую координату. Во-вторых, форма (1) отвечает объектам, структура которых представляется последовательным соединением звеньев, описывающихся указанными дифференциальными уравнениями первого поряд-

ка. В-третьих, описание многих объектов соответствующим выбором вектора состояния можно привести к форме (1).

Соответственно задача управления формулируется следующим образом: требуется найти замкнутое управление, переводящее объект их начального состояния X(0)=X0 в конечное нулевое состояние X(T)=0 за минимальное время T.

2. Подход к решению задачи управления

Подход, в основе которого лежат результаты работ [1-3], сжато можно сформулировать следующим образом. Как известно, решение задачи быстродействия имеет вид

u = -sign[^( X)], (2)

где щ(X) - функция переключения (щ(X)=0 - соответственно поверхность переключения оптимального релейного регулятора).

Для объекта (1) найдем скорость проникновения поверхности переключения

(3)

dt ^ г)х ^ г)х г)х

(л I U и и лп

С использованием понятия скорость проникновения поверхности в работах [1, 2] для объекта n -го порядка, входящего в класс (1), доказано, что оптимальное управление имеет n интервалов управления вида

uk = -sign[yk (X)], к = 1,2,..., n, (4)

причем для последнего установлено

Щи (X) = . (5)

В данной работе также показано, что управление к-го интервала (4) переводит изображающую точку (ИТ) движения системы (1) на поверхность \\!к(Х) = 0, а управление ик+] удерживает ИТ на поверхности i|/yt(X) = 0, что за собой влечет выполнение равенства vj/yt(i) = 0. На этом основании, подставляя в уравнение (3), записанного для функции переключения k-го интервала, управление uk+1 =-sign[^k+1(X)], получаем уравнение для определения искомой функции переключения

«О = Я] = о. (6)

м dxt дхп

Подчеркнем, что в данном уравнении можно считать sign[yk+1 (X)] = const = ак, так как функция переключения щ+1 (X) не меняет знака на к-м интервале управления, она изменяет знак только на следующем (к+1)-м интервале.

Решая уравнения в частных производных вида (6) при нулевых начальных условиях щк (0) = 0 (это вытекает из смысла задачи управления, в частности, из X(T)=0), можно найти функции переключения щ (X) для каждого к -го интервала управления.

Для объектов (1) с треугольной матрицей параметров решение задачи быстродействия с использованием указанного подхода можно существенно упростить, проведя его декомпозицию на решение п подзадач управления для подобъектов порядка 1, 2, ..., n соответственно. Идею декомпозиции наиболее просто пояснить на примере объектов структуры с последовательным соединением звеньев.

Решение задачи на n-м интервале управления

Решение на данном интервале соответствует нахождению быстродействующего управления для объекта первого порядка

К (0 = Vn (0+МО, \Щ < umax = 1 (7)

(первого звена последовательного соединения, на которое непосредственно действует сигнал управления). Для этого объекта такое управление известно

U (t) = -sign[ хп (t)] (8)

и совпадает с утверждением (5).

Решение задачи на (п-1)-м интервале управления

Решение на данном интервале соответствует нахождению оптимального упраш1енищпщ1&1е^^^щрого порядка

X„(t) = fn(xn(t)) + bu(t) - первых двух звеньев последовательного соединения.

Для объекта (9) конкретизируем уравнение (6):

■ /n-,(Xn-„ Xn) + Шх„) - К ] = 0. (10)

а хи а хи

Здесь и в дальнейшем применение общих выражений вида (6), (10) будем иллюстрировать на примере интегрирующего объекта содержащего два или три последовательно включенных интеграторов.

Для интегрирующего объекта (9) имеем /ч(X) = хп, /(хп) = 0 и

■ х -э^шЬа =0. (11)

dn ^ n \ У

х„ _1 а хи

Перейдем от функции переключения ч(хихп) к поверхности переключения ч(хихп) = 0, которую будем описывать функцией х_1 = z( хп). Относительно этой функции уравнение (11) преобразуется в

обыкновенное дифференциальное уравнение хи + -dz ■ bап = 0, имеющее

d х

п

при нулевом начальном условии решение z(хп) = -х2п / (2Ьаи), которое с учетом решения задачи на предыдущем п-интервале (ап =-sign[ хп ]) запишем так: z(хп ) = -х2п / (2ban) = -х2п / (2b ■ sign(хп )) = -хп |хп | / (2b). Соответственно искомая функция переключения будет описываться выражением

= + хп К| / (2 Ь), (12)

известным в литературе [1,4].

Решение задачи на (п-2)-м и последующих интервалах управления Решение на данном интервале соответствует нахождению быстро-действз^ощегс^и]}^ третьего порядка

\)1 хп-г(0 = /„-1(^1(0,*„(0Х

(13)

- первых трех линеиных звеньев последовательного соединения.

Для объекта (13) уравнение (6) принимает вид

(х х

^ У п-2 \Лп-2 ■> Лл-\ > / ^ ~ J п-\\лп-\*лп) ^

ОХ 0 ох л

п—2 /2—1

"^==+х» Iх»!7 (2*)]- (14)

п

Решение данного уравнения даже при переходе к поверхности переключения, описываемой функцией от двух переменных хп_2 = г(хп_19хп)9 представляет серьезные трудности. Эти трудности многократно увеличиваются при решении уравнений в частных производных, определяющих функции переключения на последующих интервалах управления, так как искомые функции зависят от большего числа координат объекта. Указанные трудности в определенной степени можно ослабить с использованием идей метода фазового пространства [4].

3. Применение результатов метода фазового пространства

Задача быстродействия полностью решена для объектов второго порядка методом фазовой плоскости (пространства) [4]. Применим этот метод к решению задач быстродействия третьего порядка в рамках сформулированного подхода, причем для простоты описания методики синтеза оптимального регулятора ограничимся рассмотрением простейшего объекта управления, представляющего собой последовательное соединение трех интегр атоюо^^^^^^^^^^

> ЬиЦ), |и(/)| < ит = 1

Отметим, что для объекта (15) известно точное решение задачи быстродействия [1,4].

Следуя методу синтеза [3], последовательно будем определять оптимальное управление на каждом из трех интервалов управления, начиная с последнего, для которого оно известно: г/3(/) = .

Определение управления на втором интервале

Нахождение управления на данном интервале соответствует определению оптимального управления для объекта второго порядка

х2(0 = х3(0, *з(0 = Ьи(?)9 (16)

которое описывается выражением u2(x2,x3) =-sign[y 2(x2,x3)], причем функция переключения y2(x2, x3) удовлетворяет дифференциальному уравнению в частных производных

M>, x3 + W) Ьщ=0. (17)

$ x 2 $ x 3

Здесь функция -sign[y3(X)] = -sign[x3(t)] = u3 рассматривается как константа в связи с тем, что функция переключения у3( X) не меняет знака на

2-м интервале управления - она изменит знак только на следующем 3-м интервале.

Дифференциальному уравнению в частных производных (17) соответствуют следующие уравнения характеристик [5]:

х2 (t) = х3 (t), i3 (t) = bu3. Эти уравнения будем рассматривать в обратном времени т = T — t

х2(х) = -Хз(т), х3(х) = -Ьи3 (18)

при нулевых начальных условиях, как уравнения движения объекта (16) при управлении u3(x) = -sign[x3(x)] из конечного нулевого состояния системы (по условиям задачи управления).

Делением первого уравнения (18) на второе получаем дифференциальное уравнение фазовой траектории системы (18)

dx2 _ x3 (19)

dx3 bu3

Находим его решение при нулевых начальных условиях:

x2 1г- 1 I I

x2 = ТТ7 = ~ , x3sign( x3) = ~ , x3 \x3\ . (20)

2bu3 -2b -2b

Как известно [4], фазовая траектория (20), проходящая через начало координат фазовой плоскости, определяет функцию переключения для объекта второго порядка (16)

u2(X) = -sign[y2(x2,x3)] = -sign^x2 + x3 |x31/(2b)J. (21)

Подчеркнем, что соотношения (17)-(21) описывают модифицированный метод фазовой плоскости (МФП) в решении задачи быстродействия для объекта второго порядка (16). Результат (21) естественно совпадает с результатом (12), но он получен несколько проще в связи с тем, что в МФП используется дифференциальное уравнение первого порядка (19) фазовой траектории динамической системы, а не ее дифференциальные уравнения движения (9).

Обобщим этот метод на объекты третьего порядка.

Определение управления на первом интервале

На данном интервале управление определяется соотношением их(1;) = X^))], в котором функция переключения х1, х2, х3)

удовлетворяет следующему уравнению в частных производных:

+ $^х3+ $^0и2 =0, (22)

$ Х1 $ х $ Х3

где константа и2 — -sign[^2(X)] = х2 + х3 |х3| /(20)].

Заметим, что на поверхности переключения у1(х1, х2, х3) = 0, как следует из рассмотрения предыдущего интервала управления, лежит кривая, являющаясщпешение^хис^мьщифференциальных уравнений

(т),

при нулевых начальных условиях. Найдем эту кривую в фазовом пространстве х1, х2, х3:

хо х.

(Ъхъ Ь и Зхъ Ь и

(24)

Решением этой системы дифференциальных уравнений при нулевых начальных условиях получаем

х3 1 х 3

х2 = ТГ = х3 (х3), х1 = 77! . (25)

20и3 -2Ь 6(0и3)

Таким образом, для нахождения функции переключения у1( х1, х2, х3) необходимо решать уравнение в частных производных (22) при начальных условиях (25). Соотношения (22), (25) описывают известную задачу Коши для уравнения в частных производных [5].

Дифференциальному уравнению в частных производных (22) соответствуют следующие уравнения характеристик:

хх (?) = х2 (?), х2 (?) = х3 (?), х3 (?) = Ъи2. (26)

Делением первых двух уравнений (26) на третье получаем дифференциальные уравнения фазовых траекторий системы (26)

^ = (а), ^ = (б). (27)

^3 0 и ^3 0 'и2

Решением уравнения (27 б) при использовании первого начального

условия (25) х20 = х30/(20и3) находим

Ч 1 1 ^

Ь2 = Ьщ, Ь3 — bu3. (28)

Г1 II х 3 2 г

v и3 и2 ^ 2 v 03 02 у

2 2 _ х3 ^ _ х30

i С_у2 , С_

20и2 20

Решением уравнения (27 а) при использовании второго начального условия (25) получаем

х3 С2

х — 2 I х3 + С1,

6(0и2) 0и2

Сг

X'

30

X'

30

с х

С2 х30

(Ь2 -Ь3)(Ь2 -2ЬЪ)

6Ъ\Ъ1

X'

30

(29)

6(Ъи3) 6(Ъи2) Ъи2 J Для нахождения функции переключения у1(х1, х2, х3) из уравнений (28), (29) исключим начальное значение х30. Из уравнения (28) выражаем

Х30 - —

2Ъ2Ъ3

у Ъ2 - Ъ3

2

Хл

2Ъ

(30)

2 у

и подставляем в (29):

_ Х32 , (Ъ2 - Ъ3)Г2Г (Ъ2 - Ъ3)(Ъ2 - 2Ъ3) т3 Х 2 + о и^и Х30Х3 + с 1.2 г.2 Х30

Х

1 6(Ъ2)2

2Ъ&

6Ъ22Ъ32

= +

(Ъ2 - Ъ3) 2Ъ2Ъ3

/

2Ъ2Ъ3 Ъ2 -Ъ3

Х

2 3

2Ъ

Х

1

6(Ъ2)2 Ъ2

Х2

v у

2

Х3 +

(Ъ2 -Ъ3)(Ъ2-2Ъ3)

6(Ъ2)2 /

■ +

6Ъ22Ъ32

—

2Ъ Ъ

23

Ъ2 Ъ3

Х

2

Х2

2Ъ

2 У

Х

Х2

Хз 1

6(Ъ2)2 Ъ2

Х3 1

2Ъ

Х3 +

(Ъ2 -Ъ3)(Ъ2-2Ъ3)

Х-

Х2

2 У

2

3

6Ъ2Ъ3

± 2Ъ2Ъ3 Ъ2 -Ъ3^

2Ъ2Ъ3

Ъ2 Ъ3

Х

2

Х2

2Ъ,

2 у

2Ъ

Х — (Ъ2-2Ъ3)

6(Ъ2)2 ь.

Х'

Х2

2 у

2 3

3Ъ2 Ъ3 ^

2Ъ2Ъ3

Ъ2 Ъ3

Х

2

Х2

2Ъ

2у

v

2Ъ

Х3 —

2(Ъ2-2Ъ3)2

/

Х

2

Х2

2Ъ

2 у

2 у \ 9ъ2ъ3(ъ2 -ъ3) v Следовательно, искомая функция переключения имеет вид

2 Л С 2\

(Х1 , Х2 , Х3 ) - Х1

Хо

1

6(Ъ2)2 Ъ2

Х

Х

v

2Ъ,

Х3 —

2 у

2(Ъ2-2Ъъ)

г

рЪ2Ъъ(Ъ2 -ЪЪ)

Х

2

Х

v

2Ъ

. (31)

2у

С учетом, что Ъ2 - Ъи2 - - 2), Ъ3 - Ъи3 - - Ъsign(^щ3)

2(Ъ2-2Ъ3)2

2(-+ 2«^(уз))2

2( ^(^М ^(уз))2

9Ъ2Ъ3(Ъ2 -Ъ3) 9Ъм^(у2),$7^(у3Х-,$7^(у2) + 9Ъ(

2(5-4м'^(у2) 10 -8м^(у2)м^(у3)

9Ъ^(^) - ^(^з)) 9Ъ( - ^(^з)) 9Ъ^(^) - ^(^з))

10 8 2

9Ъ( - ^(^з)) 9Ъ(^(уз) - м^^)) Ъ^(^) - ^(^з))'

функция переключения принимает форму

3

3

3

. \ 2 Х3

(Х1, Х2, Х3 ) — ч 2 Ч +

3b2 bsign(^2) ^

b(si'gn(y2) - si'gn(^3))

Хл

2

Х

2b

2 у

Х

Хч

ч

Х2 Х3

+

3b bsign(y2) у b(sign(y2) - sign(y3)) .2

^2Х2 + О.5Х3

2

Хл

Х1 4 о, 2

+

Х2 Х3

+

2

3b bsign(y2) yb (sign(^2) - sign(^3))(sign(^2))

3 (-b2x2 + 0.5x32 )

Х

— x1 +

Х2 Х3 ^

1

3b bsign(y2) b sign(y2)\|(1 - sign(y2)sign(y3))

(-b2 x2 + 0.5x32 )

(Х1, Х2, Х3 ) — Х1 I 2 4

Таким образом, если принять во внимание, что sign(y2) = -sign(y3), то окончательно функция переключения принимает вид

+(bsig„(V2).x2 + 0.5x2)3 ,(32)

совпадающий с известным результатом [1, 4].

В заключение отметим, что предлагаемый модифицированный метод фазовой плоскости (пространства) отличается от известного МФП решения задач быстродействия [4] своим сугубо аналитическим характером. Эта особенность позволяет его применять при синтезе быстродействующих регуляторов для объектов третьего и выше порядков совместно с использованием математических систем Mathcad или Maple, поддерживающих аппарат аналитических вычислений.

Список литературы

1. Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов по критериям точности, быстродействию, энергосбережению / Б.В. Сухинин [и др.]. Тула, Изд-во ТулГУ, 2005. 300 с.

2. Соловьев А.Э., Сухинин Б.В., Сурков В.В. Синтез оптимальных по быстродействию систем на основе теоремы об интервалах управлений. // Вести высших учебных заведений Черноземья. №2(20). 2010. С. 57-63.

3. Решение задачи быстродействия для одного класса нелинейных объектов управления / В.И. Ловчаков [и др.]. // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-24: сб. трудов XXIII Международ. науч. конф. Саратов: Саратов. гос. техн. ун-т, 2011. Т.2. С. 61-65.

4. Павлов А.А. Синтез релейных систем, оптимальных по быстродействию. М.: Наука, 1966. 390 с.

5. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.: Изд-во физико-математической литературы, 1959. 468 с.

Ловчаков Владимир Иванович, д-р техн. наук, проф., lovvi50@mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Соловьев Александр Эдуардович, д-р техн. наук, проф., soaled@yandex.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Дорохин Юрий Юрьевич, аспирант, sau. ivts@rambler.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

MODIFIED PHASE SPACE METHOD IN SOL UTION OF TIME OPTIMIZATION PROBLEMS

V.I. Lovchakov, A.E. Solovyev, Y. Y. Dorohin

For linear objects it is proposed method of synthesis of time-optimal closed-loop control systems. In this method determination of switching function of optimal relay regulator is reduced to the solution of linear partial derivatives equation by the method of characteristics, utilizing results of phase space method.

Key words: control system, phase space, switching function, quick-action criterion, speed of switching surface penetration

Lovchakov Vladimir Ivanovich, doctor of technical science, professor, lovvi50@mail.ru, Russia, Tula, Tula State University,

Solovyov Alexander Eduardovich, doctor of technical science, professor, soaled@yandex.ru, Russia, Tula, Tula State University,

Dorohin Yuri Yurievich, postgraduate, sau.ivts@rambler.ru, Russia, Tula, Tula State University.