CC BY
8
УДК 681.51.015.4
ЗАЙЦЕВА E.G., асистент ( Донецький нацюнальний техшчний унiверситет ); ВОРОПАСВА В.Я., доцент (Донецький нацюнальний техшчний ушверситет ); ЧЕРВИНСЬКИЙ В.В. доцент (Донецький нацюнальний техшчний ушверситет ).
Оптимальне управлшня в дискретно-безперервнш транспортнш сис -TeMi
Вступ
Транспортування вантажiв е одним з головних виробничих процеав на шдпри-емствах гiрничо-металургiйного комплексу. У бшьшосп випадкiв для транспортування з вузла навантаження до вузла роз-вантаження i руху транспорту в зворотно-му напрямку будуються двохсмуговi тех-нологiчнi дороги, що пропускають транспорт одночасно в обох напрямках. Такий пiдхiд е бшьш капiтально-витратним, нiж використання односмугових дорщ однак для умов транспортування з метою змен-шення часових витрат (часу чекання при реверсивному русi) вш е бiльш прийнят-ним. Але використання алгоритму управлшня транспортним потоком, що дозволяе розробити розклад руху транспорту i мае метою мiнiмiзацiю часу простою при че-канш на односмугових дшянках реверсивного руху, дозволить ютотно знизити ка-пiтальнi i експлуатацiйнi витрати при бу-дiвництвi зон транспортування вантаж1в.
Транспортну систему можна вiднес-ти до дискретно-безпервного класу i розг-лядати як сукупнють елементарних про-цеав, що мають координуватися запропо-нованою системою управлiння. Для опису динамжи таких процесiв i одержання мо-делi об'екта у формi, придатно'1 до технiки управлiння, зручно використовувати ма-тематичнi апарати часових мереж Петрi i Max-Plus та Min-Plus алгебри [1,2].
Задача управлiння у випадку транс-портно'1 системи полягае у виконанш ви-робничого графшу. Один зi способiв ïï розв'язання - завдання матриць зворотно-
го зв'язку, причому через операцш max структура системи залишаеться лiнiйною [4]. Ще одним способом е завдання та оп-тимiзацiя критерiю якосп роботи системи - цшьово'1' функцп. Управляючi змiннi в цьому випадку - моменти часу настання певних подш в систему а природним кри-терiем е мiнiмiзацiя суми вщхилень мiж фактичними та бажаними моментами часу настання вихщно'1' поди. В данш роботi проiлюстрованi обидва способи синтезу системи управлiння.
Постановка задач1 досл1джень
Розглядаеться розгалужена транспо-ртна мережа (рис. 1), що мютить 6 вузлiв та 5 односмугових дшянок дорiг мiж вуз-лами. Транспортування вантажiв в такш мережi здiйснюеться за трьома маршрутами:
1) 6 - 5 - 3 -1;
2) 4 - 3 -1;
3) 5-3-2.
Тому описана система додатково мь стить двi дшянки, що спшьно використо-вуються (ДСВ) транспортними засобами з рiзних маршрутiв.
Алгоритм управлшня, що розроблю-еться, мае координувати вщправлення транспортних засобiв так, щоб у кожнiй зонi постшно знаходилося не бiльше одного транспортного засобу (ТЗ) i усували-ся колiзГi мiж ними.
vU V2
ДСВ 1 yv ( 3 )
4 ) 5
(6 )
Рис. 1. Розгалужена транспортна мережа
Отже, для розглянутого об'екта не-обхiдно:
1) розробити модель з використан-ням математичного апарату мереж Петрi та Max-Plus алгебри i провести ïï досль дження шляхом моделювання;
2) виявити структуру системи управлiння, точки прикладання управля-ючих впливiв на об'ект, сформувати мат-рицю зворотного зв'язку K0, розробити алгоритм управлшня;
3) для заданих бажаних моментiв на-стання вихщно'1' поди сформувати цшьову функцiю, що мiнiмiзуe вiдхилення строкiв виконання, визначити оптимальне управ-
де матрицi A 0, A1, B визначаються з
графу синхротзаци системи на основi мно-жин немаркованих, маркованих позицiй та множини керованих переходiв вiдповiдно.
Структура системи управлшня зi зворо-тним зв'язком описуеться рiвнянням:
u (k ) = K 0 • x (k ), (2)
де x(k) î Rn, елемент xi (k) - це момент часу, в який i -а подiя вщбудеться
лiння, вiдновити матрицю зворотного зв'язку K0 ;
4) проаналiзувати поведiнку отри-мано'1' системи управлшня транспортного комплексу шляхом моделювання.
Побудова модел1 транспортноУ системи
Для того, щоб задачу синтезу системи управлшня можна було виршити за допомогою Max-Plus алгебри, необхщно побудувати граф синхрошзаци транспор-тно'1' системи та доповнити його часовими оцшками [2]. Графи синхрошзаци - це та-кий спешальний клас мереж Петрi, в яких кожна позищя мае лише одну вхщну та одну вихiдну дугу. Граф синхрошзаци системи задаеться | P | = n позицiями i
= m лопчними зовнiшнiми умовами
переключення переходiв. Граф синхронi-зацiï транспортно'1' мереж^ що розгляда-еться, наведено на рис. 2.
Для графа синхрошзаци можна отримати систему з n Max-Plus лшшних рiвнянь в векторно-матричнш формi запи-су, якi описують поведiнку об'екта у змiн-них стану:
(1)
в k -му ци^ розвитку процесу, i = 1, n (час маркування позици Pi графу синхрошзаци в k -у цикш); u(k) g Rm - момент часу, в який k -й вектор управлшня без-посередньо дiе на систему, а матриця K0 -додатньо визначена матриця зворотного зв'язку, що формуе характер закону управ-лшня процесом в поточному циклi.
x (k +1) = A 0 • x (k +1)® A1 • x (k )® B • u (k +1),
Рис. 2. Граф синхрошзацп транспортно'' мережi
Таким чином, для керованого процесу маемо рiвняння в просторi сгатв замкнуто'' системи:
х(к + 1) = (А0 0 В • К0)• х(к +1)0 А1 • х(к)
або
х(к +1) = М, • х(к), (3)
де М ж - матриця динамiки керовано'' системи, яка дорiвнюе
М, =(А о 0 В • К о )*• А!. (4)
Для отриманого графа синхрошзацп некеровано'' системи було проведено мо-делювання [3], у результатi якого отрима-нi власнi вектори некеровано'1' системи i дiаграми 11 роботи.
Аналiз кожно'1 з пiдмереж дае там результати: для першо'1 та третьо'' системи довжина циклу складае Я1 = 7, ци^ч-нiсть р = 1. Для друго'1 системи: 12 = 13, ци^чнють р = 2 . При цьому в некерова-нш системi мiж транспортними засобами виникають колiзii. Оскiльки власне число друго'1 пiдмережi бiльше за власш числа першо'1 та третьо'' тдмереж, доцiльно за-тримувати транспортнi засоби в першш та третiй системах, тобто внести до матриц зворотного зв'язку К0 переходи А, В, G, Н . Значення вiдповiдних скшче-них елементiв матрицi К0 тобто бажана часова дистанщя мiж зайняттям позицiй Р, г = 2,11,49,52 та Р,, ] = 21,24,35,26
г) ) ) ) }' ^ > > >
покладемо рiвними е та уточнимо за до-помогою оптимального управлшня.
Синтез оптимального управлшня в ДБС_
Розглядаеться система рiвнянь в ка-ношчнш формi в базисi Max-plus алгебри:
x(k +1) = A • x(k ) ® B • u(k +1), y(k ) = C • x(k ),
(5)
де х(к), и(к) - моменти часу, описа-нi вище, у(к) е Я - момент часу настан-ня к -1 вихщно'1 поди, тобто маемо систе-
му з одним виходом, А, В, С - матриц вщповщних розмiрностей, елементи яких
належать до Я .
Будемо вважати, що х(0) = —£ .
Розглянемо послщовнють N = 2 фа-ктичних моментiв часу настання вихщно! поди {у(1), у(2)}. Нехай бажаний час настання поди на першому та другому циклах складае, вщповщно, ё(1) та ё(2). За-дамо цiльову функцiю управляючо1 посл> довностi и 2 як
J (U 2) = Y (y (1) - d(1)) + Y(y (2) - d (2) )® min ,
(6)
де « + » та « — » операци додавання
та вщшмання як в звичайнш алгебрi. Для зручностi, помилку мiж фактичним та ба-жаним настанням поди у k -у цикл поз-начають через e(k) = y(k ) — d(k). Ти-пова функцiя для Y(e(k)) - половина ква-
дратично!
помилки,
1
тобто
Y(e(k)) = — e (k) [5]. Таким чином,
^ (и 2) = 2 ((у(1) - ё (1))2 + (у (2) - ё (2))2) .(7)
З системи рiвнянь (5), з урахуванням х(0) = —£, маемо:
y(1) = C • x(1) = C •(A • x(0) ® B • u(1))= C • B • u(1) , y(2) = C • x(2) = C • (A • x(1) ® B • u(2)) = C • (A • (A • x(0) ® B • u(1) ) ® B • u(2) ) = = C • A2 • x(0) ® C • A • B • u(1) ® C • B • u(2) = C • A • B • u(1) ® C • B • u(2). (8)
Отже, з (7) з урахуванням (8) отри-
маемо
J (U 2) =1 ((C • B • u(1) — d (1))2 + ((C • A • B • u(1) ® C • B • u(2) )—d (2) )2 ). (9)
Для того, щоб скласти цшьову фун-кцiю J(и2), необхiдно модель системи у видi рiвнянь (1) привести до виду (5):
x(k +1) = Ax(k ) ® Bu(k +1),
де
A = A 0 A1,
B
A 0 B,
(10)
та задати вихiдну змiнну. Нехай виходом буде час навантаження в третш пi-дмережi Х51(к), отже вектор-рядок С м> стить лише один вщмшний вiд — е еле-мент: С51 = е.
Нехай бажаний час для вихщно! по-дГ1 ё(1) = 15 та ё(2) = 28. Фактичний час розрахуемо за формулою (3), поклавши значення скшчених елементiв матрицi К0 рiвними е : у(1) = 11, у(2) = 24.
З урахуванням (10) знайдемо коеф> щенти цшьово!' функцп (9):
С • В = [-е -е -е -е -е -е 3 -е], С • А • В = [-е -е -е -е -е -е 10 -е].
Оскшьки лише один елемент цих ве-кторiв скiнчений, отримаемо:
У (и 2) = 1 ((3 • и7 (1) -15)2 0((10 • и7 (1) 0 3 • и7 (2))- 28)2). (11)
На рис. 3 наведено графк залежнос-тi цшьово!' функци вiд управляючих змш-них и7 (1) та и7 (2) .
Рис. 3. Цшьова функцiя У(и2)
Видно, що при и7(1) = 12 та и7(2) = 25, У (и 2) досягае мЫмуму,
У (и 2) = 0.
Тепер, за формулою (2), и7 (1) = (К0 )7, • х(1) . Кожний рядок матри-
щ К0 мiстить не бшьше одного скiнчено-го елемента, ввiмкнення управлiння G означае, що позищя Р49 графу синхронi-зацii маркуеться тсля Р35, отже
звщки
и7(1) = (К0 )7,35 • X35(1),
(К0)735 = и7(1) •' Х3-51(1),
(К 0)7,35 = и7(1) •' (-Х35(1)).
Таким чином, оскшьки
х35 (к) = [8 21 34 47 60]
( к = 1,5),
отримаемо
(К 0)7,35 = 12 •' (-8) = 12 + (-8) = 4
Дiаграма Ганта руху транспорту (рис. 4) в керованш системi з уточненою матрицею зворотного зв'язку К0 iлюст-руе вiдсутнiсть колiзiй мiж транспортни-ми засобами.
54 53 51 50 49 48 47 45 56 36 35 34 33 я 32 1 31 ? 29
S 28 26 25 24 23 21 12 11 10 9 7 6 4 3 1
0
40 time
Рис. 4. Дiаграма Ганта руху транспорту
Власне число матриц Ms динамiки
керовано'1 системи 1s = 13, а отже введене
управлшня не сповшьнюе час транспор-тування та мiнiмiзуe вiдхилення мiж фак-тичним та бажаним часом настання поди.
Висновки
1. Для задано'1 розгалужено'1 транс-портно'1 мережi розроблена модель з вико-ристанням математичного апарату графiв синхрошзаци та Max-Plus алгебри, проведено дослщження отриманоï моделi.
2. Виявлена структура системи управлiння, визначенi точки прикладання управляючих впливiв на об'ект, сформована матриця зворотного зв'язку K0.
3. Для заданих бажаних моменпв настання вихiдноï поди - часу наванта-ження в третш пiдмережi y(к) = х51(к) -сформовано цiльову функцiю, що м^мь зуе вiдхилення строкiв виконання, визна-чено оптимальне управлiння u
opt
= [12 25], вщновлена матриця зво-
ротного зв'язку К0.
4. Промодельована поведшка транспортного комплексу з отриманою системою управлiння. Аналiз результат показав зберiгання значення часу циклу та вщ-сутнiсть колiзiй мiж транспортними засо-бами.
Л1тература.
1. Бессараб В.1. Математичнi основи теори дискретно-безперервних систем: монографiя / Бессараб В.1. - До-нецьк: ДВНЗ «ДонНТУ», 2011. - 175 с.
2. Prou J., Wagneur E. Controllability in the max-algebra [Text] / Prou J., Wagneur E. // Kybernetika, vol. 35 issue 1. -Prague, 1999. - P. 13-24.
3. Зайцева E.G. Моделювання транспортних потоюв як дискретно-безперервного об'екта [Текст] / Зайцева E.G., Червинський В.В., Турупалов В.В. // АСУ и приборы автоматики, №№ 152. - Ха-рюв: ХНУРЕ, 2010. - С. 15 - 21.
4. Зайцева E.G. Алгоритм управлшня транспортною системою як дискретно-безперервним об'ектом [Текст] / Зайцева E.G., Бессараб В.1., Червинський
B.В. // Науковi праш ДонНТУ. Серiя: Об-числювальна техшка та автоматизашя. Вип. 21 (183) - Донецьк: ДонНТУ, 2011 -
C. 19 - 25.
5. Gazarik, M. J. Monitoring and Control of Manufacturing Systems Based on the Max-plus Formulation [Text]: PhD thesis / Michael J. Gazarik. - School of Electrical and Computer Engineering, Georgia Institute of Technology, Atlanta, USA, Sept. 1997. -320p.
10
20
30
50
60
70
