CC BY
14
УДК 681.51.015.4
В.1. БЕСАРАБ, Г.О. ВОРОПАСВА
АНАЛ1ТИЧНА МОДЕЛЬ ДИСКРЕТНО-БЕЗПЕРЕРВНОÏ СИСТЕМИ З ЗАСТОСУВАННЯМ АПАРАТА MAX-PLUS АЛГЕБРИ
Розглядаеться один з вар1ант1в розв'язку задач1 побудови моделей дискретно-безпе-рервних систем з використанням апарата MAX-PLUS алгебри. Наводиться типова структура переходу графа синхрошзацп ДБС. Усi твердження розглядаються на абстрактному прикладi мереж1 Петрi.
Вступ
Теор1я дискретно-безперервних систем (ДБС) - вщносно новий напрямок застосування сучасно1 теорп систем для широкого кола задач управлшня, що мають мюце в технолопч-них виробничих процесах, телекомушкацшних мережах, транспортних i лопстичних системах. Характерною особливютю таких процесiв е те, що 1х динамiка залежить не тшьки вiд часу, а й зумовлена внутршшми дискретними подiями, яю супроводжують розвиток проце-су [1]. Деяю автори використовують акронiт ДБДС - дискретно безперервнi динамiчнi системи, тим самим шдкреслюючи фактор розвитку дискретних сташв, що характеризу-ють систему у часi [3].
Для синтезу систем управлшня дискретно-безперервними процесами актуальною е задача розробки аналггичних моделей ДБС, як дозволяють застосовувати при сиш^ шдхо-ди, характерш для сучасно1 теорiï управлшня. В рамках ще1 статтi розглянуто один з можливих варiантiв розв'язку задачi побудови моделей таких систем з використанням апарата одного з рiзновидiв iдемпотентноï алгебри - Max-Plus алгебри [2] для графа синхрошзацп ДБС.
Постановка задачi дослщжень
Поняття графа синхронiзацiï дискретно-безперервних систем стосовно управлшня процесами в таких системах вперше було введене в теорп моделювання динамiки ДБС за допомо-гою апарату мереж Петрi [1]. Але формальний опис дискретно-безперервних процеав за правилами мереж Петрi не е прийнятним в рамках пiдходiв, якi використовуються в сучаснш теорiï управлiння. При застосуваннi апарата Max-Plus-алгебри можна використовувати век-торно-матричш рiвняння, якi дозволяють формалiзувати представлення ДБС у формi, подiбнiй до моделей динамiки в просторi змшних стану [4].
Типова структура окремого переходу графа синхрошзацп ДБС в загальному випадку представлена на рис. 1.
В даному випадку розглядаеться перехщ мiж станами, який мае назву некерованого. Перехщ в шший стан або спрацювання некерованого переключення вщбуваеться лише тод^ коли всi стани вiд Sj до Sq в передобластi переходу будуть зайнят умовним маркером, як це задаеться часовими оцшками сповiльнення процесу aj.
Рис. 1. Структура переходу графа синхрошзацп ДБС
Якщо в графi розглядаеться керований ззовш перехiд, то прийнято вважати, що вiн вiдбуваeться при додатковiй лопчнш умовi переходу, заданiй апрiорi. Часова вщмггка, в якiй логiчна умова е дшсною, позначаеться и i тодi для маркованих часових точок стану ДБС в пiсляобластi керованого переходу маемо:
я
xj = [0 а^х;] 0 и,] = я + 1,...,я + г. (!)
1=1
Опис перемщень в графя синхрошзацп ДБС
Для кожного перемщення в графi синхрошзацп ДБС таким чином можна встановити часовi точки переходу i марковаш часовi вiдмiтки заняття стану в шсляобласп. Розгляну-тий пiдхiд для окремого переходу може бути узагальненим на всю послщовнють переходiв
графа синхрошзацп ДБС. Нехай заданий деякий граф синхрошзацп системи з положення-
ми i Р лопчними зовнiшнiми умовами переключення переходiв. Використовуючи пiдхiд для окремого переходу (1) в цшому для графа синхрошзацп, можна отримати систему з п рiвнянь:
Х1 = ацх! 0 ... 0 а^пхп © Ьци^ 0 ... 0 Ь^ир
......................................................................... ' (2)
Хп = ап1Х1 0 ■■■ 0 аппХп 0 Ьп1М 0 . 0 Ьприр
або у векторно-матричнiй формi:
х = Ах 0 Ви. (3)
При цьому: х = [х1... хп ] - вектор стану, кожний елемент х; якого фшсуе момент часу маркування (включення) переходу . Вплив зовшшшх логiчних умов маркування (переключення) задаеться за допомогою вектора керування: и = [и1... ип ].
Кожна лопчна умова маркування (переключення) переходу стае дшною в деякш часовш точцi розвитку процесу, яка також враховуеться в рiвняннях (2). В цьому сенс кожний окремий елемент и; Д = 1,...,р вектора управлiння розглядаеться як управляючий вплив на 1-й перехщ.
Значення кожного елемента ац матрицi А рiвняння (3) вщповщае часовiй оцiнцi передо-бластi переходу Т;^;^) з положення в положення тобто характеризуе часову шерцшшсгь переходу.
Якщо на перемщення додатково впливае логiчна умова переключення, наприклад иг , то елемент матриц В дорiвнюе 0, в шшому випадку Ь;г = -да .
Елементи матрищ В таким чином вказують на т переходи ДБС, як е керованими ззовш. В графах синхрошзацп переходи з одного положення в шше створюють замкнеш цикли. Для того щоб в^^зняти окремi цикли поведiнки ДБС, вс змiннi вектора стану х i вектора управлiння и мають шдекс к, який показуе, з якою частотою буде маркуватися вщповщне
положення в графi синхрошзацп, тобто х;(к) - це часова точка, в якш положення . займаеться (маркуеться) к-й раз.
Для встановлення початку нового перемщення по циклу мае бути визначено положення
зайняття (маркування) якого означае, що закшчено цикл к i починаеться к+1 цикл перемщення по графу синхрошзацп. Зазвичай для вибору границ початку нового циклу на графi задають початкову (стартову) позищю, вщносно яко! i ведуть вщлш початку нового циклу. В цьому випадку в термшах змшних стану говорять про розрахунок стану х(к +1) через х;(к). Якщо ж положення не е стартовою позищею циклу, то х;(к +1) знаходить-ся через х](к +1), тобто вщносно часово! вiдмiтки в поточному цикль Наведенi стверд-ження для окремо! стартово! позицп графа синхрошзацп, що розглядаеться на рис. 1, матимуть таке представлення з урахуванням впливу зовшшнього лопчного управлшня и:
ч-1
xj(k +1) = а1х1(к) © ( 0 ajxj(k +1)) 0 адхд(к) © и(к +1).
1ндекс зовшшнього управлiння прийнятий таким самим, як шдекс змiнних стану вщповь дного циклу.
Як приклад розглядасться граф синхрошзацп, що мае структуру, представлену на рис. 2.
Рис. 2. Простий граф синхротзаци
Як стартова позищя початку циклу умовно взята позищя S2 . тод1 система р1внянь 3i змшними стану в загальному випадку матиме вигляд:
x(k +1) = A0x(k +1) © A1x(k) © Bu(k +1). (4)
Залежно вщ початкового маркування позицiï Sj матриця A розбивасться на двi Ao i Ai, причому:
A = A0 © Ab (5)
Матрицi Ao i Ai визначаються iз матрицi A за допомогою матриць трансформацп TAo i TAi . Через матриц трансформацiï враховуються можливi рiзнi початковi маркування позицп Sj так:
Г е, якщо i = j i положения Si не марковане,
(TAo)ij =1 • • (6)
0 [s - в ус1х 1нших випадках; v '
Ге, якщо i = j i положення Si марковане,
(TAi)ij =1 . . (7)
1 [s- в уах шших випадках. v '
Тут е = 0, s = -да - загальноприйнят! поняття в MAX-PLUS алгебра З визначення матриць (6) i (7) витшае, що т1льки елементи головноï дiагоналi матриць трансформацiï можуть бути вщмшними в1д е. Сума обох матриць завжди дае одиничну матрицю.
Система р1внянь (4) може бути розв'язана вщомими методами:
x(k +1) = A0x(k +1) © A1x(k) © Bu(k +1) =
^x(k) © Bu(k +1) =
(8)
= A2 x(k +1) © A0A1x(k) © A0Bu(k +1) © A1x(k) © Bu(k +1) =
= Ajjx(k +1) © [Ajj-1 © ... © A0 © I]A1x(k) © [Aj-1 © ... © A0 © I]Bu(k +1).
^ 2 n_1
Введемо позначення: A0 = I © A0 © A0 © ... © A0 , M = A0A1; р1вняння (8) спро-
щуеться:
x(k +1) = Mx(k) © A0Bu(k +1). (9)
В цьому випадку матриця M може розглядатися як матриця динамши системи без зовн1шнього керування - динамiчна характеристика вiльноï поведшки системи:
x(k +1) = Mx(k).
Динамiчнi характеристики ДБС залежать вщ структури i властивостей матрицi М • Початково маркованi позицп графа синхрошзацп завжди розглядаються як вершини графа О(М), якi мають тшьки вихiднi ребра, i тому очевидно, що для кожного початково маркованого положення 8^ графа синхрошзацп в матриц Л^ е хоча б один елемент в стовпцi (Л^)• j, вiдмiнний вiд в , що говорить про те, що юнуе наступне положення 8к, в яке обов'язково переходить система з положення 8^. Якщо ж положення 8^ не е початково маркованим, то j -й стовпець матрищ (Л^) • j мае тiльки елементи в .
Поведшку в часi некерованого графа синхрошзацп можна дослщити за допомогою рiвняння (9), якщо заданi початковi умови х(0). З урахуванням того, що циклiчнiсть критичного графа (М) дорiвнюе 1, юнуе число К, таке що:
Ук > К : Мк = А^,
звiдки випливае х(к) = А^х(0) = Ак V .
На основi цього спiввiдношення можна стверджувати, що поведшка графа синхрошзацп для будь-яких початкових умов визначаеться сталим станом через деяку кшькють пробшв по циклу залежно вщ власного вектора V матрищ М.
В загальному випадку:
Ук > К: Мк-р = Ар Мк,
х(к + р) = Мк+р х(0) = Ар х(к), тобто залежно вiд циклiчностi р графа 0С(М) заняття вiдповiдних позицш графа синхронно повторюеться тсля Ар одиниць часу.
Прийнято вважати, що для к < К вщповщш позицп займаються в нерегулярш часовi промiжки, i цей перюд може розглядатись як перехiдний процес в системi (рис.3):
Рис. 3. Граф синхрошзацп мереж1 Петр1 для абстрактного прикладу Для шюстрацп наведених тверджень розглянемо абстрактний приклад. Нехай ДБС мае шють операцшних позицiй 81,... ,85 , три з яких 82 , 84 , 85 - е початково маркованими.
Спочатку часовий параметр затримки а покладаемо рiвним 0. В цьому випадку матриця динамши Л матиме вигляд:
в в 2 7 в в 2 в в в 6 в в1ввв7 2ввв6в в1ввв7 вв27вв
Л =
З урахуванням вщсутносп додаткових логiчних умов переключення немае необхiдностi в матрищ В . З урахуванням (9) знаходимо Л0 i М :
А * Л0 =
0в2ввв 2 0 4 в 6 в вв0ввв 2в406в вввв0в вв2вв0
М =
Структура графа О(М) матиме вигляд (рис.4):
Рис. 4. Граф О(М) Критичний граф 0С(М) представлений на рис. 5.
7 9 в 9 в 7
9 13 7 13 7 9
с
Рис. 5. Критичний граф ^ (М)
Середня вага критичного циклу е власне число матрищ М - А = (13 + 7)/ 2 = 10 одиниць часу.
Можна перевiрити достовiрнiсть цього результату i за допомогою будь-якого з алго-ритмiв формального знаходження А для матрищ М . Для власного числа матрищ М юнуе
власний вектор: V = [3 6 0 6 0 3]Т.
При цьому перехщний процес закшчуеться для будь-яких початкових умов власним станом ДБС.
Поведшку графа синхрошзацп ДБС можна бшьш наочно пояснити за допомогою графшв, представлених на рис. 6.
82,84
З рис.6 видно, що промiжок часу мiж к -м i (к +1) -м маркуваннями в перюд перехщного
процесу може бути бшьшим, нiж власне число X матрищ М. Пiсля закiнчення перехщного режиму маркування позици вiдбуваeться почергово через 9 i 11 одиниць часу. Середне значення цього часового промiжку точно дорiвнюе власному числу матрищ М.
х^к +1) - х^к) 14 12 10 8 6 4 2
0 12345 67к Рис. 6. Перехвдний процес в ДБС при циктчносп р = 2
Якщо змiнити динамiку графа синхрошзацп, умовно прийнявши, що параметр а = 2 в графi на рис. 3, одержимо нову матрицю:
М' =
5 9 3 9 3 5
5
7
8
7
8 5
8
9
8 13 87
8 13 87
8
9
з власним числом X = 9 i власним вектором V = [2 6 0 6 0 2]Т, ^м того, циктчшсть
графа змшиться на р = 1.
Графiчна штерпретащя поведшки ДБС в динамiцi наочно прошюстрована на рис. 7.
Впродовж часу мiж к i (к+1) маркуваннями часовий в^^зок може змiнюватись (колива-
тись). Ця поведiнка може трактуватись як перехщний процес в ДБС.
Якщо мае мюце к > К , то позици маркуються через регулярш промiжки часу. Виникае
послщовнють маркувань, що повторюеться залежно вщ циклiчностi графа О(М). Якщо для с
критичного графа О (М) циктчнють р = 1, то промiжок часу мiж к i к +1 маркуваннями складае точно X одиниць часу. Поведшка ДБС на цьому етат може розглядатись як власний усталений стан, або коротко - власний стан ДБС.
Xi(k + 1) - Xi(k)
S2,S4
S1,S6
1
2 3 4 5 6 7 k
Рис. 7. Перехвдний процес в ДБС при цикичносп р = 1
Висновки
1. Аналгтична модель представлення графа синхрошзацп ДБС дозволяе розглядати модель у форм1, под1бнш до представлення за допомогою р1внянь стану процесу в сучаснш теорп управлшня.
2. Динамша ДБС залежить вщ властивостей матриц динамши ДБС, зокрема перехщний процес визначаеться через власне число ще! матрищ.
3. Встановлено зв 'язок м1ж показником циктчносп критичного графа матрищ динамши ДБС i станом процесу, який може трактуватись як усталений стан системи.
4. Представлена модель динамши ДБС дозволяе використовувати ii для синтезу системи управлшня дискретно-безперервним процесом з заданими показниками якосп, але в рамках цього дослщження задача синтезу не розглядаеться.
Список лтратури: 1. Бесараб В.1. Використання апарата „MAX-PLUS" для моделювання динамiки в шформацшних мережах iз простою топологiею / В.1. Бесараб, £.Г. Коваленко// Науковi працi 1нституту проблем моделювання в енергетищ iм. Г.£. Пухова. Вип. 44. Ки!в, 2007. С. 59-62. 2. DavidR. Petri Nets and Grafcet: Tools for Modeling discrete event Systems/ R. David, H. Alla. London: Prentice Hall, 1992. ISBN: 0-13-327537-X. 3. Cassandras C. G. Introduction to Discrete event Systems/ C.G. Cassandras, S. Lafortune. - Kluwer academic Publishers, 1999. 4. Cunnindham-Green R. Minimax Algebra and applications/ R. Cunnindham-Green// advanced in Imaging and Electron Physics. Vol. 90. New York: Academic Press, 1995. P. 1-121.
Надшшла до редколегП 15.10.2010 Бесараб Володимир 1ванович, канд. техн. наук, доцент, завщувач кафедри АТ ДонНТУ. Науковi штереси: транспорта мережi SDH/PDH; методи аналiзу динам^ телекомуткацш-них мереж. Хобг охота. Адреса: Укра!на, 83000, Донецьк, вул. Артема, буд. 58, тел. 062 332 55 37.
Воропаева Ганна Олександрiвна, асистент кафедри АТ ДонНТУ. Науковi iнгереси: методи оптимiзацii та управлшня розподшеними телекомунiкацiйними мережами. Хобг аналiз динамiки функцiонування об'екта телекомушкацш. Адреса: Укра!на, 83000, Донецьк, вул. Артема, буд. 58, тел. 062 334 11 72.
