CC BY
32
УДК 65.018:656.025.6
DOI: 10.15587/2312-8372.2018.129039
ОПТИМАЛЬНЕ ПЛАНУВАННЯ ТРИВАЛОСТ1 РЕЙСУ ТА ОБОРОТУ НА М1СЬКОМУ МАРШРУТ
Кузькш О. Ф.
Об'ектом дослгдження е маршрут мгсъкого пасажирсъкого транспорту загального користування. Одним з найбшъш проблемних мгсцъ при оргашзацП перевезенъ на фжсованому мгсъкому маршрутi е встановлення плановог тривалостг виконання рейсу та (або) зворотного рейсу. Складнощi виникаютъ через те, що тривалiстъ виконання рейсу на мiсъкому маршрутi зазвичай е випадковою величиною, що необхiдно враховувати при встановлент гг планових значенъ, використовуваних надалi при складант розкладiв руху. Це, з одного боку, дозволяе покращити ефективмстъ використання маршрутних транспортних засобiв за рахунок зменшення гх непродуктивних простогв, а з тшого - тдвищити яюстъ обслуговування пасажирiв за рахунок зменшення тривалостi очжування останмми транспорту на зупинках.
В ходi до^дження використано метод стохастичног оптимiзацiг плановог тривалостi рейсу. Це дало можливiстъ знайти компромiс у вартiсному виразi мiж ефективнiстю використання маршрутних транспортних засобiв та яюстю обслуговування пасажирiв. Особливiстю запропонованого оптимiзацiйного методу е врахування в узагалънених витратах непродуктивних простогв маршрутних транспортних засобiв, недоотриманого прибутку транспортного оператора та вартостг транспортного часу пасажирiв.
Застосування розробленого методу для умов тролейбусного маршруту № 14 мiста Запорiжжя (Украгна) дозволяе у порiвняннi з iснуючими плановими показниками зменшити узагалънет витрати на 12 %.
Наразi значно розширилися техшчт можливостi збирання, накопичення та обробки емтричног тформацн про умови виконання перевезенъ на мiсъких маршрутах з використанням супутникових систем глобалъного позищонування GPS. У таких умовах з використанням розробленого методу забезпечуетъся можливiстъ оперативного врахування при планувант пасажирсъких перевезенъ як експлуатацтних, так i соцiалъно-економiчних чиннишв, у яких Ц перевезення виконуютъся.
Ключовi слова: мiсъкий громадсъкий транспорт, тривалiстъ очжування, тривалiстъ рейсу, узагалънеш витрати.
1. Вступ
Величина тривалост оборотного рейсу на мюькому маршрут громадського транспорту е одним з найважливших його техшко-експлуатацшних показниюв. Цю величину використовують для визначення необхщно!' юлькосл маршрутних транспортних засобiв (МТЗ), частоти i штерваив руху, розподшу рухомого
складу мiж маршрутами, складання розкладiв i графiкiв руху, оргашзацп комбiнованих режимiв сполучення на маршрутах [1].
Складшсть нормування тривалостi виконання оборотного рейсу на маршрут полягае в тому, що вона е випадковою величиною, яка залежить та змшюеться тд дiею низки як керованих, так i некерованих чинникiв. Так, на тривалють виконання рейсiв у реальних умовах експлуатацп впливають [2]:
- тягово-динамiчнi властивостi використовуваного на маршрут рухомого складу;
- конструктивнi особливост посадочних пристро!в;
- кiлькiсть дверей транспортного засобу та розподш пасажирiв мiж ними;
- iнтенсивнiсть пасажиропотоку;
- iнтенсивнiсть транспортного потоку на трас маршруту;
- дорожнi та киматичш умови (сезон року та час доби, стан дорожнього покриття, кшьюсть смуг руху, план i повздовжнiй профiль дороги, наявнiсть та частота перехресть, техшчш засоби оргашзацп дорожнього руху);
- досвiд i психофiзiологiчний стан водiя.
За таких умов тривалiсть мiжрейсових просто!в на кшцевих зупинках маршруту встановлюеться з декшькох мiркувань. Це забезпечення, з одного боку, короткотривалого вiдпочинку водiя, а з iншого боку - надшност виконання розкладу руху внаслщок випадкових коливань тривалостi виконання рейшв.
Зменшення нормативно! тривалостi оборотного рейсу вщносно фактично необхщно! е причиною зниження якост перевезень пасажирiв, яке, зокрема, виражаеться у такому:
- збшьшуються витрати часу пасажирами на оч^вання транспорту на зупинках [3];
- виникають вiдмови пасажирам у посадщ у МТЗ через його переповнення;
- зростае нерiвномiрнiсть ступеня використання пасажиромюткост МТЗ. Надлишкове ж збшьшення нормативно! тривалостi оборотного рейсу призводить до збшьшення непродуктивних просто!в МТЗ ^ як наслiдок, збiльшення витрат транспортних шдприемств на обслуговування маршрулв та вартостi про!зду для пасажирiв.
Таким чином, вiд правильного нормування тривалост оборотного рейсу залежить, з одного боку, забезпечення достатньо! провiзноl спроможност маршруту, а з шшого боку - ефективнiсть використання МТЗ та господарсько! дiяльностi транспортних шдприемств. Враховуючи, що це з обох боюв безпосередньо впливае на рiвень якостi транспортного обслуговування пасажирiв, задача достовiрного планування тривалостi оборотного рейсу на маршрутах мюького громадського транспорту е актуальною. Актуальшсть рiшення зад^ пiдвищуеться в сучасних умовах зростання рiвня автомобiлiзацi! у мiстах, оскшьки якiсне транспортне обслуговування мешканцiв громадським транспортом дозволяе залучити власникiв автомобшв до користування ним. Це, у свою чергу, дае можливють знизити гостроту проблем, пов'язаних з !! шюдливими наслiдками [4].
2. Об'ект дослщження та його технолопчний аудит
Об'ектом дослгдження е фжсований маршрут мiського пасажирського транспорту загального користування.
Найрозповсюдженiшою технологiею транспортного обслуговування пасажирiв на масовому громадському транспорт у мютах е маршрутна технолопя, яка е найбiльш ефективною при щшьност розселення вiд 3750 чол./км [5]. Маршрутна технолопя передбачае оргашзащю руху МТЗ по незмшних шляхах прямування (маршрутах) у виглядi послiдовностi циклiв транспортування (рейав). Протягом рейсу здшснюеться пасажирообмiн (вхiд та вихщ пасажирiв) на спецiально обладнаних майданчиках (зупинках), розташованих вздовж траси маршруту [6]. Зупинки подшяють трасу маршруту на перегони. За таких умов робота рухомого складу представляе собою послщовшсть цикшчно виконуваних протягом доби (або робочо! змши) окремих елементв транспортного процесу (рис. 1).
Обслуговування маршруту (прямий напрямок) 1ав
Рух перегоном Простш на зупинш
Кшцева зупинка(А)
to
V
М1сце стоянки (гараж)
to
к--------
К1нцева зупинка(В)
'в
Обслуговування маршруту (зворотний напрямок) tuA
Рис. 1. Структура складових циклу транспортного процесу на мюькому маршрутному транспорт загального користування
Щоденна робота МТЗ розпочинаеться з подавання його з мюця стоянки (парку, гаража) до одше! з кшцевих зупинок маршруту. Такий пробiг називаеться нульовим пробном, а його тривалiсть вiдноситься до добового або змшного циклу роботи МТЗ. Надалi МТЗ виконуе на маршрут один або декшька цикив перевезень (оборотних рейав), кожен з яких складаеться з наступних послщовних елементiв:
- рух по маршруту вщ кiнцево! зупинки А до кшцево! зупинки В (рейс у прямому напрямку) тривалютю ;
- мiжрейсовий простш на кiнцевiй зупинц В тривалiстю г'в;
- рух по маршруту вiд кшцево!' зупинки В до кiнцевоi зупинки А (рейс у зворотному напрямку) тривалютю гвА;
- мiжрейсовий простiй на кiнцевiй зупинцi А перед виконанням наступного оборотного рейсу г'А.
На протязi кожного з рейшв МТЗ рухаеться перегонами маршруту, витрачаючи час безпосередньо на рух (включаючи затримки, що пов'язаш з органiзацiею дорожнього руху) та на простш на зупинках для здшснення посадки та (або) висадки пасажирiв. Шсля виконання останнього запланованого розкладом руху оборотного рейсу (або його частини) МТЗ повертаеться з кiнцевоi зупинки нульовим пробном до мюця стоянки.
Таким чином, тривалють оборотного рейсу на маршрутi Тзд визначаеться сумою тривалостей його складових:
Тзв = + Гв + в + С (1)
На практищ можуть iснувати маршрути, що мають лише одну кшцеву зупинку (кiльцевi) [7], у такому випадку покладають гвА = 0 та г'в = 0 .
Для планування тривалостi рейсiв використовуються два методи -хронометражний тарозрахунковий [2].
Хронометражний метод грунтуеться на проведенш замiрiв фактичних витрат часу на виконання рейшв та iх окремих елементiв безпосередньо на маршруп з виконанням певних вимог та умов. По результатах цих замiрiв отримують статистичну вибiрку (зазвичай невеликого обсягу), на пiдставi яко! визначають розрахункову норму часу на виконання рейсу за формулою:
г = 3тш + 2тах (2)
де гт1п, гтах - вiдповiдно, мтмальне i максимальне значення фактично! тривалосп виконання рейсу, визначене за вибiркою даних проведеного хронометражу, хв.
Розрахунковий метод полягае у роздшенш траси маршруту на окрем1 дiлянки, у межах яких забезпечуеться приблизна рiвнiсть умов руху МТЗ. Пiсля цього для кожноi дiлянки розраховуються витрати часу на рух та простш МТЗ з урахуванням ушх дшчих чинниюв на цiй дiлянцi з використанням аналггичних або графiчних залежностей [8].
Одним з найбiльш проблемних мюць при органiзацii перевезень на маршруп е встановлення плановоi тривалосп виконання рейсу та (або) зворотного рейсу. Складношд виникають через те, що тривалють виконання рейсу на мюькому маршруп зазвичай е випадковою величиною, що необхщно враховувати при встановленш и планових значень, використовуваних надаш при складаннi розкладiв руху. Це, з одного боку, дозволяе покращити
ефектившсть використання МТЗ за рахунок зменшення його непродуктивних просто!в, а з шшого - пiдвищити якiсть обслуговування пасажирiв за рахунок зменшення тривалост очiкування останнiми транспорту на зупинках.
3. Мета та задачi дослщження
Метою проведених дослгджень е розробка методу ошгашзацп планово! тривалосл оборотного рейсу на мюькому автобусному маршрул, яка на вiдмiну вiд юнуючих, враховуе iнтереси як транспортних операторiв, так i пасажирiв.
Для досягнення поставлено! мети необхщно вирiшити таю задача
1. Розробити i обгрунтувати економiко-математичну модель оптимального планування тривалосл оборотного рейсу на мiському маршрул з урахуванням iмовiрнiсного характеру транспортного процесу перевезень пасажирiв.
2. На пiдставi емпiричних даних, отриманих безпосередньо на мюькш маршрутнiй мережi, виконати факторне дослiдження розроблено! моделi та надати рекомендацп щодо встановлення !! параметрiв у практичних умовах планування транспортного процесу пасажирських перевезень.
4. Дослщження кнуючих р1шень проблеми
Задачi достовiрного визначення тривалостi виконання оборотного рейсу та його складових як в цшому на маршрутi, так i на його окремих дшянках, придiляеться велика увага науковцiв та спещалюлв у галузi мiських пасажирських перевезень. Основна мета дослщжень, здебшьшого, спрямована на забезпечення надiйностi виконання встановленого розкладу руху на маршрутах. Зрозумшо, що як надто раннш час прибуття на зупинки, так 1 затзнення вiдправлення автобусiв з них вщносно встановленого розкладу суттево погiршують рiвень якостi транспортних послуг [9].
У робол [10] запропонований розрахунковий метод визначення тривалост рейсу на автобусному маршрул, який складаеться з основних та додаткових витрат часу. При цьому до основних витрат часу вщнесено рух перегонами, простш на зупинках шд пасажирообмшом та пов'язаш з цим маневрування. До додаткових витрат часу вщнесено умови руху та штенсившсть транспортного потоку, затримки на регульованих i нерегульованих перехрестях. Кожна складова витрат часу розраховуеться за аналггичними, емтричним формулами або подана у виглядi табульованих значень та таблиць. Отримане значення тривалосл рейсу коригуеться у вщповщносл до режиму руху на автобусному маршрул та з урахуванням iмовiрностi виникнення черг з автобушв перед зупинками та пов'язаних з цим додаткових затримок у русг
Влм, на думку бшьшосл дослщниюв, отримана таким чином розрахункова тривалють рейсу виявляеться у бiльшостi випадюв завищеною. Тож транспортн1 оператори для тдвищення ефективностi рухомого складу використовують при складанш розкладiв руху планову тривалють рейсу, що е дещо меншою або рiвною розрахунковiй [11].
На вщмшу вiд розрахункових, набагато бшьше розповсюдження знайшли ймовiрнiсно-статистичнi методи нормування тривалосл рейсу та окремих його складових, яю використовують в якосл вихщних даних фактичнi юторичш дан1
хронометражу. Розвитку цього напряму сприяе широке розповсюдження для контролю та диспетчеризацп руху громадського транспорту супутникових систем глобального позицюнування (Global Positioning System, GPS) та побудованих на ïx основi систем автоматично!' реестрацп мюцеположення транспортних засобiв (Automatic Vehicle Location, AVL). При цьому значно розширились теxнiчнi можливостi як збирання емтрично'' iнформацiï про тривалiсть та швидкють руху транспортних засобiв, так i ïï накопичення для подальшого анаизу та прогнозування [12].
В рамках iмовiрнiсно-статистичниx методiв нормування тривалостi рейсу у наукових дослщженнях сформувалися два методолопчних пiдxоди. Перший передбачае побудову регресшних моделей (зазвичай багатофакторних лшшних), до яких в якостi незалежних змiнниx включаються рiзноманiтнi фактори, що мають вплив на тривалiсть рейсу [13-15]. Такими факторами е: довжина маршруту, кшькють зупинок, перiод доби та сезон року, розташування маршруту на плаш мiста, пасажирооборот, стутнь використання пасажиромiсткостi, дорожнi умови, вш та досвiд водiя, теxнiчнi характеристики МТЗ. Отримаш регресiйнi залежностi мають коефщент множинноï детермшацп вiд R =0,59 [13] до R =0,69 [14, 15], що свщчить про задовшьну вiдповiднiсть отриманих регресшних моделей та можливють отримання суттевоï похибки при ïx практичному застосуванш.
Другий пiдxiд полягае у нормуванш тривалостi рейсу на пiдставi встановлення закономiрностей ïï статистичного розподшу як випадковоï величини. Надалi, iз застосуванням методiв моделювання (статистичне моделювання [16], моделювання структурними рiвняннями [17]), визначаеться планова тривалють рейсу та (або) його складових.
Найбшьше розповсюдження для опису тривалосп рейсу на мюькому маршруп, завдяки ïx добрш вiдповiдностi емпiричним даним та вщноснш простотi, отримали закони нормального та логарифмiчно-нормального розподiлу [18]. Втiм, у робоп [19] на пiдставi статистичного анаизу величини тривалостi руху на дшянках шести автобусних маршрутах з використанням даних GPS встановлено, що гшотеза про ïï логарифмiчно-нормальний розподш не пiдтверджуеться у приблизно 40 % проведених спостереженнях. Виходячи з цього, пропонуеться описувати тривалють руху за допомогою змшаного iмовiрнiсного розподшу, що е сумою випадкових величин тривалосп руху автобуса на окремих дшянках маршруту, додатково розраховуючи кореляцшш моменти мiж стандартними вдаиленнями цих тривалостей. На пiдставi розробленого тдходу для встановлення рiвня якостi перевезень - математичне оч^вання цього розподшу для оцшки ефективностi використання рухомого складу та його стандартне вщхилення для оцiнки надiйностi транспортного обслуговування пасажирiв.
У роботi [20], виконано аналiз статистичних даних транспортноï компанп TransLink Transit Autority у мюп Квiнсленд (Австралiя). На його пiдставi пропонуеться використовувати для опису випадковоï величини тривалостi власне руху автобуса перегонами нормальний закон розподiлу. Для опису тривалосп простою автобуса на зупинках пропонуеться використовувати
дискретний розподш, поданий у виглядi сиетематизовано! таблицi. В результат встановлено, що випадкова величина тривалосл рейсу, отримана як сума тривалостей його окремих складових, добре описуеться гаушвською змшаною моделлю, використання яко! дозволило надшнють виконання розкладу руху автобусiв на 15 %. Аналогiчнi дослiдження у Брюбеш (Австралiя) показали, що у порiвняннi з низкою неперервних розподшв випадково! величини, модель змiшаного гаушвського розподiлу е кращою з точки зору точносл пiдгонки та стшкосл отримуваних результатiв. У дослiдженнi для порiвняння використовувались нормальний, логарифмiчно-нормальний, Вейбула, логютичний закони розподiлу та закон гамма-розподшу.
Робота [16] присвячена оптимiзацiï нормативно!' тривалостi рейсу з урахуванням ïï схоластичностi за критерiем мiнiмiзацiï зваженого сумарного очiкуваного часу вщхилень фактичних моментiв прибуття автобусiв на зупинки вщ запланованих та часу надлишковоï роботи рухомого складу. З використанням методу Монте-Карло, оптимiзацiйна модель трансформована та представлена як задача лшшного програмування з обмеженнями у вигляд1 нерiвностей. На пiдставi результалв оптимiзацiï виконаний аналiз чутливост моделi при змiнi вихiдних даних.
Рекомендована тривалють мiжрейсових просто1в автобуса на кшцевих зупинках, за бiльшiстю дослщжень приймаеться рiвною 10...15 % вщ тривалостi рейсу [21], що у натуральному виразi складае 5.. .15 хв. [22].
Пщсумовуючи аналiз попереднiх дослщжень, слщ зазначити, що вони розглядають задачу планування тривалостi рейсу на маршрул або лише з точки зору користувачiв транспортних послуг (пасажирiв) або лише з точки зору транспортних операторiв. Слщ також звернути увагу на той факт, що надлишкове пщвищення надшносл виконання розкладу руху призводить, як правило, до збшьшення експлуатацшних витрат транспортних операторiв. Це, у свою чергу, збшьшуе вартiсть транспортних послуг, що негативно вщбиваеться на ставленнi пасажирiв до громадського транспорту. Таким чином, е пщстави стверджувати, що проблема визначення оптимального планування тривалосл рейсу на автобусному маршрул з урахуванням штерешв як пасажирiв, так i транспортних операторiв, залишаеться невирiшеною.
5. Методи дослщжень
Як було показано вище (рис. 1), тривалють оборотного рейсу МТЗ на мюькому маршрул у загальному випадку складаеться з тривалостей рейшв у кожному з напрямюв та мiжрейсових просто1в на кожнш з двох кiнцевих зупинок. Надалi будемо розглядати в якостi параметра, що оптимiзуеться, тривалiсть рейсу в одному з напрямюв з додаванням часу мiжрейсового простою на кшцевш зупинцi наприкiнцi цього рейсу. Зрозумшо, що залишок тривалостi оборотного рейсу (у протилежному напрямку) може бути розглянутий аналопчним чином.
У практичних умовах, зазвичай, тривалють рейсу з використанням iмовiрнiсно-статистичних методiв, визначаеться за статистичною вибiркою обмеженого обсягу. Нехай в результал N спостережень на мюькому маршрул
отримана статистична вибiрка величин фактично!' тривалост виконання рейсу г1, г2, ..., N Нехай планова тривалiсть рейсу дорiвнюе г, (гт1п <г, <гтах, де гт1п та гтах - вщповщно, мiнiмальне та максимальне значення тривалостi рейсу з множини спостережень). Тодi певна частина рейсiв виконуеться з тривалютю, меншою нiж запланована (е [гт1п, )), а частина - з плановою тривалютю, або
бiльше не" (^ е[г,, гтах]).
Якщо фактична тривалiсть рейсу е меншою, шж планова, виникае надлишковий час простою МТЗ на кшцевш зупинцi. Сумарна величина цього часу, накопичена за весь перюд спостережень, дорiвнюе:
N
Тпр ^ 1(ts ^). (3)
г=1
и <1,
Такi випадки е небажаними для транспортного оператора, оскшьки призводять до втрати ним наявних транспортних ресурсiв. Цi втрати проявляються у двох аспектах. По-перше, непродуктивний простш транспортного засобу та водiя призводять до додаткових експлуатацшних втрат С1, що у вартюному розмiрi складають:
С1 = Стр ' Тпр, (4)
де стр - вартiсть простою МТЗ в одиницю часу.
По-друге, за втрачений час МТЗ м^ би виконати додатково Тпр1 ^ кшьюсть
рейшв i, вiдповiдно, дати транспортному оператору втрачений додатковий прибуток у розмiрi:
Т -О-5
С2 = , (5)
де О - середня кшьюсть пасажирiв, що перевозиться на маршрут за рейс, пас.; § - прибуток, що отримуе транспортний оператор вщ перевезення одного
пасажира.
Таким чином, сумарш витрати транспортного оператора складаються з суми витрат вщ непродуктивного простою транспортних засобiв та згаяного прибутку, в середньому на один виконаний рейс дорiвнюють:
С + С Т
СС= 1 2 = пР
N N
1 N
= ^ ^ У
тр
+
б-5
+
б-5
Аналопчним чином, якщо фактична тривалiсть рейсу перевищуе планову, виникае запiзнення вiдправлення МТЗ у рейс у зворотному напрямку, сумарна величина якого, накопичена за весь перюд спостережень, дорiвнюе:
N
Т = >(г —1).
зп / 1 \ I s /
(7)
I=1
Затримка вiдправлення МТЗ у рейс у зворотному напрямку е небажаною для пасажирiв, оскшьки призводить до додаткових витрат часу ними в оч^ванш прибуття МТЗ на зупинках. Виходячи з припущення, що сумарна величина цього додаткового часу оч^вання дорiвнюе сумарним затримкам вщправлення МТЗ у рейс у зворотному напрямку, отримаемо вираз для розрахунку втрат, який вщбивае штереси пасажирiв, у виглядi:
С3 Спас ' б ' Тзг
(8)
де спас - витрати пасажирiв на очiкування МТЗ на зупинках в одиницю часу у вартюному виразг
Сумарнi витрати пасажирiв в середньому за один виконаний рейс складатимуть:
С" = = Спас ' Q ' Тзп = Спас ' Q N (t — / )
N N N ^ ^.
(9)
Таким чином, задача оптимального планування тривалосл рейсу на маршрут полягае у визначенш такого значення г3, яке мiнiмiзуе сумарнi витрати перевiзника та пасажирiв (узагальненi витрати) у розрахунку на один виконаний рейс, тобто:
1 N
с,=с'+с=^ >( ^^)'
с -\ + пас ^ > (г — г шт.
N 1
с +
б '5
+
Зрозумшо, що значення Тпр (3) та Тзп (7) у загальному випадку залежать вiд
закону розподiлу неперервно! випадково! величини тривалостi виконання рейсу г, тож дамо постановку задачi оптимального планування тривалостi рейсу, в узагальненому виглядi.
Нехай випадкова величина тривалост виконання рейсу задана функщею щiльностi розподiлу iмовiрностей /(г), визначеною на iнтервалi [ш1п, гшах].
Тодi математичне оч^вання тривалостi рейсу з тих рейшв, величина яких не перевищуе планову г, згiдно теореми про середне значення [23] дорiвнюе:
м [г ] <, =
I г ■ / (г )йг
^шт_
} /(г)йг
(11)
Тодi середне вiдхилення тривалостi рейсу у менший бiк для усiх рейсiв, тривалють яких не перевищуе планову, дорiвнюе:
I г ■ /(г К - М V]<, = - ^-
| /(г)*
(12)
Оскiльки частка рейсiв, тривалiсть яких не перевищуе планового значення,
г
у !х загальнiй кiлькостi дорiвнюе | /(г)йг, остаточно отримуемо:
Т
пр
N
г., -■
I г ■ /(г)Я
^шт_
I / (г )Л
| /(г)А =
(13)
я я
г, | /(г)й - I г ■ /(г)й.
г
З аналогiчних мiркувань для множини рейсiв, тривалiсть яких бшьше або дорiвнюе плановiй, маемо:
т
зп
N
шах
| г - /(г)йг _
гшах
| /(г)Л
шах
| /(г)А
шах шах
= | г - /(г)йг — г51 /(г)йг.
З урахуванням тривалостi мiжрейсового простою на кшцевш зупинцi г' отримаемо вираз для щльово!' функцii:
СБ = С' + С" ^ ш1п,
С,=
1 £
,1 /(г¥г — | г - /(г
с +
б-5 г.. + г'
+
+Спас * б
'шах 'шах
| г - /(гуг — гs | /(г
(15)
(16)
шт.
Розглянемо наприклад, найпростiший частинний випадок, коли випадкова величина тривалосл виконання рейсу розподшена за рiвномiрним законом розподшу. Функцiя шiльностi рiвномiрного розподiлу мае вигляд [23]:
/ (г) =
0
,ЖЩ° г e[гш1n, гшах ]; , якшо г € [гшln, гшах }
г — г
шах ш1п
(17)
Тодi, пiдставляючи (17) до (16) та виконуючи елементарш перетворення, отримаемо:
С,=
— гш1п)2
2(г — г )
V шах ш1п / 1
б-5
с +
тр г., + г'
+ с - Q
пас
(г —г)2
У шах а /
2(г — г . )
шах ш1п
2(г — г . )
шах ш1п
(г — г )
\ $тр ш1п /
с +
б-5 г„ + г'
+ (и —г )2 - с - б
(18)
шт.
Диференщюючи вираз (18) по гв маемо:
1
йг 2(г - г ■ )
. V тах тт/
2(г - г )
\ .тр т1П /
С +
Я
г.. + г'
-2 • Я • С • (г - г ) - Я гт1п)
^ пас \ тах ^ /
(г. + г')
г\2
Прирiвнюючи отриманий вираз до нуля, отримуемо дрiб, у чисельнику якого знаходиться кубiчне рiвняння вигляду:
Лх3 + Бх2 + Сх - В _ 0,
(20)
де Л _ 2(с + Я • с ); Б _ Я-8 + 2 • с • (2г'- г ) + 2 • Я • с (2г'- г );
^ V тр ^ пас / ' ^ тр \ т1П / ^ пас\ тах / '
С _ г'\г'(с + Я • с ) + Я(8 - 2 • с • г ) - 2 • с • г . 1;
V тр ^ пасУ пас та^ тр т1П ^
В _ Я(8^г2. + 2 •с •г '2 •г + 28 •г ' •г).
т1П пас тах тт/'
а у знаменнику вираз (г. + г' )2, що нiколи не обертаеться на нуль при додатних значеннях г. та г'. Розв'язуючи кубiчне рiвняння (20), можна знайти оптимальне значення тривалостi виконання рейсу г., як один з його дшсних коренiв.
Якщо г' << г., то обчислення можна спростити, поклавши у (18) г. + г'«г.. Тодi в результат диференцiювання та подальшого прирiвнювання отримано! похiдноi до нуля, матимемо для знаходження величини г* кубiчне рiвняння виду:
Лх3 + Бх2 - С _ 0,
(21)
де Л _ 2(с + Я• с ); Б _ Я• (8-2• с • г )-2• с • г ; С _ Я^г. .
^ \ тр пас/ ' пас та^/ тр т1П ' ^ т1П
Якщо також припустити, що додаткове виконання рейшв не приносить прибутку (3=0), що може мати мюце, наприклад, на iзольованому маршрутi, оптимальна тривалють рейсу з (21) визначаеться за простою формулою:
* Я • с • г + с • г ■
г * _ ^ пас тах тр т1П _г
X
Я •с +
пас
пас тр
X-
Я • сп
(22)
■ + г_:_
тр
0/-\ тт
•с + Ос •с +
пас тр пас
пас тр
У випадку нормального розподшу тривалост рейсу з функцiею щiльностi iмовiрностi:
/ (г) =
_(г—г )2
2о?
а
•\/2п
(23)
де г - математичне очiкування тривалостi рейсу, хв; аг - стандартне
вiдхилення тривалосл рейсу, хв.
Цiльова функцiя для визначення оптимальноi тривалостi рейсу (16) матиме вигляд:
С,=
г —
,тр
I г--_ е
0 М2п
(г—г )2
2а2
Ж
I
_(г—г )2
2а2
Ж
0г
с +
б-5 г.. + г'
+
+Спас * б
I г-аЙ!
г, аг
■\/2п
(г—г )2 2а2 Ж
л
(г—г )2
2а?
— г.
г, аг
Жг
(24)
шт.
Перейшовши до стандартизованого нормального розподшу шляхом замiни змiнноi у тдштегральних виразах:
г — г - , ,
г =-; г = г -аг + г; аг = стгог,
о
пiсля iнтегрування по частинах, елементарних перетворень та постановки границь iнтегрування, цiльова функцiя (24) набувае вигляду:
С
_ (г,—г )2
2-о2
- о, -е '
г — г +-г—т-т
тр (
г, — г
V аг у
л/2п-Ф
с +
б-5 г.. + г'
+
+С - б
пас ^
г — г +
аг * е
(г,—г )2 2-а2
л/2п
0,5 — Ф
'г —
^_1
V аг у
шт,
(25)
1
1 г —
де Ф(г) = ,— I е 2 Сг - штегральна функцiя Лапласа. л/2п *
Оскшьки похiдна функцii (25) по незалежнш змiннiй мiстить у своему виразi неелементарну функцiю Лапласа, пошук ii мiнiмуму можна виконати лише числовими методами. Вираз (25) може бути використаний також для пошуку оптимального значення тривалост рейсу, якщо остання мае логарифмiчно-нормальний розподiл, для чого достатньо застосувати операщю логарифмування до вихiдноi статистичноi вибiрки хронометражноi тривалост рейсiв.
6. Результати досл1джень
Розглянемо практичний приклад застосування моделi оптимiзацii тривалостi виконання рейсу та обороту рухомого складу на мюькому тролейбусному маршрул № 14 «Омферопольське шосе - Набережна» мiста Запорiжжя (Украша) з маятниковою схемою руху. По результатах комплексного обстеження пасажиропотоюв, проведеного у квiтнi 2017 року, отримаш вибiрковi данi про тривалють виконання N=20 рейсiв у кожному з напрямюв маршруту (табл. 1), основш статистики яких наведенi у табл. 2.
Таблиця 1
Даш спостережень за тривалютю виконання рейсу на мюькому тролейбусному
tAB, хв. 60 64 62 62 67 62 63 65 65 65
55 72 60 68 63 68 60 63 62 65
tBA , хв. 60 64 62 66 62 64 55 54 67 63
61 56 58 60 63 64 68 62 64 54
Таблиця 2
Основш статистики тривалост виконання рейсу на мюькому тролейбусному _маршрут! № 14 мюта Запорiжжя (Украша)_
Статистика Значення статистики за напрямками руху
прямий зворотний
1. Мшмальне значення tmin, хв. 55 54
2. Максимальне значення , хв. max 1 72 68
3. Вибiркове середне t , хв. 63,55 61,35
4. Стандартне вщхилення at, хв. 3,65 4,13
Спочатку встановимо характер розподшу випадково!' величини у кожнш вибiрцi. Оскiльки маемо справу з малими вибiрками, застосовуемо непараметричнi методи. Зауважимо, що у випадку великих (N > 30) вибiрок, для цього можна застосувати, наприклад, критерш х2 Пiрсона.
Спочатку перевiряемо гiпотезу про нормальний розподш величини тривалостi рейсу за критерiем середнього абсолютного вiдхилення [24], для чого розраховуемо статистику цього критерш за формулою:
N
Маемо для тривалосп рейсу у прямому напрямку ^ |г2 — г | = 54,1,
2=1
N
ЖАВ = 0,741, для тривалостi рейсу у зворотному напрямку ^|г2 — Т\ = 65,6,
2=1
ЖВА = 0,794. Ппотеза про нормальнють розподiлу не вiдкидаеться, якщо виконуеться умова Ж1 < Ж < Ж2, де Ж1 та Ж2 - критичнi значення критерш, якi на рiвнi значимостi 0,05 та при обсязi вибiрки N = 20 дорiвнюють Ж1 = 0,7304 та Ж2 = 0,8768 [24]. Очевидно, значення ЖАВ та ЖВА потрапляють до обласп прийняття ппотези, тож гiпотезу про нормальний розподiл величини тривалосп рейсу у прямому та зворотному напрямку маршруту не вщкидаемо.
Надал розрахунок ведемо за виразом цiльовоi функцii (25) з аргументом г,, що змшюеться з кроком ДГ=1 хв., та значеннями постшних параметрiв: стр=0,1 дол. США/хв.; спас=0,002 дол. США/хв.; б=158 пас.;
¿=0,021 дол. США/пас.; г'= 10 хв.
Результати розрахунку у виглядi графiкiв змiни узагальнених витрат в залежносп вiд змiнювання плановоi тривалостi рейсу наведенi на рис. 2. На ньому також для порiвняння наведен графiки змiни узагальнених витрат за умови розподшу тривалосп рейсу за рiвномiрним законом.
Таким чином, мтмальш узагальненi витрати досягаються у випадку планово!' тривалостi рейсу: у прямому напрямку гАВ = 65 хв. (С™" = 0,597 дол. США.), у зворотному напрямку гВА = 63 хв. (С™11 = 0,678 дол. США). З урахуванням тривалосп мiжрейсових просто1в на кожнш з кшцевих зупинок г А = г'в = 10 хв., оптимальна планова тривалють оборотного рейсу на маршрутi за (1) складатиме:
Т* = 65 + 63 +10 +10 = 148 хв.
У порiвняннi з юнуючими плановими показниками на маршрут гАВ = 64 хв. та гВА = 61 хв., сумарна тривалють виконання рейшв пiсля оптимiзацii збiльшуеться на 3 хв., що дае зменшення узагальнених витрат у розрахунку на один виконаний зворотний рейс з С™11 = 1,43 дол. США до С™11 = 1,28 дол. США, тобто майже на 12 %.
Зауважимо, що у випадку розподшу випадкових величин тривалосп виконання рейшв у кожному з напрямюв маршруту за рiвномiрним законом, оптимальна планова тривалють оборотного рейсу дорiвнюе Т* = 151 хв.
2,8
2,4
я Й
я м
■й 1,6-о
к
л , ~
(ч
$0,8-
0,4
- (
-о- нормальний розподш
-о- ртномфнии розподш
-
-
-
2,4
я 2,0
Ё Рн
я 1,6
и '
'к
о
« 1 2
| 0,8
0,4
-о- нормальний розподш — р1вном1рний розподш
55 60 65 70 54 58 62 66
Планова трива.шсть рейсу, хв. Планова тривалють рейсу, хв.
а б
Рис. 2. Залежшсть узагальнених витрат вiд величини планово!' тривалост рейсу на тролейбусному маршрут № 14 мiста Запорiжжя: а - у прямому напрямку; б - у зворотному напрямку
Як видно з виразу цшьово! функцн узагальнених витрат (16), на
^ *
оптимальну величину тривалостi виконання рейсу на мюькому маршрутi ts впливають такi параметри:
- характер розподшу випадково! величини тривалостi виконання рейсу та н числовi характеристики;
- вартють непродуктивного простою МТЗ в одиницю часу стр, дол. США;
- середня кшьюсть пасажирiв, що перевозиться на маршрутi за рейс Q,
пас.;
- прибуток, що отримуе транспортний оператор вщ перевезення одного пасажира 5, дол. США;
- витрати пасажира на оч^вання МТЗ на зупинщ в одиницю часу спас, дол. США;
- тривалють мiжрейсового простою МТЗ на кшцевш зупинцi маршруту ,
хв.
Проанаизуемо характер та ступiнь впливу параметрiв моделi на результативний показник ts шляхом дослiдження залежностей змiнювання його величини вiд змшювання кожного з цих параметрiв.
На рис. 3 наведений характеристичний графш змшювання оптимально! тривалост рейсу в залежност вiд змiнювання параметрiв моделi для прямого напрямку руху на розглядуваному маршрут^ Верхнi границi дiапазонiв варiювання параметрiв вибрано таким чином, щоб проiлюструвати !х вплив на результативний показник у межах його фактичних значень, отриманих в результат хронометражу.
Вплив вартостг непродуктивного простою МТЗ в одиницю часу. Величина стр виражае, так зваш, постгйм витрати транспортного оператора, що е
складовою собiвартостi перевезень [2]. До цих витрат, що вiдносять до одше" години експлуатацii, включають заробiтну плату водiя з нарахуваннями, амортизацiю рухомого складу та загальновиробничi витрати. При й збiльшеннi стр значення оптимальноi тривалостi рейсу на маршрутi нелшшно зменшуеться в обмеженому дiапазонi 63...68 хв., що складае приблизно 30 % розмаху випадковоi величини тривалосп рейсу.
Вплив середнъог кглъкостг пасажиргв, що перевозиться на маршрутI за рейс. Оптимальна тривалють рейсу на маршрут г* нелшшно зростае при збшьшенш Q, при цьому обмежена зверху значенням, що у наведеному прикладi дорiвнюе приблизно 65 % розмаху випадковоi величини тривалосп рейсу. Величина Q е характеристикою конкретного маршруту та вщбивае сшввщношення попиту на перевезення та пасажиромютюсть використовуваного рухомого складу на цьому маршруп. За даними комплексного обстеження пасажиропотоюв у мюп Запорiжжя у 2017 рош, фактичнi значення цього параметра знаходяться у межах:
- для автобуса Qa = 3,6.. .113,8 пас. (з середшм значенням Qa = 30,05 пас. та коефщентом варiацii V а = 0,48);
- для тролейбуса Qmp = 46,9.210,0 (QтP = 127,3 пас., Vmр = 0,52);
- для трамвая Qm = 59,3.104,7 пас. (Qm = 76,7 пас., V т = 0,57).
70
д
х
о
:5¡
О &
Л
.U 66
1=1 сЗ Д К
Рн
н
с5 Я
62
s н с О
58
54
0
0
- ----
----
0--
1
50 100 150 200
Q, пас. -о
250
300
350
0,08
0,16
0,24
с , $
тр > ^
0,32
0,40
0
0
0,16
0,32
0,48
0,64
0,80
5, $
8 10 12 14 16 18 20
t\ хв. —А—
0,000 0,016 0,032 0,048 0,064 0,080
Спас » $ -О"
Рис. 3. Характеристичний графiк залежност оптимально! тривалостi рейсу
вiд параметрiв модел1
Вплив прибутку, що отримуе транспортний оператор eid перевезення одного пасажира. Прибуток, що отримуе транспортний оператор вщ перевезення одного пасажира, е вщношенням рiзницi мiж доходом вщ надання послуг з перевезення пасажирiв i експлуатацiйними витратами до обсягу перевезень пасажирiв на маршрут^ При збiльшеннi значення д, оптимальна тривалють рейсу на маршрутi нелшшно зменшуеться. У практичних умовах ощнку величини д можна виконати за допомогою вiдомих значень тарифу на перевезення Tта планово! рентабельност перевезень R за формулою:
5=T^R
1 + R
Якщо, наприклад, величина тарифу (BapTicTb про!зду) складае T=0,16 дол. США, а планова рентабельнють перевезень R=0,15 (15 %), маемо ¿=(0,16-0,15)/(1+0,15)=0,021 дол. США.
Вплив витрат пасажира на очжування МТЗ на зупинц в одиницю часу. Цей параметр визначаеться вартютю, так звано!, одше! пасажиро-години або бшьш загального поняття вартостг транспортного часу (VTTI, Value of Travel Time Savings) i носить доволi суб'ективний характер. Вiн е показником, що характеризуе потенцiйнi витрати пасажира внаслщок пасивного очiкувaння транспорту на зупинщ При цьому величина спас може оцiнювaтися як з точки зору пасажира, так i з точки зору перевiзникa або держави в цшому [25]. На мюькому пасажирському трaнспортi !! рекомендуеться приймати у межах 35.. .60 % середньодушового доходу громадянина в одиницю часу [26].
За даними головного управлшня статистики в Зaпорiзькiй облaстi [27], середньомюячний дохiд на душу населення в област у 2016 рощ склав 1 тис. 686 дол. США, що дорiвнюе 0,842 дол. США/год. при рiчному фондi робочого часу 2003 години. Таким чином, дiaпaзон змшювання величини спас може бути ощнений у межах 0,29.0,50 дол. США/год або 0,005.0,008 дол. США/хв. При збiльшеннi величини спас оптимальна тривaлiсть рейсу нелiнiйно зростае (рис. 3), поширюючись практично на увесь дiaпaзон !! хронометражних значень, причому нaйбiльшi темпи зростання припадають саме на iнтервaл спас е[0;0,008]. Тож, вiдповiдaльний вибiр величини спас у пропоновaнiй
оптимiзaцiйнiй моделi носить визначальний характер.
Вплив тривалостг мгжрейсового простою МТЗ на юнцевгй зупинц маршруту. Як видно з рис. 3, тривалють мiжрейсового простою МТЗ на кшцевш зупинщ маршруту t' майже не впливае на величину оптимально! тривалост виконання рейсу на маршруп, тож у практичних розрахунках нею можна знехтувати.
7. SWOT-аналiз результатiв досл1дження
Strengths. Серед сильних сторш проведеного дослiдження слщ вiдзнaчити унiверсaльнiсть розробленого методу по вщношенню до характеристик випадково! величини тривалост виконання рейсу на маршруп. Це дае можливють визначати оптимальну тривaлiсть рейсу для довiльного закону розподшу !! випадково! величини, поданого у анаитичному або табличному вигляд^ чи безпосередньо за даними вибiрки фактичних хронометражних спостережень.
Weaknesses. До слабких сторш проведеного дослщження слiд вщнести припущення, що середнiй час оч^вання пасажира на зупинцi при затримщ вiдпрaвлення МТЗ у рейс збшьшуеться на величину цiе! затримки. Таким чином, не врахованими е додaтковi витрати часу, пов'язаш з нерегулярнютю руху МТЗ. Крiм того, як показано у [28], призначення планово! тривалост рейсу меншою, нiж !! математичне очiкувaння, призводить у граничному випадку до фактичного невиконання розкладу руху на мaршрутi. З огляду на це, отримане
значення оптимально! тривалост рейсу на маршруи, може тдлягати коригуванню.
Opportunities. Додатковi можливостi, що вiдкриваються при застосуванш розробленого методу, полягають у можливост оперативного коригування планово! тривалостi виконання рейшв. Це стае можливим за умови автоматизованого збирання хронометражних даних про тривалiсть елементiв транспортного процесу пасажирських перевезень у мiстах за допомогою використання систем GPS-мошторингу за рухом МТЗ. При цьому накопичеш статистичш данi можуть бути використаш як для аналiзу виконання встановленого розкладу та регулярност руху, так i для прогнозування змiнювання планових показниюв пiд дiею зовнiшнiх чинниюв. До таких чинникiв, зокрема, можна вщнести: змiни рiвня завантаження мюьких магiстралей рухом, режимiв свiтлофорного регулювання на перехрестях, типу рухомого складу на маршрутах, вщкриття нових або закриття юнуючих маршрутв, тощо.
Threats. Складност у використаннi розробленого методу у практичних умовах полягають у суб'ективност шдходу до визначення вартост часу очiкування пасажира, яка, мiж тим, суттево впливае на результати розрахунку. Величина вартостi транспортного часу визначаеться загальним станом економiки кра!ни i на сьогоднi в Укра!ш е значно меншою, нiж у економiчно розвинених кра!нах свiтy Оскшьки зменшення цiе! величини зменшуе планову тривалють рейсу i, таким чином, надшнють виконання розкладу руху на маршрут^ використання розробленого методу для маршрупв з вiдносно низькою частотою руху (з штервалами руху понад 10 хвилин) е обмеженим.
8. Висновки
1. Розроблено оптимiзацiйну модель планування тривалост рейсу i оборотного рейсу на мюькому маршрутi громадського транспорту, яка враховуе iмовiрнiсний характер транспортного процесу перевезень пасажирiв, штереси транспортного оператора та пасажирiв. Отримаш аналiтичнi залежностi для визначення оптимального значення тривалост рейсу для випадюв !! нормального та рiвномiрного розподшу.
На прикладi мiського тролейбусного маршруту № 14 мюта Запорiжжя визначено оптимальну тривалiсть рейсiв у кожному з напрямюв, що е випадковими величинами, розподшеними за нормальним законом розподшу. У порiвняннi з юнуючими плановими показниками на маршрутi, сумарна тривалiсть виконання рейсiв за напрямками пiсля оптимiзацi! збiльшуеться на 3 хв., що дае зменшення узагальнених витрат у розрахунку на один виконаний зворотний рейс з С™11 = 1,43 дол. США до С™11 = 1,28 дол. США, тобто майже на 12 %.
2. На пiдставi емпiричних даних, отриманих при комплексному обстеженнi пасажирських потоюв у мiстi Запорiжжя (Укра!на) у 2017 роцi, проведено факторне дослщження розроблено! моделi. Це дозволило отримати характер та ступшь впливу !! параметрiв на величину оптимально! тривалост рейсу на
маршрут^ Встановлено, що величина тривалост мiжрейсового простою МТЗ на кiнцевих зупинках у дiапазонi використовуваних на практищ значень t' = 0... 20 хв. практично не впливае на величину планово! тривалосл виконання рейшв. Подано рекомендацiï щодо встановлення значень параметрiв моделi у практичних розрахунках.
References
1. Ceder A. Public transit planning and operation: theory, modeling and practice. Oxford: Elsevier, Butterworth-Heinemann, 2007. 626 p.
2. Spirin I. V. Perevozki passazhirov gorodskim transportom. Moscow: IKTS «Akademkniga», 2004. 413 p.
3. Kuzkin О. F. Service regularity investigation of fixed-route taxi during on-peak hours // Eastern-European Journal of Enterprise Technologies. 2015. Vol. 5, No. 3 (77). P. 14-22. doi:10.15587/1729-4061.2015.51361
4. Babushkin H. F., Kuzkin O. F., Yudin V. P. Transportno-ekolohichni problemy mista Zaporizhzhia // Novi materialy i tekhnolohii v metalurhii ta mashynobuduvanni. 2010. Vol. 1. P. 144-146.
5. Artynov A. P., Skaletskiy V. V. Avtomatizatsiya protsessov planirovaniya i upravleniya transportnymi sistemami. Moscow: Nauka, 1981. 280 p.
6. Larin O. N. Organizatsiya passazhirskikh perevozok. Chelyabinsk: YUUrGU, 2005. 104 p.
7. Efremov I. S., Kobozev V. A., Yudin V. A. Teoriya gorodskikh passazhirskikh perevozok. Moscow: Vysshaya shkola, 1980. 535 p.
8. Highway capacity manual 2010 / Ryus P. et al. // TR News. Washington D.C.: Transportation Research Board, National Research Council, 2010. Vol. 273. P. 45-48.
9. Islam M. K. Reliability Analysis of Public Transit Systems Using Stochastic Simulation: proceedings // World Transit Research. Canberra, 2010. 13 p.
10. Transit Capacity and Quality of Service Manual: TRCP Report 165. Washington D.C.: Transportation Research Board, 2013. 685 p. doi:10.17226/24766
11. Planning, operation, and control of bus transport systems: A literature review / Ibarra-Rojas O. J. et al. // Transportation Research Part B: Methodological. 2015. Vol. 77. P. 38-75. doi:10.1016/j.trb.2015.03.002
12. Diab E. I., El-Geneidy A. M. Variation in bus transit service: understanding the impacts of various improvement strategies on transit service reliability // Public Transport. 2013. Vol. 4, No. 3. P. 209-231. doi:10.1007/s12469-013-0061-0
13. El-Geneidy A. M., Horning J., Krizek K. J. Analyzing transit service reliability using detailed data from automatic vehicular locator systems // Journal of Advanced Transportation. 2011. Vol. 45, No. 1. P. 66-79. doi:10.1002/atr.134
14. Davidich Yu. A., Kalyuzhnyy M. V. Normirovanie skorosti dvizheniya gorodskogo passazhirskogo transporta s uchetom kharakteristik marshruta // Visti avtomobil'no-dorozhn'ogo institutu. 2012. Vol. 1 (14). P. 11-17.
15. El-Geneidy A., Hourdos J., Horning J. Bus Transit Service Planning and Operations in a Competitive Environment // Journal of Public Transportation. 2009. Vol. 12, No. 3. P. 39-59. doi:10.5038/2375-0901.12.3.3
16. Wu Y., Tang J., Gong J. Optimization Model for Single Bus Route Schedule Design Problem with Stochastic Travel Time // Journal of Northeastern University: Natural Science. 2015. Vol. 36, No. 10. P. 1393-1397. doi:10.3969/j.issn.1005-3026.2015.10.006
17. Bus Travel Time Deviation Analysis Using Automatic Vehicle Location Data and Structural Equation Modeling / Gong X. et al. // Mathematical Problems in Engineering. 2015. Vol. 2015. P. 1-9. doi:10.1155/2015/410234
18. Mazloumi E., Currie G., Rose G. Using GPS Data to Gain Insight into Public Transport Travel Time Variability // Journal of Transportation Engineering. 2010. Vol. 136, No. 7. P. 623-631. doi: 10.1061/(asce)te. 1943-5436.0000126
19. Using Bus Probe Data for Analysis of Travel Time Variability / Uno N. et al. // Journal of Intelligent Transportation Systems. 2009. Vol. 13, No. 1. P. 2-15. doi: 10.1080/15472450802644439
20. Bus travel time reliability analysis: a case study / Qu X. et al. // Proceedings of the Institution of Civil Engineers - Transport. 2014. Vol. 167, No. 3. P. 178-184. doi: 10.1680/tran.13.00009
21. Transit System Analysis and Optimization in Montgomery County / Acosta C. et al. Worcester: Worcester Polytechnic Institute, 2011. 86 p.
22. Improving Bus Transit On-Time Performance through the Use of AVL Data (final). Pascal Systems Inc. Latham, 2014. 28 p.
23. Sahoo P. Probability and mathematical statistics. Louisville: University of Louisville, 2013. 686 p.
24. Kobzar A. I. Prikladnaya matematicheskaya statistika. Dlya inzhenerov i nauchnykh rabotnikov. Moscow: FIZMATLIT, 2006. 816 p.
25. Faktor skorosti kak ekonomicheskaya kategoriya passazhirskikh transportnykh sistem v gorodskikh aglomeratsiyakh: proceedings / Chetchuev M. V. et al. // Magnitolevitatsionnye transportnye sistemy i tekhnologii. Saint Petersburg, 2014. P. 205-211.
26. Mackie P. J., Jara-Diaz S., Fowkes A. S. The value of travel time savings in evaluation // Transportation Research Part E: Logistics and Transportation Review. 2001. Vol. 37, No. 2-3. P. 91-106. doi:10.1016/s1366-5545(00)00013-2
27. Holovne upravlinnia statystyky v Zaporizkii oblasti. URL: http: //www. zp. ukrstat. gov. ua/ (Last accessed: 08.03.2018).
28. Zhao J., Dessouky M., Bukkapatnam S. Optimal Slack Time for Schedule-Based Transit Operations // Transportation Science. 2006. Vol. 40, No. 4. P. 529-539. doi:10.1287/trsc.1060.0170
