Определители в вычислениях точных граней полиномов Текст научной статьи по специальности «Математика»

делены передаточные функции, связывающие между собой отдельные координаты. Аналогичным путем может быть составлено математическое описание и более сложного объекта.

Рассмотренный подход к исследованию автоматических систем на основе понятия пространства состояний плодотворен при определении наиболее общих свойств, таких как управляемость и наблюдаемость.

Предлагаемые структурные модели трубопроводов могут использоваться для построения систем управления мощностью парогенератора, разряжения газов в топках и пространстве стекловаренной печи, температуры, питания, горения с целью синтеза автоматических управляющих устройств.

БИБЛИОГРАФИЯ

1. Ешенко, А. А. Структурные модели типовых участков (объектов) регулирования расхода и давления рабочей среды : сб. науч. тр. / А. А. Ешенко // Управление в системах / Иркут. гос. техн. ун-т. - Иркутск, 2003. - Вып. 5. - С. 9399.

2. Ешенко, А. А. Динамические модели участков транспорта рабочего тела систем регулирования расхода и давления в паросиловых установках / А. А. Ешенко // Вестн. ИрГТУ. - 2003. - № 3-4. - С. 77-82.

3. Ешенко, А. А. Динамические модели регулируемых объектов теплоэнерготехнологических установок : учеб. пособие / А. А. Ешенко. -Иркутск : Изд-во ИрГТУ, 1998. - 59 с._

Новиков M.A.

УДК: 517.988.38

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ В ВЫЧИСЛЕНИЯХ ТОЧНЫХ ГРАНЕЙ ПОЛИНОМОВ

(1)

Введение. В статьях [1, 2] изложен алгоритм исследования локальных точных граней (л.т.г.) полиномов двух переменных в бесконечно удаленных точках (б.у.т.) с применением рядов. В [1, 2] показано, что система нелинейных уравнений

г /:(х, у)=0,

I /Д: у ) = 0,

в точках л.т.г. не имеет общего решения, но выполняется предельно при стремлении одного из аргументов к бесконечности. В этом случае существует зависимость одной переменной в виде ряда некоторого конечного порядка К по убывающим степеням другой переменной. При этом точная грань вычисляется на членах этого конечного ряда предельно, когда переменная ряда стремится к бесконечности.

В предложенной статье изложен другой способ, развивающий теорию бесконечных рядов с отрицательными степенями, в основе которого содержатся вычисления разных определителей. Определители, как известно, могут принимать участие в составлении характеристических уравнений и нахождении собственных значений матриц, в решении систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений [3, 4, 5, 6], и при вычислении полинома на корнях другого многочлена

[3].

Расширим применение определителей для установления критерия существования л.т.г. в б.у.т., для вычисления л.т.г., и составим алгоритм определения точных граней в матричной форме.

1. Краткое описание определения точных граней построением рядов. Основу способа исследований л.т.г. в б.у.т. [1, 2] составляют параметрические ряды по нисходящим степеням. Пусть исходный полином двух переменных имеет вид

f (x, y) = xM Wm (y) + xM -1Wm -1 (y) +... + Wo (y) ,(1.1)

где Wk (y) = Wk, pkyPk + Wk, pt-1 yPk-1 + K + Wk ^

pM > 0 , Wk j - вещественные числа, и локальная точная грань существует при y ^ да . Тогда начальное параметрическое решение системы (1) будет построено рядами [1, 2]

x = 2 ajtJ, y = StM . (12)

j=L

Значение л.т.г. вычисляется предельно, как f (x(t), y(t)). При этом на решениях (1.2) выполняются предельные значения: lim f'(x(t),y(t))= 0; lim f'(x(t),y(t() = 0 .(U)

Определение вещественных коэффициентов ряда ^) 1 = 0,1,2, к проводится последовательно из решений системы нелинейных алгебраических уравнений

N [ /1 а, $))]=о

N [ /2 а, ф))]=о, (14)

где N [/ (а^, ))] - многочлен относительно а^ старшей степени 01) переменной / полинома / ((С, у) при подстановке ряда (1.2), здесь /1 С*, У) = Л{х, У); /2 (х, У) = /'(с, У). Процесс нахождения аЬ, аЬ1, ... осуществляется последовательно из уравнений (1.4). Дополним здесь алгоритм определения а1 (1 = Ь, Ь — 1, к) промежуточной заменой переменных. При найденном значении аЬ из (1.4) для 1 = 0 выполним замену переменных [7]:

х = аЬ (су )Ь/М + х1. (1.5)

Подстановка (1.5) в выражение /(х, у) приводит к полиному / (х, у)= § (х1, у), который имеет ту же вершину многоугольника Ньютона

М л.рм

х1 у

что и

/ (х, у)

на втором шаге построения

опорной линии. После вычисления аЬ—1 из (1.4) при 1 = 1 так же совершим замену переменных:

х = аь (5у )

пм

(1)

ниже второй. Поэтому на решениях в1 (х) = 0, в2(у) =0 получается /(х,у) =0. Как правило, при этом они доставляют стационарные решения в поиске экстремумов.

2. Матрицы и результанты в определении точных граней полиномов. Алгоритм последовательных преобразований (1.5), (1.5) и т.д. можно просто осуществить элементарными преобразованиями [3] над матрицами. В основном дальше будут применяться матрицы, из которых составляются результанты двух полиномов из числа имеющихся: /(х, у), / (х, у), /2 (х, у). Составим матрицу (2М _ 1) порядка

Г.

А =

-•и 0

0

¥М 0

0

¥м_1

¥М 0

¥1 2.^2

а11

.2

¥М _1

0

¥1

а12 .0 ¥

¥М—2

0 ^ 0

¥1 0 0

¥0

+ а_х (5у)^м + *2 (1.5) Выполняя так несколько последовательных замен переменных, исходный полином преобразуется, при этом имеет место:

/ (Х у) = § (х1 > у) = §2 ^ у) = к = Як (хк, у).

Пусть на этом процесс построения вещественных коэффициентов аЬ_ . обрывается. В случае л.т.г. тогда необходимо выполняется [1, 2]: Ь — к < 0 ; 0|к) + Ь < 0 . Заметим, что допускаются и кратные значения аЬ— . (1 < к).

Отметим сразу, если имеются разложения:

/ = О (х) в2 (у) ъ (х, у); /; = £ (х) £2 (у) Ъ (х, у)

, то при отыскании л.т.г. вместо (1) рассматривается система

(х у)=0 (х, у) =0-

Действительно, в1 (х), в2 (у) являются составляющими выражения /(х, у) в степени, не

определитель которой является результантом полиномов /1 (х, у), /2 (х, у) при исключении переменной х. Здесь используется обозначение

¥' = — . Так же составим матрицу (2М — 1) —у

порядка

' аи а12 к ¥1 0 0

0 а11 к 2 ¥2 ¥1 0

А = 0 0 к а11 а12 ¥1

¥м ¥м _1 к ¥1 ¥0 0

0 ¥м к ¥2 ¥1 0

V 0 0 к ¥м _1 ¥м—2 • ¥0

определитель которой является результантом

линомов / (х, у), /(х, у) при исключении переменной х . Подобным образом составим матрицу

а

а

11

0

A(1) =

Г ьп b(2 b(M .. 0 ^

0 b(( b(M-( .. 0

0 0 ■ b(( . " b(M

bM ( bM 2 • nMM .. 0

0 bM( • bMM-( „ 0

V 0 0 bM 2 bMM+( y

так что det((((l))= Resх(х(,y))^ ((х(,y))

и

A() =

J(M-( (M

(M ^■'1M+1

'(M-( c(M

0 ï 0

(M 0

"UM+( y

f bn 0

00

cn c(2 0 C((

00

4

где det(a2()) = Res^ [(g((, y^, g fa, y) . Здесь используются обозначения: bn = ■

b(2 = (m - (WMl ; b(M = ( ; bM, = d

bM2 = (M-()t ; bM3 = (M-2)) ; bM(m-() = (2())

bMM = (((()1 ■ bM(M +() = ((ci())y ;

M >

= ( ■

M (M +() -.„(() ■

= ,„(() ■

cn = (M ; = (О ;

Г( qn 4v.

Q(L ) =

0 (

0 0

422

0 0

0 0 0

4m 0

42M 0

0

00

0 ï 0

0 0

и матрицу правостороннего преобразования

T (l ) =

( t(

(( (

0 0

0 0

"(M L

2 M L

(

0

00

2M-2^ L

,2 M-3 L

L

M-3

где: яп = CM (- eL ) ;

q22 = CM-( (— eL ) ;

q2M

t = C e ;

'H ^M^L '

t = C2 e2-

(2 M L

4(2 = CM (- eL )2;

= СММГ(( (- eL Г-(; t = cMeM ;

(M M L

С12 УМ-1 ; С13 — УМ-2 ; С1(М-1) — »2 ; »1

^ - »/(1) С1(М +1) - »0 •

В общем виде введем в обращение матрицу левостороннего преобразования

t _ r e • t _ rM-2eM-2 • r _ j!

'22 M-1L> 2M M-2CL > j ~ ^(j i) '

Легко видеть, что

det(ö(i)} = 1 = det jrj) (2.1)

при i - L, L -1, .... На первом шаге преобразования можно записать: Д(1) = Q^LAX Т(L). На втором шаге преобразования аналогично имеет место A1(2) = 1) А1(1)Т(L 1). Действуя так дальше получается формула преобразования в общем виде

Aj+l) = Q(L-jAJjТ(L-j) (j = 2,3, ...).

Аналогичная связь последовательного преобразования существует и для матриц A2 :

au+D = q(l-j^)Т(L-j) (j = 0,1, ...). Принимая во внимание (2.1), получим det f f) = det (jg, (j, y))), g, (j,, y)) j = 1, 2, ...).

Применяя общую теорию результантов [3], можно записать

Resj f f) = det A

(M ^mГi)y](M-1) (M^mГ[M)y](^ ' Рассматривая Resj (fj(j, y), f'y (j, y)) = 0 как произведение [3] значений fjxjy), y) на корнях уравнений f'x(j(y), y) = 0, можно сразу полагать f'jjjy), y) = 0 в точках экстремума,

либо limiyH» f(j(y), у) =0 в бесконечно удаленных точках. Так как в системе (1) вещественными решениями рассматриваются только точки экстремума и б. у. т., то существует равенство lim Resj (f'jy), У), f'y ((у), У)) = 0.

y^ ад

Отсюда следует условие существования л.т.г. в форме определителей:

M

0

M-2

e

L

(

L

(

(2.2)

lim Resx (f№), y(t)), f'(x(t), y(t))) =0.

t ^ ш

Это соответствует тому, что

deq (det (A1)) < deq (yM (y)) +

+ deq (<yM (y))M.

При другом существовании б.у.т. исходная функция будет представлена в ином виде

f (У) = УМ Фм (У) + Фм-i (У) + ••• + Ф (У)

deg (фм (y )) = qM

(i.i)

и параметрическая степенная замена переменных имеет вид [1. 2]

у = Е 1, х = 81м . (1.2)

1= Ь

Вместо матриц А1, А в этом случае будут рассматриваться

Г dii 0

Аз =

d

Ni 0

0

di2 dii

dN dN

0

<Pi p2

d.

ii

d

NN

P2

0 Pi

di2 P0 Pi'

d

N 2

d

N 3

0 А 0

<Pi

0 0

P

0

и соответствующая матрица A4. Здесь применяются обозначения: NM ; dn = NpN ;

di2 = (n - ipp-i ; dNi = pN ; dN 2 = pN-i ;

dN3 = PN-2 ; dNN = Pi .

Аналогичное условие существования л.т.г. запишется

deq (det A3) < M qM + ( - i)) - i)= S2 (2 2) Отсюда следует

Критерий существования в бесконечно удаленной точке предельного значения и выбора параметра:

i. если при исключении переменной x вычисление Res x (fx', fy') приводит к выполнению

условия (2.2), тогда существует предельное значение в бесконечно удаленной точке (не обязательно единственное), и параметром выбирается переменная y,

2. если при исключении переменной y вычисление Res y ((, fy') приводит к выполнению

условия (2.2), тогда существует предельное значение в бесконечно удаленной точке, и параметром выбирается переменная x .

При не выполнении обоих предыдущих условий не имеется предельных значений в бесконечно удаленных точках. Приведенный критерий дает возможность установить в бесконечно удаленных точках наличие наибольших и наименьших значений функции (i.i) и выбрать переменную в качестве параметра. Во всяком случае, его можно применять к выбору параметра.

Продолжая дальше, можно ставить задачу о вычислении с использованием определителей значений функций в бесконечно удаленных точках. Конечно, для этого следует применить способ Эр-мита [4, 5, 6, 8], основанный на вычислении корней характеристического уравнения, составленного для матрицы Безу B :

а(Л.) = det(B -XE) =0. (2.8)

Корнями этого уравнения являются все значения экстремумов и локальных точных граней в б.у.т.. Здесь можно рассматривать два вида матриц Безу: i) B(i) - составленных через полиномы f (x, y) и f (x, y), 2) B(2) - составленных через полиномы f2 (x, y) и f (x, y) .

В некоторых простых примерах можно применить рассуждения, опирающиеся на результат функций f'x (x, y) и f (x, y), не составляя матрицу Безу. Это может иметь место при старшей второй степени исключаемой переменной функции f (x, y) . Если при этом экстремум имеется в бесконечно удаленной точке, то он обнаружится предельным вычислением

i р, р\ det А lim Resx (/x,f )= lim ---tm .

|y| ^ ы^+ш (M pM )

Рассмотрим простой пример 1. f (x,y) = x2 (y4 +1)+ xy2.

Система уравнений (2) в этом примере: f = 2x (y4 + i) + y2 = 0 f = 2x2 y3 + xy = 0.

0

0

Проводя выкладки [1, 2], получим единственное значение л.т.г. в б.у.т. (0; +ю), равное

(_ 1/4).

Матрично-детерминантный подход дает выражения: М = 2 ; рм = 4;

А =

а2 =

Г 2 (y 4 +1) 0

2 y3

Г 2((4 +1) 0

y

2(у 4 +1)

y

y2 2(У 4 +1)

0

y2

0

Л

А

V

y 0

(y4 +1) y

M = 4 ; Pm = 2 ; S1 =11 = S2. Вычисления определителей получают: Res x (fx', f) = - 2 y3, Res (fx, f) =128 x11. Здесь выполняется только

условие (2.2), поэтому согласно сформулированного критерия параметром выбирается переменная y . Составим на полиномах f (x, y) = 0 и f (x, y) матрицу Безу первого порядка, равную

4

^f )=--фц.

Как известно [4, 5, 6], оно представляет значение функции f (x, y) на единственном корне

полинома f (x, y) = 0 при исключении переменной x . Предельное его значение в бесконечно удаленной точке limy—ш B1(i) = -1/4. Одновременно построенная на полиномах f (x, y) = 0 и f (x, y) матрица Безу второго порядка

B(1) =

0 -

0 -

y4 -1А

2 y2

y4 -1

4 y 4

lim

y

Ly—c

4 i£±i)

[2( y +1)]2

--1/4 совпадает с ранее

полученным.

Пример 2.

f (x, y) = x4 y2 + x2 y + x2. Система (1) примет вид:

Г f'J 2 = 2 x3 y2 + x (y +1) = 0, {f'yj 2 = 2 x4 y + x 2=0.

Аналогичные вычисления с помощью рядов [1, 2] приводят здесь к двум б.у.т. (- 0; +ш), (+ 0; + да), в каждой из которых

Г 2 А ! Г 2 А

lim f

+ к, t ^

2t2

= - 4 =lim f

4 t —^ ш

l(i)

4 + к, t <

2t

Матрица Безу B ' третьего порядка получа-

ется

B(D =

из

0

(y +1)2

4 y2 0

y +1 2 0

(y+1)2 4 y ^

Характеристическое

уравнение

det (Bj - j E) = 0 имеет кратные собственные

= = (y +1)2

значения: j2 = j3 =

4y2

предельным зна-

чением которых являются Нту^.<» Ц2 = _ 1/4. Построенная на полиномах /' (х, у) = 0 и / (х, у) матрица Безу четвертого порядка имеет вид

(

B( f f )

имеет два собственных значения уравнения det (( - Л E) = 0: Л = 0, Л = - (y4 -1)/(4y4). Предельное значение здесь так же получается limy—ш Л2 = -1/4. Значение функции f (x, y) на

единственном корне f (x, y) = 0 определяется

™ i j-t j-\ det (A7) ^

Resx ( /, f ) =-. , Предельное значение

xVx[2 (y4 + 1)]2

0 0

y

А

+1

0 0 0 (2+1]

V 2 J

0 0 y + 2 0

4 y

0 0 0 y + 2

V 4 y

Характеристическое

?(2)

уравнение

det (b42) - Л e) = 0 имеет два отличных от нуля

значения:

кратных собственных

Л = Л2 = - (y + 2)/(4 y). Предельное значение

0

t—да

0

2

здесь так же получается Нту^.да = —1/4. Де-терминантный подход после сокращения IX и на X дает для системы (1') выражения

A =

f 2 У2 0 0

2 У

0

2 У2 0 0

(y +1)

0

2 У2 1

0

(y +1)

0 0

0 0

(y +1) 0

V 0 2У 0 1 0 J

2 У2 0 (У +1) 0 0 0

0 2 У2 0 (у +1 0 0

0 0 2 у2 0 (у +1) 0

0 0 0 2 у2 0 (у + ]

у2 0 (у +1) 0 0 0

0 у2 0 (у +1 0 0

A =

Вычисления определителей получают:

ёе! (Д ) = 4у2 (у +1), ёе! ((41 )= у4 (у + 1)4.

Условие (2.2) здесь выполняется: 3 < 6 + 2 = 8. Следовательно, согласно сформулированного критерия параметром выбирается

I (х, У)

переменная y . Значение функции

на

х

Resх fe, f¡x) =

корнях (р1 (х, у) =0 определяется

ёе! (Д ) (2 у2 )4 .

Предельное значение

у4 (у +1)4 =± (2 у2 )4 16

получается, как произведение

(-1/4)* (-1/4)= / (- 0; + да)* / (+ 0; + да) . Конечно, из симметрии выражений легко видеть I (- 0; + да) = / (+ 0; + да), что и решает задачу определения л.т.г.. В случае двух и более вещест-

lim

венных корней исключаемой переменной из системы (1) возникает необходимость в составлении матрицы Безу и нахождении ее собственных значений.

БИБЛИОГРАФИЯ

1. Новиков, М. А. О наибольших и наименьших значениях полиномов / М. А. Новиков // Вестн. ИрГТУ. - Иркутск, 2006. - № 4., т. 1. -С.84-91.

2. Новиков, М. А. О точных гранях полиномов / М. А. Новиков // Сибирский журнал вычислительной математики. - Новосибирск, 2007. -№ 2, т. 0. - С. 195-208.

3. Ван дер Варден, Б. Л. Современная алгебра : в 2-х тт / Ван дер Варден. - М. ; Л. : ОНТИ НКТП СССР, 1937. - Т. 2. - 210 с.

4. Утешев, А. Ю. К задаче полиномиальной оптимизации / Утешев А. Ю., Черкасов Т. М. // Докл. РАН. - М., 1998. - № 2., т. 361. -С.168-170.

5. Утешев, А. Ю. Локализация решений систем алгебраических уравнений и неравенств. Метод Эрмита / Утешев А. Ю., Черкасов Т. М. // ДАН России, 1996. - T. 347, №. 4. - С. 451453.

6. Uteshev, A. Ju. Localization of Roots of a Poli-nomial not Represented in Canonical Form / Uteshev A. Ju. // Computer Algebra in Scientific Computing. CASC '99 / ed. : V. G. Ganzha, E. W. Mayr, E. V. Vorozhtsov. - Berlin : Springer -Verlag, 1999. - P. 431-440.

7. Брюно, А. Д. О вычислении степенных разложений модифицированных движений твердого тела / Брюно А. Д., Лунев В. В. // ДАН России. - 2002. - T. 386, № 1. - С. 11-17.

8. Калинина, Е. А., Утешев А. Ю. Теория исключения / А. Ю. Утешев ; НИИ химии СПбГУ. - СПб., 2002. - 71 с.