О связи пределов экстремумов с точными гранями полиномов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.988.38 Новиков Михаил Алексеевич,

к. ф.-м. н., с. н. с., Институт динамики систем и теории управления СО РАН (Иркутск), тел. 45-30-96

О СВЯЗИ ПРЕДЕЛОВ ЭКСТРЕМУМОВ С ТОЧНЫМИ ГРАНЯМИ ПОЛИНОМОВ

M.A. Novickov

ANALYSIS OF THE CORRELATION BETWEEN THE LIMITS OF THE EXTREMES WITH PRECISE EDGES OF THE POLYNOMIALS

Аннотация. В статье устанавливается соответствие между значениями точных граней полинома двух переменных и экстремумом полинома, полученного из исходного добавлением монома, коэффициент которого асимптотически приближается к нулю. При этом точка локального экстремума преобразуется в бесконечно удаленную точку. Проведен сравнительный анализ порядков дополняемых мономов: выявлена возможность такого соответствия для дополняемых мономов второго порядка, а для мономов более высокого порядка такое соответствие не всегда возможно. Приведены соответствующие примеры.

Ключевые слова: полином, бесконечно удаленная точка, локальный экстремум, точная грань, параметрическое решение системы алгебраических уравнений.

Abstract. The correlation between the values of precise edges for a polynomial of two variables and the extremum of the polynomial obtained from the initial one by adding the monomial whose coefficient is asymptotically approaching zero is defined. In this case, the local extremum point is transformed into an infinitely distant point. Comparative analysis of the orders of added monomials is conducted. The possibility of such correlation for the second-order added monomials has been revealed, such a correlation being not always possible for higher order monomials. The corresponding examples are given in the paper.

Keywords: polynomial, infinitely distant point, local extremum, precise edge, parametric solution of a system of algebraic equations.

Введение

Теория устойчивости движения [1] опирается на знакоопределенные функции Ляпунова [2-8], составленные из первых интегралов или их связок уравнений возмущенного движения. В качестве функций Ляпунова иногда можно использовать

формы, чаще применяются полиномы нескольких переменных. Как известно [9], знакоопределенность таких полиномов можно свести к отысканию экстремумов в конечных точках пространства

Rn . Построение решений системы нелинейных алгебраических уравнений для нахождения необходимых условий экстремума [10] можно проводить методом исключения [11] или составлением суммы дробно-степенных выражений [12].

Исследование устойчивости в целом систем обыкновенных дифференциальных уравнений привлекает анализ экстремумов во всех точках

пространства R n , включая бесконечно удаленные [13-15]. В упомянутых статьях проведено исследование точных граней полиномов двух переменных.

Многочисленные примеры полиномов двух переменных, имеющих точные грани, показывают, что добавление некоторых дополнительных мономов (не произвольных, а удачно подобранного вида) выше второго порядка приводит к появлению локальных экстремумов. И значения экстремумов тем ближе к значению точной грани, чем меньшее значение коэффициента дополнительного монома выбирается. Притом между ними существует непрерывная зависимость. Предельное, равное нулю, значение коэффициента дополнительного монома доставляет значение точной грани.

Так, например, для полиномиальной функции

fo(x,y) = x2 y6 + 2 xy3 + x2 способом, описанным в [13, 14], устанавливается точная нижняя грань, равная (—1). Добавление

2 3

к f0 (x, y) монома Ax y приводит (кроме начала координат) при отличных от нуля значениях вещественного коэффициента A к появлению дополнительного стационарного решения

Mo(xo;yo), где xo=2A/(4 — A2),yo = — Чш .

иркутским государственный университет путей сообщения

Хотя часто не удается получить явные аналитические решения х(А), у(А), в случае данного примера это оказалось возможным. С помощью частных производных второго порядка можно установить, что при Ае (—2;0) ^ (0; + 2) полином

/о(x, y) + Ax2 y3 чения, равные

принимает минимальные зна-

/о(xо,Уо) + Ax2 Уо = -

3A2

(4 - A2)2

-1.

Как легко видеть, при А ^ 0 значение локального минимума дополненного полинома совпадает с значением точной нижней грани / (х, у), когда А = 0.

Вместе с тем добавление к /0(х, у) монома 3 3

В х у также позволяет явно выразить точку стационарного решения М1( х1; у1), где х1= — 1/В ^2(2 — 3В)/3, у1 = ^2/(3(2— 3В)) . В области В < 2/3 (В Ф 0) на стационарном решении

3 3

полином /0(х, у) + Вх у имеет значения

ч о 3 3 16 — 30В

/о^ь у1) + Вх1 у1 =--—— •

9 В

Из полученного выражения видно, что при В ^ 0 оно принимает неограниченные значения, и нет возможности вести речь о минимуме полинома. Кроме того, не существует непрерывного приближения к точной нижней грани в окрестности В = 0 .

В настоящей статье проводится изучение некоторых дополнительных свойств локальных экстремумов полиномов двух переменных при дополнении мономов второго порядка с целью универсализации такого подхода для развития метода анализа точных граней полиномов большего числа переменных.

1. О предельных свойствах корней многочленов

В дальнейших исследованиях необходимых условий экстремумов полиномов потребуется анализ корней алгебраических уравнений, в которых вещественные коэффициенты выражаются рационально некоторым вещественным параметром

¿(X, т) = ^ (т)Г = о,

(1.1)

,=о

где вещественный параметр т е и с К;п - натуральное. При этом не существует определенных ограничений на корни уравнения (1.1). Решения X зависят от параметра т, и их можно строить с помощью многоугольников Ньютона [16, 17].

тШШ

Будем предполагать, что при некотором вещественном т0 еи обращается в нуль свободный член, и при этом а (т0 ) Ф 0, аи (т0 ) Ф 0 . Для указанного случая справедлива

Теорема 1. Если при некотором вещественном т0 коэффициент а0 (т0 ) = 0 и при этом а1 (то ) Ф 0, а (т0 ) Ф 0, то уравнение (1.1) при значениях т в малой окрестности т0, в частности, имеет бесконечно малое решение, к тому же вещественное.

Доказательство. По теореме Виета [11, 18] в окрестности значений т0 составим тождества для корней уравнения (1.1):

ЗД = ¿X, (т) = -

i=1

an (т) '

a„-2(T).

^2(т)= 2 Ч (т) ХЧ (^)=-п-т(7);

1 2 (т)

(,1<i2; i2eI2 ) Sn-1 (т) =

2

-n (т)

X (т) х

(i1<i2<^<in-1; in-1e/n-1)

xX (т) Х... xX, (т) = (-1)п-1

2 n-1 аn (т)

Sn (т) = X (т) х X (т) х ... х Xi (т) = (-1)n ,

1 2 n -n (т)

где Ij ={j, j +1,.,n}. Так как ао(т) в малой окрестности т0 бесконечно мала, то и выражение £и (т) тоже является бесконечно малой величиной по (т-т0) . Следовательно, хотя бы один из корней X . (т)(j = 1,2,., n) является бесконечно малой величиной. Пусть для определенности бесконечно малым корнем будет Xn (т). Последнее должно быть вещественным, так как бесконечно малое комплексное решение должно содержать и сопряженное, также бесконечно малое. Последнее необходимо влечет lim — (т) = о, не-

т^Хо

допустимое по условию теоремы. Следовательно, теорема доказана.

При четном числе подряд стоящих коэффициентов — (т),—(т),...,a2i_Дт) (к - целое), обращающихся в нуль при значении параметра т = о , или тождественно равных нулю, так что ао(т) # о, а2к (то) Ф о, среди бесконечно малых корней могут быть комплексные. Это легко видеть на простом примере

/(X,т) = X4 + 4т4 Х + 3т4 =о.

Анализ алгебраических уравнений четвертой степени [19] показывает, что при значениях

величинои

по

(т —.

Обозначая

А(т) = 1/ц(т) и полагая ц(т) Ф 0, уравнение (1.1) сводится к следующему:

Л(ц,,т) = £ an-i(т) ц' =0.

(1.2)

i=0

Тогда по теореме 1 последнее уравнение имеет одно бесконечно малое вещественное решение (х). Ему непосредственно соответствует А п (х) ^ да. Отсюда следует

Теорема 2. Если при некотором вещественном х0 коэффициент старшей степени ап (х0 ) = 0 и при этом ап_Дх,, ) Ф 0, а0 (х0 ) Ф 0, то уравнение (1.1) при значениях х в малой

| х | > 1 уравнение / (А, х) = 0 имеет два вещественных и два комплексно-сопряженных решения, а при | х |<1 , включая х^х0 =0, решения будут только комплексные (в том числе бесконечно малые).

При нечетном числе обращающихся в нуль подряд стоящих коэффициентов а0(г), аЛ (т), ..., а2к(т) (к - целое) при значении параметра х0 =0 или тождественно равных нулю, так что а0 (х) Ф 0, а2А.+) Ф 0, бесконечно малыми решениями могут быть как все вещественные, так и вещественные вместе с комплексными. Так, в уравнении

/(А,х) = А4 + А3 +х6 А + х6 =0 значением х0 будет число 0. Легко показать, что последнее уравнение имеет два вещественных корня А = _1; А2 = —х2 - и два бесконечно малых комплексных решения, находимых из уравнения А2 —х2 А + х4 = 0. Справедлива

Теорема 1'. Если последние (2к +1) коэффициентов а0(х),а(х),...,а^(х) при п > 2к являются бесконечно малыми по (х — х0) или тождественно равны нулю, кроме того ап Ю Ф 0, а2к+1(х0) Ф 0, а0(х) Ф 0, то существует, по крайней мере, одно бесконечно малое вещественное решение.

Для алгебраических уравнений не выше четвертой степени известны аналитические решения Кардано, Феррари [20], которые подтверждают

формулировки теорем 1 и 1 .

Рассмотрим далее другой класс уравнений (1.1), где при х0 е^ обращается в нуль только коэффициент аи (х0) ив окрестности значения х0 значения аи (х) является бесконечно малой

окрестности г0, в частности, имеет бесконечно большое вещественное решение. Аналогично имеет место Теорема 2'. Если первые (2к + 1) коэффициентов ап (х), ап_! (х),..., ап_2к+х (х) являются бесконечно малыми по (х — х ) или тождественно равны нулю и, кроме того, а0(х0) Ф 0,ап—2к(х0) Ф 0,ап(х) Ф 0, то существует по крайней мере одно бесконечно большое вещественное решение.

Заметим, что в двух последних теоремах идет речь только о бесконечно больших решениях и не затрагивается знак решения. Здесь так же, как и в теории алгебраических уравнений [18], можно строить очевидные утверждения: если все коэффициенты уравнения (1.2) одного знака, включая нуль, то не существует положительных вещественных решений; если все коэффициенты уравнения (1.2) при нечетных степенях имеют значения одного знака, включая нуль, а все коэффициенты при четных степенях имеют значения другого знака, включая нуль, то не существует отрицательных вещественных решений.

Теперь рассмотрим вопрос о соотношении бесконечно малых решений уравнения (1.1) с малыми величинами (х — х0) . Очевидно, для такой

г .

оценки в расчет принимаются степени (х — х0) 1

соответствующих коэффициентов

aj (т)

(j еU2; U2 = {0,1,...,к}; 0<к <n). Близкое к бесконечно малому решение А(т) строится [12, 16, 17] в виде ряда по возрастающим степеням (при этом важна начальная степень разложения):

А(т) = 61(T-T0)Ä1 +..., где ¿1 — отличное от нуля вещественное число,

г

R = min

jeU2 (П — j)

При таком явном разложении легко получить

lim —А(т) = ¿1, т. е. бесконечно малые величи-т^т° (т — T0) 1

ны А(т) и (т —т0 )Ä1 имеют равный порядок.

Этот же вопрос сопоставления бесконечно малых величин можно решить другим способом, что поясняется на простых примерах. Пусть задано уравнение А4 + c т2 А + c2 т3 = 0, где С, С е R; С ^ 0, с2 ^ 0, т0 = 0. Выразим отсюда А4 = — т2 (с А + c2 т) = T(А, т). Вначале сравним А(т) и т, для чего введем новую переменную

и = X/т . Тогда и4 = T(ит, т)/т4 = - c u/т - c2/т . В правой части последнего соотношения содержатся дробные выражения, где знаменатели обращаются в нуль при т = о. Отсюда следует

lim т/X = о. Поэтому для получения конечного

т—0

предела разделим T(X,т) на (Xi2). В результате получится lim X3 / т2 = lim - (c + c, т / X) ,

т—0;X—0 т—0;X—0 1 2

которое по ранее установленному соответствию принимает конечное значение, равное (-q) . Следовательно, бесконечно малые X3(!) и т2 имеют равный порядок.

Более высокие порядки малости решаются последовательным сравнением X с (т-т0) . При lim X^-^ ) = о проводится такое же сравне-

т—'то

ние с (т-^)2 и т. д., что можно выполнить переходом к новым переменным. Например, для уравнения X4 + c3 т7 X + c4 т9 = 0 , где т0 = о, при вещественных отличных от нуля c3, c4 введем замену и = X/т . После упрощения уравнение при-

4 4 5 /л

водится к следующему: и + c3 т u + c4 т = о . Отсюда видно, что решением u также является бесконечно малая величина. Дальше вводится новая переменная и = vт и процесс повторяется. В результате придем к уравнению v4 + c т v + c т = о, где решением v по теореме

1 также является бесконечно малая величина. Для последнего выражения T(v, т) = - т (c3 v + c4) правая часть сравнима по малости с т . Так как v(!) бесконечно малая, то существует конечный предел lim X4 / т9 = lim [-(c4 + c3 v)] = -c4, из

т—0;X—0 т—0;v—0

чего можно сделать вывод о равенстве порядков

л4 9

малости величин X и т .

При — (т0 ) = 0 по теореме 2 могут возникать бесконечно большие решения, и для оценки произведения бесконечно больших величин ц,(т)

на бесконечно малые (т- т0) можно применять этот же подход. Например, для уравнения !2X4 + 2 X +1 = 0 по теореме 2 существует бесконечно большое вещественное решение, к тому же отрицательное, так как все коэффициенты уравнения положительны. При этом условию т —^ 0 соответствует X — - да. Составим из исходного уравнения соотношение т X = = - (2 X +1) и разделим последнее на X . Вычис-

шшт

ляя предел по правилу Лопиталя, получим lim -<2XH> = - 2.

т—0; X—-да

X

Отсюда следует искомое lim т X = - 2.

т—0

2. О пределах экстремумов полиномов двух переменных

Проведем исследование свойств экстремумов многочленов двух переменных, имеющих точную грань. В соответствии с [13, 14] старшая форма таких полиномов должна быть знакопостоянной. В [14, 15] показано, что при построении рядов (расходящихся в окрестности бесконечно удаленной точки) для нахождения точных граней исходный полином приводится, в частности, к наиболее простому виду обобщенно-однородной формы. При этом опорная линия целочисленных показателей степеней многоугольника Ньютона проходит через начало координат. Поэтому, не уменьшая общности, для упрощения рассуждений будем в дальнейшем проводить анализ полиномов, приведенных к более простому виду. Способ анализа состоит в добавлении некоторого монома с последующей подстановкой его коэффициенту предельного значения, равного нулю. Для того чтобы придать этому способу более общий характер, и выбирается дополнительный моном второго порядка.

Рассмотрим полином

^(x,y) = x4 У2 + x2 У + x2 + Ay2, (2.1) где вещественный коэффициент A является положительным параметром. Как установлено в [15], полином g!(x, y) при A = 0 допускает точную нижнюю грань, равную (-1/4), сверху полином не ограничен.

Необходимые условия экстремума полинома (2.1) выражаются системой нелинейных алгебраических уравнений

'(g1)'x =2 x (2x2 y2 + y +1) = 0,

(g1>y = 2 x4 y + x2 + 2 Ay = 0.

Одним из стационарных решений последней системы является точка начала координат M0(0;0). Для анализа достаточных условий экстремума составим выражения вторых производных (2.1)

(gi) '2 = 2 (6x2y2 + y +1); (gSy = 2x (4x2y +1);

x ^

(g)"2 = 2 (x4 + A).

Легко показать, что в точке M0) при A >0 существует локальный минимум, равный нулю.

Другие стационарные решения будем искать

из системы

2 х2 y 2 + y +1 = 0, 12 х4 y + х2 + 2 Ay = 0.

(2.2)

Умножая первое уравнение на х и вычитая второе уравнение, умноженное на у, получим

х2 = 2 А у2 , (2.3)

имеющее место только при А >0. Подставляя

(2.3) в первое уравнение (2.2), исключим переменную х:

4 Ау4 + у +1 = 0. (2.4)

Конечно, не всегда могут существовать аналитические решения уравнения (2.4), выражающие явную зависимость переменной у от параметра А . При А ф 0 решением переменной у в (2.4) является у1 = — 1, а из (2.3) ему соответствует х = 0 . Значение полинома g1 (х, у) в стационарной точке М1 (0; — 1) при А ф 0 равно нулю. При конечном, даже малом, значении А из уравнения (2.4) находятся решения по переменной у, а из (2.3) - решения по переменной х . В результате будет численно определено несколько точек стационарных решений. Тем не менее, интерес представляют асимптотическое поведение решений системы (2.2) при А ^ + 0 и значения полинома на этих решениях, которые могут оказаться меньшими нуля.

Для этого параметр А будем устремлять к нулю. При А ^ + 0 одним из вещественных решений будет у2 ^ — 1, что подтверждают и численные решения параметрического уравнения

(2.4). Из (2.3) ему соответствует х2 0, и принимаемые на этом стационарном решении значения полинома gl(х, у) достаточно близки к нулю, как произведение и сумма бесконечно малых величин.

По теореме 2 при малых значениях А для уравнения (2.4) существует по крайней мере одно бесконечно большое вещественное решение, которое ввиду всех положительных коэффициентов [18] будет отрицательным: у3 —да. Сразу отметим, что у уравнения (2.3) ввиду четности переменной х будет два решения: одно для положительных значений х , другое - для отрицательных. Поэтому даже при достаточно малых, но не равных нулю положительных значениях А существуют две стационарные точки: Мз(хз;уз) и М4(—х3; у3) . Как в точке М3, так и в точке М4

значения полинома ввиду четности переменной х будут одинаковы:

g1(x*,y*) = A (4 A у6 + 2 y3 + 3 y*2), где обозначено х* = ± х3; y* = y3 .

При A ^ + 0 установим соответствие бесконечно малых величин (A) и бесконечно больших величин у*. Для этого из уравнения (2.4) выразим 4 A у*4 = — (у* +1) и разделим последнее выражение на y* . Вычисляя предел по правилу Лопиталя, когда при A ^ + 0 имеет место

у» —да, получим lim (4 Ay^) = — 1,

A^+0; y» ^—да

откуда заключаем lim (Ayl) = —1/4. Из соотно-

A^+0

шения х»2 = 2 A у»2 = 2 Ay^/y» при A ^ + 0 последнее выражение предельно получает

lim [—(1 / (2 y))] = + 0. Отсюда следует, что при

у* ^—да

A ^ + 0 решением х является бесконечно малая величина. Предельное значение полинома при этих значениях будет таким:

g!( х*, у*)=4 4 J+2 4)+0=—4.

Вычислим теперь на найденных стационарных решениях значения вторых производных:

(g1(*))',2 =2 y* (12 A у*3 +1) + 2 = 2 — 4 у*;

х

(&(*)£у = 2х* (8у*3 +1); (g!(*))''2 =2 A (4 Ay*4 +1).

г у

Хотя последнее значение является бесконечно малым, оно всегда положительно. Для проверки знака выражения

" " „ п.

А = (&(*» 2 (gi(*)),2 — ((&(*))ху)2

проведем с помощью уравнения (2.4) упрощения, и в результате получим А = — A (7 y — 8). При y» ^ — да последнее выражение, хотя и мало, как произведение на бесконечно малую величину (при учете lim (Ayt) = 0 ), все же сохраняет положительный знак. Следовательно, в конечных точках M3 и M4, где величина A отлична от нуля (хотя и может быть достаточно близка к нулю), для полинома g (х, у) существует локальный минимум. И на «стационарных решениях» (х ^ — 0; y ^ —да) и (х ^ + 0; y ^ —да) полином g (х, y) принимает предельные значения локального минимума, равного величине точной нижней грани. Таким образом, теорема доказана.

Теорема 3. Предельное значение локального минимума полинома (2.1) при A ^ + 0 равно значению точной нижней грани полинома ^ (х, у) , если полагать в нем A = 0.

Отметим, что локальный предельный минимум достигается здесь на «особых решениях», значения которых при A ^ + 0 приближаются к бесконечно удаленным точкам вида (—0; — да) и (+0; — да).

Пример 1. Пусть A = 2,25 х10—4, тогда решением уравнения (2.4) будет в частности у = —10. Из (2.3) ему соответствует

х2=4,5 х 10—2. Значение локального минимума

(g 2)x =4 x3 у 2 + 2 xy + 2 x + By = 0, (g2)y = x (2x3 y + x + B) = 0.

стационарного решения

B2 y4 + 2 y + 4 = 0.

(2.8)

полинома (2.1) получается & (±д/0,045; —10) = = — 9/80. Хотя оно принимает отрицательные значения, все же значительно отстоит от точной нижней грани (—1/4). При A = 6 х 5—8 решением уравнения (2.4) выберем у = — 25. Из (2.3) находим соответствующее х2=12 х 5—Значением локального минимума полинома (2.1) является & (±70,00192; — 25) = — 24/125. Легко проверить:

0 > Я! (±^/0,045; —10) > я0,00192; — 25) > — 1.

Очевидно, при меньших значениях параметра A величина локального минимума расположена ближе к значению точной нижней грани х, у) , превышая ее.

В связи с тем, что для дополняемого монома

Ду2 всегда имеется возможность при A ^ + 0 приблизить локальный минимум к точной нижней грани, возникает вопрос о решении этой же задачи при помощи другого монома второго порядка. Для этого проведем исследование полинома

Я2(х, у) = х4 у2 + х2 у + х2 + Вху, (2.5) где вещественный коэффициент В также является параметром. Необходимые условия экстремума (2.5) здесь запишутся:

По теореме 2 последнее уравнение допускает, по крайней мере, одно бесконечно большое вещественное решение. К тому же оно является отрицательным ввиду всех положительных коэффициентов уравнения (2.8) [18]. Здесь условию В ^ 0 соответствует у ^ — да. Это бесконечно большое решение и представляет интерес для дальнейшего исследования локальных экстремумов. Составим соответствие бесконечно малой величины В и бесконечно большой у(В). Для

этого выразим из (2.8) В2 у4 = — 2 (у + 2), и вы-

:>2 ,,3

числим

предел

lim B2 y =

B—0; у—-да

= lim - 2(1 + 2/y) = - 2 . Отсюда следует

у—-да

(2.6)

Домножая первое уравнение на х и вычитая второе, умноженное на 2 у , и учитывая х Ф 0 , получим

2 х = Ву, (2.7)

Подставляя последнее в первое уравнение (2.6) и, исключая тривиальное В Ф 0, у Ф 0 , составим уравнения для нахождения переменной у

lim (B y) = lim 3j-2 B =0 . Из (2.7) тогда

B—0; У—-да B—о *

получается x — 0 . В зависимости от знака B решение для переменной x может принимать значения разных знаков. При B — 0 точка стационарного решения M5(By/2; y) экстремальной задачи преобразуется в бесконечно удаленную точку вида (±0; -да) . На стационарном решении

M5 значение полинома будет таким:

, _ ч B4 6 B2 з 3B2 2 g2(By/2,У) = — У6 + — У3 + -—У2 .

16 4 4

Предельное значение полинома при B — 0

получается следующим:

1 13 1

lim g2 (By/2, y) = — (-2)2 + - (-2) + - х 0 = - -, B—о 16 4 4 4

притом независимо от знака коэффициента B . Следовательно, как в случае полинома g1(x, y) , так и в случае полинома g2(x, y) при стремлении к нулю коэффициентов дополняемых мономов предельные значения локальных минимумов получаются одинаковыми и равными значению точной грани исходного полинома.

Рассмотрим другую полиномиальную функцию

g3(x,y) = x2 У4 + xy2 + x2 + С У2, (2.9) где вещественный коэффициент С принимает положительные значения в окрестности нуля. Необходимые условия экстремума полинома (2.9) здесь следующие:

'(g3)x =2 xy4 + y2 + 2x = 0, (g3)y =2 y (2x2 y2 + x + С) = 0.

По аналогии с предыдущей задачей анализу подлежит стационарное решение, удовлетворяющее системе

| 2ху4 + y2 + 2х = 0, 2х2 y2 + х + С = 0.

(2.10)

= + да.

Ввиду четности переменной у в (2.11) допускается два решения: х* = х6 ^ — 0; у* = у6 ^ ± да . Значение полинома на последних стационарных решениях будет следующим:

х*

х*

g3(х*,у*) = 4 + 2х* + 3 х*2 .

При C — + 0, когда х* —■ — 0, последнее слагаемое в пределе обращается в нуль. Учитывая

3

при этом lim (х* /С) = —1/4, получим

С —+0; х* ——0

g3 (х*, у*) = 41 —

+ 21 —1 | + 0 = — -4 J 4

Вторые производные (хотя и принимают бесконечно малые значения) устанавливают вид особого решения - локальный минимум. Здесь справедлива

Теорема 4. Предельное значение локального минимума полинома (2.9) при С ^ + 0 совпадает с значением точной нижней грани полинома gз(x,у) при С ф 0.

В случае второго полинома локальные экстремумы достигаются предельно в особых точках, которые при С ^ + 0 преобразуются в бесконечно удаленные точки вида (—0; — да) и (—0; + да) . Таким образом, в общем виде можно прово-

дить исследование на минимум полиномов вида / (х, у) = х4 у2 + х2 у + Ах2 + Су2. При А = 1, С = 0 наименьшим значением /(х,у) является точная нижняя грань, достигаемая в бесконечно удаленных точках вида

Простыми преобразованиями аналогично получим

2 х2= Су2. (2.11)

Исключение переменной y приводит к соответствующему уравнению четвертой степени

4 х4 + Сх + С2=0. (2.12)

Устремляя параметр C к нулю, по теореме

1' будем иметь по крайней мере одно бесконечно малое вещественное решение х = х6(С), к тому же отрицательное ввиду всех положительных коэффициентов уравнения (2.12). Сравнение бесконечно малых величин х(С) и С приводит

к lim (х3/С) = —1/4. Тогда из равенства

С —+0; х—>—0

(2.11) получим предельное

lim y2 = lim 2 х = lim 31—1-

С—+0; х——0 С—+0; х——0 С С—■+0 V 2 С

(—0;—да)

(+0; — да) . При A = 0, С = 1

наименьшим значением /(х, у) является точная нижняя грань, достигаемая в бесконечно удаленных точках вида (—0; — да) и (—0; + да) . В случае А Ф 0, С Ф 0 при положительных значениях А и С полином имеет локальный минимум. При соответствующих условиях значение этого минимума можно получить отрицательным, но превосходящим (—1/4). При значениях одной из величин А и С бесконечно малой получаемый локальный минимум будет близок к значению точной нижней грани, равной (—1/4).

Заключение

Проведенные в статье исследования показали, что добавление к полиному /0(х, у), имеющему точную грань, монома К х™1 уа2 (К — вещественное; а, а2 — целые неотрицательные) позволяет свести задачу нахождения точной грани /0(х, у) к отысканию экстремума

/(х, у) = /0 (х, у) + К ха уа2 . При этом не всегда существует возможность получения явного аналитического решения стационарных точек х(К), у(К) из системы необходимых условий экстремума.

Установлено, что добавление мономов выше второго порядка (а +а2 >2) может привести как к непрерывной зависимости значений /(х, у) на стационарных решениях в окрестности К = 0 , так и к точкам разрыва второго рода.

Хотя добавление мономов выше второго порядка иногда позволяет получить явное выражение стационарных точек, все же мономы второго обладают рядом преимуществ: 1 ) уравнение связи между переменными выражается квадратичной (или даже линейной) зависимостью; 2) исключение одной переменной приводит к алгебраическому уравнению степени не выше (Р — 1), где Р — старшая степень полинома /(х, у), а при отсутствии в /(х, у) линейных слагаемых степень последнего уравнения равна (Р — 2). При этом в случае дополняемых мономов выше второго порядка степень получаемого рационального алгебраического уравнения в общем случае не ниже (Р — 1); 3) уравнение относительно одной пере-

и

2

менной при нахождении стационарных решений / ( х, у) всегда позволяет сделать заключение об асимптотическом поведении при К ^ 0 полинома в окрестности точной грани и при этом выражает непрерывную зависимость значений полинома от величины К на стационарном решении.

Последнее является существенным, потому как при добавлении мономов выше второго порядка возможна неоднозначная ситуация для полинома /(х, у): как непрерывное приближение к точной грани при К ^ 0, так и возникновение при К = 0 точек разрыва второго рода. В связи со сказанным предлагается алгоритм исследования полиномов, имеющих точные грани.

Первым действием к исходному полиному следует добавить какой-нибудь моном второго порядка с параметрическим коэффициентом К . Из необходимых условий экстремума составить уравнение связи между переменными стационарного решения и уравнение для нахождения одной переменной в зависимости от параметра К (аналитическое решение в общем случае может и существовать, но не дает возможности проведения анализа асимптотического поведения полинома). При этом другие конечные решения из системы необходимых условий экстремума можно не рассматривать: они не дают значений, нужных для обнаружения точных граней. Из последнего уравнения для определения одной переменной устанавливается соотношение между бесконечно малой К ^ 0 (или К ^ +0) и соответствующим

бесконечно большим или бесконечно малым решением. Соотношение равенства между двумя переменными позволяет выразить значение полинома на стационарном решении и оценить его величину. Вычисление предела составленного выражения полинома /(х, у) при К ^ 0 получает значение точной грани.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. Собрание сочинений. Т. 2. М.-Л. : Изд-во АН СССР, 1956. С. 7-263.

2. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М. : Наука, 1967. 472 с.

3. Каменков Г. В. Устойчивость движения, колебания, аэродинамика. Т. 1. М. : Наука, 1971. 255 с.

4. Каменков Г. В. Устойчивость и колебания нелинейных систем. Т. 2. М. : Наука, 1972. 213 с.

5. Кузьмин П. А. Малые колебания и устойчивость движения. М. : Наука, 1973. 206 с.

6. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. М. : Наука, 1966. 530 с.

7. Меркин Д. Р. Введение в теорию устойчивости движения. М. : Наука, 1971. 312 с.

8. Четаев Н. Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. - М. : Изд-во АН СССР, 1962. 535 с.

9. Чернятин В. А. О знакоопределенности произвольных форм четного порядка // Доклады АН БССР. 1966. Т. 10. № 11. С. 821-823.

10. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. М. : Наука, 1966. 608 с.

11. Ван дер Варден. Современная алгебра. Т. 2. М.-Л. : ОНТИ НКТП СССР, 1937. 10 с.

12. Брюно А. Д. Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных уравнениях. М. : Наука, 1998. 988 с.

13. Новиков М. А. О наибольших и наименьших значениях полиномов // Вестник Иркутск. гос. техн. ун-та, 2006. Т. 1, № 4. С. 84-91.

14. Новиков М. А. О точных гранях полиномов // Сиб. журн. вычисл. Матем. 2007. Т. 10, № 2. С. 195-208.

15. Новиков М. А. Определители в вычислениях точных граней полиномов // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2009. № 1 (21). С. 135-140.

16. Уокер Р. Алгебраические кривые. М. : ИЛ, 1962. 236 с.

17. Брюно А. Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М. : Наука, 1979. 255 с.

18. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. Т. 2. М. : ГИФМЛ, 1960. 620 с.

19. Иртегов В. Д., Новиков М. А. Знакоопределенность форм четвертого порядка от двух переменных // Метод Ляпунова и его приложения. Новосибирск : Наука, 1984. С. 87-93.

20. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов. М. : Наука, 1986. 544 с.