Четыре теоремы о равномерных оценках осциллирующих интегралов Текст научной статьи по специальности «Математика»

нетрудно заметить, что в общем случае это не так. Например, если A нилъпотентна, Ai+1 = 0,At = 0, то ct(A) > 0, a ct+i(A) = 0. Первым из анонсируемых результатов является следующее утверждение.

A

{cn(A)} асимптотически монотонна, т.е. существует такое N ^ I, что cn(A) ^ cn+1 (A) для, всех n ^ N.

Как следствие теоремы 1 мы получаем подтверждение гипотезы Регева "во втором приближении". Следствие. Для любой ненильпотентной Fl-алгебры, A существуют такие конет,ант,ы, 0 < а1,а2 £ М, t е d е N, что am1 (Г < сп(А) < а2пЧп.

В свете теоремы 1 представляет интерес следующее замечание.

Теорема 2. Для любого целого N ^ 0 существуют Pl-алгебра A и набор индексов t1 < t2 < ... < tN, т,акие, что cti (A) > cti+1(A) для всex i = 1,...,N. В неассоциативном случае теорема 1 неверна.

Теорема 3. Существуют алгебра A и бесконечная последовательность индексов t1 < t2 < ..., т,акие, что cti (A) > cti+1(A) для, вс ex i = 1, 2 ....

Работа частично поддержана РФФИ (грант № 13-01-00234-а).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бахтурин Ю.А. Тождества в алгебрах Ли. М.: Наука, 1985.

2. Giambruno A., Zaicev М. Polynomial Identities and Asymptotic Methods // Mathematical Surveys and Monographs. Vol. 122. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2005.

3. Krakowski D., Regev A. The polynomial identities of the Grassman algebra // Trans. Amer. Math. Soc. 1973. 181. 429-438.

4. Мальцев Ю.Н. Базис тождеств алгебры верхнетреугольных матриц // Алгебра и логика. 1971. 10. 393-400.

5. Regev A. Existence of polynomial identities in A ® B // Bull. Amer. Math. Soc. 1971. 77, N 6. 1067-1069.

6. Латышев B.H. К теореме Регева о тождествах тензорного произведения PI-алгебр // Успехи матем. наук. 1972. 27, № 4. 213-214.

7. Кемер А.Р. Шпехтовость Т-идеалов с полиномиальным ростом коразмерностей // Сиб. матем. журн. 1978. 19. 54-69.

8. Regev A. Codimensions and trace codimensions of matrices are asymptotically equal // Isr. J. Math. 1984. 47. 246-250.

9. Giambruno A., Zaicev M. Exponential codimension growth of P.I. algebras: an exact estimate // Adv. Math. 1999. 142. 221-243.

10. Drensky V. Relations for the cocharacter sequences of T-ideals // Proc. Int. Conf. on Algebra Honoring A. Malcev; Contemp. Math. 1992. 131. 285-300.

11. Гордиенко А. С. Гипотеза Регева и кохарактеры тождеств ассоциативных алгебр PI-экспоненты 1 и 2 // Матем. заметки. 2008. 83, № 6. 815-824.

12. Gordienko A.S. Regev's conjecture and codimensions of P.I. algebras // Acta Appl. Math. 2009. 108. 33-55.

13. Berele A., Regev A. Codimensions of products and intersections of verbally prime T-ideals // Isr. J. Math. 1998. 103. 17-28.

14. Giambruno A., Zaicev M. Minimal varieties of exponential growth // Adv. Math. 2003. 174. 31-323.

15. Berele A. Properties of hook Schur functions with applications to p.i. algebras // Adv. Appl. Math. 2008. 41, N 1. 52-75.

Поступила в редакцию 25.02.2013

УДК 517.5

ЧЕТЫРЕ ТЕОРЕМЫ О РАВНОМЕРНЫХ ОЦЕНКАХ ОСЦИЛЛИРУЮЩИХ ИНТЕГРАЛОВ

В. Н. Карпутпкин1

Получены точные по порядку равномерные оценки осциллирующих интегралов с мо-номиальной фазой. Этот результат близок к гипотезе В. И. Арнольда о равномерных оценках осциллирующих интегралов. Именно установлена равномерная по фазе и амплитуде

1 Карпушкин Владимир Николаевич— канд. физ.-мат. наук, науч. сотр. ИППИ РАН, e-mail: nikvladkarpQyandex.ru.

оценка сверху модуля осциллирующего интеграла величиной порядка т-1/k lnn-1 т для любого достаточно малого возмущения фазы — монома x^"1 ... x^", mj < k, 1 < k, — мономами жЦ1 ... x;nn, где Sj ^ k, 1 ^ j ^ n, и для любой амплитуды р G C2(Rn),n > 0. В случае |m| < nk равномерная оценка при том же возмущении и той же амплитуде имеет величину порядка т-1/k lnn-2 т. В случае k =1 также получена равномерная оценка величинои порядка т- -1 lnn-2 т. В случае, когда амплитуда обращается в нуль в начале координат, получена оценка величиной порядка т-1/k lnn-2 т. Установлена равномерная оценка для полиномиальной фазы. Ранее была известна оценка осциллирующего интеграла величиной (32)пт-1/k 1пп-1(т + 2) для амплитуды — характеристической функции куба — и такой же фазы.

Ключевые слова: осциллирующий интеграл, фаза, амплитуда, равномерная оценка.

The exact order of uniform estimates of oscillatory integrals with monomial phase is obtaind. This result is close to the hypothesis of V. I. Arnold about uniform estimates of oscillatory integrals. Namely, for absolute values of oscillatory integrals we derive estimates of order т-1/k lnn-1 т uniform with respect to phase and amplitude for every sufficiently small perturbation phase, i.e., the monomial xj1 .. .xjj" ,mj < k, 1 < k, by monomials x^1 .. . x^1, where Sj < k, 1 < j < n, and for each amplitude р G С2(Д"),п > 0. In the case |m| < nk the upper uniform estimate with the same perturbation and the same amplitude have the order т-1/k lnn-2 т. The estimate by order т-1/k lnn-2 т was proved in the case when the amplitude vanishes at the origin. In the case k = 1, a uniform estimate of order т-1 lnn-2 т is valid. This implies a uniform estimate for a polynomial phase. The upper estimate of oscillatory integral 32пт-1/k 1пп-1(т + 2) was known previously for the amplitude being the characteristic function of a cube and the same phase.

Key words: oscillatory integral, phase, amplitude, uniform estimate.

Осциллирующим интегралом I(т, Q, р) с фазой Q, параметром т и амплитудой р называется интеграл по Rn от рехр(^),т G R,Q : Rn ^ R,p : Rn ^ R.

Обозначим через (р^ максимум верхних граней модулей частных производных функции р всех порядков от 0 до k включительно — это норма в Сk(Rn), k ^ 0.

Пусть Р — полином от п переменных. Разложим его в многочлен Тейлора в стандартной системе координат с центром в точке a G Rn : P(x + a) = ^m amxm. Многогранником Ньютона полинома P в точке a назовем выпуклую оболочку множества {m : am = 0} \ 0. Обозначим его через Га(Р).

Обозначим через L bs сумму bs, таких, что s G L, 0 ^ Sj ^ k, 1 ^ j ^ п. В случае, когда L = Zn, индекс L опускаем.

Теорема 1. Пусть Р = k qsxs — полином в Rn; предположим, что в пего входит, с ненулевым коэффициентом моном с показателем s : |s| < kn. Тогда, существуют C > 0,5 > 0 и окрестность А на,чала, координат, такие, что если G = ^k asxs, |as| < 5, то |I(т, Р + G, р)| ^ Ст-1/к lnn-2 т(p)i для всех р G С1(А),т ^ 2.

Теорема 2. Пусть xm = x1mi ... xnmn — моном в Rn,mj ^ k,n ^ 1. Пусть А = (—1,1)n. Тогда существуют С > 0,5 > 0 такие, что если G = ^к asxs, |as| < 5; то |I(т, xm + G, р)| ^ Ст-1/к lnp т(р)1 для всех р G Со (А),т ^ 2. Здесь p = n — 1, есл,и |m| = nk; в противном случае p = n — 2.

Доказательство теоремы 1 следует из теоремы 2. При помощи квазиоднородного растяжения сводим полином Р + G к малому возмущению монома xm, где |m| < nk, m принадлежит границе многогранника Ньютона полинома Р. □

Доказательство теоремы 2. Доказательство проходит индукцией, внешний цикл — по размерности, внутренний цикл — по степени xm, т.е. по |m|. В R утверждение теоремы верно (см. [1]). В Rn при |m| = 1 утверждение теоремы верно, интегрируем по частям один раз. Сделаем сдвиг в Rn и обнулим коэффициенты всех мономов полинома xm + G с показателями, как v dxm/dxj, 1 ^ j ^ n . Заметим, что если

G

неявной функции. Пусть F — проекция сдвинутого полинома на пространство полиномов степени меньше |m|, которая параллельна пространству полиномов степени ^ |m|. Пусть F = ^k0<|s|<|m| bsxs. Выберем

так, что Ek,0<|s|<|m| |bs|tF-(s,a) = 1,®1 = ... = an = 1/|m|. Положим tF = если Ek,0<|s|<|m| |bs| = 0. Пусть t = тт(т/2,£р). Положим x = St(y), xj = yjt-aj, 1 ^ j ^ n. Обозначим р о St(y) через р^(y).

Пусть G C^R), ^1(y) = 1 при |y| ^ z0, 01(y) = 0 при |y| ^ z0 + 1.

Положим 0(y) = Л ^1(yj-). Обозначим замыкание множества {y G Rn : 0(y) = 0} через K.

Заметим, что K — компакт.

Пусть Wi = {cs : k |s|<|m| |cs| = 1} причем все cs с такими индексами, как показатели первых частных производных монома y , нулевые.

Предложение 1. Пусть A = (-1,1)n , t = ¿f- Тогда существ уют С > 0,6 > 0; т,акие, что для всех Л G Wb^> G Cq(A),t ^ 2, Q = Y,k ,|m|^|s| |ds| ^ 6 имеем

t-|a||I(ri-1 ,ym + Л + )| < Cr-1/klnn-2t(^)i(ö)i.

Доказательство. Рассмотрим ym + Л в точке 0 G Rn. Докажем, что для всех Л G Wi существуют окрестности шд, ид соответственно точек Л, 0, такие, что существуют Сд > 0,6д > 0 и справедливо неравенство

t-|a||I(Tt-i,ym + ß + Q,^)| < Сдt-i/klnn-2t(^)i (*)

для всех t ^ 2,ß G шд,ф G С0(ид), Q = £k,|s|^|m| dsXs, |ds| < 6д.

Пусть r„(ym + Л) — многогранник Ньютона полинома ym + Л в точке a G Rn. Будем считать ym однородным полиномом, тогда ym + Л в точке a не есть (y — a)m + const (см. fl, предложение 4]), так как Л = 0 то выбору ¿f(¿f = t < Таким образом, существует 0-мерная грань 7 = (7i,...,7n)

многогранника Га(ym + Л) такая, что |y| < m, 7j ^ k, 1 ^ j ^ n Тогда существует плоскость (ß,x) = 1, пересекающаяся с многогранником ra(ym + Л) по 7 и такая, что ßi > 0,... , ßn > 0, |ß|-i < k. Вернемся к a=0

Сделаем замену yj = Zj , 0 < d < 1, так что (ym + Л) в координатах z примет вид d(b7zY + Sk i<(e q) d(e ' q)-izq). Для подходящего d величина (ym + Л) будет достаточно малым возмущением db7z7. Тогда из предположения индукции следует неравенство (*).

Значит, (*) верно для всех ß G Wi,^ G CQ(Ao) с постоянными С = maxСд,,6 = min6д,, где Ao = Пд, ид, ,-д, — конечное покрытпе Wi, имеющееся в силу компактности Wi.

Пусть a G Rn . Разложим ym + Л в окрестности точки a. Тогда получим, что неравенство, аналогичное (*), верно для всех ф G C0i(Aa),ß G Wi,A(l = f]д ид,, ид, — окрестности точки a, соответствующие конечному покрытию Wi окрестностями шд,.

Рассмотрим С ^-разбиение единицы, подчиненное конечному покр ытию компакта K окрестностями Attq точек aq, описанными выше. Конечное число неравенств дает неравенство предложения 1. □

Предложение 2. Существуют С > 0,6 > 0,z0 > 0 такие, что если A = (—1,1)га; то для всех Л G Wi,p G C0(A),t ^ 2, Q = Ek ,|s|>|m| dsti-(s ' a)ys,6> |ds| имеем

t-|a||I(Tt-i,ym + Q + Л,(1 — 0)| < CT-i/klnpt(^)i(1 — ö)i.

Доказательство. При доказательстве предложения 2 мы используем предположения индукции. Во избежание громоздких обозначений мы докажем предложение 2 для R3 (n = 3). Пусть v G 60° (R), 0 ^ v(ж) ^ 1,v(x) = 1 при |ж| ^ 1/3,v(x) = 0 при |ж| ^ 2/3. Положим yi = pi/|m|,y2 = u2pi/|m|,y3 = U3p1/|m|,Q(y,t) = pQi(U2,U3,p,t),A(y,t) = pAi(u2,U3,p,i). Пусть ym = puM,M = (0,Ш2,Шз),д — куб с центром в 0 G R3 и ребрами, параллельными осям координат.

Пусть T — конус, проходящий через верхнюю грань куба с центром в 0 G R3,dyi Л dy2 Л dy3 = pra/H-idp л ш в конусе T. Здесь ш — 2-форма от u2, u3 ^а ^даскости p = 1, |a| = n/|m|.

Рассмотрим Ai, Qi в конусе T. № определения Ai следует, что для любого е > 0 существует po, такое, что при p > po ^те коэффициенты полинома по пвременным u2, u3, —Ai и любого заданного заранее числа его производных по p по модулю меньше е. Легко видеть, что для любого е > 0 существует 5 > 0, такое, что если |ds| < 5, p/t < 1, то все коэффициенты полинома по переменным u2,u3, —Qi и любого заданного заранее числа его производных по p по модулю меньше е. Пусть Vj(y) = v(uj),j = 2,3. Рассмотрим осциллирующий интеграл с фазой (Ai + uM + Qi), параметром т и амплитудой х = V2V3(1 — Тогда

по предположению индукции существуют C > 0,5 > 0,Zo = p^'™' > 1 такие, что если |ds| < 5, то

t—lal11(t-iTp,Ai + Qi + uM,х)| < Ci-'a'(T/i)^* pn+'a'-i lnn-2(pT/i)dp(^)i(1 — 0)b

1/7

где n = — 1/k.

Из вспомогательной леммы 5 работы fl] получим в случае амплитуды V2V3^f (1 — 0) оценку, как в предложении 2. В случае амплитуд V2(1 — V3)^f(1 — 0),V3(1 — V2)^f(1 — пользуясь индуктивным предположением, получаем оценку предложения 2. В случае амплитуды (1 — V2)(1 — V3)^f(1 — интегрируя по

частям один раз по р, приходим к оценке порядка i-|a|(i-1r)-1. Таким образом, получены оценки предложения 2 в конусе T. Остальные конусы рассматриваются аналогично. Случай n = 3 рассмотрен. Случаи большей размерности рассматриваются аналогично. Предложение 2 доказано. При t = т/2 теорема 2 следует из предложения 2. Теорема 2 доказана. □

Теорема 3. Пусть xm = x1... xn — моном в Rn, n > 1,A = (-1,1)n. Тогда существуют C > 0,5 > 0; такие, что если G = ^1 asxs, || < 5, то |I(т, xm + G, p)| < C/т lnn-2 т(p)2 для всex p G C^A)^ ^ 2.

Замечание 1. Если k = 1, то в предложении 2 индукционный процесс дает: lnp т можно заменить на lnn-2 т.

Доказательство теоремы 3 аналогично доказательству теоремы 2.

Теорема 4. Пусть xm = x^ ... хП; если k > 1, то n > 1, если k = 1, то n > 2; A = (-1,1)n. Тогда существуют C > 0,5 > 0; т,акие, что если G = k asxs, |as| < 5 и все as с индексам,и, совпадающими с показателям,и первых частных производных монома xm; — нули, то |I(т, xm + G, p)| < Cт-1/k lnbт(p)3 для, всех p G C(3(A), p(0) =0,т ^ 2 и b = n — 2; тел и k > 1, b = n — 3; тел и k = 1.

Доказательство теоремы 4 при k > 1 аналогично доказательству теоремы 2 и следует из предложения 1 и нижеследующего предложения 3.

Предложение 3 аналогично предложению 2 и написано в тех же обозначениях.

Заметим, что если A — ограниченная окрестность 0 G Rn, A<j — ст-окрестность замыкания множества A, то для всех а > 0,p G C3(A),p(0) = 0, существуют gj G C<2(ACT), такие, что p(x) = ^ 1<j<nxjgj(x) (см. f2]). Существует C > 0, такое, что max(gj)2 < C(p)3, эта постоянная зависит лишь от а.

Предложение 3. Существуют C > 0,5 > 0,z0 > 0, т,а,кие, чт,о если A = (—1,1)n; то для всех Л G G ^(A)^ ^ 2, Q = £k,|^H dst1-(a's)ys, 5 > |ds| величина t-^|ICrt-1,ym + Q + Л, у,-(1 — 0))|

не превосходит, C^1^ lnn-2 т(0)2(1 — 0)2, actect> $ = |a| + 1/|m|, 1 < j < n.

Доказательство. Введем обозначения v, p, u2,u3, Q1, Л1, M, w, T, v2, v3, как в доказательстве предложения 2. Рассмотрим случай y^F(1 — 0). Случаи yj^f(1 — 0),j > 1 рассматриваются аналогично. Пусть X = p1/|m|(1 — Рассмотрим осциллирующий интеграл с фазой (Л1 + Q1 + uM), параметром тр/t и

1/|m|

амплитудой V2V3х- Из теоремы 2 следует, что существуют C > 0,5 > 0,Zo = Po > 1, такие, что если |ds| < 5, то величина

t-^|I(тp/t, Л1 + Q1 + uM ,V2V3X)|

не превосходит

t-V/t)4 / lnn—2(тр/t)dp(^)2(1 — 0)2,

1 /7

где n = — 1/k.

Из вспомогательной леммы 5 работы fl] получим в случае амплитуды XV2V3 оценку, как в предложении 3. В случае амплитуд (1 — v2)v3х, (1 — V3)v2X5 пользуясь теоремой 2, получаем оценку предложения 3. В случае амплитуды (1 — V2)(1 — V3), интегрируя два раза по частям по р, приходим к оценке порядка (т/t)-21-^. Конус T рассмотрен. Остальные конусы рассматриваются аналогично. Размерности больше 3 рассматриваются так же. При t = т/2 теорема 4 следует го предложения 3. Теорема 4 при k > 1 доказана. k =1 □ Замечание 2. Если p G C^(Rn),p(0) = 0,p — амплитуда, P = xk... x^n — фазa, k > 1,n > 1,т — параметр, то

1) асимптотика при т ^ осциллирующего интеграла будет иметь порядок т-1/k lnn-1 т;

2) если фаза есть P/xf, 0 < s < k + 1, то асимптотика при т ^ осциллирующего интеграла будет иметь порядок т-1/k lnn-2 т;

3) если фаза P, амплитуда xj^(x),^(0) = 0, то асимптотика при т ^ осциллирующего интеграла будет иметь порядок т-1/k lnn-2 т.

Утверждения 1-3 замечания 2 следуют из работы [3]. Таким образом, теоремы 2, 4 точны для мономов в соответствии с гипотезой В. И. Арнольда о равномерной оценке осциллирующих интегралов (см. [3]).

Замечание 3. Для амплитуды — характеристической функции куба — верна оценка осциллирующего интеграла с мажорантой 32nт-1/k 1пп-1(т + 2) (см. [4]). Работа частично анонсирована в [5].

Автор приносит глубокую благодарность A.B. Чернавскому за внимание к работе.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Карпушкин В.Н. Равномерные оценки осциллирующих интегралов с параболической или гиперболической фазой // Тр. Семинара им. II. Г. Петровского. Вып. 9. М.: Изд-во МГУ, 1983. 3-39.

2. Спивак М. Математический анализ на многообразиях. М.: Мир, 1968.

3. Арнольд В.И., Варченко А.Н., Гусейн-Заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений. Т. 2. М.: Наука, 1984.

4. Архипов Г.И., Карацуба A.A., Чубариков В.Н. Теория кратных тригонометрических сумм. М.: Наука, 1987.

5. Карпушкин В.Н. Равномерные оценки кратных осциллирующих интегралов // Междунар. конф. "Анализ и особенности", посвящ. 70-летию В. И. Арнольда. 20-24 августа 2007 г. М.: Изд-во Матем. ин-та РАН, 2007. 58-59.

Поступила в редакцию 01.03.2013

УДК 513.82

ПОЧТИ КОНТАКТНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ С ТИПОВЫМ ЧИСЛОМ 1 ИЛИ О В ПРИБЛИЖЕННО КЕЛЕРОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ

М. Б. Банару1

Доказано, что для почти контактной метрической гиперповерхности приближенно келерова многообразия условие равенства ее типового числа нулю или единице является не только необходимым, но и достаточным для того, чтобы эта почти контактная метрическая структура была слабокосимплектической.

Ключевые слова: почти контактная метрическая структура, слабокосимплектическая структура, типовое число, гиперповерхность, приближенно келерово многообразие.

It is proved that for an almost contact metric hypersurface of nearly-Kahlerian manifold the condition for the type number to be equal to 1 or 0 is not only necessary but sufficient for this almost contact metric structure to be nearly cosymplectic.

Key words: almost contact metric structure, nearly cosymplectic structure, type number, hypersurface, nearly Kahlerian manifold.

1. Хорошо известно, что почти контактная метрическая структура индуцируется на ориентируемой гиперповерхности почти эрмитова многообразия. Изучением почти контактных метрических гиперповерхностей почти эрмитовых многообразий занимались такие известные геометры, как Д. Блэр, С. Голдберг, С. Ишихара, В.Ф. Кириченко, С. Сасаки, С. Танно, И. Таширо, X. Янамото, К. Яно.

В настоящей работе исследуются почти контактные метрические гиперповерхности приближенно ке-леровых многообразий. Отметим, что класс приближенно келеровых многообразий — один из самых важных классов Грея-Хервеллы [1] почти эрмитовых многообразий. Его изучению посвящено огромное число работ. Не вдаваясь в подробности этого обширнейшего вопроса, напомним лишь, что шестимерная сфера S6 с канонической приближенно келеровой структурой изучалась такими математиками, как Л. Вранкен, А. Грей, Р. Дещч, Ф. Диллен, Н. Ежири, Е. Калаби, В.Ф. Кириченко, И.-С. Пак, К. Секигава, С. Та-чибана, Ш. Фунабаши, Хайжонг Ли, X. Хашимото. Отметим и весьма интересные связи приближенно келеровых многообразий с теорией графов [2, 3].

Настоящая работа содержит результат, мимо которого самым обидным образом автор прошел при изучении слабокосимплектических гиперповерхностей приближенно келеровых многообразий [4, 5]. Она является продолжением исследований автора, рассматривавшего ранее характеризации в терминах типового числа почти контактных метрических гиперповерхностей почти эрмитовых многообразий (см. [4, 5], а также [6-9]).

2. Напомним [10], что почти контактной метрической структурой на многообразии N называется система тензорных полей {Ф, n, g} на этом многообразии, для которой выполняются условия

n(£) = 1, Ф(£) = 0, n ◦ Ф = 0, Ф2 = -id + £ <g> n;

(ФХ, ФГ> = (X, Y> - n(X)n(Y), X, Y G X(N).

1 Банару Михаил Борисович — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. математики и информатики Смоленск, гос. ун-та, e-mail: mihail.banaruQyahoo.com.