CC BY
23
Как видно из таблицы 2 в точке действия сосредоточенной опорной реакции (точка 3 с координатами 5 = 0,0; / = 4,0 см) наблюдается неудовлетворительная сходимость численных результатов. Но уже в точке 1, а также в точках сечения с координатой = 2,0см наблюдается удовлетворительная сходимость численных результатов.
В точках, достаточно удаленных от точки приложения сосредоточенной силы, наблюдается хорошая сходимость вычислительного процесса.
Анализ результатов показывает, что разработанный на основе соотношений теории упругости элемент вполне приемлем для анализа напряженно- деформированного состояния оболочек произвольной толщины.
Литература
1. Седов Л.И. Механика сплошной среды. - Том 1. - М: Наука, 1976. -536с.
2. Галагер Р. Метод конечных элементов. Основы. - Пер. с англ - М: Мир, 1984.-428с.
3. Постное В.А., Хархургш И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций - Л.: Судостроение, 1974. - 344с.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ УПРУГИХ ВОЛНОВЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В ПОДКРЕПЛЕННОМ КРУГЛОМ ОТВЕРСТИИ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ
В.К. МУСАЕВ, д-р техн. наук, проф. Российский университет дружбы народов, Москва
Рассматриваются некоторые вопросы численного решения о воздействии упругой волны напряжений на подкрепленное круглое отверстие. Приводится сопоставление с результатами аналитического решения. Поставленная задача решается с помощью метода конечных элементов в перемещениях.
Рассмотрим некоторое тело Г в прямоугольной декартовой системе координат ХОУ, которому в начальный момент времени при / = 0 сообщается механическое воздействие. Предположим, что тело Г изготовлено из однородного изотропного материала, подчиняющегося упругому закону Гука при малых упругих деформациях. Точные уравнения двумерной (плоское напряженное состояние) динамической теории упругости имеют вид
дах дт д2и дт да э2у дх ду д(2 дх ду Ы
Е , > Е , » Е
(ех+У£), <т=---(£+У£х),тху=—---ух
ди ду диду
где сх, ау и тху- компоненты тензора упругих напряжений; ех, еу и уху- компоненты тензора упругих деформаций; ми V- составляющие вектора упругих
перемещений вдоль осей ОХ и OY, соответственно; к- коэффициент Пуассона; Е- модуль упругости; р - плотность материала; S(SluS2)- граничный контур тела Г . Систему (1) в области, занимаемой телом Г, следует интегрировать при начальных и граничных условиях.
Для решения двумерной (плоской) динамической задачи теории упругости с начальными и граничными условиями (1) используем метод конечных элементов в перемещениях. Постановки, численные методы, технология программных комплексов и анализы результатов решения динамических задач рассмотрены в работах [1-14].
Задача решается методом сквозного счета, без выделения разрывов. Основные соотношения метода конечных элементов получены с помощью принципа возможных перемещений. Используя метод конечных элементов, получим приближенное значение уравнения движения в теории упругости
НФ + КФ = R, Ф|(=0=Ф0, <Ь |,=о=Фо, (2)
где Н - диагональная матрица инерции; К - матрица жесткости; Ф - вектор узловых упругих перемещений; Ф- вектор узловых упругих скоростей перемещений; Ф- вектор узловых упругих ускорений; R - вектор внешних узловых упругих сил. Соотношение (2) - система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка в перемещениях с начальными условиями. Таким образом, с помощью метода конечных элементов в перемещениях линейную задачу с начальными и граничными условиями привели к линейной задаче Коши (2). Интегрируя уравнение (2) конечноэлементным вариантом метода Галеркина, получим явную двухслойную конечноэлементную линейную схему в перемещениях для внутренних и граничных узловых точек
Фм = Ф, + AtH~'(-КФ, Фм = Ф, + М+/, (3)
где At- шаг по временной координате.
Рассматривается задача о воздействии плоской продольной упругой волны на подкрепленное круглое отверстие. Начальные условия приняты нулевыми. В сечении на расстоянии 1,6Н (рис. 1) при 0 < < 10 f«, - t / tslx) скорость упругого перемещения й2 изменяется линейно от 0 до Рх = <т0 /(р2Ср2), а при и, >10-> й2=Рх. Внутренний контур подкрепленного отверстия ABCD предполагается свободным от нагрузок при t > 0. На границе подкрепления и среды EFGH приняты условия непрерывности перемещений. Граничные условия для контура IJKL при t>0 и2 =v2 =й2 =v2 = 0. Отраженные волны от контура IJKL не доходят до исследуемых точек при 0 < и, < 540. Расчеты проведены при следующих исходных данных: А/, =0,186-10"5 с; М2 =0407-10"5 с; Н - 0,2м; Н = 0,72• 10sМПа(0,72• 106кгс/см2); v, =0,3; Ср1 = 5364л</с; Ср2=Ш1м/с', А = 0,275 • 104 кг/см2(0,275 • 10'5 кгс ■ с2 /смА); Е2 = 0,36 104M7af0,36 10sкгс/см2); v2 = 0,36; р2 = ОД 22 • 104 кг / м3 f 0,122 • 10-5 кгс / сл<4) (■■ - подкрепление; • • -2 - среда).
Исследуемая расчетная область имеет 1536 узловых точек. Внутренний контур подкрепления аппроксимирован 28 узловыми точками. По толщине подкрепление аппроксимировано двумя узловыми точками.
J I
27,2Н
К
1,6Н
27,2Н
Рис. 1. Постановка задачи для подкрепленного круглого отверстия
Постановка задачи о воздействии плоской продольной упругой волны на подкрепленное круглое отверстие показано на рис. 1.
На рис. 2 показано изменение контурного напряжения ок в точке 1 во времени I/ {!,=(Ср2/)/ Н): 1 - результаты аналитического решения [ 1 ]; 2 - результаты численного решения, полученные методом конечного элемента в перемещениях. Расхождение для максимального упругого контурного напряжения составляет 12 %.
Ч-(ср2')/Н
80
120
160
200
240
280
1Ш,
\\ ^ , , — 1 —1- —т ,——
н . в и2 •
\ Л \\ 1 27,2 Н
\ \ \\ |
\' \ 1 ..... 1.
\ - / и —
1 — \ к
1 ч. --- > - —'
Рис. 2. Изменение упругого контурного напряжения ак в точке / во времени ^ на внутреннем контуре подкрепленного круглого отверстия при воздействии плоской продольной упругой волны типа функции Хевисайда
Результаты исследований показаны на рис. 3-5 в виде графиков изменения контурных напряжений ак в точках 1-3 во времени г/Л/, при воздействии функции Хевисайда.
я
tí S
16
я
С Ъ
л
10
-15
-2
L i
i N \f г
V
\
600
t/Atj
О 200 400 600
t/Д t,
Рис. 4. Изменение упругого контурного напряжения ак в точке 2 на контуре подкрепленного круглого отверстия во времени t/ át¡
■ i
-2
Рис. 3. Изменение упругого контурного напряжения <тк в точке 1 на контуре подкрепленного круглого отверстия во времени I/
Максимальной величины сжимающее контурное напряжение достигает в точке 1 почти за два прохода фронтом продольной волны диаметра среднего контура подкрепленного отверстия и равно ак =-13,6.
я
Анализ численных результатов пока- в зывает, что при решении задач о воздейст- -вии плоской продольной упругой волны ти-16 па функции Хевисайда на подкрепленное круглое отверстие получены хорошие ре- "3 зультаты. Сравнение с результатами аналитического метода показало их хорошее совпадение, что позволяет сделать заключение " 4 о физической достоверности результатов численного решения.
Литература
1. Гернет X., Крузе-Паскаль Д. Неустановившаяся реакция находящегося в упругой среде кругового цилиндра произвольной толщины на действие плоской волны расширения// Прикладная механика. Труды Американского общества инженеров-механиков. - Сер. Е. - 1966. - Т. 33, № 3. - С. 48-60.
2. Гузь А.Н., Кубенко В.Д., Черевко М.А. Дифракция упругих волн. - Киев: Наукова думка, 1978.-308 с.
3. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. -М.:
--
V "1 \tt
д
О 200 400 600
»/Д
Рис. 5. Изменение упругого контурного напряжения (Тк в точке 3 на контуре подкрепленного круглого отверстия во времени 1/6X1
Стройиздат, 1982.-448 с.
4. Мусаев В.К. Численное решение волновых задач теории упругости и пластичности// Вестник Российского университета дружбы народов. Серия прикладная математика и информатика. - 1997. - № 1. - С. 87-110.
5. Мусаев В.К. Разработка и реализация алгоритма решения двумерной плоской динамической задачи теории упругости// Тез. докл. XXXIV научной конференции факультета физ.-мат. и естественных наук. Химические и педагогические секции. - М.: РУДН, 1998.-С. 79.
6. Мусаев В.К. Численное моделирование динамического напряженного состояния свободных и подкрепленных отверстий// Тез. докл. третьего Межд. конгресса «Защита». Сек.7. Методы решения региональных проблем экологической безопасности потенциально опасных объектов.-М.: ГАНГ, 1998-С. 15-16.
7. Мусаев В.К. Некоторые вопросы реализации вычислительной нестационарной теории упругости// Материалы X Межд. конференции «Применение новых технологий в образовании». - Троицк: Байтик, 1999. - С. 216-217.
8. Мусаев В.К. О математическом мониторинге безопасности уникальных сооружений с окружающей средой в детерминированной постановке// Научно-практ. конференция «Экологические аспекты энергетической стратегии как фактор устойчивого развития России»: Тез. докл.- М.: Ноосфера, 2000.-С.67-69.
9. Мусаев В.К. О безопасности сложных технических систем при нестационарных динамических воздействиях в детерминированной постановке// Проблемы управления безопасностью сложных систем. Материалы VIII Международной конференции. - М.: РГГУ, 2000. - С. 243-244.
10. Мусаев В.К. Численное моделирование безопасности сложных геотехнических систем при ударных, взрывных и сейсмических нестационарных воздействиях// Проблемы управления безопасностью сложных систем. Материалы XIII Международной конференции. - М.: РГГУ, 2005. - С. 467-471.
11. Мусаев В.К. О некоторых закономерностях волнового напряженного состояния в сложных геотехнических системах// Безопасность и экология технологических процессов и производств. Материалы Всероссийской научно-практической конференции. Часть 2. - Поселок Персиановский Ростовской области: Донской государственный аграрный университет, 2005. - С. 114-119.
12. Мусаев В.К. Численное решение некоторых задач безопасности жизнедеятельности с помощью метода конечных элементов // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия проблемы комплексной безопасности. - 2005. - № 1. - С. 17-23.
13. Мусаев В.К. О моделировании сейсмических волновых процессов в подкрепленном круглом отверстии// Вестник Российского университета дружбы народов. Серия проблемы комплексной безопасности. - 2006. -№ 1. - С. 6-17.
14. Мусаев В.К. О некоторых возможностях математического моделирования и численного компьютерного эксперимента// Вестник Российского университета дружбы народов. Серия проблемы комплексной безопасности. - 2006. - № 1. - С. 81-86.
DEFINITION OF ELASTIC WAVE PRESSURE IN THE SUPPORTED
ROUND APERTURE BY MEANS OF THE METHOD OF FINAL ELEMENTS IN DISPLACEMENTS
V.K. Musayev
Some questions of the numerical decision on influence of an elastic wave of pressure on the supported round aperture are considered. Comparison to results of the analytical decision is resulted. The task in view is solved by means of a method of final elements
