Определение сроков осмотров авиационных конструкций с учетом двухстадийности усталостного повреждения Текст научной статьи по специальности «Математика»

_________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том VIII 1977

М 1

УДК 629.7.017.1

629.735.33.015.4:539.49

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СРОКОВ ОСМОТРОВ АВИАЦИОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ С УЧЕТОМ ДВУХСТАДИЙНОСТИ УСТАЛОСТНОГО ПОВРЕЖДЕНИЯ

Е. Л. Зимонт

Время до разрушения конструкции представлено в виде суммы времени до возникновения трещины и продолжительности развития трещины до критического размера. Рассматриваются три типа осмотров: периодические, с равной вероятностью разрушения между

осмотрами и оптимальные по числу осмотров. Полученные условия оптимальности показали, что срок оптимального осмотра зависит только от сроков двух предыдущих. Приведен алгоритм численного решения и даны примеры.

В настоящее время в связи с реализацией принципа эксплуатации „по состоянию" задача об установлении ресурса самолета с учетом живучести конструкции, т. е. с учетом того, что усталостные трещины на конструкции развиваются не мгновенно, весьма актуальна. Разрушение можно представить как двухстадийный процесс, первой стадией которого является возникновение трещины, а второй — развитие ее до критического состояния. В данной работе в качестве момента возникновения трещины принимается момент, когда трещина достигает минимального размера, при котором разрешающая способность и надежность принятого метода осмотра позволяют ее обнаружить. Критическим размером назовем такой размер трещины, при котором происходит разрушение конструкции. Время развития трещины до критического размера зависит от многих случайных факторов,таких, как скорость развития трещины, зависимость несущей способности конструкции от длины трещины, характеристики нагруженности и напряженного состояния конструкции, наличие других трещин и т. д. Все эти факторы в работе не рассматриваются, а предполагается, что они входят в понятие случайного времени развития трещин от момента возникновения до критического размера.

При осмотре трещину либо обнаруживают, либо убеждаются в ее отсутствии. В первом случае конструкция снимается с экеплу-

атации или ремонтируется, но сроки осмотров для нее должны назначаться заново, так как вероятностные характеристики живучести и выносливости после ремонта могут измениться. Если осмотр показал отсутствие трещин, то конструкция допускается к дальнейшей эксплуатации; через некоторое время она будет осмотрена еще раз, и так далее до конца эксплуатации. При этом вероятность разрушения в течение эксплуатации определяется как сумма условных вероятностей разрушения между осмотрами при условии, что во время проведения осмотра трещины на конструкции не было. Эта величина меньше, чем безусловная вероятность разрушения в течение того же времени. Таким образом, можно, вводя осмотры, увеличить установленный ресурс без снижения вероятности разрушения конструкции в течение эксплуатации. .

Постановка задачи. Разрушение конструкций можно представить как результат возникновения трещины и развития ее до разрушающих размеров [1]. Тогда время до разрушения Т раино

7’ = ^ + р., (1)

где / — время возникновения трещины; у.— продолжительность развития трещины до критического размера (/ и р являются случайными величинами).

Если <р (£, ^ — совместная плотность распределения случайных величин / и [л, то вероятность разрушения в интервале времени

(<!, £2) при условии, что в момент t^ трещин нет, равна

*2) = Л ?(*> (2)

о

где £>— область интегрирования в плоскости (£, у), представляющая собой треугольник, стороны которого образованы прямыми 1 = ^, £+^ = ^2 и осью абсцисс (фиг. 1).

В случае независимых ^ и р

<Р(*. 1*) = £(*)'Ж>

где £(/) — плотность вероятностей возникновения трещины; Ф(!а) — плотность вероятностей продолжительностей развития трещины от момента ее возникновения до критического размера; соответствующее интегральное распределение обозначим Ф1 (ц.).

Тогда (2) перепишем так:

Вероятность разрушения в течение эксплуатации вычисляется как сумма вероятностей разрушения между осмотрами

N

p(ti, х,, • ■ •. *n) = £F Xi+ ^; W

1-0

здесь х0 = О— начало эксплуатации; хь т2,..xN — моменты времени, в которые производятся осмотры; тлг+1 = Т9 — момент окончания эксплуатации.

Задача состоит в том, чтобы найти число осмотров N и значения времени осмотров х1; т2,..., таким образом, чтобы суммарная вероятность разрушения в течение эксплуатации (4) не превосходила заданного значения р0.

В настоящей работе исследуются три типа осмотров, поскольку каждый из них обладает своими преимуществами.

Периодические осмотры. Это осмотры через равные интервалы времени. Условия эксплуатации могут быть таковы, что осмотры с неравными интервалами организовать не удается, тогда естественно прибегнуть к осмотрам через равные интервалы. При этом время г-го осмотра можно выразить через время первого осмотра хь как хг = Ш, где Ы — при х0 = 0. Таким образом, в этом случае имеем

рЫ, = (5)

Необходимо найти такое наибольшее х:, чтобы выполнялось условие уР(Х]Хр0.

Осмотры с равной вероятностью разрушения между ними.

Преимуществом этих осмотров является то, что суммарная безопасность полетов между осмотрами остается постоянной. В этом случае должно выполняться условие:

= "'г-н),

или в силу (3)

t) dt= j(6)

V-l */

Из (6) видно, что все осмотры, начиная со второго, зависят при заданных функциях g(t) и Ч?- (а) только от времени первого осмотра х,. Таким образом, в этом случае опять справедливо (5), и задача аналогична предыдущей, но зависимость х, от xt неявная.

Оптимальные осмотры. Задача об оптимальных сроках проведения осмотров является важной задачей надежности авиационных конструкций, так как осмотры являются дорогостоящей и трудоемкой операцией. Эта задача относится к наименее разработанным из оптимальных задач надежности, а именно: к задачам проведения профилактических работ. Инспекционные проверки, рассматриваемые в данной работе, также относятся к профилактическим работам [2—4]. Особенностью условий, предъявляемых к авиационным конструкциям, является требование высокой надежности, при которой разрушение конструкции практически исключается при отсутствии резервирования.

0—Ученые записки Ks 1

81

Задача ставится следующим образом. Найти минимальное число N осмотров и моменты времени, в которые эти осмотры должны производиться т,, х2, . ... , xN (0<х, < х2 < . . . <х* <7'э), чтобы вероятность разрушения в течение эксплуатации от 0 до Т3 не превосходила заданной величины р0.

В случае фиксированного N необходимые условия экстремума

для функции (4) = i=h 2, . . . , TV), учитывая (3), представ-

ляют собой систему TV уравнений с TV неизвестными

I g (t) Ф (■*, - t) dt - g (х,) [W (х/+! - Тг) - ЧГ (0)1 = 0, (7)

4-1

i = 1, 2, . . ., TV, х0 = 0, xn+1 = Т$.

Особенностью системы (7) является то, что каждое i-е уравнение содержит в себе только три последовательные значения г.

Х/_1, хг, хж. .

Алгоритм решения. Основным для приложений является случай, когда g(t) является неубывающей функцией на отрезке [О, Тэ\. Заметим, что оба члена уравнения системы (7) положительны, причем второй член при изменении %i+1 от ^ до оо монотонно возрастает (не обязательно строго монотонно). Примем ЧГ(0) — 0 (т. е. р. > 0), хотя ход дальнейшего рассуждения не изменится, если W (0) Ф 0. Тогда уравнение (7) разрешимо относительно х(+ь если выполняется условие

Выражение в фигурных скобках достигает максимума при

х,- + 1 = оо

g(*i)xV(oo) = g(zt)■

Итак,

т/-1

Разделим левую и правые части на g(1i)

тг-1

Это выполняется всегда. Действительно,

Т/

•^^-<1 ДЛЯ Ь £ [х,-_1, х;] и <|»(х, —*)Л< 1.

"(■—I

Следовательно, для неубывающей функции g(t) при любых х;-1 и х(. из г-го уравнения системы (7) можно найти х(+1. Это позволяет решать задачи об осмотрах следующим образом.

82

При заданном х, определяем V В случае периодических осмотров т2 = х1-{-Д^ т3 = т2-(-Д£ и так далее. Для осмотров с равной вероятностью разрушения и оптимальных ха находится методом последовательных приближений соответственно из первого уравнения систем (6) и (7), т3 — из второго уравнения и так далее до тех нор, пока некоторое х„+1 не достигнет или не превзойдет Ть. Таким образом, для данного х1 число осмотров в течение эксплуатации равно п. Для полученных х,, х2) . . . , хп согласно (4) определяется вероятность разрушения. Методом последовательных приближений находится такое х^ для которого выполняется

РІЧ, ■ • • > ^) = Ро- (8)

Для того чтобы задача о заданном типе осмотров была решена точно, нужно добиться совпадения х„+і с Тэ. Это можно

сделать за счет некоторого уменьшения х^ При этом число осмотров останется таким же, а вероятность разрушения станет несколько меньше р0. В этой работе требовалось точное удовлетворение условия (8), т. е. интервал между последним осмотром и концом эксплуатации, может быть, и не удовлетворяет условиям, накладываемым на данный тип осмотров. Например, в случае периодических осмотров последний интервал может быть меньше предыдущих.

Изменение числа осмотров и вероятности разрушения при изменении х, при любом типе осмотров схематически изображено на фиг. 2. Здесь точками 1, 2, . . . , с») обозначены моменты

времени первого осмотра при общем числе осмотров Л в случае точного решения задачи о заданном типе осмотров. Значение хь удовлетворяющее условию (8), обозначено хРо. Решением задачи о наименьшем числе осмотров заданного типа с вероятностью разрушения в течение эксплуатации, не превосходящей /?0, будет ближайшее х^, лежащее левее хРо.

Примеры расчета*. Частным случаем неубывающей функции является ^ = с = сопз1 для ^ 6 [О, Тэ]. Такое поведение функции

g(t) возможно в том случае, если возникновение трещины не связано с усталостью, а вызвано случайными внешними повреждениями, появление которых в течение эксплуатации равновероятно в любой момент времени.

* Используемые ниже числовые значения параметров законов распределения выбраны только для иллюстрации предложенного метода.

Тогда (7) перепишем

_

с J Ф (х? ~ 0 dt — с J ф (#) dt = 0

4+1—

^_1 о

или после преобразований в виде

'/~тг—1 '/4-1~х1 .

J■ J <р(()йг,

и о

что выполняется, если — т/_1 = т/+1 — Другими словами, в этом случае оптимальными осмотрами являются периодические осмотры.

WOOO

20000

X -осмотры через равные интервалы;

О—осмотры с равной вероятностью разрушения между ними;

А —оптимальные осмотры

Фиг. 3

■о 700Q0 20000 Тош ** f 40000 ъГТч

т о *

5.0

(обозначения точек те же, что на фиг. 3)

Фиг. 4

Из (3) легко получить, что периодические осмотры обеспечивают и равную вероятность разрушения между ними. Таким образом, для равномерного распределения g(t) независимо от распределения Ф(р.) все три типа осмотров сводятся к одному.

В данном примере распределение продолжительностей развития трещин принималось логарифмически нормальным. Два параметра, которыми определяется логарифмически нормальное распределение 4» (р), обозначаются в дальнейшем и а^,. Здесь Мф— математическое ожидание случайной величины Igji, оф — средне-квадратическое отклонение той же величины.

Результаты расчетов для g(t) = const, = 2,1 (р. 125 ч)т

аф = 0,20 сведены в таблицу. Здесь в качестве ресурса без осмотров Тб. о принимается такой момент времени, вероятность разрушения до которого при эксплуатации без осмотров составляет /?0 = 0,001. В таблице приведены интервалы между осмотрами, обеспечивающие ресурс То в 1,5; 3; 10 раз больший по сравнению с Тб. 0. при сохранении той же величины р0. Символом k обозначено отношение То/Тб.о', Tg— среднее значение распределения g(t).

Примем распределение вероятностей времени возникновения трещины от усталости логарифмически нормальным с параметрами Mg = 4,8 (t ^ 63 ООО ч), <sg = 0,15. На фиг. 3 показаны значение 7б, о и расположение осмотров, обеспечивающих ресурс в 1,5 раза больший, чем Гб. о при значениях Мф = 3,8 ([А^бЗОО ч), Зф = 0,15. Из графика видно, что периодические осмотры являются в данном случае самыми невыгодными, а оптимальные осмотры и осмотры с равной вероятностью разрушения почти не отличаются друг от друга, причем время до первого осмотра превышает половину времени эксплуатации.

Модифицировав программу расчета, можно решить обратную задачу, т. е., задавшись числом осмотров в течение эксплуатации,

к Т* м Т’б.о N Т0 Ы и [ч]

1,5 2-10* 165 248 162

1,5 1 • 104 130 195 128

1,5 0,5-10* 108 162 107

3 2-10* 162 486 108

3 1-10* 130 390 92

3 0,5-10* 108 324 79

10 2-10* 162 1620 75

10 МО* 130 1300 67

10 0,5-10* 108 1080 61

найти максимальный ресурс, обеспечивающий вероятность разрушения />0 = 0,001. На фиг. 4 показано решение этой задачи для одного осмотра для тех же значений параметров, что и в предыдущем случае, за исключением = 4,3 (р.г=;20000 ч).

Автор благодарит В. Л. Райхера за полезные советы и неоднократные обсуждения работы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ильичев В. Д. Расчет текущего безопасного ресурса конструкции. Труды ЦАГИ, вып. 1391, М., 1972.

2. Оптимальные задачи надежности. Под ред. И. А. Ушакова, М., Изд. Комитета стандартов мер и измерительных приборов при Совете Министров СССР, 1968.

3. Ушаков И. А. Оптимальные задачи надежности. М., .Знание", 1971.

4. Степанов С. В. Профилактические работы и сроки их проведения. М., «Советское радио*, 1972.

Рукопись поступила 231X11 1975 г.