Алгоритм отыскания наиболее жесткой конструкции крыла при заданных требованиях механики разрушения для нижних монолитных панелей Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ И А Г И

Т о м XI 1 9 8 0 №2

УДК 629.735.33.015.4:539.43+539.219.2

АЛГОРИТМ ОТЫСКАНИЯ НАИБОЛЕЕ ЖЕСТКОЙ КОНСТРУКЦИИ КРЫЛА ПРИ ЗАДАННЫХ ТРЕБОВАНИЯХ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ ДЛЯ НИЖНИХ МОНОЛИТНЫХ ПАНЕЛЕЙ

В. Г. Лагутин

Предлагается алгоритм отыскания наиболее жесткой конструкции крыла с учетом требований механики разрушения для нижних монолитных панелей. Хрупкое разрушение в панелях происходит при нанесении в центральной части панели тестовой сквозной трещины заранее заданной длины, которая может быть обнаружена в условиях эксплуатации. Объем силового материала при поиске оптимальной конструкции задается и не изменяется. Для определения разрушения нижних панелей, передающих сдвиг и растяжение, используется для учета тестовой трещины частный случай критерия локального разрушения Г. П. Черепанова в форме равенства [1]. Учитывается влияние толщины нижней панели на критический коэффициент интенсивности напряжений.

1. Силовая конструкция крыла при заданном объеме силового материала может быть оптимальна по жесткости [2], но не оптимальна по прочности в случае возникновения в ней усталостных трещин. Поэтому возникает задача перераспределения заданного объема силового материала между элементами крыла таким образом, чтобы жесткость крыла была максимальной, а возможные усталостные трещины с длиной меньшей, чем те, которые обнаруживаются при эксплуатации, не приводили к хрупкому разрушению крыла.

Рассмотрим упругую конструкцию крыла, которая нагружена системой сил и состоит из п -г т мембранных изотропных конечных элементов (КЭ) с модулем упругости Е и коэффициентом Пуассона р*. В пределах каждого КЭ толщина постоянна, а перемещения изменяются по линейному закону. К числу п КЭ относятся стенки лонжеронов и нервюр, а также панели верхней поверхности крыла. К числу т элементов относятся нижние панели крыла, для которых необходимо выполнить требования механики разрушения и при этом обеспечить максимальную жесткость крыла.

Предполагается, что участки конструкции не теряют устойчивость. Для оценки хрупкого разрушения каждого у-го КЭ из т КЭ (/ = лг 1, п + 2, . . . , т) от возможных усталостных трещин условимся наносить прямолинейные сквозные проверочные (тестовые) трещины в центральной части каждого /-го КЭ. Если мембранные КЭ четырехугольники, то центральной частью считаем для определенности место пересечения его диагоналей. Тестовую трещину в каждом /-м КЭ будем наносить в центральной части КЭ в следующем направлении (здесь и далее везде используем местную систему координат х, у для каждого КЭ).

В направлении, перпендикулярном растягивающему напряжению ох, которое действует в направлении оси х. В этом положении тестовая трещина подвергается нормальному разрыву от зх и поперечному сдвигу от касательных напряжений т*, у, которое действует на КЭ в осях х, у.

Введем следующие обозначения:

5/—площадь мембранного КЭ, аппроксимирующего работу г-й верхней панели стенки. Здесь и далее везде /=1, 2, ...,«; бд, ■1 — постоянная в пределах г'-го КЭ толщина при Д^-й итерации;

®л?+1, г — постоянная в пределах /-го КЭ толщина при N-{- 1-й итерации;

6у—площадь мембранного КЭ, аппроксимирующего работу /-й нижней панели. Здесь и далее везде у'= п 1, п + 2, . . . , т;

Ддг у—постоянная в пределях у-го КЭ толщина при Л^-й итерации;

, у- — постоянная в пределах у-го КЭ толщина при УУ+Ьй итерации;

ах N / — нормальные напряжения ах в направлении местной оси х для у-го КЭ при А-й итерации. Аналогично <зх дг ,• для /-го КЭ;

З.г Л'-Ц у—нормальные напряжения ах в направлении местной оси х для у-го

КЭ при N + 1-й итерации. Аналогично ах ■ для /-го КЭ;

д,, у — нормальные напряжения ау в направлении местной оси у для у-го

КЭ при А-й итерации. Аналогично ^ ,• для /-го КЭ; а дг_|_1 ] — нормальные напряжения су в направлении местной оси у для у-го КЭ при N + 1-й итерации. Аналогично чу ^+1 . для /-го КЭ;

Тху /V у—касательные напряжения 1ху в местных осях х, у для у-го КЭ при Л^-й итерации. Аналогично 1ху дг 1 для /-го КЭ; гХу ЛЧ-1 / — касательные напряжения тху в местных осях х, у для у-го КЭ при

N + 1-й итерации. Аналогично тху ;У+1 для /-го КЭ;

*Л- ДГ, ') — ах. Л?, jAN, ) — (1 ■1)

погонные усилия для А-й итерации от ах Л, ■ в у-м КЭ, вычисленные при Дд, у. Аналогично хЛ._ 1 для /-го КЭ с заменой Ддг_

на ЪЫ' {,

* ЛГ, N. ) ~~ °у, /V, / ДЛ\ у — (1.2)

погонные усилия для А-й итерации от ау> ^ , в у-м КЭ, вычисленные при Дд, Аналогично У ^ д, ■1 для /-го КЭ с заменой Дд^ ;

на 5дг^ • ;

ТN. к, у = у, д\ / ДА', ] ~~ (1.3)

погонные усилия для А-й итерации от т Л7< ■ в у-м КЭ, вычисленные при Дд, .. Аналогично 7™дг 1 для /-го КЭ с заменой Дд, ■ на 5^ г;

ЛЛ'+1. ЛГ+1, ) — с-г, Л’+1, у йлг+1, / “ (1-4)

погонные усилия от д,+1 . на N + 1-й итерации в у-м КЭ. вычис-

ленные при Ддг^^у. Аналогично -Гдг+1 д, + 1 1 для /-го КЭ с заменой

дл/-н, / на йДГ+1. />

^ + 1. ЛГ+1, У = 3у, Л’Ч-1. 1 ДЛ’+1, / — (1.5)

погонные усилия от ау дг_|_1 у на 1-й итерации в у-м КЭ, вычисленные при Ддм ь .. Аналогично Л7+1 / Ддя *“го КЭ с заменой

длЧ-1, у на 5Л7 +-1, /’

^ЛЧ-Ь Л7+1. у = тлгу, ЛГ + 1, у АЛ/ + 1, у “ (1.6)

погонные усилия от т_ у на N1-й итерации в у-м КЭ, вычисленные при Ддг,! Аналогично 7^+1 дг+1> 1 для /-го КЭ с заме-ной Ду+1> у на 0д, + 1 /;

^ЛГ+1. N,/==ax, М, / АЛГ+1,у — (1.7)

погонные усилия ОТ а^. ^ у В у'-М КЭ, вычисленные при Ддг+1/-;

Глг+1. лг, У =ау, л^. у АЛЧ1,/~ (1.8 )

погонные усилия от ^ у в у-м КЭ,'вычисленные при Д,у+1 р

^N+1, АТ, / = тху, N. у АЛ/+1, / — (1.9)

погонные усилия ОТ ЪХУ' дг^ у в у-М КЭ, вычисленные при Ддл^1 у,

им, N,1= '2И\ 1 ~ (,л0)

^ А, у

энергия деформации у-го КЭ, вычисленная при у- и Ду у на УУ-й итерации, где

?2У, / = /V, у + ^Л\ ;У, у — 2^Л7, Л7, / Л^, У "+ 2 0 + Iх) у»

= с-1»

2/:оуУ. /

энергия деформации /-го КЭ, вычисленная при /?уу . и Д^ д. на ДГ-й итерации, где

^л\ / — лг, / + /V, / ~ 2^лг. /V. / >4 дг, / + 2 (1 + Iх) ?л\ Д7, /I

п

ГТ — *" + 1. / 5/ _ ,, 19ч

Чу+1, лг+1, / —

^аАЧ-1,У

энергия деформации у-го КЭ, вычисленная при у и Ау , 1 у- на

N + 1-й итерации, где

+ 1, /^^АЧ-1, ЛГ+1. У + ^#+1. ЛЧ1, У — 2^Л7 + 1, ЛЧ-1, / ^+1, Л’ + 1, У ”*~

+ 2(1 +[х) 7*+1в дг+1,/

тт — ^4-1, * /|

^АГ+1, ЛЧ-1. I ~ --------- “ 1КМ>

*£°/¥ + 1, I

энергия деформации /-го КЭ, вычисленная при /?дг+], ,• и о^+1 на А^+1-й итерации, где

ЛГ+1, I = ^ЛГ + 1, ЛЧ-1, / + ^ЛГ+1, ЛЧ-1. * “ 2^Л7 +1, Л/ + 1, / ^ЛЧ-1, ЛГ+1, / +

-+- 2 (1 + [*) ^+1# ДГ+1> {у

иЫ, и, } = 2е1 1 1' (1'14)

энергия деформации у-го КЭ, вычисленная при Яд^у и АлЧ-1, у»

^лг+1, лг. / = 2£%’ ‘ ' — (,-15)

^°д г 4-!, I

энергия деформации /-го КЭ, вычисленная при и &у+1,

/ — заданная полудлина сквозной тестовой трещины в у-й панели, которую можно обнаружить при эксплуатации;

^1, Л7+1. уу, у = алг, Л7, *1 = Л Д7> V — С1-16)

аЛ7+1, у

коэффициент интенсивности напряжений /С, нормального разрыва, вычисленный ДЛЯ тестовой трещины В /-М КЭ при Л’д j И Адг^.! у*,

*11. ЛГ+1. /V, У = тху, N. / У711 == д ' ; У ~ (1-17)

коэффициент интенсивности напряжений /Сц поперечного сдви-

га, вычисленный для тестовой Трещины В у-М КЭ при 1ху д- j

и АЛГ+1, у

Для ТеСТОВОП Трещины В каждом /-М КЭ При усилиях Хм+1, N. у; Тм+1, л\ у А^-й итерации и толщинах 8уу+1,у М+1-й итерации потребуем выполнение критерия локального разрушения Г. П. Черепанова в его частном виде, в форме равенства (см. [1], стр. 255):

(К\, ЛГ + 1, Л\ у + К\\, N+1, А^.у)2 + 4АГ?, ЛЧ1. Л\у /Си, ЛЧ1, N.. у — Л ‘ =0’, (1-18) здесь

К=У~Щ~— (1.19)

критический коэффициент интенсивности напряжений (см. [1], стр. 200—201), где ^ — удельная необратимая работа образования поверхностей трещины, равная

А д; 11

Тс ' д ’ 1 при ДлЧ-1, /< Д;

Т1 г 1 (тг — 71 с) ~х~~- при Д#+1. У > д.

*N+1. у

(1.20)

Величина А (см. [1], стр. 502) представляет собой толщину /-й панели, соответствующую максимальному значению 7 = величина 7, с — наименьшее значение 7 (для толстых пластин).

к^

(1.21)

,с 2 Е ’

Т1С=^4^!1, (1.22)

где Кс и Л”, с — критические коэффициенты интенсивности напряжений для плоско-напряженного и плоско-деформированного состояний трещины.

Подставляя (1.16), (1.17) в (1.18) с учетом (1.19)—(1.22), (1.7), (1.8), получим два значения Л,, Д2 для Длг+1,у, при которых выполняется критерий (1.18):

4. = +у/л-^. ('-23>

-[*?-*?«( 1 - :х2)1 А + \/Г\к]- к\с( 1 - !х2)]2 Д2 + (1 - У^~

Д2= -----------------------------------------------------,(1,24)

2/^(1-^)

где |/л77 = ^ V (Лй.У + П, у)2 + 4^, 7л-, , .

6—-Ученые записки* № 2 81

Если Л!'#,/<0, то при подсчете \ Аы% / нужно использовать у = 0, так как происходит смыкание трещины. В зависимости

от значений величин Д1? Д2, А величина Ан+и принимает следую-

щие значения:

^N+1,1=^ при Д,<Д; (1.25)

Адг+1, / = Д2 при А 1 Д. (1.26)

2. Постановка задачи. Пусть известны толщины о.у, /, Д.у,/, заданные произвольно с выполнением условия постоянства объема:

п т

У>,/5г+ V АЛ. ! Б] — V;

1=1 ]=п+1

здесь V — заданный объем силового материала.

Пусть известны усилия /?лг,/, RN.fi полученные из конечно-элементного расчета конструкции при толщинах о^.г, А,у,/.

Необходимо указать такой алгоритм отыскания толщин 8^+1§/-, А^+1,/> ПРИ котором выполняются следующие условия:

1) условие сходимости по энергии

п т п т

У. их+1, л', / + 2 ^у+1, лг, / ^ ^ ^ 1 Н“ 2 дг’ ^ ^)

/ = 1 /=«-[-1 / = 1 ]-П +1

п т п т

^ЛГ+1. ЛЧ1, I Т ^ ^ДЧ1. АЧ1, У ^ ^ ^/У+1, ЛГ. / + ^ ^+1, Л\ /, (2.2)

г—1 / = /2—{-1 /—1 /=«+1

т. е. условие непрерывного уменьшения энергии деформации;

2) условие постоянства объема силового материала

п т

У олч-1,/5; -ь ^ А,\чп / 5у= 1/; (2.3)

г =1 /=я+1

3) критерий локального разрушения (1.18).

При решении поставленной задачи используем следующие основные допущения и ограничения:

— при К\, лч-1, и, / =^= 0; ЛГн,Л7-4-1, лг, у ф0 начальный дефект— трещина полудлиной /0 — развивается по некоторой криволинейной траектории до реальной трещины, суммарная длина участков которой равна 21. Предполагается, что тестовая прямолинейная трещина длиной 2/, используемая в расчете, по разрушающей способности не менее опасна, чем реальная трещина;

— иолудлина тестовой трещины / и нагрузки на конструкцию

таковы, что о*. <0,830.2, гДе ао, 2 -напряжение текучести матери-

ала у-й панели, т. е. можно использовать критерий (1,18);

—- изменением способности у-й панели передавать усилия Х\\ д*.у, при нанесении тестовой трещины пренебрегаем;

— экспериментально определяемая величина А, вообще говоря,

К

зависит (см. [1], стр. 149) от отношения 1’ЛГ+ЬАГ'/ ^ однако этой

ли, N +1, N. у

зависимостью пренебрегаем и считаем везде А постоянной величиной;

— предполагается, что в итерационном процессе нет ситуации,

т

когда V Длг+В противном случае необходимо увели-

/=л+1

чить заданный объем V.

3. Решение задачи. Рассматриваемый ниже алгоритм обеспечивает такой выбор 8N+1,1, Длг+1,/, при котором:

а) энергия деформации фиктивного состояния конструкции

п т

У £/лц-1, л/, * + У 1.ЛГ,/,

I /=л+1

вычисленная при 8^+1>|-; Длг+1,/; Их, С, /> принимает минимальное значение при ограничениях (2.3), (1.18);

б) энергия деформации конструкции на М+ 1 итерации

« т

У £Лу+1, Л-’ + М + ^ ^+1 -Л7+1.У,

/=1 /=я + 1

вычисленная при 8,у+1, Г, Длг+1, /; /?лг+1. Г, /?лг+1, /, принимает минимальное значение согласно началу наименьшей работы (см. [3), стр. 599): „из всех напряженных состояний тела, статически соответствующих заданной внешней нагрузке тела, условиям сплошности удовлетворяет то единственное, которое обращает потенциальную энергию деформации тела в относительный минимум44. Точность выполнения уравнений сплошности при толщинах 8дг+1> /; Длч1,у и усилиях /?лг+1,/; /?лг+1. / зависит, очевидно, от выбранной конечно-элементной идеализации конструкции.

Задача минимизации энергии деформации фиктивного состояния конструкции

п т п г)2 о т г)2 о

Х^/7 I ГГ V1 I 1 | V1 ", / /

X ^+1> / ■+ 1 ия+и Л'. / = N —-- + N Щ—

1=1 у=п+1 1=1 уУ+1- 1 /=/2+1 лг-Н,/

но переменным 8дг+1|/, Дуу+1,у, при ограничениях (2,3), (1.18), экви-

валентна задаче минимизации энергии

п т

У и^\г\% N. / + У Аг, у

* = 1 /=/2 + 1

только по переменным 8у+1, I при ограничениях (2.3), если толщины Ауу+1,у найдены по формулам (1.25), (1.26). Решение указанной задачи получим по методу множителей Лагранжа:

ТП

1/- ^ Д-У + 1, у 5;

5#+1.« = /?лг. /-----------------------------------^- , (3.1)

2 — 1

где значения Дл?+1,/ , удовлетворяющие критерию локального разрушения (1.18), определяются по формулам (1.25), (1.26).

После окончания итерационного процесса, т. е. когда

п тп пт

У£Лу+1, ЛГ+1, I + У £/лг + 1, ЛГ+1, у — У иЫ, ЛГ, I — 2 лг,;

г = 1 /=я+1 /=1 у*=я + 1

(г — наперед заданное малое положительное число), определяются напряжения в каждом элементе конструкции, которые соответствуют распределению толщин (3.1). При известных напряжениях, начальной длине трещины 2/0, конечной длине тестовой трещины 21 можно определить число п/ пульсирующих циклов (например, по формуле Пэриса или формуле Г. П. Черепанова [1]), после приложения которых тестовая трещина приведет к хрупкому разрушению /-й нижней панели. Интервал времени до первого после начала эксплуатации конструкции осмотра для обнаружения возможных трещин необходимо определять С учетом найденного пр

№ итера- ции 5Л\ 1 2 л 3 У N. N, 1 + Jr^N, N. 2 + JГUN, /V, 3 Уы +1, N. 1 + + УЫ+\^, 2 + + ^N+1, N. 3 ^Л7-+1, ЛГ+1, 1 + + ^4-1,Л7+1,2+ + ^Л/+1, ЛЦ-1, 3

мм даН-мм

1 3 3 3 48489,09

46030,22

2 3,257399 3,053728 0,1850214 45918,62

3 3,20778 3,119859 0,1057294

Используя все принятые выше обозначения, рассмотрим в качестве иллюстрации применения предложенного алгоритма задачу отыскания толщин 8дг>ь 8#>2, з участков тонкостенной трубы (см. рисунок) максимальной жесткости, которая скручивается моментом М= 16* 106 даН-мм и имеет следующие геометрические размеры: длина трубы 1 = 294 мм, длина кривой аЬс I, = 1840 мм, длина кривой ас1с /,о= 1390 мм, длина участка ас £3=195 мм; площадь, ограниченная контуром аЬса, Бх = 164-103 мм2; площадь, ограниченная контуром ас!са, Б2 = 114,3-103 мм3.

Для материала трубы приняты следующие значения постоянных: Е = 0,7-104 даН/мм2; ^ = 0,3; Д = 4мм; ус = 4,82 даН/мм; ъс = = 1,2 даН/мм.

Тестовая трещина полудлиной /=10 мм (2/ <С/-3) наносилась в центральной части внутренней стенки трубы толщиной Дд\з в направлении, перпендикулярном главному растягивающему напряжению, которое возникает от касательных напряжений т-Ху,ы, з, воспринимаемых этой стенкой. Объем силового материала V —

— 30,2085-105 мм3.

Из результатов расчетов, приведенных в таблице, видно уменьшение энергии деформации, вырождение толщины стенки Дд\3 практически на второй итерации (IV= 2). Таким образом, если исходить из возможности возникновения трещины в средней, плохо просматриваемой при эксплуатации стенке, то из условия работоспособности конструкции максимальной жесткости следует предусмотреть суммарное усиление крайних стенок примерно на 10%.

ЛИТЕРАТУРА

1. Черепанов Г. П. Механика хрупкого разрушения. М., „Наука”, 1974.

2. Комаров В. А. О рациональных силовых конструкциях крыльев малого удлинения. Труды КуАИ, вып. XXXII, 1968.

3. П ап ков и ч П. Ф. Теория упругости. Л.— М., Оборонгиз,

1939.

Рукопись поступила 181VIII 1978 г.