CC BY
23
© В.П. Фраичук, А.В.
А.И. Егуриов, 2002
УЛК 622.742:622.363.6
В.П. Фраичук, А.В. Аициферов, А.И. Егуриов
ОПРЕЛЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ МЕЛКОЯЧЕИСТЫХ ОРЕБРЕННЫХ РЕЗИНОВЫХ СИТ
Практикой доказано, что проблемы повышения износостойкости просеивающей поверхности и увеличения эффективности грохочения для многих материалов решаются использованием резиновых сит [1, 2]. Рабочая поверхность их изготавливалась из резиновых лент или струн и основное применение они получили для среднего грохочения. В настоящее время резиновые сита используются также для просеивания мелких классов. В этом случае они выполняются в виде резиновой пленки с просечками длиной до 10 мм и шириной до 0,5 мм. Для придания такому ситу жесткости оно имеет выполненные за одно целое с мембранной продольные и поперечные ребра. Естественно, что перед установкой их на грохот требуется определить собственную частоту колебаний этого изделия и влияние на нее присоединенной нагрузки в виде грохотимого материала. В настоящей работе рассматриваются два метода расчета собственной частоты оребренного мелкоячеистого резинового сита.
Рассмотрим сито как пластину без просечек с размерами з, Ь и И, подкрепленную конечным числом ребер в двух направлениях. Крепление его к грохоту примем соответствующим расчетной схеме пластины, опертой по контуру. Для определения собственной частоты колебаний применим энергетический метод [3]. Выражение для изогнутой поверхности пластины принимаем в виде
м(х,у, і) = Ш (х,у) 008 ю і.
(1)
Жесткостные характеристики сита таковы, что обеспечивают только первую форму колебаний поверхности при частотах колебаний короба. Определим основной тон колебаний, который имеет место при т= 1, п = 1. Уравнение частоты составим по методу Релея - Ритца. Для этого возьмем максимальные значения потенциальной и кинетической энергии пластины и ребер и составим условие обращения в минимум их разности. Согласно [3] выражение для определения собственной частоты пластины, подкрепленной ребрами имеет вид
(2)
х у ^ в у У ^
2=1
2=1
Р
2 тгх2 рИаЬ
віп2 L + —-------------.
а 2
М = -
Б =
ЕИ
2=1
3
Е. 2 пх2
віп —-
а
12 (1 -м?
цилиндрическая жесткость; м - ко-
эффициент Пуассона; Е- модуль Аиииферов, упругости; 1х, 1у, Гх, Гу - моменты инерции и площади поперечных сечений ребер, параллельных осям х и у г и р - количество ребер, параллельных осям х и у <Зх = рЕхЬ и <Зу = рГу а - масса ребер, параллельных осям х и у.
Рассмотрим следующий метод, предложенный в [4]. Обозначим перемещения ребер и пластинки как №г = № (х , у ), №(х/ , у), №= №(х, у). Аналогично будем рассматривать и зависимость от соответствующих переменных статической внешней нагрузки р*: рг* = р*(х , у ), рр = р*(х, , у), р* = р*(х, у). Применив принцип возможных перемещений к изгибу пластинки и ребер поперечной нагрузкой интенсивности р*, получим вариационное уравнение в форме Галеркина
К ■■
У1
I=10
ЕІ.
д4Шг дх 4
+
№
У4Ш
д <іх + У | 2=1 0
- р*)д1¥ dx dy = 0 .
д4ШР
ду 4
(3)
Используя принцип Даламбера, получим вариационное уравнение колебаний пластинки
г а
УI
2=1 0
ЕІ,
дУ
дх 4
+ Ррх
+ рру
дУ
ді 2
дУ ді2
дл> йу +
дм йх + У! 2=1 0
||(р У4м - р)
(5)
ЕІу
д4Wp
дх 4
У м - p I дм dx dy = 0 .
(4)
Здесь переменные ш и р зависят также и от времени. Далее согласно метода Галеркина можно записать
м(х , у, і ?= УWm (х, у ?vm (? дм(х, у, і ? =
m =1
= УШт (х, у )д’т Х).
(5)
=1
где функции №т(х, у) должны удовлетворять граничным условиям.
Подставим (5) в (4) и после преобразований с учетом того, что вариации 5к1, ... , Ъук , ... , 8уп независимые, получаем систему из п уравнений
д\
(і)
ді2
+М тк^т Х)-^к () = 0,
^тк
т =1
к = 1, 2, ... , п. (6)
Для свободных колебаний система (6) становится однородной
^У^тк
т =1
д2к
(і)
ді2
+Мткут ()-0, к = 1 2, ••• ,
(7)
+
т
2
+
+
3
2
Ь
2 =1
Используем систему (7) для определения частоты собственных колебаний подкрепленной пластины. Ограничиваясь первыми членами рядов для формы изгибных колебаний, можем записать
г - 1 2 Г11 -Т a11
Qx Ё
г-1
sin2 пУу- + b
р
Qy Ё Sin г-1
пхг ab ,
—г- +— ph a 2
Л
(8)
4 r
4 p
x 3 a г-1
b3 г-1
ab 4„ f 1 1
+ —n D\— +
2
2
b
(9)
Используя (7) для определения собственной частоты получаем
2
о Гц -11.
(10)
Сравнивая (10) и (2) видим, что используемые в выражениях коэффициенты отличаются на одинаковый постоянный множитель. Т.е. мы пришли к одному и тому же выражению двумя разными способами. Отметим, что полное совпадение выражений вызвано граничными условиями типа опира-ние по контуру, которые единственные из всех возможных условий дают точное и простое решение задачи. Остальные случаи опирания являются более сложными.
Покажем это на примере, соответствующем жесткому опиранию по контуру. Возьмем приближенное выражение для прогиба в форме
w(x ,y,t)-W (x ,y)v(t)-x 2 y2 (x - af(y - b)2 cos at, (11) которое удовлетворяет граничным условиям. Выражения для перемещений ребер будут иметь вид
W (x, yг) - x 2y2 (x - a)2 (y- - b) ,
W {x-,y)- X-y{x- - a)x - b) . (12)
Коэффициенты L11 и M11 в (11) имеют вид
a9px Ёу4 - b)4 + b9Fy Ё^ (xг■ - a)4 +
L
11:
P
630
99 a b h
г-1
г-1
630
Mu -
5EIx ЁУ4- b)4 + b5EIy Ёx4x, - a)4
г -1
г -1
+—D a5b5 {la4 + 4a2b2 + 7b4 4410 '
(13)
После подстановки этих выражений в (10) определяется собственная частота пластины с жесткой заделкой контура.
Теперь получим аналогичные выражения для Ь и М в (2), используя энергетический подход [3]
М -■
5
5eIx ЁУг4 ^ - b)4x + b5EIУ Ёx-4 ^ - a)4
г -1
г -1
^a4 + 4a2b2 x - ц) + 7b4 )
+—D a5b5 |7a4 + 4a2b211 -, 4412
(14)
L
P
1260
aFx Ёу4 (у>- b)4 + b9py Ё x4 (xг- a)4 +
a9b9h
630
г=1 г-1
Сравним выражения (13) и (14). Если не принимать во внимание отличие на постоянный множитель, который не влияет на значение собственной частоты, то можно отметить следующее. Значения коэффициентов / и /.11 не изменилось, а коэффициентов М и М11 изменилось в слагаемом, которое отвечает колебаниям пластины. Определим отличие между этими коэффициентами для какого-то конкретного случая. Рассчитаем собственную частоту колебаний резинового сита со следующими параметрами:
а = 0,27 м; Ь = 0,24 м; И
0,002 м; Fx = Fy = 210-5 м2;
EL
: EIy = 4.16710-
Е = 2107 Па; r = 4; p = 9;
p = 2103 кг/м3; |i
0,5.
Расчеты по этим исходным данным показывают отличие между параметрами Ми М11 на 4 %. На собственную частоту колебаний такой разброс практически не оказывает влияния. Ее значение получается по (13) 60,55 1/с и по (14) 58,1 1/с. Анализ этой части работы показал, что проведение преобразований для подготовки к машинному счету по второй методике более простое. Кроме того согласно [4] вторая методика дает более точный результат для пластины. Поэтому при вводе дополнительных уточняющих факторов, которые одновременно и усложняют выражения, путь решения по [4] может оказаться более точным. Конечно данное предположение еще ожидает своего доказательства. Но все сказанное выше, это только первая часть задачи.
Отличительной особенностью рассматриваемой задачи является большая эластичность материала пластины. Вследствие этого для обеспечения нормальной работы просеивающей поверхности и транспортирования материала по ней, необходимо обеспечить достаточную жесткость. Дополнительно к имеющимся ребрам увеличение жесткости сита достигается предварительным натяжением поверхности в горизонтальной плоскости с относительной деформацией 8. Величина деформации достаточно мала, т.е. не приводит к изменению поперечного сечения пластины и ребер (даже при учете того, что резина как конструкционный материал имеет коэффициент Пуассона ц = 0,5. Считаем, что пластина, ослабленная просечками, по своим геометрическим и жесткостным характеристикам не оказывает существенного влияния на частоту основного тона колебаний. Поэтому рассмотрим сито как сетку, состоящую из отдельных нитей, натянутых вдоль осей х и у и связанных между собой только в узловых точках. Пусть сито растянуто в горизонтальной плоскости усилиями Рх и Ру. Тогда напряжения в ребрах, параллельных осям хи убудут
4
a
+
2
4
a
5
Px
P
bh + rFx
ay =•
y
(15)
х аЬ + Рру
Теперь усилия натяжения в нитях сетки определятся как
Ях = Г Рх , Яу = СГу Гу . (16)
При малых поперечных колебаниях применяя принцип суперпозиции получим уравнение, описывающее движение линейной системы [5]
mo~rr=qx—^+
(l7)
д t2 д x2 ' д у2
где Ш0 - погонная масса сетки (тд - т0
/{ra + pb).
Уравнение решается при следующих граничных условиях
w = 0 при х = 0, х = а, у = 0, у = b. (18)
Уравнение (17) приведем к виду
d2w 2 d2w 2 d2w
• - -----— + А
я 2 х я 2 Уд 2
д t д x д y
(19)
где = Чх^О? Яу = Чу/т0 •
Согласно методу Фурье [6] решение уравнения (19) ищем в виде
ш = Т()Х(х) У(у) .
В развернутом виде это уравнение можно записать как
w = Ceivt sin
Ax
-x +0x
sin
IAy
■y +0
(20)
где V - собственная частота колебаний системы; ух , V, - «парциальные» частоты колебаний системы.
Подставив решение (20) в уравнение (19), будем иметь
V2 = Vх2 + Vу2 . (21)
Частоты vх и уу должны определяться из заданных граничных условий.
Первые два сомножителя в (20) не равны нулю иначе решение было бы тождественно равно нулю. Поэтому из этого выражения с учетом граничных условий (18) получим систему уравнений
Г У+0
Лу
- 0 , sin \ a +0x \ sin
Л
-y +0y
y
= 0,
sin \ x +0
-Ax
sin vy = 0, sin I Ax +0x \ sin
(22)
v ^
Ab+0y
Ay
0.
Для удовлетворения первого и третьего уравнений системы (22) на всем промежутке области значений а и Ь необходимо выполнения условий
sin 0x = 0 , sin 0y = 0 или 0x = 0y = 0 .
(23)
Изменение собственной частоты при дополнитель-
ном
сита
натяжении
Тогда из второго и четвертого уравнений системы (22) с учетом (23)
v
sin — a = 0 , sin—b = 0.
Ax
A,
(24)
Отсюда с учетом (19) и принятого нами условия первой формы изгибных колебаний получим
vx =^ , vy =-^ aa
После подстановки (25) в (21) имеем
v = п
qx
2
qy
b2mo
(25)
(2б)
Используя тот же принцип суперпозиции и учитывая параллельность соединения упругих характеристик сита, представляемых в виде оребренной плиты и растянутой сетки, частоту ее собственных колебаний по первой форме определим как
и
a2 +v2
(27)
или с учетом значений для входящих сюда величин получим
p=
M
11
L
11
2 (
Px
Fx
Py
F
bh + rFx
ah + pFy b
(28)
Исследуем эту зависимость для оценки влияния уровня растягивающих усилий на собственную частоту оребренного сита. Параметры сита оставим прежними (см. выше) и будем варьировать усилием натяжения. Граничные условия примем соответствующими заделке по контуру. Приближенное выражение для прогиба соответствует (11). Изменение собственной частоты колебаний сита показано на рисунке.
Анализ графика показывает, что для сита с выбранными параметрами дополнительный сдвиг собственной частоты колебаний при его натяжении может быть достигнут в пределах до 20 %. На практике этого может оказаться достаточно для создания требуемых условий работы сита. Интересным является и следующий вывод. Так дополнительное усилие натяжения по оси х повышает частоту на 7 %, а такое же усилие по оси у дает повышение на 14 %.
0
v
v
y
2
+
m
0
a
V.
y
sin v„ sin
x
V
1. Елехов М.С. и др. Грохочение влажных углей на струнно-тросовых ситах. - М.: ЦНИИЭИуголь, 1979. - С. 1-16.
2. Червоненко А.Г. и др. Резонирующие ленточно-струнные сита для грохотов // «Строительные материалы». - 1985.- № 2. - С. 29-30.
3. Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем.- М.: Машиностроение, 1970. - 734 с.
4. Галин М.П. О поперечных колебаниях пластинки // «Приклад-ная математика и механика».- 1947.- Том XI. - С. 387-388.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
5. Определение рациональных механических характеристик материала рабочих элементов струнного сита// Известия ВУЗов. Горный журнал. - 1984.- № 10. - С. 117-122.
6. Тихонов А.Н, Самарский А.А. Уравнения математической физики. -М.: ГИТТ, 1953.
КОРОТКО ОБ АВТОРАХ -------------------------------------------------------------------------------------
Франчук Всеволод Петрович — доктор технических наук, профессор, зав. каф. горных машин Национальной горной академии Украины, г. Днепропетровск.
Анциферов Александр Владимирович - доцент, кандидат технических наук, каф. горных машин НГА Украины. Егурнов Александр Иванович- ЗАО АНА-ТЕМС, президент, г. Днепропетровск, Украина.
© Л.Н. Ширин, И.А. Таран, 2002
УАК 625.2
Л.Н. Ширин, И.А. Таран
РАЦИОНАЛЬНЫЕ ПАРАМЕТРЫ ШАХТНОГО ЛОКОМОТИВА СЕКЦИОННОЙ КОМПОНОВКИ
Лп2^затели эффективности работы шахтных ло-ЖмЯивов в значительной степени влияют конст-^кция, и параметры системы подвешивания ходовой части. Кроме этого эксплуатационные характеристики локомотива, такие как сила тяги и торможения, значения динамических нагрузок, устойчивость и безопасность движения зависят от системы подвешивания ходовой части.
Современные магистральные и промышленные локомотивы имеют, как правило, одну или две ступени подвешивания, в каждую из которых в общем случае входят три группы устройств: упругие элементы, которые служат для смягчения динамических нагрузок взаимодействия кузова с колесами экипажа; направляющие устройства, предназначенные для передачи продольных, боковых и вертикальных сил взаимодействия кузова и колесных пар, обеспечивающие заданную кинематику их взаимного перемещения; гасители колебаний, обеспечивающие затухание колебаний подрессоренных масс экипажа путем создания силы неупругого сопротивления перемещению и рассеиванию полученной энергии.
Рудничные локомотивы, имеют лишь одну ступень подвешивания - буксовую. На отечественных локомотивах в основном применяются системы подвешивания с фрикционными вертикальными направляющими элементами, в зарубежной практике применя-
ются и системы подвешивания с упруго-направляю-щими элементами.
Увеличение сцепных весов (согласно существующего типажного ряда), для локомотивов состоящих из одной секции, потребовало перехода на четырехосные экипажи, например, электровоз 25КР, с двумя поворотными тележками. Подрессорива-ние каждой тележки таких локомотивов осуществлялось с помощью продольных коромысел и цилиндрических пружин. В виду сложности конструкций тележек локомотивов в последние годы такие машины для условий угольных и рудных шахт не изготовляются, а увеличение сцепных весов идет по пути создания модульно-тележечных и секционных локомотивов. Опытный образец мо-дульно-тележечного локомотива Э10, разработанный в Национальной горной академии Украины, оборудован центральной и буксовой системами подвешивания с поводковыми направляющими для улучшения эксплуатационных характеристик. Это решение усложнило конструкцию данного узла машины, одновременно повысив требования к его надежности. В настоящее время, ведутся работы по созданию шахтного секционного локомотива с шарнирным соединением секций и диагональными упруго-диссипативными связями-креплениями (для обеспечения необходимой устойчивости при вписывании в кривые малого радиуса, характерные для шахт Донбасса) между секциями, с традиционной буксовой системой подвешивания.
Для оценки поведения данной механической системы воспользуемся традиционным описанием пространственных колебаний рельсового экипажа, представленного как дискретная нелинейная механическая система, состоящая из твердых тел, соеди-
