Определение рационального состава грузоподъемных механизмов с применением теории игр Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

11. .Щёкин А. А. //Исследование углеродных наноструктур комбинированным методом атомно-силовой микроскопии и спектроскопии комбинационного рассеяния / Автореферат / Зеленоград. - Москва, 2011. - С. 18.

УДК 69.06:658.012.2

ВИЗНАЧЕННЯ РАЦЮНАЛЬНОГО СКЛАДУ ВАНТАЖОП1ДЙОМНИХ МЕХАН1ЗМ1В 13 ЗАСТОСУВАННЯМ ТЕОРП 1ГОР

С. Ф. Курта, асп.

Запор1зька державна тженерна академ1я

Ключовi слова: теор1я ¡гор, техтко-економ^чна модель, висотш виробнич1 буд1вл1, варт1сть гри, адлова точка

Актуальшсть теми. Необхщшсть проведення кшьюсного анатзу фiнансово-економiчних ситуацiй та прийняття на !х основi управлiнських рiшень i зумовила використання спещальних економiко-математичних методiв обгрунтування рiшень в умовах ринково! невизначеносп. Часто у будiвельному виробництвi з'являеться потреба у вирiшеннi питань з конфлштними ситуацiями за допомогою методiв, що дозволяють знаходити кiлькiснi характеристики економiчних процесiв i мають переваги в обгрунтуванш рiшень порiвняно з шшими методами.

Постановка проблеми. При проектуванш виконання робiт iз зведення висотних виробничих будiвель в рiзних граничних умовах дiючого виробництва число можливих варiантiв вибору провiдних механiзмiв для монтажу конструкцiй зазвичай невелике. Це зумовлено тим фактором, що в складних умовах ддачого виробництва вкрай складно пщбрати стоянки крана (комплекпв крана) i тим самим пiдбiр кранiв виконуеться «пiд мюце» iз забезпеченням технiчних вимог монтажу. Така ситуащя не дозволяе ютотно збiльшити коло розглянутих вантажопiдйомних механiзмiв для забезпечення економiчно доцiльного !х використання при монтажi будiвельних конструкцш. Проте навiть у таких жорстких граничних умовах вибiр комплекту засобiв мехашзацп вкрай важливий.

Аналiз публжацш. Для вирiшення вказаних проблем пропонуеться використання теори iгор - роздшу прикладно! математики, який використовуеться в сощальних науках — економiцi, бюлогп, полiтичних, комп'ютерних науках (головним чином для штучного штелекту) i фшософи. Вперше математичнi аспекти теори були викладенш в класичнiй книзi 1944 року Джона фон Неймана та Оскара Моргенштерна «Теорiя iгор та економiчна поведiнка». Наведенi у втизнянш [1; 2] та iноземнiй [3 - 5] лiтературi методи та моделi визначення оптимальних рiшень в умовах конфлш^в розглядають умови застосування теори iгор в основному в економiчнiй галузi та маркетингу. Застосування теори конфлiктних ситуацiй при визначенш оптимальних методiв оргашзаци та технологи бущвництва висвiтлене вкрай обмежено.

Видшення не вирiшених ран1ше питань. Запропоноваш ранiше методи [6; 7] вибору оптимальних складiв механiзмiв для бущвництва багатоповерхових споруд застосовувались на пiдборi технiчних даних механiзмiв та порiвняннi !х цiнових характеристик мiж собою. Питання розподшу машино-годин та !х вартостi мiж пiдiбраними (за техшчними характеристиками) механiзмами в обсязi затверджено1 Замовником кошторисно1 документацil не розглядалось.

Формулювання цшей. Розробити ефективну модель визначення оптимальних комплекпв вантажопiдйомних механiзмiв в обсязi технiко-економiчних умов, затверджених Замовником.

Основний матерiал дослiдження. Роздш математики, що вивчае конфлiктнi ситуаци на основi !х математичних моделей, називаеться теор!ею ¡гор. Таким чином, теорiя iгор - це математична модель конфлштних ситуацiй, що розробляе рекомендаци з найбiльш рацiональним способом дш кожного з учасникiв гри. Тобто таких дш, якi мають забезпечувати !м найкращий результат. 1грову схему можна надати багатьом ситуащям у будiвельному виробництвi. Розглянемо матричну гру з оптимальними змiшаними стратепями. Головним у розглядi iгор е поняття оптимальних стратегiй гравцiв. У цьому понятп вкладено такий змют: стратегiя гравця е оптимальною, якщо застосування ц1е1 стратегil забезпечить йому найбшьший гарантований виграш при рiзних стратегiях iншого гравця. Виходячи з цих позицiй, перший гравець розглядае матрицю А сво1х виграшiв

А=

' a11.........a1 j...........a1n л

(1)

У am1.........ami..........amnj

таким чином: для кожного значення i (i = 1, 2,...., m) визначаеться мiнiмальне значення виграшу залежно вщ прийнятих стратегiй другого гравця

min aij (i = 1,2,,,,,,,m), (2)

так що визначаеться мшмальний виграш для першого гравця за умов, що вiн застосуе свою i-ту чисту стратегiю, дат з мiнiмальних виграшiв знаходимо таку стратегiю, при котрiй цей мшмальний виграш буде максимальним, тобто знаходимо

max min aij = а . (3)

Число а, визначене за формулою (3), мае назву нижня eapmicmb гри та показуе, який мшмальний виграш може гарантувати w6i перший гравець, застосовуючи сво! чисп стратеги за рiзноманiтних дш другого гравця.

Другий гравець при оптимальнш сво!й поведiнцi мае прагнути завдяки сво!м стратегiям максимально зменшити виграш першого гравця. З ще! причини для другого гравця знаходиться

max aij. (4)

Таким чином, визначаеться максимальний виграш першого гравця, за умови, що другий гравець застосуе свою i-ту чисту стратепю, шсля цього другий гравець вщшукуе таку свою стратепю, при якш перший гравець отримае мшмальний виграш, таким чином знаходять

min max aij = ß. (5)

Число ß, визначене за формулою (5), називаеться чистою верхньою вартiстю гри та вказуе, який максимальний виграш може w6i гарантувати перший гравець. 1ншими словами, застосовуючи сво! чисп стратеги, перший гравець зможе забезпечити ra6i виграш не менше а , а другий гравець завдяки сво!м чистим стратепям зможе не допустити виграшу першого гравця бшьше шж ß.

Якщо у ipi з матрицею А нижня та верхня чисп цши гри зб^аються, а = ß , то кажуть, що ця гра мае сщлову точку в чистих стратегiях та чисту вартють гри :

V = а = ß.

Сщлова точка - це пара чистих стратегш вiдповiдно першого та другого гравця, при яких досягаеться рiвняння а = ß . Пара чистих стратегш першого та другого гравщв, яю утворюють сiдлову точку та сщловий елемент, називаеться ршенням гри.

Якщо гра не мае сщлово! точки, то застосування чистих стратегш не дае оптимального ршення гри. У цьому випадку визначаеться змшана стратегiя. Для розв'язання задач зi змiшаними стратегiями застосуемо метод розв'язання матрично! гри за допомогою лшшного програмування. Цей метод припускае, що цша гри позитивна. Ця умова не порушуе спшьносп, тому що зпдно з теоремою 2,9 [1] завжди можливо пiдiбрати таке число с, додавання якого до вшх елемеипв матрицi виграшiв дае матрицю з позитивними елементами, а також iз позитивним значенням вартосп гри. При цьому оптимальнi змшаш стратег^ обох гравцiв не змiняться.

Розглянемо матричну гру з матрицею А = (aij) порядку m х n. Зпдно з результатами з

теореми 2,4 [1] оптимальш змшанш стратег^ х = (x1...xi.....xm),y = (y1....yi.....yn) вiдповiдно

першого та другого гравцiв та вартостi гри V повиннi задовольняти вiдношенням :

m m

^ xi = 1, xi > 0 (i = 1, 2,......, m) ^ aijxi > v (j = 1, 2,....., n) (6)

i=1 i=1

n n

^ yj = 1, yj > 0 (j = 1, 2,......., n) 2 aijyj < V , (i = 1, 2,....., m) (7)

j=1 j=1 Виконаемо дiлення усiх зрiвнянь та нерiвностей (6), (7) на V (це можливо зробити, тому що ми зробили припущення, що V У 0), та введемо позначення:

Xi Vj

— = pi (i = 1,2,...,m), qj (j = 1,2,....n), v v

Отримаемо вiдповiднi вiдношення (6), (7) у такому виглядк

1

У Pi = -, У aijpi > 1, pi > 0 (i = 1,2,...., m); 1=1 v 1=1

n 1 n

Уqj = -, Уaijqj <1, qj > 0 (j = 1,2,....,т).

j=1

j=1

Осюльки перший гравець намагаеться знайти таю значення xi та вiдповiдно pi, щоб вартють гри v була максимальна, тодi розв'язання першо! задачi зводиться до пошуку таких значень pi, при яких

m

У pi ^ min, У aijpi > 1.

(8)

Другий гравець намагаеться знайти таю значення yi та вщповщно qj , щоб вартють гри v була найменшою. Тодi розв'язання друго! задачi зводиться до пошуку таких значень qj, при яких

n n

У qj ^ max, У aijqi < 1. (9)

j=1 j=

У результатi перетворень ми отримали двояю одна однiй задачi лшшного програмування. Для розв'язання задач такого типу найкраще застосувати симплекс-метод. Знайшовши

розв'язок таких задач, отримаемо значення pi(i = 1,2,....., m), qj (j = 1,2,..., n) та v. Тодi

змшанш стратеги, тобто xi та yj, знаходять за формулою:

xi = vpi (i = 1,2,.... m); (10)

yj = vqj (j = 1,2,.... n). (11)

Дана шформащя наведена для розумшня процеав, яких потребуе задача.

Розглянемо приклад задачi вибору оптимального складу вантажошдйомних механiзмiв. Зпдно з кошторисною документащею для монтажу металоконструкцш промислово! споруди загальна вартiсть машино-годин вантажопiдйомних механiзмiв прийнята в обсязi 251 243 грн. Кошторисна кiлькiсть машино-годин 701. Проектом виконання робгт розглянутi варiанти монтажу металоконструкцiй трьома видами крашв (рис. 1, 2). Необхiдно визначити оптимальний комплект крашв в обсязi затверджених Замовником технiко-економiчних умов.

Рис. 1 - 2. BapiaHmu монтажу металоконструкцш

За вщомими техшчними даними знаходимо показники витрат машино-годин пращ вантажошдйомних механiзмiв на 1 тонну монтажу рiзних металевих конструкцш споруди, що розглядаються. Визначенш данi зводимо у таблицю.

Т а б л и ц я 1

Марка крана Види робгг Min рядюв

Колони до вщм. +11.00 Колони вище вщм. +11.00 Балки, зв'язки до вщм. +11.00 Балки, зв'язки вище вщм. +11.00 Площадки, огорожа до вщм. +11.00 Площадки, огорожа вище вщм. +11.00

КТА 28 1,3 0 3,17 0 2,42 0 0

СКГ 63/100 2,6 2,8 2,05 2,1 2,8 2,9 2,05

БК 1000 3,04 3,1 2,54 2,7 8,43 8,6 2,54

max стовпщв 3,04 3,1 3,17 2,7 8,43 8,6

Визначаемо нижню та верхня вартють гри. Нижня вартють гри v1 = maxmin(aj) = 2,54; верхня вартють гри v2 = min max(aj) = 2,7 .

У зв'язку з тим, що vi Ф v2, гра не мае розв'язання в обласп чистих стратегiй. На практищ це означае, що недоцшьно використовувати пiдйомнi механiзми одше! марки.

Визначимо оптимальну змiшану стратегiю, яку слщ використовувати для визначення оптимального комплекту крашв. Складемо систему нерiвностей:

Для прямо! задачi: 1.3 х 1 + 2.6 х 2 + 3.04 х 3 > 1 0 х 1 + 2.8 х 2 + 3.1 х 3 > 1 3.17 х 1 + 2.05 х 2 + 2.54 х 3 > 1 0 х 1 + 2.1 х 2 + 2.8 х 3 > 1 2.42 х 1 + 2.8 х 2 + 8.43 х 3 > 1 0 х 1 + 2.9 х 2 + 8.6 х 3 > 1 Z(x) = x1 + x2 + x3 ^ min

Для розв'язання прямо! та двоюто1 задачi використаемо алгоритм симплекс-методу. Викладемо початкову та кiнцевi теращ! для кожно! iз задач. Для прямо! задача

Т а б л и ц я 2

Перша ¡теращя

Для дво!сто! задача

1.3 y 1 + 0 y 2 + 3.17 y 3 + 0y 4 + 2.42y 5 + 0y 6 < 1 2.6 y 1 + 2.8 y 2 + 2.05 y 3 + 2.1 y 4 + 2.8 y 5 + 2.9 y 6 < 1

3.04 y 1 + 3.1 y 2 + 2.54 y 3 + 2.7 y 4 + 8.43 y 5 + 8.6 y 6 < 1 L(у) = y1 + y2 + y3 + y4 + y5 ^ max

Крок 0

Базис БП x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 z1 z2 z3 z4 z5 z6

z1 1 13 / 10 13 / 5 76 / 25 -1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

z2 1 0 14 / 5 31 / 10 0 -1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

z3 1 317 / 100 41 / 20 127 / 50 0 0 -1 0 0 0 0 0 1 0 0 0

z4 1 0 21 / 10 27 / 10 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 1 0 0

z5 1 121 / 50 14 / 5 843 / 100 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 1 0

z6 1 0 29 / 10 43 / 5 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 1

ИС -6M -689 / 100M + 1 -61 / 4M + 1 -2841 / 100M + 1 M M M M M M 0 0 0 0 0 0

Т а б л и ц я 3

Шнцева ¡теращя

Крок 8

Базис БП х1 х2 х3 х4 х5 х6

х8 185513 / 85590 0 1087991 / 285300 0 0 0 -242 / 317

х9 59 / 27 0 341 / 90 0 0 0 0

х4 2143 / 14265 0 -9749 / 47550 0 1 0 -130 / 317

х5 4 / 27 0 -7 / 18 0 0 1 0

х1 160 / 8559 1 67 /2853 0 0 0 -100 / 317

х3 10 / 27 0 7 / 9 1 0 0 0

ИС -370 / 951 0 63 / 317 0 0 0 100 / 317

П р о д о в ж е н н я т а б л и ц г 3

х7 х8 х9 г1 г2 г3 г4 г5 г6

-205763 / 85590 1 0 0 0 242 / 317 205763 / 85590 -1 0

-86 / 27 0 1 0 0 0 86 / 27 0 -1

-10558 / 14265 0 0 -1 0 130 / 317 10558 / 14265 0 0

-31 / 27 0 0 0 -1 0 31 / 27 0 0

2540 / 8559 0 0 0 0 100 / 317 -2540 / 8559 0 0

-10 / 27 0 0 0 0 0 10 / 27 0 0

70 / 951 0 0 м м М-100 / 317 М-70 / 951 м м

х1 = 0.019 х2 = 0 х3 = 0.37 7 (х) = 0.019 + 0 + 0.37 = 0.389 Для дво1Сто1 задача

Т а б л и ц я 4

Перша ¡теращя

Крок 0

Базис БП у1 у2 у3 у4 у5 у6 у7 у8 у9

у7 1 13 / 10 0 317 / 100 0 121 / 50 0 1 0 0

у8 1 13 / 5 14 / 5 41 / 20 21 / 10 14 / 5 29 / 10 0 1 0

у9 1 76 / 25 31 / 10 127 / 50 27 / 10 843 / 100 43 / 5 0 0 1

ИС 0 -1 -1 -1 -1 -1 -1 0 0 0

Т а б л и ц я 5

Шнцева ¡теращя

Шаг 3

Базис БП у1 у2 у3 у4 у5 у6 у7 у8 у9

у3 100 / 317 130 / 317 0 1 0 242 / 317 0 100 / 317 0 0

у8 63 / 317 9749 / 47550 7 / 18 0 0 -1087991/ 285300 -341 / 90 -67 / 2853 1 -7 / 9

у4 70 / 951 10558 / 14265 31 / 27 0 1 205763/ 85590 86 / 27 -2540 / 8559 0 10 / 27

ИС 370 / 951 2143 / 14265 4 / 27 0 0 185513 / 85590 59 / 27 160 / 8559 0 10 / 27

у1 = 0 у 2 = 0 у3 = 0.315 у4 = 0.074 у5 = 0 Ь(у) = 0 + 0 + 0.315 + 0.074 + 0 = 0389

Вартють гри V =-=-= 2.571

у1 + у 2 + у3 + у4 + у5 0.389

Частота використання стратеги КТА-28

Р1 = х1 * V = 0.019 * 2.571 = 0.049

Частота використання стратеги СКГ- 63/100 Р2 = х2*у = 0*2.571 = 0

Частота використання стратеги БК-1000 Р3 = х3* V = 0.37*2.571 = 0.951

Визначимо оптимальний склад вантажошдйомних механiзмiв. БК-1000 - провщний, КТА-28 - допомiжний. Розподiл мiж ними затверджених економiчних та технологiчних показникiв такий:

БК1000 = 251 243*0,951 = 239 652 грн; 701* 0,951 = 666,65 маш.-год.

КТА28= 251 243*0,049 = 11 591 грн; 701* 0,049 = 32,246 маш.-год.

Висновок. Таким чином, розглянута у статп методика визначення оптимального техшко-економiчного складу вантажошдйомних механiзмiв дозволяе будiвельним тдприемствам iз великою часткою упевненостi виконувати планування свое! господарсько! дiяльностi. Запропонована методика також може бути використана службою Замовника при виконанш аналiзу проектно! документаци об'екта бущвництва щодо можливостi внесення змш iз метою зменшення вартостi будiвництва.

ВИКОРИСТАНА Л1ТЕРАТУРА

1. Крушевский А. В. Теория игр / А. В. Крушевский. - К. : Вища школа, 1977. - 216 с.

2. Кутковский В. Я. Дослщження операцш : навч. пошб. / В. Я. Кутковский. - Микола!в : Вид-во МДГУ iм. Петра Могили, 2003. - 260 с.

3. Асаул А. Н. Управление затратами в строительстве / А. Н. Асаул, Е. Г. Никольская. -СП6; СП6ГАСУ; М. : Издательство АСВ. - 2007. - 299 с.

4. Горностаева Ж. В. Теория игр как один из методов разработки оптимальной стратегии развития предприятия строительного комплекса / Ж. В. Горностаева, А. С. Якубенко. - Россия: Южно-Рос. гос. ун-т экономики и сервиса.

5. Оуэн Г. Теория игр / Г. Оуэн. - М. : Мир, 1971. - 230 с.

6. Ушацький С. А., Шейко Ю. П. Оргашзащя будiвництва / С. А. Ушацький, Ю. П. Шейко. - К. : Кондор, 2007. - 521 с.

7. Лубенец Г. К. Подготовка производства и оперативное управление строительством / Г. К. Лубенец. - К. : Бущвельник, 1976.- 731 с.

УДК 629.4:629.12

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ГЕРМЕТИЗАЦИИ ТРУБОПРОВОДОВ ТРАНСПОРТИРОВКИ

И ЕМКОСТЕЙ ХРАНЕНИЯ ЖИДКОСТЕЙ В ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ СИТУАЦИЯХ

А. С. Чаплыгин, соиск.

Ключевые слова: экстремальная ситуация, разгерметизация, пневматическая подушка, метод конечных элементов

Введение. Как следует из статистических данных, значительная часть экстремальных ситуаций возникает по причине нарушения герметизации специального технологического оборудования, такого как: емкости, трубопроводы, компрессорные установки и т. п. в результате их повреждений или вследствие износа. Опасность здесь заключается в том, что в указанном оборудовании хранения или транспортировки различных жидкостей, которые при своей материальной ценности очень часто являются весьма токсичными продуктами, пожаро- и взрывоопасными. Например, аммиак, хлор, нефть и нефтепродукты и др.

Безопасность и эффективность ведения специальных аварийно-восстановительных работ при разгерметизации трубопроводов и емкостей транспортировки и хранения агрессивных сред в жидком состоянии, в том числе пожаро- и взрывоопасных материалов в жидком состоянии, во многом зависит от выполняемых спецподразделениями операций с использованием тех или иных технических средств. К числу наиболее распространенных и часто применяемых на ранних стадиях возникновения и развития подобных экстремальных ситуаций следует отнести технические средства малой механизации. К их числу относятся бандажи и пневмопластыри