Определение параметров свободно растекающегося бурного потока с учетом сил трения внутри области течения на участке, примыкающем к выходу из трубы Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 502/504 : 532.543 В. Н. КОХАНЕНКО

Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Донской государственный аграрный университет»

М. Ф. МИЦИК

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Южно-Российский государственный университет экономики и сервиса»

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ СВОБОДНО РАСТЕКАЮЩЕГОСЯ БУРНОГО ПОТОКА С УЧЕТОМ СИЛ ТРЕНИЯ ВНУТРИ ОБЛАСТИ ТЕЧЕНИЯ НА УЧАСТКЕ, ПРИМЫКАЮЩЕМ К ВЫХОДУ ИЗ ТРУБЫ

Предложен метод определения параметров двухмерного бурного потока в окрестности выхода потока из безнапорной прямоугольной трубы при его свободном растекании. Параметры потока определяются в предположении, что вдоль каждого живого сечения гидродинамический напор потока мало изменяется. Результаты расчета сравниваются с расчетом параметров потока без учета сил сопротивления.

Безнапорная прямоугольная труба, широкое отводящее горизонтальное русло, бурный поток, учет сил сопротивления, живое сечение потока, свободное растекание потока.

We propose a method of determining parameters of the two-dimensional rapid flow in the vicinity of the flow outlet from the non-pressure rectangular tube under its free spreading. The flow parameters are determined on the assumption that along each of the effective cross-section the hydrodynamic pressure of the flow varies little. The calculation results are compared with the calculation of the flow parameters without taking into account resistance forces.

Non-pressure rectangular tube, wide discharge horizontal channel, rapid flow, taking into account resistance forces, flow effective cross-section, flow free spreading.

В работе [1] приведены уравнения гидродинамики двухмерных в плане потоков воды в естественных координатах. Из уравнения неразрывности

дJ^^+д(huI)=o

дх Ъу

следует существование функции тока для стационарного течения, определяемой следующим уравнением:

(1)

где N — величина пропорциональна модулю силы сопротивления T и направлена в сторону, противоположную скорости движения потока; Н(у) -произвольная функция.

Однако, если Н0 = СОПв! — поток равномерный, тогда

дн Э\|/

= 0

(

и

h

f = иехр

—d\\i = -и dx + u^dy.

(2)

-jSM^dy

Л

V У

то поток может быть потенциальным и

при наличии сил сопротивления потоку,

так как в (6), согласно [1], 5 (x; у ) = 0,

дн

если-= и.

Э\|/

Экспериментальные исследования поведения потока при его свободном растекании из безнапорной трубы в широкое отводящее русло подтверждают факт близости реального потока к потенциальному в некоторой окрестности выхода потока из трубы и малое отличие гидродинамического напора от постоянного вдоль живого сечения на выходе из трубы. Назовем такой поток потенциальным в среднем по течению потока. Это упрощение позволило в работе [2] определить границы первого участка в лепестке растекания потока и напор вдоль

= V,

(5)

(6)

h

Вводя семейство линий

S(x;y) = const, авторы полагают, что оно удовлетворяет условию

dS = f(*;i/;0)-(cos0d*+sin9dz/), (3)

где 0 - угол наклона вектора скорости v к оси ОХ; f = f (х;у;в) функция, определяемая из условия, что выражение (3) является полным дифференциалом.

В случае f = v движение потока - потенциальное.

В случае учета сил сопротивления потоку, как в работе [1], изменение гидродинамического напора следующее: s

H=-jNds+H0(y), (4)

Гидравлика, гидрология, водные ресурсы

живого сечения потока в лепестке растекания с учетом сил сопротивления потоку (рисунок).

Сухое русло Мп

мя

м.

не изменяется

2

Н.( х) = — + h.

Поскольку поток потенциальный, то

с18 =ск\> = —<1х+^-йу, дх ду Эф _ Эф

где

= и

- и

(7)

(8)

(9)

дх х Эу

В этом случае дифференциальная связь между планом течения потока и плоскостью годографа скорости будет иметь вид [3]:

1 • ( Ь Л ¿¿2 = -е10 с£ср+г— К

V

\

у

где z = X + 1у, I — мнимая единица.

Система уравнений движения потока соответственно может быть представлена так:

Л^о Э\|/ _ 1 Эф Л Э V и Э0'

1 Эф

иЭи" оЭ0Эи^) (11)

где h0 — глубина потока на выходе из трубы.

л.

бл)

Выражаем производную 2|Г

d

V

Ьх>

А

бл)

2

dv

2д(Зи2-2дН)

у

(2

(12)

Сухое русло

Эквипотенциали

План свободного растекания потока (£ — £ — сечение предельного расширения)

Как отмечено в работе [2], на 1-м участке растекания скорости возрастают, а глубины уменьшаются по течению потока.

Целью настоящей работы является определение параметров потока внутри области I, если известны параметры потока на выходе из трубы 0 , координаты точек

М- (Х-; у^) вдоль крайней линии тока, радиусы живых сечений —, проходящих через точки М-, А, М- и углы 01 в точках М-.

Координаты точек ХА и значения гидродинамического напора Н (XA ) также известны. Согласно принятому ранее допущению, считаем, что Н-вдоль живого сечения потока:

Ввиду малости изменения гидродинамического напора Н считаем его приближенно постоянным на рассматриваемом участке потока.

Преобразуя далее систему (11), получим:

сЮ 1-х Эг

Зт-1 Э\|/ 2 х(1-т)2 Э0'

(13)

для эквипотенциали ф;, проходя-

где Н (ф )= —" щей через точки М;, А, М; .

Систему (13) преобразуем к следующему виду:

ЭчЛ

э_

Эт Э

эе

Эт

1-х Эт

Зт-1 Э>

(14)

и

2 т(1-т) эе

В силу гладкости функций ф(т; 0) ^(т; 0) получим уравнение в частных производных второго порядка относи тельно функции ^ = ^ (Т;

Э ( х Э\|/ ^

дг

1-х дт

Зт-1 Э>

= 0.

(15)

(10) ^Т (Я

4х(1-хре2

Поскольку крайняя линия тока на участке потока I — плавная кривая, то полагаем в уравнении (15) замену \|/(х;0)= ^(фтб. (16)

В результате разделения переменных в уравнении (15) получим обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка:

Э ( х Э\|/! ^ Зх-1

1-х Эх

\|/1(х)=0. (17)

4х(1-х)

Для нахождения решения поставленной в работе задачи воспользуемся решением уравнения (17):

Авт©

(18)

Соответственно для потенциальной функции из системы (13) интегрированием первого уравнения получим:

ЛНп сое©

Ф =

_

Н х*/2(1-хУ

(19)

Определим постоянную А из условия, что на выходе потока из трубы (точка К , рисунок) параметры Тк, 0К известны [4]. Полагая вдоль крайней линии тока

vnb

г ——2—, из (18) получим:

Т—&-.

Из (20) следует:

(20)

(21)

2вт 0К '

Уравнение, связывающее параметры X, 0 вдоль крайней линии тока будет следующим:

sinG sin0

к

1/2

х1/2 1к

(22)

х1'

Таким образом, для точек М1 определяются значения:

Х1 при известных углах 0 —

x^sin 0.

J — А_1_

Li ~~ 2

К

sin ft

(23)

а также глубины и скорости —

К1=Н{1-Х,); Ч = (24)

Параметры потока в точках А определим из решения уравнения:

COS ft

(25)

COS ft,

С:

sin0cL= sin0K

„.1/2 т 1/2 •

тенциали М , А , М , то точка С принадлежит дуге окружности радиуса К , тогда

у^ =Двт0С1; \ХР =ХА -Д+Д СОв0г. (28)

Таким образом определяются параметры потока в области течения потока на участке I.

Выводы

Область течения потока с учетом сил сопротивления потоку более сжата к оси симметрии.

Линии тока в конкретных створах менее уположены по сравнению с линиями тока без учета сил сопротивления потоку.

Скорости потока возрастают, а глубины убывают менее интенсивно по сравнению со случаем модели без учета сил сопротивления потоку.

Крайние линии тока независимо от граничных условий проходят выше экспериментальных кривых.

Рассогласование по всему комплексу параметров потока на участке I не превышает 5 %.

В уравнении (24) известны все параметры, кроме ТА.

Определив ТА , по формулам

ЛА1 =я(1-тА1); иА1 (26)

найдем скорости и глубины в рассматриваемых точках А1 .

Для определения параметров потока в произвольной точке С области течения потока, через которую проходит линия тока с расходом Кт и эквипотенциаль с параметром ТА на оси симметрии, необходимо решить систему (см. рисунок):

- ^ (27)

С! ^к

Координаты точки С1 определяем, пользуясь дифференциальной связью (10) и интегрируя ее вдоль линии тока.

Если точка С{ принадлежит эквипо-

1. Есин А. И. Задачи технической механики жидкости в естественных координатах.

- Саратов: ФГОУ ВПО «Саратовский ГАУ», 2003. - 144 с.

2. Косиченко Н. В. О лепестке свободного растекания бурного потока в широкое укрепленное русло // Природообустройство.

- 2011. - № 3. - С. 58-62.

3. Коханенко В. Н., Волосухин Я. В., Ширяев В. В., Коханенко Н. В. Моделирование одномерных и двухмерных открытых водных потоков: монография; под общей ред. В.Н. Коханенко. - Ростов н/Д: Изд-во ЮФУ, 2007. - 168 с.

4. Ширяев В. В., Мицик М. Ф., Дуванская Е. В. Развитие теории двухмерных плановых потоков в современных условиях: монография; под общей ред. В. В. Ширяева.

- Шахты: ЮРГУЭС, 2007. - 193 с.

Материал поступил в редакцию 03.10.12. Коханенко Виктор Николаевич, доктор технических наук, профессор кафедры «Механика и оборудование процессов пищевых производств» Тел. 8 (8951) 490-70-09 Email: krutoi_ded08@rambler.ru Мицик Михаил Федорович, кандидат технических наук,доцент кафедры «Математика» Тел. 8 (8906) 424-27-16 E-mail: m_mits@ mail.ru