CC BY
24
УДК 532:519.688
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАСЧЕТА ГИДРАВЛИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ
СВОБОДНО РАСТЕКАЮЩЕГОСЯ ПОТОКА НА ВЫХОДЕ ИЗ ВОДОПРОПУСКНЫХ СООРУЖЕНИЙ ПРЯМОУГОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ
© 2011 г. Е.В. Дуванская
Южно-Российский государственный South-Russian State University
университет экономики и сервиса, г. Шахты of Economy and Service, Shahty
Представлена математическая модель расчета гидравлических параметров свободно растекающегося двухмерного в плане потока за водопропускными сооружениями прямоугольного сечения. На базе модели разработана программа, которая определяет гидравлические параметры потока в любой точке внутренней области растекания.
Ключевые слова: математическая модель; гидравлические параметры потока.
In this work the mathematical model of calculation of hydraulic freely spreading two-dimensional in plane flow parameters behind water throughput constructions of rectangular profile is presented. The program which defines hydraulic flow parameters in any point of internal spreading area is developed on basis of this model.
Keywords: mathematical model; hydraulic flow parameters.
Расчеты выходных участков за водопропускными сооружениями имеют важное значение при проектировании водоотводов. Для разработки рекомендаций, по которым назначают размеры гидросооружений, нужна математическая модель определения параметров растекания потока за водопропускными трубами.
Для малых дорожных водопропускных сооружений наиболее характерна схема свободного растекания потока. Исходя из этого в работе строится математическая модель определения параметров свободно растекающегося бурного потока за водопропускными трубами прямоугольного сечения на основе системы двухмерных в плане уравнений движения потока в плоскости годографа скорости [1, 2].
Схема свободного растекания потока за прямоугольной трубой приведена на рис. 1.
Особенностью растекания потока за прямоугольной трубой в широкое отводящее русло является наличие двух характерных участков потока:
- пространственного участка I (рис. 1) в непосредственной близости точек потока от выходного отверстия трубы;
- участка II — двухмерного в плане течения потока.
Эти участки условно можно разделить начальной эквипотенциалью КТБ, на которой гидрав-
лические параметры двух участков потока совпадают.
Из наблюдений свободного растекания бурного потока за водопропускной трубой выдвигаем следующую гипотезу:
— сопряжение участков потока I и II происходит по дуге окружности радиуса R с центром точке Ol на оси симметрии потока, которая является начальной эквипотенциалью двухмерного в плане потока.
До выхода потока из трубы его параметры обозначим:
v0 — величина скорости жидких частиц потока; h0 — глубина потока на его выходе из трубы. В результате расширения потока крайняя линия тока в точке К повернется на угол %к , глубина в этой точке уменьшится, величина скорости увеличится.
В рамках двухмерной плановой модели сформулируем общие закономерности течения потока для участков I и II:
Q = const - условие сохранения расхода потока;
' v2 . „
— + h = Hо - закон сохранения удельной (1) 2 g
энергии потока,
где V — осредненная по вертикали величина скорости частиц потока; Н — местная в плане глубина потока; но = т;- + Но — постоянная в интег-2 g
рале Бернулли.
Эти положения позволяют для потока в целом использовать следующую систему уравнений математической физики в плоскости годографа скорости, выведенную в работе [1] и базирующуюся на общих закономерностях (1):
Эф _ ho 3т -1 Эу; Эх Н0 т(1 -т)2 де'
Эф _ 2 hh0L т Эу
эе _ н01 - т Эх'
(2)
где ф, у — соответственно потенциальная функция и функция тока; 0 — угол наклона вектора скорости жидкой частицы к оси ОХ;
2
т _ X2 _
2 gHо
квадрат скоростного коэффициен-
та %; g — ускорение силы тяжести.
В [2] показано, что система уравнений (2) имеет целый спектр регулярных решений в виде:
yn (т; 0) = yn (т)(An sin n0 + Bn cos n0); yn (т; 0) = yn (т)(Сп sin n0 + Dn cos n0),
где yn(т), фп(т) — функции аргумента т , определяемые на базе решений гипергеометрическо-
го уравнения второго порядка; п — целое число; Ап, Вп, С , Dn — постоянные, определяемые в результате решения соответствующей краевой задачи.
Для практического моделирования процесса свободного растекания потока в качестве базового решения задачи в плоскости годографа скорости можно выбрать следующую конструкцию [3], удовлетворяющую системе уравнений (2):
у _■
A sin е
т-1/2
ф _ A
ho
cos е
Ho т1/2(1 -т)'
где А — постоянная, определяемая из граничных условий растекания потока на выходе потока из трубы и условия полного растекания потока на бесконечности, а также из условия отсекания крайней линией тока и осью симметрии 50 % всего расхода потока
A _
v0b
28Ш0тах
Выведем формулы для определения параметров потока в плане течения. Для этого воспользуемся уравнением связи между планом течения потока и плоскостью годографа скорости [2]:
dx + idy _
d ф + i — d у h
1 eiе,
v
V 7
где е — основание натурального логарифма; i — мнимая единица.
Рис. 1. Схема свободного растекания потока
Для определения координат точки «Т» на начальной эквипотенциали необходим коэффициент расхода линии тока, проходящей через эту точку. Крайняя линия тока отсекает от оси ОХ — оси симметрии потока 50 % общего расхода воды через водопропускную трубу, т.е. 0,5.0. Линия тока, проходящая через точку Т, отсекает от оси симметрии поток расходом:
Qт = 0,5 • а • К, где 0 — расход воды; К — коэффициент расхо-
да;
v sin
кт = ■
sin е„
(3)
где sin 6" — максимальный угол на бесконечности на линии тока, проходящей через точку Т; sin 6max — максимальный угол растекания.
Итак, если задан коэффициент расхода 0<KT<1, то он однозначно задает линию тока. Из
(3) определяется 6":
6" = arcsin (KT sin в"). Далее из системы уравнений:
т2 (1 - т0) cos ет = т2 (1 - тт);
sin ет
= sin t
т,
определим параметры 0Т и тТ, при этом должно выполняться неравенство:
dx = -
A cos е ho
HofigHo
(1 - 3т) cos в Tsin е -—з—--d т + —-d е
2т2 (1 - т)2 т2 (1 - т)
ho A sin е dy = —0-- d ф.
H^V^r2
Из второго уравнения системы (4) интегрированием вдоль линии тока от точки Т до точки М находим:
У = Ут +
h0 A sin е^
= Ут +
HoT^H h0 A sin е;
cos е
cos е
Hoj2gH0>
тМ (1 - тм ) т! (1 -тт ) 11
т! (1 ^ ) т2 (1 -то )
(5)
Преобразуя первое из уравнений системы (4), получим
dx =
Aho
2Hoj2gH~o
(3т-1)(1 -K т) т+ + d т
т2 (1 -т)2
т(1 -т)
где K = sin2 6".
Интегрируя уравнение (5), определим абсциссу точки М по формуле
x = хт + {Ji- kJ2- kJз}1,
2H oV2gH о тт
где
По найденным параметрам 0T и tt вычислим координаты точки Т:
xT = R cos 0T - R cos 0K; yT = R sin 0T.
Так как точка M находится на пересечении линии тока, проходящей через точку Т, и экви-потенциали, проходящей через точку А, то ее координаты удовлетворяют следующей системе тригонометрических уравнений:
sin ем = тМ sin
т
^ (1 -тА )COs ем = тМ (1 -тм )
(4)
• nT sin ет
где sin е„ = —т^
Координаты точки М определим из следующей системы дифференциальных уравнений для линии тока [3]:
_ r(3т-1)dт 1 + т т J = J —-= —-Т + ln-
'(1 -т)2 т(1 -т) (1 -т)'
г л (3т- 1)d т 2 , 1 -т
J = J -= --+ ln-
т (1 -т)2 1
- т
т г d т , т ■3 = I -7 = 1П-.
3 -1т(1 -т) 1 -т
Фиксацию произвольной эквипотенциали, проходящей через точку М, задаем глубиной hM. По глубине hM определим квадрат скоростного коэффициента по формуле
т = 1-
М К
Тогда скорость потока в точке М вычисляется по формуле
Ум = тЫ2 %но.
т
>-M(iJ) XM(iJ) = "-l(ij) = Эм§,1 = Vvii. 1 = iiufi, ! =
(0,0) (0,0) |[i.[i> (о-в) (3,0; (0.0)
(1 .0) (1,0) U.0) (1.0 11,0) (1.0
(2 ,0) (2,0 (2.0) (2.0 (2.0) (2,0
(3 ,o) [3.0 (3,ol (3.0) (3.0) (3.0)
(4,0) M (4.0} M (4,0) (4 Л
(5 ,01 ГШ (3.0} 'XO (3,0) (3,.)
(0,1) (0,.) (0.:) (O.ll (0,1) (o,j
(1,1) c.o C.l) (■,:) (1,1) (1,0
(2,11 (2.:) (2.1) (2,:) (2.1) (2.j
(3,11 (3-:) (3.1) (3.:) (3.1) (3.)
(4,l) M № (4.1) Ш (SI)
(5 Si (-V) mm (3.1) is л) C.l)
Рис. 2. Схема заполнения
Таким образом, построенная математическая модель позволяет определить поле скоростей во внутренней области свободно растекающегося потока, а также глубины и величины углов, что в полном объеме дает возможность определить все необходимые для проектировщиков гидросооружений параметры свободно растекающегося потока за водопропускными трубами без учета сил трения.
На основании вышеизложенного был разработан алгоритм, который успешно реализован на базе математического пакета «Mathcad, version 11.0». Данный алгоритм позволяет производить расчет произвольной линии тока и произвольной эквипотенциали. В точках пересечения линий тока и эквипотенциалей программа позволяет определить помимо координат точек пересечения все необходимые параметры потока: квадрат скоростного коэффициента (Тм), угол растекания (%м ), а также скорости потока в этих точках (VM) и значения глубин (hM), как показано на рис. 2. В этих точках индекс i — соответствует i-й линии тока, а индекс j — j-й эквипотенциали.
В силу того что количество линий тока и эквипотенциалей выбирается пользователем программы, последняя позволяет найти определенные выше параметры в любой точке внутренней области потока.
внутренней области потока
Несмотря на упрощенный характер модели, ее можно использовать для проектирования гидротехнических сооружений, в которых имеется свободное растекание потока за водопропускными трубами и малыми мостами.
Положительным фактором является полная детализация и проверяемость полученного алгоритма, аналитических зависимостей и удобство пользования им проектировщиками гидросооружений, студентами, аспирантами и учеными в своих изысканиях.
Литература
1. Методы решения гидравлических задач по течению плановых стационарных потоков воды: монография / Юж.-Рос. гос. ун-т экономики и сервиса; В. Н. Коханенко, Ю. М. Косиченко, Е. В. Дуванская, Б. Ю. Калмыков; под общ. ред. В. Н. Коханенко.Шах-ты, 2003. 68 с.
2. Ширяев В. В., Мицик М. Ф, Дуванская Е. В. Развитие теории двухмерных открытых водных потоков : монография / под общей ред. В. В. Ширяева. Шахты, 2007. 133 с.
3. Дуванская Е. В. Современные методы расчета дорожных водопропускных сооружений // Экология, технология и оборудование: сб. науч. тр. Ростов н/Д, 2001. С. 94-98.
Поступила в редакцию
16 декабря 2010 г.
Дуванская Елена Викторовна — канд. техн. наук, доцент, Южно-Российский государственный университет экономики и сервиса. Тел. 8-903-43-177-26. E-mail: [email protected]
Duvanskaya Elena Viktorovna — Candidate of Technical Sciences, assistant professor, South-Russian State University of the Economy and Service, Shahty. Tel. 8-903-43-177-26. E-mail: [email protected]
