Определение параметров математической модели качества воды для акватории Цемесской бухты Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 504.4.054:517.9:519.67

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ КАЧЕСТВА ВОДЫ

ДЛЯ АКВАТОРИИ ЦЕМЕССКОЙ БУХТЫ

© 2012 г. Т.А. Волкова

Морская государственная академия, Maritime State Academy,

пр. Ленина, 93, г. Новороссийск, 353918, Lenin Ave, 93, Novorossiysk, 353918,

mail@nsma.ru mail@nsma.ru

Баланс растворенного кислорода в морской воде описывается системой дифференциальных уравнений (в рамках математической модели Стритера—Фелпса). Предложена методика определения коэффициентов: биохимического окисления органических веществ — по экспериментальной зависимости концентрации растворенного кислорода от времени в стандартных условиях; реаэрации — методом рандомизации с учетом процессов атмосферной реаэрации и биохимического окисления. Параметризация дает возможность практического использования модели в целях прогноза качества воды, что актуально при мониторинге морской акватории Цемесской бухты.

Ключевые слова: математическая модель Стритера-Фелпса для морской акватории, коэффициент реаэрации, коэффициент биохимического окисления органических веществ.

Balance of dissolved in the sea water oxygen is described by a system of differential equations (within the limits of Striter—Felps mathematic model). There were suggested methods for defining coefficients: biochemical oxidation of organic substances — by experimental ratio of dissolved oxygen and time in standard conditions; reaeration — by method of randomization in respect of the processes of atmosphere reaeration and biochemical oxidation. These parameters make it possible to use the models in practice with the purpose of forecasting water quality which is vitally essential while monitoring the Tsemess Bay water area.

Keywords: Striter—Felps mathematical model for sea water area, reaeration coefficient, coefficient for biochemical dissolved oxygen in respect of organic substances.

Наибольшее значение для развития водной биоты имеет растворенный кислород (РК). Его содержание в морской воде никогда не остается постоянным. Оно определяется интенсивностью развития физических и биохимических процессов. К первым относится газообмен

между морской водой и атмосферой, ко вторым - выделение кислорода при фотосинтезе и потребление его при биохимических процессах.

Наибольшее влияние на морскую среду оказывают отходы органического происхождения. Один из наи-

более известных критериев загрязнения отходами -биохимическое потребление кислорода (БПК) - является основной причиной уменьшения содержания РК в морской воде. Взаимодействие между РК и его БПК - сложный процесс [1], зависящий от большого числа факторов (рисунок).

Несмотря на сложность и многообразие протекающих в воде процессов, Стритер и Фелпс предложили баланс РК в воде описывать системой дифференциальных уравнений (математическая модель Стритера-Фелпса) [2, 3]:

dCk dt dNb dt

= Kx • (D-Ck) - K2 • Cb : = -K 2 • Nb ,

(1) (2)

где Ск - концентрация РК в воде в произвольный момент времени, мг/л; К1 - коэффициент реаэрации, 1/сут; Р - концентрация предельного насыщения кислорода, мг/л; К2 - коэффициент биохимического окисления органических веществ, 1/сут; Сь - концентрация РК в воде в произвольный момент времени при биохимическом окислении органических веществ (без учета процесса реаэрации), мг/л.

Факторы, влияющие на РК-БПК взаимодействие (по М.Б. Беку [1])

Возможность применения модели Стритера-Фелпса для оценки и прогноза качества морской воды Цемесской бухты в условиях изменяющихся гидрометеорологических параметров изложена в [4].

Анализ режима течений в бухте и водообмена с морем показал, что любые гидротехнические сооружения, расположенные перпендикулярно берегу, препятствуют естественному вдольбереговому течению, уменьшают его скорость и способствуют возникновению зон с неблагоприятными экологическими условиями и неравномерным распределением загрязнений по акватории бухты. Поэтому параметры модели К1 и К2 необходимо определять для каждого исследуемого места рассматриваемой акватории.

Рассмотрим методику определения параметров математической модели Стритера-Фелпса на основе экспериментальных данных и результатов математического моделирования.

Определение К2. В аэробной среде биохимическое окисление органических веществ происходит под воздействием бактерий по схеме: органические вещества + кислород ^ вода + диоксид углерода + иные

вещества. Поэтому разложение органического вещества можно считать эквивалентным реакции окисления, приводящей к понижению РК в воде. По мере окисления органического вещества его концентрация и концентрация РК уменьшаются.

Принято считать [2, 5], что биохимическое окисление протекает как мономолекулярная химическая реакция 1-го порядка. Органические вещества вследствие их многообразия, сложности и трудности анализа непосредственно не определяются. Однако РК можно определить экспериментально. Тогда скорость биохимического окисления органических веществ удобно характеризовать зависимостью концентрации РК в воде от времени и описывать дифференциальным уравнением (2), имеющим при начальных условиях t = 0; Сь = СЬо решение [3]:

= C • e

bo

-K • t 2 ,

(3)

где СЬо - концентрация РК в воде в начальный момент времени, мг/л.

Для получения зависимости (3) в отобранной пробе морской воды определяется концентрация РК до

C

b

инкубации (СЬо) и после 5 сут подряд (при температуре 20 С, без доступа света и кислорода).

Отбор проб, их подготовка к анализу и сам анализ выполнялись в соответствии с [6-8].

Для определения К2 из (3) составлен программный вычислительный блок в системе Мathcad 2001 [9], позволяющий рассчитывать К2 при различном времени инкубации пробы (/=1-5 сут).

В табл. 1 приведены результаты определения концентрации РК в пробе морской воды, отобранной в августе 2009 г. на акватории Цемесской бухты.

Таблица 1

Концентрация РК, мг/л, в пробе анализируемой морской воды после инкубации (исходные значения СЬо=7,43)

Время инкубации, сут

1 2 I 3 4 5

7,16 6,91 | 6,66 6,42 6,19

Результаты наблюдений (табл. 1), подставленные в программный вычислительный блок (Мathcad 200Н), позволяют получить значение К2 в каждый момент времени:

ResBO :=

for t е 1.. 5

bt ^

Cb ^ (7.16 6.91 6.66 6.42 6.19)Т Cbo ^ 7.43 K2 ^ 0.01 for i е 1.. rows(Cb) a. ^ root|cbo-exp(-K2-t) - Cb,K2j

Т

augment ^Cb^ , a^ j

bT

f 7Л61 f 6.91A f 6.66A f 6.42A f6.19

l 0.04 J l 0.04J l 0.04J l 0.04 J l 0.04

ResBO =

где ЯаБО - результат расчета, представляющий собой вектор-строку, в каждой компоненте которой находятся Сь и соответствующее ему значение К2. В рассмотренном примере К2 = 0,04 1/сут.

Определение К1. Одновременно с процессом окисления органического вещества, приводящего к уменьшению концентрации РК в воде, происходит процесс реаэрации. Действие двух процессов (атмосферной реаэрации и биохимического окисления) описывается дифференциальным уравнением (1), которое решается относительно переменной С^ путем подстановки в него Сь из (3). При /=0; С^=С^о решение имеет вид [3]:

( г .п \

C

к

C - Р

ко

K • C

2 bo

K - K 2 1

-K •t

+Р +

K • С

2 bo

K - K 21

-K •t 2

(4)

где Ско - концентрация РК в воде в начальный момент времени, мг/л.

Из (4) можно вычислить концентрацию РК в любой момент времени.

Коэффициент К1 в (4) неизвестен. Эмпирические формулы, предложенные для его определения, применимы, как правило, для водотоков и водоемов [10, 11]. Для морей аналогичные формулы в литературе отсутствуют, за исключением [12], где предлагается принимать К1 = 0,25 - 0,5.

Для определения К1 в качестве исходного уравнения принято (4), в котором присутствует еще одна неизвестная величина С

На 1-м этапе для определения К1 составлен вычислительный блок (Мathcad 20011), позволяющий выполнять расчет при начальных условиях (К2, С^ СЬо, Р) и при заданных начальных приближениях С В качестве начального приближения принята концентрации РК на 1-е сут СЬ1 с погрешностью ±3 % [7].

Исходные данные для расчета приведены в табл. 2.

Таблица 2

Начальные условия и заданные начальные приближения для расчета К

Ско, мг/л СЬо, мг/л Р, мг/л К2, 1/сут Cb1, мг/л

7,43 7,43 7,49 0,04 7,16±0,21

Вычислительный блок для расчета К1 из (4) при заданных начальных приближениях С^ в интервале (6,95-7,37) мг/л с шагом 0,01:

RR 1K(K2, Cbo,Cko, P,t) :=

Ck^ (6.95 6.96 6.97 6.98 6.99 7.00 7.01 7.02 7.03 7.04) u ^ 0.01 for i е 1.. 10

K2^Cbo

T

a. ^ root

Cko-P-■

K2 - u

augment(Ck, a)

RR 1K10.04,7.43,7.43,7.49,1)

T

6.95 6.96 6.97 6.98 -0.69 -0.66 -0.63 -0.6

K2-Cbo

exp(-u-t) + P +--exp(-K2-t) - Ck,u

K2 - u ^

6.99 7 7.01 7.02 7.03 7.04 -0.57 -0.54 -0.51 -0.47 -0.44 -0.41

RR2K(K2, Cbo, Cko, P,t) :=

Ck^ (7.05 7.06 7.07 7.08 7.09 7.10 7.11 7.12 7.13 7.14) u ^ 0.01 for i е 1.. 10

T

a. ^ root i

K2^ Cbo A K2-Cbo

Cko - P--l^exp(-u^t) + P +--exp(-K2-t) - Ck,u

K2 - u J K2 - u ^

augment(Ck, a)

e

e

T

( 7.05 7.06 7.07 7.08 7.09 7.1 7.11 7.12 7.13 7.14 l

RR2K{0.04,7.43,7.43,7.49,1/ =

„- 3

RR3K(K2, Cbo, Cko, P,t) :=

Ck^ (7.15 7.16 7.17 7.18 7.19 7.20 7.21 7.22 7.23 7.24) u ^ 0.01 for i e 1.. 10

T

a ^ root i

K2-Cbol K2-Cbo

Cko - P--l-exp(-u-t) + P +--exp(-K2-t) - Ck,u

K2 - u ) K2 - u 1

augment(Ck, a)

T

RR3K{0.04,7.43,7.43,7.49,1)T =

RR4K(K2, Cbo, Cko, P,t) :=

7.15 7.16 7.17 7.18 7.19 7.2 7.21 7.22 7.23 7.24

0.06 0.1 0.16 0.22 0.27 0.33 0.4 0.47 0.54 0.61

T

Ck^ (7.25 7.26 7.27 7.28 7.29 7.30 7.31 7.32 7.33 7.34) u ^ 0.01 for i e 1.. 10

a ^ root

i

K2-Cbol K2-Cbo

Cko - P--l -exp(-u-t) + P +--exp(-K2-t) - Ck, u

K2 - u ) K2 - u 1

augment(Ck, a)

RR 4K10.04,7.43,7.43,7.49,1)

T

7.25 7.26 7.27 7.28 7.29 7.3 7.31 7.32 7.33 7.34 0.69 0.77 0.86 0.95 1.06 1.17 1.28 1.41 1.55 1.7

В вычислительном блоке результат расчета (RR1KHRR4K1) представляет собой матрицу размером 2х 10, где верхняя строка - заданные начальные приближения; нижняя - соответствующие величины К].

На 2-м этапе из полученного ряда пар значений О—К-! в интервале заданных начальных приближений исключены те значения, у которых 0>К1>0,5 [12]. В результате получился новый ряд пар значений С—К"!: 7,15-0,06; 7,16-0,1; 7,17-0,16; 7,18-0,22; 7,19-0,27; 7,20-0,33; 7,21-0,40; 7,22-0,47.

На 3-м этапе для объективизации численного значения К] вычисление выполняется с помощью рандомизированных значений С^ в интервале концентраций РК (7,15^7,22) мг/л. Для этого составлен расчетный блок (Мathcad 200И), представляющий собой решение системы уравнений с одним неизвестным с использованием метода наименьших квадратов и минимизацией ошибки решения.

Вычислительный блок для определения численного значения К] имеет вид п := 10С

Y := тт^п, 7.15,7.22)

t := 1

Cko := 7.43

u := 0.01 K2 := 0.04

Cbo := 7.43

P := 7.49

S(u) :=£

i = 1

Y -

K2-Cbo l Cko - P--j-exp(-u-t) +

K2 - u

K2-Cbo

+ P +--exp(-K2-1)

K2 - u

ResK1:=Minimize(S,u) ResK1=0.25.

Здесь У - случайные значения в заданном интервале концентраций РК, распределенные равномерно, мг/л; п - число реализаций случайных чисел; Щи) -сумма квадратов отклонений; Яв^'К] - результат, представляющий собой величину К] и полученный

путем минимизации суммарной ошибки методом наименьших квадратов.

В рассмотренном примере К1= 0,25 1/сут. Таким образом, методика определения коэффициентов К1 и К2 математической модели Стритера-Фелпса (на примере Цемесской бухты) включает:

1) определение К2 по экспериментальной зависимости концентрации РК от времени (без учета процесса реаэрации). Величина К2 расчитывается по уравнению (3);

2) расчет величины К1 по уравнению (4) на основе экспериментальных данных, полученных при определении К2 и заданных начальных приближениях; критерии (0>К1>0,5), сужающие интервал поиска К1; использование рандомизированных значений Сk для получения численного значения К1.

Литература

1. Бек М.Б. Моделирование содержания растворенного

кислорода на участке реки, далеком от эстуария // Математические модели контроля загрязнения воды / пер. с англ. А.А. Воинова, Н.К. Лукьянова; под ред. Ю.М. Свирежева. М., 1981. С. 165-199.

2. Дружинин Н.И., Шишкин А.И. Математическое модели-

рование и прогнозирование загрязнения поверхностных вод суши. Л., 1989. 390 с.

3. Владимирский Б.М., Горстко А.Б., Ерусалимский Я.М.

Математика. СПб., 2002. 960 с.

4. Волкова Т.А. Прогноз состояния Цемесской бухты Чер-

ного моря методом математического моделирования // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. Спец-вып. 2011. С. 21-25.

5. Пряжинская В.Г., Ярошевский Д.М., Левит-Гуревич

Л.К. Компьютерное моделирование в управлении водными ресурсами. М., 2002. 496 с.

6. ГОСТ 17.1.5.05-85. Охрана природы. Гидросфера. Об-

щие требования к отбору проб поверхностных и морских вод, льда и атмосферных осадков. М., 1985. 10 с.

7. Руководство по химическому анализу морских вод : РД

52.10.243-92. СПб., 1993. 265 с.

n

2

8. Биохимическое потребление кислорода в водах: методи-

ка выполнения измерений скляночным методом : РД 52.24.420-2005. Ростов н/Д, 2005. 15 с.

9. Дьяконов В. МаШсаа 8/2000. СПб., 2001. 420 с.

10. Пааль Л.Л., Кару Я.Я., Мельдер Х.А. Справочник по

очистке природных и сточных вод. М., 1994. 336 с.

11. Крестин С.В., Розенберг Г.С. Двухмерная модель «цве-

тения воды» в водохранилище равнинного типа // Изв. Самарского науч. центра РАН. 2002. Вып. 4, № 2(8). С. 276-279.

12. Атлас М.И., Литвишков Н.М. Справочник по водоснаб-

жению и канализации предприятий нефтяной промышленности. Баку, 1958. 718 с.

Поступила в редакцию

27 октября 2011 г.